2025屆廣東省陽(yáng)山中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2025屆廣東省陽(yáng)山中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則該函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．2．執(zhí)行下圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的x為（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或e3．在中，設(shè)角的對(duì)邊分別為．若，則是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形4．已知是偶函數(shù)，且時(shí).若時(shí)，的最大值為，最小值為，則（）A．2 B．1 C．3 D．5．在ABC中，．則的取值范圍是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）6．已知向量，且，則m=()A．?8 B．?6C．6 D．87．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．8．甲、乙、丙三人隨機(jī)排成一排，乙站在中間的概率是（）A． B． C． D．9．已知圓，圓，分別為圓上的點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為()A． B． C． D．10．已知，，則點(diǎn)在直線上的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)向量，定義一種向量積：.已知向量，點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在的圖象上運(yùn)動(dòng)，且滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_______.12．若數(shù)列滿足，則_____.13．設(shè)偶函數(shù)的部分圖像如圖所示，為等腰直角三角形，，則的值為_(kāi)_______．14．已知圓的圓心在直線，與y軸相切，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.15．已知等差數(shù)列滿足，則__________．16．已知，則_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，，M為線段AD上一點(diǎn)，，N為PC的中點(diǎn).（1）證明：平面PAB；（2）求直線AN與平面PMN所成角的余弦值.18．如圖為某區(qū)域部分交通線路圖，其中直線，直線l與、、都垂直，垂足分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C（高速線右側(cè)邊緣），直線與、與的距離分別為1米、2千米，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在直線和上，滿足，記.（1）若，求AM的長(zhǎng)度；（2）記的面積為，求的表達(dá)式，并問(wèn)為何值時(shí)，有最小值，并求出最小值；（3）求的取值范圍.19．某工廠新研發(fā)了一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品每件成本為5元，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行銷(xiāo)售，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)（元）88.28.48.68.89銷(xiāo)量（件）908483807568（1）求銷(xiāo)量（件）關(guān)于單價(jià)（元）的線性回歸方程；（2）若單價(jià)定為10元，估計(jì)銷(xiāo)量為多少件；（3）根據(jù)銷(xiāo)量關(guān)于單價(jià)的線性回歸方程，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)將價(jià)格定為多少？參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，20．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．2015年我國(guó)將加快階梯水價(jià)推行，原則是“?；尽⒔C(jī)制、促節(jié)約”，其中“?；尽笔侵副ＷC至少80%的居民用戶用水價(jià)格不變．為響應(yīng)國(guó)家政策，制定合理的階梯用水價(jià)格，某城市采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法分別從郊區(qū)和城區(qū)抽取5戶和20戶居民的年人均用水量進(jìn)行調(diào)研，抽取的數(shù)據(jù)的莖葉圖如下（單位：噸）：（1）在郊區(qū)的這5戶居民中隨機(jī)抽取2戶，求其年人均用水量都不超過(guò)30噸的概率；（2）設(shè)該城市郊區(qū)和城區(qū)的居民戶數(shù)比為，現(xiàn)將年人均用水量不超過(guò)30噸的用戶定義為第一階梯用戶，并保證這一梯次的居民用戶用水價(jià)格保持不變．試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，分析此方案是否符合國(guó)家“保基本”政策．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)圖象求出即可得到函數(shù)解析式.【詳解】顯然，因?yàn)椋?，所以，由得，所以，即，，因?yàn)?，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)圖象求函數(shù)解析式，利用周期求，代入最高點(diǎn)的坐標(biāo)求是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)程序框圖,分兩種情況討論,即可求得對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】當(dāng)輸出結(jié)果為時(shí).當(dāng),則,解得當(dāng),則,解得綜上可知,輸入的或故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,指數(shù)方程與對(duì)數(shù)方程的解法,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)正弦定理，將等式中的邊a,b消去，化為關(guān)于角A,B的等式，整理化簡(jiǎn)可得角A,B的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形．【詳解】由題得，整理得，因此有，可得或，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，有，為直角三角形，故選D．【點(diǎn)睛】這一類(lèi)題目給出的等式中既含有角又含有邊的關(guān)系，通常利用正弦定理將其都化為關(guān)于角或者都化為關(guān)于邊的等式，再根據(jù)題目要求求解．4、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得到原題轉(zhuǎn)化為直接求的最大和最小值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，故得到時(shí)，的最大值和最小值，與時(shí)的最大值和最小值是相同的，故直接求的最大和最小值即可；根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最小值為，，故最大值為，此時(shí)故答案為：B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。對(duì)于函數(shù)的奇偶性，主要是體現(xiàn)函數(shù)的對(duì)稱性，這樣可以根據(jù)對(duì)稱性得到函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)值的關(guān)系，使得問(wèn)題簡(jiǎn)化.5、C【解析】

試題分析：由于，根據(jù)正弦定理可知，故．又，則的范圍為.故本題正確答案為C.考點(diǎn)：三角形中正余弦定理的運(yùn)用.6、D【解析】

由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

本題首先可根據(jù)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列以及計(jì)算出的值，然后根據(jù)對(duì)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算以及等比中項(xiàng)的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，所以，，所以，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算以及等比中項(xiàng)的相關(guān)性質(zhì)，考查的公式為以及在等比數(shù)列中有，考查計(jì)算能力，是簡(jiǎn)單題．8、B【解析】

先求出甲、乙、丙三人隨機(jī)排成一排的基本事件的個(gè)數(shù)，再求出乙站在中間的基本事件的個(gè)數(shù)，再求概率即可.【詳解】解：三個(gè)人排成一排的所有情況有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6種，乙在中間有2種，所以乙在中間的概率為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型，屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】

求出圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)A，以及半徑，然后求解圓A與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求得的最小值，得到答案．【詳解】如圖所示，圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為,，半徑為3，由圖象可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑之和，即，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的對(duì)稱圓的方程的求解，以及兩個(gè)圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中合理利用兩個(gè)圓的位置關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合法，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

先求出點(diǎn))的個(gè)數(shù)，然后求出點(diǎn)在直線上的個(gè)數(shù)，最后根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，其中點(diǎn)三點(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)在直線上的概率為，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率的計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設(shè)，，由求出的關(guān)系，用表示，并把代入即得，后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得增區(qū)間．【詳解】設(shè)，，由得：，∴，，∵，∴，，即，令，得，∴增區(qū)間為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，正確理解新定義運(yùn)算是解題關(guān)鍵．考查三角函數(shù)的單調(diào)性．利用新定義建立新老圖象間點(diǎn)的聯(lián)系，求出新函數(shù)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求得增區(qū)間．12、【解析】

由遞推公式逐步求出.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】的部分圖象如圖所示，為等腰直角三角形，，，函數(shù)是偶函數(shù)，，函數(shù)的解析式為，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題主要通過(guò)已知三角函數(shù)的圖象求解析式考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.利用最值求出,利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點(diǎn)求出，正確求使解題的關(guān)鍵.求解析時(shí)求參數(shù)是確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵，往往利用特殊點(diǎn)求的值，由特殊點(diǎn)求時(shí)，一定要分清特殊點(diǎn)是“五點(diǎn)法”的第幾個(gè)點(diǎn).14、或【解析】

由圓心在直線x﹣3y＝0上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓與y軸相切，得到圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標(biāo)的絕對(duì)值等于圓的半徑，表示出半徑r，距離d，由圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓心和半徑寫(xiě)出圓的方程即可．【詳解】設(shè)圓心為（3t，t），半徑為r＝|3t|，則圓心到直線y＝x的距離d|t|，而（）2＝r2﹣d2，9t2﹣2t2＝7，t＝±1，∴圓心是（3，1）或（-3，-1）故答案為或．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點(diǎn)到直線的距離公式．根據(jù)題意設(shè)出圓心坐標(biāo)，找出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．15、【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】∵是等差數(shù)列，∴，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．等差數(shù)列的性質(zhì)如下：在等差數(shù)列中，，則．16、.【解析】

在分式中分子分母同時(shí)除以，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為正切來(lái)進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題意得，原式，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查弦的分式齊次式的計(jì)算，常利用弦化切的思想求解，一般而言，弦化切思想主要應(yīng)用于以下兩種題型：（1）弦的次分式齊次式：當(dāng)分式是關(guān)于角的次分式齊次式，在分子分母中同時(shí)除以，可以將分式化為切的分式來(lái)求解；（2）弦的二次整式：當(dāng)代數(shù)式是關(guān)于角弦的二次整式時(shí)，先除以，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角弦的二次分式齊次式，然后在分式分子分母中同時(shí)除以，可實(shí)現(xiàn)弦化切.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）如圖所示，為中點(diǎn)，連接，證明為平行四邊形得到答案.（2）分別以為軸建立直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】（1）如圖所示，為中點(diǎn)，連接.為中點(diǎn)，N為PC的中點(diǎn)，故，，，故，且，故為平行四邊形.故，平面，故平面PAB.（2）中點(diǎn)為，，故，故，底面ABCD，故，.分別以為軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，取得到，故，故直線AN與平面PMN所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行，線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.18、（1）；（2），當(dāng)時(shí)，；（3）.【解析】

（1），，，由即可得解；（2）用含有的式子表示出和，得出，根據(jù)的范圍得出的最小值；（3）用含有的式子表示出，利用三角恒等變換和正弦函數(shù)的值域得出答案.【詳解】（1）由題意可知:，即，，所以；（2），，，，，，，時(shí)，取得最大值1，；（3），由題意可知，令，.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，考查對(duì)基本知識(shí)的掌握，考查分析能力，屬于中檔題.19、（1）（2）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為10元時(shí)，銷(xiāo)量為50件（3）要使利潤(rùn)達(dá)到最大，應(yīng)將價(jià)格定位8.75元.【解析】

（1）由均值公式求得均值，，再根據(jù)給定公式計(jì)算回歸系數(shù)，得回歸方程；（2）在（1）的回歸方程中令，求得值即可；（3）由利潤(rùn)可化為的二次函數(shù)，由二次函數(shù)知識(shí)可得利潤(rùn)最大值及此時(shí)的值.【詳解】（1）由題意可得，，則，從而，故所求回歸直線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為10元時(shí)，銷(xiāo)量為50件.（3）由題意可得，，.故要使利潤(rùn)達(dá)到最大，應(yīng)將價(jià)格定位8.75元.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程，解題時(shí)只要根據(jù)已知公式計(jì)算，計(jì)算能力是正確解答本題的基礎(chǔ).20、（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解析】

(1)利用，時(shí)單獨(dú)討論.求解.

(2)對(duì)時(shí)單獨(dú)討論，當(dāng)時(shí)，對(duì)從到的和應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，即.所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.所以(2)設(shè)，則..當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)………………由﹣得所以所以綜上所述：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用求通項(xiàng)公式和應(yīng)用錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于難題.21、（1）（2）符合【解析】

：（1）先列舉出從5戶郊區(qū)居民用戶中隨機(jī)抽取2戶，其年人均用水量構(gòu)成的所有基本事件，再列舉其中年人均用水量都不超過(guò)30噸的基本事件，最后計(jì)算即可．（2）設(shè)該城市郊區(qū)的居民用戶數(shù)為，則其城區(qū)的居民用戶數(shù)為5a．依題意計(jì)算該城市年人均用水量不超過(guò)30噸的居民用戶的百分率．【詳解】解：（1）從5戶郊區(qū)居民用戶中隨機(jī)抽取2戶，其年人均用水量構(gòu)成的所有基本事件是：（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34