黑龍江省哈爾濱市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

黑龍江省哈爾濱市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某同學(xué)使用計(jì)算器求30個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí),錯(cuò)將其中一個(gè)數(shù)據(jù)105輸入為15,那么由此求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差是()A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-32．設(shè)a＞0，b＞0，若是和的等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A．6 B． C．8 D．93．在△ABC中，已知，P為線段AB上的點(diǎn)，且的最大值為（）A．3B．4C．5D．64．已知函數(shù)f(x)=2x+log2x，且實(shí)數(shù)a>b>c>0，滿足A．x0<a B．x0>a5．若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的大致圖象為（）A． B． C． D．7．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)事件為“三件產(chǎn)品全不是次品”，事件為“三件產(chǎn)品全是次品”，事件為“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是（）A．事件與互斥 B．事件與互斥C．任何兩個(gè)事件均互斥 D．任何兩個(gè)事件均不互斥8．的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，下列命題：（1）三邊、、既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則是等邊三角形；（2）若，則是等腰三角形；（3）若，則；（4）若，則；（5），，若唯一確定，則.其中，正確命題是（）A．（1）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（5） D．（3）（4）（5）9．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．平面B．C．平面D．異面直線與所成的角為10．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為（）A．－3 B．1 C．9 D．10二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，那么的值是________．12．正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為．13．若等比數(shù)列滿足，且公比，則_____.14．計(jì)算：__________．15．在空間直角坐標(biāo)系中，三棱錐的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為的球面上，為球心，，，，，則球的體積與三棱錐的體積之比是_____.16．已知球的一個(gè)內(nèi)接四面體中，，過球心，若該四面體的體積為，且，則球的表面積的最小值為_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，且（1）求的定義域.（2）判斷的奇偶性，并說明理由.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在滿足（1）的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式；19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為（），且滿足，（）．（1）求證是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．20．已知函數(shù)，.（1）把表示為的形式，并寫出函數(shù)的最小正周期、值域；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：（3）定義：對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，設(shè)，（常數(shù)），若對(duì)于任意，總存在，使得恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊做兩個(gè)銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為（1）求的值；（2）求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

因?yàn)殄e(cuò)將其中一個(gè)數(shù)據(jù)105輸入為15,所以此時(shí)求出的數(shù)比實(shí)際的數(shù)差是,因此平均數(shù)之間的差是.故答案為D2、D【解析】

試題分析：由題意a＞0，b＞0，且是和的等比中項(xiàng)，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．考點(diǎn)：重要不等式，等比中項(xiàng)3、A【解析】試題分析：在中，設(shè)，∵，，即，∴，∵，∴，即．∵，，∴，，∴．根據(jù)直角三角形可得，，，∴，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系可得，為線段上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得．設(shè)，，則，且，∴，可得則，即，解得，故所求的最大值為：，故選A．考點(diǎn)：三角形的內(nèi)角和定理，兩角和的正弦公式，基本不等式求解最值．4、D【解析】

由函數(shù)的單調(diào)性可得：當(dāng)x0<c時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性可得：f（a）>0，f（b）>0，f（c）>0，即不滿足f（a）f（b）f（c）【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2則函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)為增函數(shù)，又實(shí)數(shù)a>b>c>0，滿足f（a）f（b）f（c）<0，則f（a），f（b），f（c）為負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，對(duì)于選項(xiàng)A，B，C選項(xiàng)可能成立，對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)x0函數(shù)的單調(diào)性可得：f（a）>0，f（b）>0，f（c）>0，即不滿足f（a）f（b）f（c）<0，故選項(xiàng)D不可能成立，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．5、C【解析】由題意得圓心為，半徑為．圓心到直線的距離為，由直線與圓有公共點(diǎn)可得，即，解得．∴實(shí)數(shù)a取值范圍是．選C．6、D【解析】令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又令，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，且?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，選項(xiàng)C滿足條件.故選C.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的解析式和圖象的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；已知函數(shù)的解析式識(shí)別函數(shù)圖象是高考常見題型，往往從定義域、奇偶性（對(duì)稱性）、單調(diào)性、最值及特殊點(diǎn)的符號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證，逐一驗(yàn)證進(jìn)行排除.7、B【解析】

根據(jù)互斥事件的定義，逐個(gè)判斷，即可得出正確選項(xiàng)．【詳解】為三件產(chǎn)品全不是次品，指的是三件產(chǎn)品都是正品，為三件產(chǎn)品全是次品，為三件產(chǎn)品不全是次品，它包括一件次品，兩件次品，三件全是正品三個(gè)事件由此知：與是互斥事件；與是包含關(guān)系，不是互斥事件；與是互斥事件，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查互斥事件定義的應(yīng)用．8、A【解析】

由等差數(shù)列和等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)可判斷（1）；由正弦定理和二倍角公式、誘導(dǎo)公式，可判斷（2）；由三角形的邊角關(guān)系和余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷（3）；由余弦定理和基本不等式可判斷（4）；由正弦定理和三角形的邊角關(guān)系可判斷（5）．【詳解】解：若、、既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則，，則，得，得，得，則是等邊三角形，故（1）正確；若，則，則，則或，即或，則△ABC是等腰或直角三角形，故（2）錯(cuò)誤；若，則，則，故（3）正確；若，則，則，由得，則，則，故（4）正確；若，，則，即，又，若唯一確定，則或，則或，故（5）錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，以及三角形的形狀的判斷，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．9、D【解析】

在正方體中與

平行，因此有與平面

平行，A正確；在平面

內(nèi)的射影垂直于，因此有，B正確；與B同理有與

垂直，從而

平面

，C正確；由知與所成角為45°，D錯(cuò)．故選D．10、C【解析】

畫出可行域，向上平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，向上平移基準(zhǔn)直線到的位置，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值為.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃的知識(shí)求目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

首先根據(jù)題中條件求出角，然后代入即可.【詳解】由題知，，所以，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

由題意可得：該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，長都為，所以三棱錐的體積.考點(diǎn)：三棱錐的體積公式.13、.【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出．【詳解】，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于容易題．14、【解析】

分子分母同除以，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查“”型的極限計(jì)算，熟記常用做法即可，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】

首先根據(jù)坐標(biāo)求出三棱錐的體積，再計(jì)算出球的體積即可.【詳解】有題知建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示由圖知：平面，...故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16、【解析】

求出面積的最大值，結(jié)合棱錐的體積可得到平面距離的最小值，進(jìn)一步求得球的半徑的最小值得答案．【詳解】解：在中，由，且，

得，得．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值1．

過球心，且四面體的體積為1，

∴三棱錐的體積為．

則到平面的距離為．

此時(shí)的外接圓的半徑為，則球的半徑的最小值為，

∴球O的表面積的最小值為．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積最值的求法，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，考查空間想象能力，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）偶函數(shù)，理由見解析.【解析】

（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零可求得和的定義域，取交集可得定義域；（2）整理可得，驗(yàn)證得，得到函數(shù)為偶函數(shù).【詳解】（1）令得：定義域?yàn)榱畹茫憾x域?yàn)榈亩x域?yàn)椋?）由題意得：，為定義在上的偶函數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域的求解、奇偶性的判斷；求解函數(shù)定義域的關(guān)鍵是明確對(duì)數(shù)函數(shù)要求真數(shù)必須大于零，且需保證構(gòu)成函數(shù)的每個(gè)部分都有意義.18、（1）；（2）.【解析】

（1）已知求，利用即可求出；（2）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式特征，采取分組求和法和錯(cuò)位相減法求出【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，即，，因?yàn)?，所以，，即，?dāng)時(shí)，也符合公式．綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）因?yàn)?，所以（）由得，兩式作差得，，即，故．【點(diǎn)睛】本題主要考查求數(shù)列通項(xiàng)的方法——公式法和構(gòu)造法的應(yīng)用，以及數(shù)列的求和方法——分組求和法和錯(cuò)位相減法的應(yīng)用．19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，由代入，化簡得出，由此可證明出數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得出，由可得出在時(shí)的表達(dá)式，再對(duì)是否滿足進(jìn)行檢驗(yàn)，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，即，，等式兩邊同時(shí)除以得，即，因此，數(shù)列是等差數(shù)列；（2）由（1）知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，則.，得.不適合.綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明，同時(shí)也考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，解題的關(guān)鍵就是利用關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）；（2）（3）【解析】

（1）結(jié)合二倍角正弦公式和輔助角公式即可化簡；（2）結(jié)合（1）中所求表達(dá)式，正弦型函數(shù)單調(diào)增區(qū)間的通式即可求解；（3）根據(jù)題意可得，，求出的值域，列出關(guān)于的不等式組，即可求解【詳解】（1），，值域?yàn)?；?）令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，;（3）若對(duì)于任意，總存在，使得恒成立，則，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，故，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題21、（1）（2）【