2023-2024學年上海市寶山區(qū)九年級下學期期中考試數(shù)學試卷含詳解

寶山區(qū)2023學年第二學期期中考試

九年級數(shù)學試卷

考生注意：

1.本試卷共25題.

2.試卷滿分150分.考試時間100分鐘.

3.答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無

效.

4.除第一、二大題外，其余各題如無特殊說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出證明或計算的

主要步驟.

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項

是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】

1.若二次根式有意義，則x應滿足的條件是（）

A.x>0B.x>0C.X>1D.x>l

2.如果關于X的一元二次方程%—m=0有兩個相等的實數(shù)根，那么實數(shù)m的值是（

11

A.-1B.——C.——D.1

44

3.下列函數(shù)中，y值隨x值的增大而減小的是（)

A.y=2x2+1B.y=-2x2+1

C.y=x+lD.y=-x+l

4.連續(xù)兩次擲一枚質地均勻的硬幣，兩次都是正面朝上的概率是（）

5.上海發(fā)布微信公眾號可查詢到上海市實時空氣質量狀況.下面是三月某一周連續(xù)七天的空氣質量指數(shù)（AQ/）

28,26,26,37,33,40,117,這組數(shù)據(jù)的下列統(tǒng)計量中，能比較客觀地反映這一周空氣質量平均水平的是

（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)c.眾數(shù)D.方差

6.如圖，_ABC中，ZC=90°,AB=5,tai^B=-f如果以點。為圓心，半徑為R的:C與線段A5有兩個

2

交點，那么cC的半徑R的取值范圍是（）

C

AB

A.2<R<^5B.2<R<45

C.45<R<2y/5D.Q<R<45

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結果直接填入答題紙的相應位置上】

7.計算：a6^a2=.

8.因式分解：m2_3m=?

X—1

9.不等式—<0的解集是.

2

10.方程J2—x=—x的解

11.我國天文學家算出了仙女星系“體重”.仙女星系是距離銀河系最近的大型漩渦星系，是研究星系形成和演化

的絕佳案例.計算得到仙女星系質量約為H400億倍太陽質量.把數(shù)據(jù)11400億用科學記數(shù)法表示應是

12.某廠生產了1000只燈泡.為了解這1000只燈泡的使用壽命，從中隨機抽取了50只燈泡進行檢測，結果有28

只燈泡的使用壽命超過了2500小時，那么估計這1000只燈泡中使用壽命超過2500小時的燈泡的數(shù)量為

只.

13.《孫子算經》中有這樣一道題：今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五，屈繩量之，不足一尺.問木長幾

何？大意是：用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條長度多一尺，則木條長

尺.

14.如圖，街心花園有A、B、C三座小亭子，A、C兩亭被池塘隔開，A、B、C三亭所在的點不共線，設AB、

的中點分別為M、N,如果W=3米，那么AC=米.

15.如圖，正六邊形A3CDEE,連接OE、OD,如果OD=a,OE=b，那么AB=

16.為傳承海派文化，社區(qū)準備舉辦滬劇愛好者觀摩演出活動.把某場館的一個正方形區(qū)域改造成一個由矩形和半

圓形組成的活動場地（如圖），矩形A3CD是觀眾觀演區(qū)，陰影部分是舞臺，CD是半圓。的直徑，弦EF與

CD平行.已知所長8米，舞臺區(qū)域最大深度為2米，如果每平方米最多可以坐3名觀眾，那么觀演區(qū)可容納

17.如圖，邊長分別為5,3,2的三個正方形拼接在一起，它們的一邊在同一直線上，那么圖中陰影三角形①和②

的面積之比"的比值為

C、。重合），把△AOE沿著直線AE翻

折，如果點。落在菱形一條邊的延長線上，那么CE的長為.

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

2

19.計算：“一

31

20.解方程：—+1

x+12x

如圖，在平面直角坐標系xQy中，直線y=x+3與彳軸、y軸分別交于點A、B,與反比例函數(shù)y=&的圖像

21.

X

交于點C（2,〃z）.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)過點C作x軸的平行線/,如果點。在直線/上，且CD=3,求△AB。的面積.

22.小明家院內靠墻安裝了一個遮陽篷(如圖1),圖2是它的側面示意圖，遮陽篷長AC=6米，與水平面的夾角

為17.5。，靠墻端A離地高度A3=5米，已知該地區(qū)冬至正午太陽光照入射角NCD產=36.9。，夏至正午太陽光

照入射角NC即=82.4。，因此，點。、E之間的區(qū)域是一年四季中陽光不一定照射到的區(qū)域，求該區(qū)域深度。E

的長.(結果精確到01米)參考數(shù)據(jù)：sinl7.5°?0.3,cosl7.5°?0.95,tanl7.5°?0.32；

sin36.9°?0.6,cos36.9°?0.8,tan36.9°?0.75；sin82.4°?0.99,cos82.4°?0.13,tan82.4°?7.5.

圖1圖2

23.如圖，在：。中，直徑A5垂直于弦CD,垂足點、E,連接AC、DO,延長。。交AC于點?

(1)求證：AF2=OFDF-,

(2)如果CD=8,BE=2,求OP的長.

24.在平面直角坐標系中(如圖)，已知開口向下的拋物線丁=。必一2%+4經過點P(0,4),頂點為A.

P(0.4)

Ox

(1)求直線Q4的表達式；

(2)如果將一PQ4繞點。逆時針旋轉90。，點A落在拋物線上點。處，求拋物線的表達式；

(3)將(2)中得到的拋物線沿射線巴4平移，平移后拋物線的頂點為3,與y軸交于點C,如果PC=J5AB，

求tanNPBC的值.

25.已知A3是半圓。的直徑，C是半圓O上不與A、8重合的點，將弧AC沿直線AC翻折，翻折所得的弧交直

徑AB于點。，E是點。關于直線AC的對稱點.

備用圖

(1)如圖，點。恰好落點。處.

①用尺規(guī)作圖在圖中作出點E(保留作圖痕跡)，連接AE、CE、CD,求證：四邊形49CE是菱形;

FG

②連接BE,與AC、CD分別交于點尸、G,求——的值；

BE

(2)如果AB=10,00=1,求折痕AC的長.

寶山區(qū)2023學年第二學期期中考試

九年級數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項

是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】

1.若二次根式K不有意義，則x應滿足的條件是（）

A.x>0B.x>0C.x>1D.x>l

【答案】D

【分析】由題意知，x-l>0,計算求解即可.

【詳解】解：由題意知，%-1>0,

解得，x>l,

故選：D.

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握.

2.如果關于龍的一元二次方程式―%—加=0有兩個相等的實數(shù)根，那么實數(shù)機的值是（）

【答案】B

【分析】此題考查一元二次方程根的判別式，解題關鍵是數(shù)量掌握一元二次方程根與系數(shù)關系：一元二次方程有兩

個相等的實數(shù)根時，=0；有兩個不相等的實數(shù)根時，_>0；無實數(shù)根時，二<0.題中方程有兩個相等實數(shù)根,

=0,列出式子，求解加的值即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：=0,

即：（—1）2—4x1x（—根）=0,

解得：m=-—,

4

故選：B.

3.下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（）

A.y=2x2+1B.y--2x2+1

C.y=x+\D.y=-x+l

【答案】D

【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.根據(jù)二次函

數(shù)的性質，一次函數(shù)的性質，逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：A.y=2x2+l,當x<0時，y的值隨尤值的增大而減??；當尤>0時，y的值隨尤值的增大而增

大，故該選項不符合題意;

B.>=—2爐+1,當％<0時，y值隨尤值的增大而增大；當x>0時，y的值隨尤值的增大而減小，故該選項不

符合題意；

C.y=x+l,y的值隨x值的增大而增大，故該選項不符合題意；

D.y=-x+l,y的值隨x值的增大而減小，故該選項符合題意；

故選：D.

4.連續(xù)兩次擲一枚質地均勻的硬幣，兩次都是正面朝上的概率是（）

1111

A.-B.—C.-D.-

6423

【答案】B

【分析】利用樹狀圖法列出連續(xù)兩次擲一枚質地均勻的硬幣會出現(xiàn)的所有情況，看兩次都正面朝上的情況占總情況

的多少即為所求.

【詳解】解：畫樹狀圖如圖所示：

正反

共有4種情況，兩次都正面朝上的情況只有一種，所以兩次都是正面朝上的概率是

4

故答案選：B.

【點睛】本題考查了求概率的方法，熟練應用樹狀圖法或列表法求出所求情況數(shù)和總情況數(shù)是解題的關鍵.

5.上海發(fā)布微信公眾號可查詢到上海市實時空氣質量狀況.下面是三月某一周連續(xù)七天的空氣質量指數(shù)（AQ/）

28,26,26,37,33,40,117,這組數(shù)據(jù)的下列統(tǒng)計量中，能比較客觀地反映這一周空氣質量平均水平的是

（）

A,平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

【答案】B

【分析】本題主要考查了平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差的意義，平均數(shù)可以反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，但是容易受

極端值的影響，方差能反映一組數(shù)據(jù)的波動程度，眾數(shù)只能反映一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，中位數(shù)能反映一

組數(shù)據(jù)中處在最中間的數(shù)據(jù)，不受極端值影響，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，平均數(shù)和中位數(shù)都能反映這一周空氣質量平均水平，但是平均數(shù)容易受極端值影

響，中位數(shù)不受極端值影響，

???能比較客觀地反映這一周空氣質量平均水平的是中位數(shù)，

故選：B.

6.如圖，A5C中，ZC=90°,AB=5,tanB=-,如果以點C為圓心，半徑為R的C與線段A3有兩個

2

交點，那么C的半徑R的取值范圍是（）

A.2<R<45B.2<R<45

Cy/5<R<2y/5D.Q<R<45

【答案】A

【分析】此題主要考查了直線與圓的位置關系.根據(jù)直線與圓的位置關系得出相切時只有一交點，經過點A時有兩

個交點，再結合圖形即可得出答案.

【詳解】解：???tanB='，

2

.AC_1

??一,

BC2

設AC=a,則3c=2a,

由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即4+（2a『=52,

解得a=占，

，AC=逐，BC=25

過點C作CDLA5于點

ACxBC75x275

~AB—-5

如果以點C為圓心，半徑為R的；C與線段A3有兩個交點，那么（C的半徑R的取值范圍是2<R〈君,

故選：A.

二、填空題(本大題共12題，每題4分，滿分48分)【請將結果直接填入答題紙的相應位置上】

7計算：々6+/=.

【答案】/

【分析】本題考查了同底數(shù)募相除，根據(jù)同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減計算即可.

【詳解】解：

故答案為：a4.

8.因式分解：m2—3m=.

【答案】m(m-3)

【分析】題中二項式中各項都含有公因式加，利用提公因式法因式分解即可得到答案.

【詳解】解：m2—3m=m(m-3),

故答案為：制3).

【點睛】本題考查提公因式分解因式，熟練掌握因式分解的方法技巧是解決問題的關鍵.

X—1

9.不等式—<0的解集是.

2

【答案】x<l

【分析】本題考查了解不等式，根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、移項可得.

X—1

【詳解】解：<0

2

*,?%—1<0,

??%〈1,

故答案為：x<l.

10.方程,2—x=—x的解

【答案】x=-2

【分析】兩邊平方后解此無理方程可得.

【詳解】解：兩邊同時平方可得：2-x=x2,

解得：Xl=-2,X2-1,

檢驗得x2=l不是方程的根，

故a=—1,

故答案為。=-1

【點睛】本題主要考查解無理方程的知識點，去掉根號把無理方程化成有理方程是解題的關鍵，注意無理方程需

驗根.需要同學們仔細掌握.

11.我國天文學家算出了仙女星系“體重”.仙女星系是距離銀河系最近的大型漩渦星系，是研究星系形成和演化

的絕佳案例.計算得到仙女星系質量約為11400億倍太陽質量.把數(shù)據(jù)11400億用科學記數(shù)法表示應是

【答案】1.14x10“

【分析】本題主要考查科學記數(shù)法，理解科學記數(shù)法中”的取值方法是解題的關鍵.科學記數(shù)法的表達形式是

ax10%l<a<10,"是小數(shù)點向左移動的位數(shù)或所有整數(shù)位數(shù)減1,由此即可求解.

【詳解】解：11400億=1140000000000=1.14x1012,

故答案為：1.14x1012.

12.某廠生產了1000只燈泡.為了解這1000只燈泡的使用壽命，從中隨機抽取了50只燈泡進行檢測，結果有28

只燈泡的使用壽命超過了2500小時，那么估計這1000只燈泡中使用壽命超過2500小時的燈泡的數(shù)量為

只.

【答案】560

【分析】本題考查了用樣本估計總體，用樣本估計總體時，樣本容量越大，樣本對總體的估計也就越精確.用

1000乘以抽查的燈泡中使用壽命超過2500小時的燈泡所占的比例即可.

【詳解】解：估計這1000只燈泡中使用壽命超過2500小時的燈泡的數(shù)量為1000X京=560只，

故答案為：560.

13.《孫子算經》中有這樣一道題：今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五，屈繩量之，不足一尺.問木長幾

何？大意是：用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條長度多一尺，則木條長

尺.

【答案】6.5

【分析】設繩子長x尺，木條長y尺，根據(jù)“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，

木條長度多一尺”，即可得出關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論.

【詳解】解：設繩子長x尺，木條長y尺，

x-y=4.5

依題意，得：\1

y——x=1

I2

故答案為：6.5.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.

14.如圖，街心花園有A、B、C三座小亭子，A、C兩亭被池塘隔開，A、B、C三亭所在的點不共線，設AB、

的中點分別為M、N,如果MV=3米，那么AC=米.

【答案】6

【分析】本題考查了三角形的中位線，根據(jù)三角形中位線定理求解即可.

【詳解】解：N是AB、的中點，

/.AC=2MN,

,:MN=3米,

AC=6米，

故答案為：6.

15.如圖，正六邊形ABCDEE,連接OE、OD,如果OD=a,OE=b，那么AB=

【答案】d-b^—b+a

【分析】本題主要考查了向量的線性計算，平行線的性質與判定，正多邊形內角和定理，等邊對等角等等，連接

BD,先由正六邊形的性質可得AB=DE=5C=CD,ZABC=ZC=ZCDE=120°,進而求出

ZABD=ZBDE=90°,則可證明得到A5=ED，則AB=ED=OQ—OE=a.

【詳解】解：如圖所示，連接BD，

6

由題意得，AB=DE=BC=CD,NA3C=NC=NCDE=⑻"(一夕=120°,

6

ZCBD=ZCDB=30°,

：.ZABD=ZBDE=90°,

AZABD+ZBDE=1SQ0,

/.AB//DE，

AB=ED，

?：OD=a,OE=b，

???AB=ED=OD—OE=G—b，

故答案為：a-b-

16.為傳承海派文化，社區(qū)準備舉辦滬劇愛好者觀摩演出活動.把某場館的一個正方形區(qū)域改造成一個由矩形和半

圓形組成的活動場地（如圖），矩形A3CD是觀眾觀演區(qū)，陰影部分是舞臺，CD是半圓。的直徑，弦EF與

CD平行.已知所長8米，舞臺區(qū)域最大深度為2米，如果每平方米最多可以坐3名觀眾，那么觀演區(qū)可容納

【分析】本題考查了垂徑定理，正方形的性質，矩形的性質等知識，過。作。G_LEF于G,交弧于X,連接

0E,利用垂徑定理求出EG=4,設半圓的半徑為廣，在Rt^EOG中，利用勾股定理求出半徑，從而可求矩形

ABCD的面積，即可求解.

【詳解】解：過。作OG_LEF于G,交弧于H,連接

則"G=2,AB=CD,

VOG1EF,EF=8,

EG=-EF=4,

2

設半圓的半徑為r,則OG=r—2,

在RtAEOG中，OE1=EG2+OG2,

r2=42+(r-2『，

解得廠=5,

/.CD=2r=10

正方形邊長AB=10,

5c=10—5=5,

矩形ABCD的面積為5x10=50m2,

:每平方米最多可以坐3名觀眾,，

觀演區(qū)可容納50x3=150人，

故答案為：150.

17.如圖，邊長分別為5,3,2的三個正方形拼接在一起，它們的一邊在同一直線上，那么圖中陰影三角形①和②

的面積之比U的比值為.

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行線分線段成比例，正方形的性質等知識，證明

514

ABC^EDC,可求出AC=—AE,利用平行線分線段成比例可求出AG=—AE,AK=-AE,進而求出

725

33

CG=AC-AG=—AE,CK=AK-AC=—AE,然后證明LCKHSQCG/,根據(jù)相似三角形的性質求解

即可.

【詳解】解：如圖,

根據(jù)題意，得AM=5,AN=8,AD=10,DE=2,AB//FG//KH//DE,

AB//DE，

：.ABCyEDC,

?AB_5

''EC~DE~1,

52

/.AC=-AE,CE=-AE,

77

?：MG//DE,

.AGAM_1

"AE~AD~2'

：.AG^-AE,

2

4

同理AK=gAE,

33

：.CG=AC-AG=—AE,CK=AK-AC=—AE,

1435

.CGj4AE5

??CK3AE2,

35

FG//KH,

:.CKHsCGF,

S2{CGJ（5J25

4

故答案為：—.

4

18.如圖，菱形ABC。的邊長為5,cosB=-,E是邊CD上一點（不與點C、。重合），把△AOE沿著直線AE

翻折，如果點。落在菱形一條邊的延長線上，那么CE的長為.

40

【答案】百

【分析】本題主要考查菱形的性質，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，由折疊得Ab=AD=A3,過點A作AH，5C

CG4

于點H,過點E作石G_LC?于點G,得5H=〃R=4,Cb=3,由菱形的性質得=可得——=—，設

CE5

CG=4y,則CE=5y,由勾股定理得EG=3y,由折疊得EF=DE^5-5y,而FG^FC-CG=3-4y,在

RtAEFG中由勾股定理得（3—4yf+（3y）2=（5-5y）\解方程求出》的值即可解決問題

【詳解】解：過點A作AHL3C于點H,過點E作石G_LCE于點G,點。與點E重合，如圖，

丸-----------力

由折疊得，AF=AD=AB-5,

/.BH=AH,

,0BH4

?cosNB---——,

AB5

:.BH=4,

：.BF=2BH=8,

FC=AF-AC=8-5=3,

?.?四邊形A3CD是菱形，

CD//AB,

：.NDCF=ZB,

4cG

cosNDCF=cosNB=—=—

5C

設CG=4y,則CE-5y,FG=CF-CG^3-4y,

由折疊得，EF=DE=5-5y,

在中，由勾股定理得,EG=JCE2-CG2=3y,

在RNFEG中,由勾股定理得，EG2+FG2=EF2,

??（3y）2+（3-4y）2=（5-5y）2.

Q

解得，y=-，

13

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

2

19.計算：83_-1

【答案】企

【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算，分數(shù)指數(shù)幕，負整數(shù)指數(shù)基，先計算分數(shù)指數(shù)幕，再計算負整數(shù)指

數(shù)累，然后分母有理化和去絕對值，最后計算加減法即可得到答案.

2

【詳解】解：85_-1

=4--——(3-

V2-1、

A/2+I

=4--3+2A/2

(72-1)(72+1)

=4—魯—3+20

=4-&-1-3+20

=\/2?

31

20.解方程：--=—+1

x+12x

【答案】x=1或%=工

2

【分析】本題主要考查了解分式方程，按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程，然后

檢驗即可.

31

【詳解】解：--=—+1

x+12x

去分母得：6x=x+1+2x(x+1),

去括號得：6%=%+1+2%2+2%，

移項得：——2%2=1,

合并同類項得：3x-2x2=1.

2x2-3x+l=0>

解得1=1或%=’,

2

經檢驗，％=1和％=工都是原方程的解.

2

21.如圖，在平面直角坐標系xQy中，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點A、B,與反比例函數(shù)y=人的圖像

X

交于點C（2,m）.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）過點C作了軸的平行線/,如果點Z）在直線/上，且CD=3,求△A5D的面積.

【答案】（1）y=—

x

9

⑵-

2

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合：

（1）先利用一次函數(shù)解析式求出點C坐標，再把點C坐標代入反比例函數(shù)解析式中求出反比例函數(shù)解析式即可;

1

（2）先求出A、B坐標，再根據(jù)S^BAD=5AAs-SmcD進行求解即可.

【小問1詳解】

解：在y=x+3中，當尤=2時，y=x+3=2+3=5,

AC（2,5）,

把C（2,5）代入丁=月中得：5=-,

x2

左=10,

...反比例函數(shù)解析式為y=3

x

【小問2詳解】

解：..?直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點A、B,

.?.4(-3,0),6(0,3),

S/\BAD

CD

—x3x5—x3x(5-3)

22

9

2

22.小明家院內靠墻安裝了一個遮陽篷（如圖1）,圖2是它的側面示意圖，遮陽篷長AC=6米，與水平面的夾角

為17.5。，靠墻端A離地高度A3=5米，已知該地區(qū)冬至正午太陽光照入射角NCD9=36.9。，夏至正午太陽光

照入射角NCM=82.4。，因此，點。、E之間的區(qū)域是一年四季中陽光不一定照射到的區(qū)域，求該區(qū)域深度OE

的長.（結果精確到01米）參考數(shù)據(jù)：sin17.5°?0.3,cosl7.5°?0.95,tan17.5°?0.32；

sin36.9°?0.6,cos36.9°?0.8,tan36.9°?0.75；sin82.4°?0.99,cos82.4°?0.13,tan82.4°?7.5.

圖1圖2

【答案】3.8米

【分析】本題考查了解直角三角形的應用.過C作于G,CH_LDE于H,在Rt_ACG中，利用正弦

函數(shù)的定義求得AG的長，在RtZkCE"中，在RtaCDH中，再利用正切函數(shù)的定義求出EH,的長，即

可求解.

【詳解】解：過C作。GJ_AB于G,CHLOE于H,

四邊形CGB”是矩形,

CH=BG,

在Rt_ACG中，AG=AC-sinZACG=6xsinl7.5?6x0.3=1.8,

又AB=5,

：.CH=BG=AB-AG=3.2,

CH3.23.2八c

在Rt^CE"中，EH=........------X——X0.43,

tanACEHtan82.4°7.5

CH3.2~3.2

在RtZkCDH中,DH=土4.27

tanZCDHtan36.9。~訪

DE=DH-EH=4.27-0.43?3.8,

答：該區(qū)域深度OE的長為3.8米

23.如圖，在。中，直徑A5垂直于弦CD,垂足為點E,連接AC、DO,延長。。交AC于點?

(1)求證：AF2=OFDF;

(2)如果CD=8,BE=2,求O尸的長.

【答案】（1）見解析⑵fl

【分析】（1）利用垂徑定理得出CE=O￡,利用線段垂直平分線定理得出AC=4）,利用等腰三角形三線合一性

質得出NE4O=NZMO,利用等邊對等角得出4MO=NOZM,等量代換得出=,可證

_AFO^_DFA,再利用相似三角形的性質即可得證；

（2）在RtAJ）EO中，利用勾股定理求出半徑，在中，利用勾股定理求出A。，然后利用（1）中相似

三角形性質求解即可.

【小問1詳解】

解：連接AD,

:直徑A3垂直于弦CD,

/.CE=DE=-CD,

2

AELCD,

：.AC=AD,

：.ZFAO=ZDAO,

,:AO=DO,

：.ZDAO=ZODA,

：.ZFAO=ZODA,

又NAFO=NDE4,

A..AFO^,DFA,

.AFDF

**OF-AF，

???AF2=OFDF

【小問2詳解】

解：:CE-DE——CD,CD=8,

2

CE=DE=4，

設半徑為r,

'：BE=2,

OE=r—2>

在中，OE+DE2=DO°，

.,.(r-2)2+42=r2,

解得r=5,

：.OE=3,AE=AO+OE=8,

AD=ylAE2+DE2=4A/5>

^AFO^^DFA,

.AL_O^_AO上乙="=工

DFAFAD'OF+5AF4^/5

4小OF=5AF

整理得《

5OF+25=4A/5AF

解得。尸=一

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質等知識，明確題意，添加

合適輔助線，構造相似三角形求解是解題的關鍵.

24.在平面直角坐標系xQy中（如圖），已知開口向下的拋物線y=a%2—21+4經過點P（0,4）,頂點為A.

AO,4)

（1）求直線Q4的表達式；

（2）如果將,PQ4繞點。逆時針旋轉90。，點A落在拋物線上的點。處，求拋物線的表達式；

（3）將（2）中得到的拋物線沿射線K4平移，平移后拋物線的頂點為8,與y軸交于點C,如果尸。=?46，

求tanNPBC的值.

【答案】（1）y=-x+4

⑵」

2

⑶-

3

【分析】（1）把拋物線解析式轉化為頂點式，然后設直線Q4的表達式為丫=履+方，把A、尸坐標代入求解即可；

（2）先判斷頂點A在第二象限，設旋轉后A的對應點為。證明.AMO咨&ONQ,可求出。的坐標，然后把。的

坐標代入y^ax2-2x+4求解即可；

（3）設平移后拋物線表達式為y=—^"-根了+4-zn,求出8（機,4一加），C^0,-1-m2-m+4^,利用兩點

間距離公式求出AB=J（/n+2『+（冽+2『=V2|m+2|,PC=--m2-m+4-4=—m2+m,

PC=?AB，結合=J5xJ1W+2],求出川的值，根據(jù)平移可得力<—2,從而求出B（T,8）,

C（0,0）,過C作CDLB4于￡>,求出PD=CD=2jLBD=6?，然后在RtBCD中，根據(jù)正切定義求

解即可.

【小問1詳解】

解：,?*y=ax2-2x+4=a+4—,

4

—,4——

aa

設直線己4的表達式為y=履+3,

k=—l

解得《

b=4

???直線PA的表達式為y=-x+4；

【小問2詳解】

解：由拋物線開口向下，且過P（0,4）,

...A在第二象限，

設.PO4繞點。逆時針旋轉90°,A的對應點0,如圖所示，過點A、。分別作AA/Ly軸，QV_Ly軸，垂足

：.OA=OQ,ZAOQ=90°,

：.ZAOM=ZOQN=90°-NQON,

又ZAMO=ZONQ,

：._AMO^ONQ,

：.AM=ON,OM=QN,

VA|-54--|,

vaa)

：.AM=ON=QN=OM=4--,

a

.,.el--4,-1，

\aa)

代入,=奴2一2X+4,得a仕一4]-2|--4j+4=—,

\aJya)a

整理得8a2+2a-l=0，

解得。]=一萬，=—(舍去)

經檢驗，。］二是原方程的解，

2

???〃的值為一—；

2

【小問3詳解】

解：由（2）知：y=—2x?—2x+4=—+2）+6,A（—2,6）,

17

設平移后拋物線表達式為y=-］（%-冽）+4-m,

2

19-m+4,cf0,-^-m-m+4j,

當％=0時，y=--m2

???AB=

PC=--m2-zn+4-4=-n^+m,

22

PC=42AB，

-m2+m=5/2xy/2|m+2|,

2

I.g加2+機=2（加+2）或g冽2+m=—2（機+2）,

解得g=4,?=-2,砥=一4,砥=一2,

??,拋物線沿射線平移，

???8在A左上方，

m<-2,

m=-4,

.?.6（-4,8）,C（0,0）,

???BP=臚+岱_4/=,

過C作CDLB4于D,

B

40.4)

\D

在RtZkC。尸中，ZDPC=45°,PC=4,

PD=CD=272，

BD=DP+PB=6母，

DB603

【點睛】本題考查了二次函數(shù)，旋轉的性質，勾股定理，正切的定義等知識，明確題意，正確添加輔助線、運用

數(shù)形結合思想是解題的關鍵.

25.已知A3是半圓。的直徑，C是半圓。上不與A、B重合的點，將弧AC沿直線AC翻折，翻折所得的弧交直

徑A5于點。，E是點。關于直線AC的對稱點.

備用圖

（1）如圖，點。恰好落在點。處.

①用尺規(guī)作圖在圖中作出點E（保留作圖痕跡），連接AE、CE、CD,求證：四邊形AZXE是菱形;

FG

②連接跖，與AC、CD分別交于點尸、