2025屆湖南省東安縣天成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一下數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2025屆湖南省東安縣天成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一下數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,邊上的中線長(zhǎng)為,則面積的最大值為（）A． B． C． D．2．一個(gè)圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形，該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A． B．4 C． D．3．已知，若，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為（）A． B． C． D．5．同時(shí)具有性質(zhì)：①圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離是；②在上是增函數(shù)的一個(gè)函數(shù)為（）A． B． C． D．6．若直線kx+(1-k)y-3=0和直線(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直，則k=()A．-3或-1 B．3或1 C．-3或1 D．-1或37．的值等于()A． B．－ C． D．－8．角的終邊過(guò)點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．9．已知一扇形的周長(zhǎng)為，圓心角為，則該扇形的面積為()A． B． C． D．10．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是（）．A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在數(shù)列中，，，，則_____________．12．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，且，則面積的最大值為_(kāi)_____.13．若為冪函數(shù)，則滿足的的值為_(kāi)_______.14．已知實(shí)數(shù)滿足條件，則的最大值是________.15．如圖所示，已知，用表示.16．?dāng)?shù)列滿足，則等于______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，；（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求與的夾角.18．?dāng)?shù)列中，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求；⑶設(shè)，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中，（1）點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于點(diǎn)．求證：（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積．20．已知方程有兩個(gè)實(shí)根,記,求的值.21．對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖：分組頻數(shù)頻率2440.120.05合計(jì)1（1）求出表中，及圖中的值；（2）若該校高三學(xué)生有240人，試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

作出圖形，通過(guò)和余弦定理可計(jì)算出，于是利用均值不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意可知，而，同理，而，于是，即，又因?yàn)?，代入解?過(guò)D作DE垂直于AB于點(diǎn)E，因此E為中點(diǎn)，故，而，故面積最大值為4，答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形與基本不等式的相關(guān)綜合，表示出三角形面積及使用均值不等式是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度較大.2、B【解析】

設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，利用扇形面積公式和圓錐表面積公式，求出圓錐的底面圓半徑和母線長(zhǎng)．【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為它的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形又圓錐的表面積為，解得：母線長(zhǎng)為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用扇形面積公式和圓錐表面積公式，是基礎(chǔ)題．3、C【解析】

由，得，則，則.【考點(diǎn)定位】4、B【解析】，則，所以，則，易知，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，故選B。點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值是導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用題型中的常見(jiàn)考法。通過(guò)求導(dǎo)，首先觀察得到導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，利用圖象判斷出單調(diào)增減區(qū)間，得到最值。5、C【解析】由①得函數(shù)的最小正周期是，排除．對(duì)于B:，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)B選項(xiàng)對(duì)應(yīng)函數(shù)是減函數(shù)，C選項(xiàng)對(duì)應(yīng)函數(shù)是增函數(shù)，滿足②，故選C．6、C【解析】

直接利用兩直線垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€kx+(1-k)y-3=0和直線(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直，所以k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0，解方程可得k=1或k=-3，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與直線垂直的充要條件，屬于基礎(chǔ)題.對(duì)直線位置關(guān)系的考查是熱點(diǎn)命題方向之一，這類問(wèn)題以簡(jiǎn)單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關(guān)系：在斜率存在的前提下，（1）l1||l2?k17、C【解析】

利用誘導(dǎo)公式把化簡(jiǎn)成.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，即把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)，考查基本運(yùn)算求解能力.8、B【解析】由三角函數(shù)的定義知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.9、C【解析】

根據(jù)題意設(shè)出扇形的弧長(zhǎng)與半徑，通過(guò)扇形的周長(zhǎng)與弧長(zhǎng)公式即可求出扇形的弧長(zhǎng)與半徑，進(jìn)而根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，扇形的圓心角的弧度數(shù)是.

則由題意可得：.

可得：，解得：，.可得：故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的周長(zhǎng)與扇形的面積公式的應(yīng)用，以及考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解析】試題分析：由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則知與x'軸平行或重合的線段與x’軸平行或重合，其長(zhǎng)度不變，與y軸平行或重合的線段與x’軸平行或重合，其長(zhǎng)度變成原來(lái)的一半，正方形的對(duì)角線在y'軸上，可求得其長(zhǎng)度為，故在平面圖中其在y軸上，且其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，長(zhǎng)度為2，觀察四個(gè)選項(xiàng)，A選項(xiàng)符合題意．故應(yīng)選A．考點(diǎn)：斜二測(cè)畫(huà)法．點(diǎn)評(píng)：注意斜二測(cè)畫(huà)法中線段長(zhǎng)度的變化．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、5【解析】

利用遞推關(guān)系式依次求值，歸納出：an+6=an，再利用數(shù)列的周期性，得解.【詳解】∵a1=1，a2=5，an+2=an+1-an（n∈N*），∴a3=a2-a1=5-1=4，同理可得：a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…，∴an+6=an．則a2018=a6×336+2=a2=5【點(diǎn)睛】本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計(jì)算能力.12、【解析】

根據(jù)正弦定理將轉(zhuǎn)化為，即，由余弦定理得，再用基本不等式法求得，根據(jù)面積公式求解.【詳解】根據(jù)正弦定理可轉(zhuǎn)化為，化簡(jiǎn)得由余弦定理得因?yàn)樗?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取所以則面積的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的綜合應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.13、【解析】

根據(jù)冪函數(shù)定義知，又，由二倍角公式即可求解.【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，即,因?yàn)?所以，即，因?yàn)?，所以?故填.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的定義，正弦的二倍角公式，屬于中檔題.14、8【解析】

畫(huà)出滿足約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】實(shí)數(shù),滿足條件的可行域如下圖所示:將目標(biāo)函數(shù)變形為:,則要求的最大值,即使直線的截距最大,由圖可知,直線過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最大,,故答案為:8.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用,解題關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義.15、【解析】

可采用向量加法和減法公式的線性運(yùn)算進(jìn)行求解【詳解】由，整理得【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于將所有向量通過(guò)向量的加法和減法公式轉(zhuǎn)化成基底向量，屬于中檔題16、15【解析】

先由，可求出，然后由，代入已知遞推公式即可求解。【詳解】故答案為15.【點(diǎn)睛】本題考查是遞推公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解析】

（1）設(shè)向量，根據(jù)和得到關(guān)于的方程組，從而得到答案；（2）根據(jù)與垂直，得到的值，根據(jù)向量夾角公式得到的值，從而得到的值.【詳解】（1）設(shè)向量，因?yàn)?，，，所以，解得，或所以或；?）因?yàn)榕c垂直，所以，所以而，，所以，得，與的夾角為，所以，因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的平行求向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量的垂直關(guān)系求向量的夾角，屬于簡(jiǎn)單題.18、（1）；（2）（3）7.【解析】

（1）由可得為等差數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先判斷時(shí)數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，時(shí)數(shù)列各項(xiàng)為負(fù)數(shù)，分兩種情況討論分別利用等差數(shù)列求和公式求解即可；（3）求得利用裂項(xiàng)相消法求得，由可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若時(shí)，時(shí)，，故.（3），若對(duì)任意成立，的最小值是，對(duì)任意成立，的最大整數(shù)值是7,即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，以及裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題.裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.19、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】試題分析：（1）由題意，,∴，∴．（2）把當(dāng)作底面，因?yàn)榻?90°，所以為高；過(guò)作H垂直于EF，H為EF中點(diǎn)（等腰三角形三線合一）；BE＝BF＝BC，；，，，．考點(diǎn)：折疊問(wèn)題，垂直關(guān)系，體積計(jì)算．點(diǎn)評(píng)：中檔題，對(duì)于折疊問(wèn)題，要特別注意“變”與“不變”的幾何元素，及幾何元素之間的關(guān)系．本題計(jì)算幾何體體積時(shí)，應(yīng)用了“等體積法”，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程．20、【解析】

求出的值和的范圍即可【詳解】因?yàn)?，所以又有兩個(gè)實(shí)根所以所以因?yàn)樗?，所以所以所以故答案為：【點(diǎn)睛】1.要清楚反三角函數(shù)的定義域和值域，如的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?.由三角函數(shù)的值求角時(shí)一定要判斷出角的范圍.21、(1)；；；(2)60人．(3)【解析】

（1）根據(jù)頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系即頻率等于頻數(shù)除以樣本容量，寫(xiě)出算式，求出式子中的字母的值；（2）該校高三學(xué)生有240人，分組內(nèi)的頻率是0.25，估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60人；（3）設(shè)在區(qū)間內(nèi)的人為，，，，在區(qū)間內(nèi)的人為，，寫(xiě)出任選2人的所有基本事件，利用對(duì)立事件求得答案.【詳解】（1）由分組內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25知，，∴．∵頻數(shù)之和為4