專題01 圓的切點(diǎn)弦的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)培優(yōu)輔導(dǎo)（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

專題01圓的切點(diǎn)弦的應(yīng)用【方法點(diǎn)撥】1.過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；2.過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.【典型題示例】例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－4,0)，B(0,4)，從直線AB上一點(diǎn)圓P向圓C：引兩條切線PC、PD，切點(diǎn)分別是C、D，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為M，則線段AM長(zhǎng)的最大值為．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則CD的方程為，分參得所以，解之得，直線CD恒過點(diǎn)N（－1,1）又因?yàn)镺M⊥CD，所以點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)N為直徑的圓（點(diǎn)O除外），故其方程是所以.例2在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C:(x2)2(y2)2＝20與x軸交于A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），圓C的弦MN過點(diǎn)T(3，4)，分別過M、N作圓C的切線，交點(diǎn)為P，則線段AP的最小值為．【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)弦求出點(diǎn)P軌跡方程，再利用點(diǎn)線距以垂線段最小求解.【解析】設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(a，b)則切點(diǎn)弦MN的方程為：(a2)(x2)(b2)(y2)＝20又因?yàn)橄襇N過點(diǎn)T(3，4)，故(a2)(32)(b2)(42)＝20，即a2b26＝0即點(diǎn)P的軌跡方程是x2y26＝0點(diǎn)A（－2,0）到該直線的距離為，因?yàn)槎c(diǎn)到直線上任意一點(diǎn)間的距離中垂線段最小所以點(diǎn)A（－2,0）到該直線的距離即為AP的最小值.例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：，點(diǎn)A是直線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的取值范圍為．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則PQ的方程為，分參得所以，解之得，直線PQ恒過點(diǎn)（1,1）易求得過點(diǎn)（1,1）最短的弦長(zhǎng)為、最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為（取不得）故線段PQ長(zhǎng)的取值范圍為.【鞏固訓(xùn)練】1.已知P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓作兩切線，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB恒過定點(diǎn).2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：，點(diǎn)A是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的取值范圍為．3.過圓內(nèi)一點(diǎn)作一弦交圓于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)、分別作圓的切線、，兩切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B．C． D．4.已知點(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)到直線AB距離的最大值為（）A． B． C．2 D．5.過直線上一動(dòng)點(diǎn)M，向圓引兩條切線，A、B為切點(diǎn)，則圓的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為A． B．6 C．8 D．6.（多選題）過直線上一點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，直線與，軸分別交于點(diǎn)，，則（）A．點(diǎn)恒在以線段為直徑的圓上 B．四邊形面積的最小值為4C．的最小值為 D．的最小值為47.（多選題）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案或提示】1.【答案】【解析】設(shè)，又，以PC為直徑的圓的方程為，整理得，∵，∴這個(gè)圓也是四邊形ACBP的外接圓，它與圓C方程相減，得公共弦AB方程：；，令，∴AB恒過定點(diǎn).2.【答案】【提示】設(shè)A則直線PQ的方程是，即所以直線PQ過定點(diǎn) .則PQ長(zhǎng)的最小值是過且平行于軸的弦，易得此時(shí)PQ，直徑是其上界.3.【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，寫出以為直徑的圓的方程，作差求得公共弦所在直線的方程，將點(diǎn)代入方程，由此得出結(jié)論．【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)圓的直徑式方程知，以為直徑的圓的方程為，兩圓方程作差可得公共弦的方程為，而在直線上，，故點(diǎn)的軌跡方程為，故選：C．4.【答案】D【解析】設(shè)，則，以O(shè)P為直徑的圓的方程是，與圓O的方程相減，得直線AB的方程為，即，因?yàn)?，所以，代入直線AB的方程，得，即，當(dāng)且，即，時(shí)該方程恒成立，所以直線AB過定點(diǎn)N(1，1)，點(diǎn)M到直線AB距離的最大值即為點(diǎn)M，N之間的距離，，所以點(diǎn)M(3，2)到直線AB距離的最大值為.故選:D5.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為則AB的方程為，分參得所以，解之得，直線AB恒過點(diǎn)（1,1）由平面幾何易知，圓的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為（1,1）與圓心之間的距離加上圓的半徑，即.故選：A.6.【答案】BCD【分析】對(duì)于A，由動(dòng)點(diǎn)及圓的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于B，連接，利用切線的性質(zhì)將四邊形的面積用表示，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式求解；對(duì)于C，由點(diǎn)，在以為直徑的圓上可求得直線的方程，進(jìn)而得到該直線過定點(diǎn)，最后數(shù)形結(jié)合即可得解；對(duì)于D，先由直線的方裎得到點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，最后利用基本不等式即可求解．【解析】對(duì)于A，在四邊形中，不一定是直角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，由題易知，所以四邊形的面積，又的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即，所以四邊形面積的最小值為，B正確；設(shè)，則以線段為直徑的圓的方程是，與圓的方程相減，得，即直線的方程為，又點(diǎn)在直線上，所以，則，代入直線的方程，得，即，令，則，得，，所以直線過定點(diǎn)，所以，數(shù)形結(jié)合可知的最小值為，C正確；在中，分別令，得到點(diǎn)，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以且，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4，D正確．故選：BCD.7.【答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【解析】