廣東省紫金縣2025屆高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測模擬試題含解析

廣東省紫金縣2025屆高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)均為正數(shù)，且，，．則（）A． B． C． D．2．已知不等式的解集是，則()A． B．1 C． D．33．直線的傾斜角的大小為（）A． B． C． D．4．中，則A． B． C． D．5．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．6．關(guān)于的不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是()A． B． C． D．7．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，，，則b=A． B． C．2 D．38．在△中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，是中點(diǎn)，與交點(diǎn)為，又，則的值為（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系，則（）A． B． C． D．10．某單位共有老年人180人,中年人540人,青年人a人,為調(diào)查身體健康狀況,需要從中抽取一個(gè)容量為m的樣本，用分層抽樣方法抽取進(jìn)行調(diào)查，樣本中的中年人為6人,則a和m的值不可以是下列四個(gè)選項(xiàng)中的哪組（）A．a(chǎn)=810,m=17 B．a(chǎn)=450,m=14C．a(chǎn)=720,m=16 D．a(chǎn)=360,m=12二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．方程的解集為____________.12．函數(shù)的最大值為，最小值為，則的最小正周期為______．13．把一枚質(zhì)地均勻的硬幣先后拋擲兩次，兩次都是正面向上的概率為________.14．對于下列數(shù)排成的數(shù)陣：它的第10行所有數(shù)的和為________15．計(jì)算：______．16．若角是第四象限角，則角的終邊在_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．18．某中學(xué)高二年級的甲、乙兩個(gè)班中，需根據(jù)某次數(shù)學(xué)預(yù)賽成績選出某班的5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽決賽，已知這次預(yù)賽他們?nèi)〉玫某煽兊那o葉圖如圖所示，其中甲班5名學(xué)生成績的平均分是83，乙班5名學(xué)生成績的中位數(shù)是1．（1）求出x，y的值，且分別求甲、乙兩個(gè)班中5名學(xué)生成績的方差、，并根據(jù)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該選派哪一個(gè)班的學(xué)生參加決賽？（2）從成績在85分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名．求至少有1名來自甲班的概率．19．已知方程有兩根、，且，.（1）當(dāng)，時(shí)，求的值；（2）當(dāng)，時(shí)，用表示.20．（1）求證：（2）請利用（1）的結(jié)論證明：（3）請你把（2）的結(jié)論推到更一般的情形，使之成為推廣后的特例，并加以證明：（4）化簡：.21．在中，角的對邊分別為,的面積是30,.（1）求；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】試題分析：在同一坐標(biāo)系中分別畫出，，的圖象，與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從圖象可以看出．考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用．【方法點(diǎn)睛】一般一個(gè)方程中含有兩個(gè)以上的函數(shù)類型，就要考慮用數(shù)形結(jié)合求解，在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解．2、A【解析】

的兩個(gè)解為-1和2.【詳解】【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)、一元二次等式的解、函數(shù)與x軸的交點(diǎn)之間的相互轉(zhuǎn)換。3、B【解析】

由直線方程,可知直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，故選．4、B【解析】試題分析：由余弦定理，故選擇B考點(diǎn)：余弦定理5、D【解析】

結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算，得到，即可求解.【詳解】由題意，在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及對數(shù)的運(yùn)算求值，其中解答中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)，合理應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

特值,利用排除法求解即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，滿足題意，所以可排除選項(xiàng)B、C、A，故選D【點(diǎn)睛】不等式恒成立問題有兩個(gè)思路：求最值，說明恒成立參變分離，再求最值。7、D【解析】

由余弦定理得，解得（舍去），故選D.【考點(diǎn)】余弦定理【名師點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題,考查內(nèi)容單一,根據(jù)余弦定理整理出關(guān)于b的一元二次方程,再通過解方程求b.運(yùn)算失誤是基礎(chǔ)題失分的主要原因,請考生切記！8、D【解析】試題分析：因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以可設(shè)，又，所以，，將它們代入，即有，由于不共線，從而有，解得，故選擇D.考點(diǎn)：向量的基本運(yùn)算及向量共線基本定理.9、B【解析】

兩邊取倒數(shù)，可得新的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得結(jié)果.【詳解】由，所以則，又，所以所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公比的等差數(shù)列所以，則所以故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推公式得到等差數(shù)列，難點(diǎn)在于取倒數(shù)，學(xué)會觀察，屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)分層抽樣的規(guī)律，計(jì)算a和m的關(guān)系為：8+a【詳解】某單位共有老年人180人,中年人540人,青年人a人,樣本中的中年人為6人，則老年人為：180×6540=22+6+代入選項(xiàng)計(jì)算，B不符合故答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或【解析】

首先將原方程利用輔助角公式化簡為，再求出的值即可.【詳解】由題知：，，.所以或，.解得：或.所以解集為：或.故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖像及特殊角的三角函數(shù)值，同時(shí)考查了輔助角公式，屬于中檔題.12、【解析】

先換元，令，所以，利用一次函數(shù)的單調(diào)性，列出等式，求出，然后利用正切型函數(shù)的周期公式求出即可．【詳解】令，所以，由于，所以在上單調(diào)遞減，即有，解得，，故最小正周期為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，正切型函數(shù)周期公式的應(yīng)用，以及換元法的應(yīng)用．13、【解析】

把一枚質(zhì)地均勻的硬幣先后拋擲兩次，利用列舉法求出基本事件有4個(gè)，由此能求出兩次都是正面向上的概率．【詳解】把一枚質(zhì)地均勻的硬幣先后拋擲兩次，基本事件有4個(gè)，分別為：正正，正反，反正，反反，兩次都是正面向上的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算，求解時(shí)注意列舉法的應(yīng)用，即列舉出所有等可能結(jié)果.14、【解析】

由題意得第10行的第一個(gè)數(shù)的絕對值為，第10行的最后一個(gè)數(shù)的絕對值為，再根據(jù)奇數(shù)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)為正數(shù)，得到第10行的各個(gè)數(shù)，由此能求出第10行所有數(shù)的和．【詳解】第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)，則第9行9個(gè)數(shù)，故第10行的第一個(gè)數(shù)的絕對值為，第10行的最后一個(gè)數(shù)的絕對值為，且奇數(shù)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)為正數(shù)，故第10行所有數(shù)的和為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題以數(shù)陣為背景，觀察數(shù)列中項(xiàng)的特點(diǎn)，求數(shù)列通項(xiàng)和前項(xiàng)和，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)要注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．15、【解析】

在分式的分子和分母中同時(shí)除以，然后利用常見的數(shù)列極限可計(jì)算出所求極限值.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列極限的計(jì)算，熟悉一些常見數(shù)列極限是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、第二或第四象限【解析】

根據(jù)角是第四象限角，寫出角的范圍，即可求出角的終邊所在位置．【詳解】因?yàn)榻鞘堑谒南笙藿牵?，即有，?dāng)為偶數(shù)時(shí)，角的終邊在第四象限；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，角的終邊在第二象限，故角的終邊在第二或第四象限．【點(diǎn)睛】本題主要考查象限角的集合的應(yīng)用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于來計(jì)算的定義域，最后求解的值域.【詳解】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)椋?，消去得．，因?yàn)楣驶蛘?，而根?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)?，代入得，所?(2)因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是【點(diǎn)睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，和正弦定理或者余弦定理的使用（此題也可以用余弦定理求解），最后考查是銳角三角形這個(gè)條件的利用．考查的很全面，是一道很好的考題.18、（3）甲班參加；（4）．【解析】

試題分析：（3）由題意知求出x=5，y=4．從而求出乙班學(xué)生的平均數(shù)為83，分別求出S34和S44，根據(jù)甲、乙兩班的平均數(shù)相等，甲班的方差小，得到應(yīng)該選派甲班的學(xué)生參加決賽．（4）成績在85分及以上的學(xué)生一共有5名，其中甲班有4名，乙班有3名，由此能求出隨機(jī)抽取4名，至少有3名來自甲班的概率．試題解析：（3）甲班的平均分為，易知．；又乙班的平均分為，∴；∵，，說明甲班同學(xué)成績更加穩(wěn)定，故應(yīng)選甲班參加．（4）分及以上甲班有人，設(shè)為；乙班有人，設(shè)為，從這人中抽取人的選法有：，共種，其中甲班至少有名學(xué)生的選法有種，則甲班至少有名學(xué)生被抽到的概率為．考點(diǎn)：3．古典概型及其概率計(jì)算公式；4．莖葉圖．19、（1）；（2）.【解析】

（1）由反三角函數(shù)的定義得出，，再由韋達(dá)定理結(jié)合兩角和的正切公式求出的值，并求出的取值范圍，即可得出的值；（2）由韋達(dá)定理得出，，再利用兩角和的正切公式得出的表達(dá)式，利用二倍角公式將等式兩邊化為正切，即可用表示.【詳解】（1）由反三角函數(shù)的定義得出，，當(dāng)，時(shí)，由韋達(dá)定理可得，，易知，，，，則.由兩角和的正切公式可得，；（2）由韋達(dá)定理得，，所以，，，，又由得，則，則、至少一個(gè)是正數(shù)，不妨設(shè)，則，又，，易知，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查反正切的定義，考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，同時(shí)涉及了二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及二倍角公式化簡，在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解題時(shí)，需要對角的范圍進(jìn)行討論，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.20、（1）證明見解析，（2）證明見解析，（3），證明見解析（4）【解析】

（1）右邊余切化正切后，利用二倍角的正切公式變形可證；（2）將（1）的結(jié)果變形為，然后將所證等式的右邊的正切化為余切即可得證；（3）根據(jù)（1）（2）的規(guī)律可得結(jié)果；（4）由（3）的結(jié)果可得.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以?）因?yàn)椋?，所以?）一般地：，證明：因?yàn)樗?，以此類推得?）.【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理，考查了同角公式，考查了二倍角的正切公式，屬于中檔題.21、（1）