2024屆新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：數(shù)列大題綜合(學(xué)生版)

數(shù)列大題綜合

o(沖刺秘籍1o-

1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式：a”=電+(71—l)d(rzCN+)或廝=07n+(n—m)d(nGN+)

m

2.等比數(shù)列通項(xiàng)公式：久曠1或冊(cè)=%(T.(neN*)

Sim=i)

S=f(aJ的類型，公式時(shí)=

nSn—Sn-r(n>2)

4.數(shù)列求和的常用方法:

(1)對(duì)于等差、等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；

等差數(shù)列求和Sn=粵警1=小+減丁)5，等比數(shù)列求和Sn=3)1土1

22I1一，#1

(2)對(duì)于｛anbn]結(jié)構(gòu)，其中｛冊(cè)｝是等差數(shù)列，出J是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；

⑶對(duì)于｛冊(cè)±0｝結(jié)構(gòu),利用分組求和法；

(4)對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中｛冊(cè)｝是等差數(shù)列，公差為d,則——二)，利用裂項(xiàng)相消

法求和.

或通項(xiàng)公式為,、公、―-形式的數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.

/(n)?L/(n)+d\

gn______m_______m/11\

/(n)-[/(n)+d]d\/(n)/(n)+d)

5.常見的裂項(xiàng)技巧:

⑴1—=9—-L_

n(n+fc)fcvnn+k

(2)1

Vn+k+Vn

----------------------------------------------M

(2n—l)(2n+1)22n—12n+l'

2n_(2n+1-l)-(2-1)_i1

(2n-l)(2n+1-l)(2n-l)(2n+1-l)-2n-l

(5)指數(shù)型(Q-1)屋=靖+i—葭；

Q*7l+1

(6)對(duì)數(shù)型logalogaa?+1-logoa?.

?M

n(n+l)(n+2)2Ln(n+1)(n+l)(n+2).

n__1]

(n+1)!3(n+1)!

2n1

(9)

(2n+1-l)(2n-l)2n-l

--------------------------------------o［沖剌訓(xùn)練o

一、解答題

題目|T（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知S”是數(shù)列｛aj的前71項(xiàng)和，2Sn="M，￡12=3.

（1）求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

（2）若b=|16-禍,求數(shù)列｛bj的前幾項(xiàng)和黑.

區(qū)（2023?黑龍江牡丹江?牡丹江一中?？既＃┮阎獢?shù)列｛冊(cè)｝是正項(xiàng)等比數(shù)歹U，且a「a產(chǎn)7,a2a3

=8.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若bn=（2n—l）a”,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn.

蔻目叵（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝是首項(xiàng)為1,公差為d的等差數(shù)列，且的，—1，&3-1

是等比數(shù)列｛0｝的前三項(xiàng).

⑴求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)c“=log?皿，求數(shù)列｛c0｝的前n項(xiàng)和

an+l

題目［T（2023?福建寧德??？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛an｝,｛bj,a.=l,an+1=-an+4x3"一1勾=log3%+產(chǎn)

（nGN*）.

⑴求證:數(shù)列｛an｝是等比數(shù)歹!J,并求數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和S九;

⑵求數(shù)列］（2+得＞馬的前n項(xiàng)和Tn.

Wf叵（2023?江蘇徐州?校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S”,且等=an+l,a2=2.

（1）求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

（2）集合4=｛出42,…,aj,將集合A的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為北,求北.

題目回（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛a“｝滿足a產(chǎn)2,,以下三個(gè)條件中任選一個(gè)填

在橫線上并完成問題.

①7i（2a”+i—a”）=an,②2an+1—an=22f③q■+a2+2a：i+—F2"-%"=。

⑴求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)積為北,求黑的最大值.

題目叮(2023?福建三明?統(tǒng)考三模)已知數(shù)列｛%｝滿足s=2,2an+1+anan+1-2an=0(neN*).

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

n8

⑵設(shè)b0=(~l)z2x,｛bn｝的前幾項(xiàng)和為Sn，證明：—1VS2“W一去

(4n-l)an3

題目叵(2023?廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))記S”為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，已知Sn,2n的等差中項(xiàng)為an.

⑴求證｛冊(cè)+2｝為等比數(shù)列；

(2)數(shù)列的前幾項(xiàng)和為北,是否存在整數(shù)k滿足方e(fc,fc+l)?若存在求廉否則說明理由.

IQ九+3J

:題目叵（2023?廣東佛山??？寄M預(yù)測(cè)）如果數(shù)列｛冊(cè)｝對(duì)任意的neN*,a“+2—a“+i>a“+i—%,則稱

｛aj為“速增數(shù)列”.

（1）請(qǐng)寫出一個(gè)速增數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式，并證明你寫出的數(shù)列符合要求；

（2）若數(shù)列｛冊(cè)｝為“速增數(shù)列”,且任意項(xiàng)an&Z,ai=l,a2=3,ak=2023,求正整數(shù)k的最大值.

題目回〕（2023?山西運(yùn)城?山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃┮阎獢?shù)列｛冊(cè)｝滿足3+黑+號(hào)+號(hào)+…+?

幺222

_2Tl+3

―2^*

（1）求數(shù)列｛a?｝的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列（—--1的前n項(xiàng)和為S”,證明：Sn<

IQ/Q?i+iJ2

題目?（2023?江蘇南京?南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛冊(cè)｝,滿足成+i

—an+1an—2a^=0（nEN*）,2a3=64.

（1）求數(shù)列｛Q/的通項(xiàng)公式；

（2）記黑=（1+工）（1+/+卷■，…（1+，試比較黑與9的大小，并加以證明.

\Q1八。2八。3,\anf

意目叵（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在①2sh=3%—3；②Q尸3,log3an+1=log3an+l這兩個(gè)條件中

任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并解答問題.

設(shè)數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S”,滿足，勾=迎二2,nCN*.

M+I

（1）求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

（2）若存在正整數(shù)n0,使得0對(duì)VneN*恒成立，求為的值.

；題目叵（2023?福建福州?福州四中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊渾所著的《詳解九

章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)

球▲.設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛a?｝.

（1）寫出“與?、薌N*）的遞推關(guān)系，并求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為S”,且Sn=4^-4，在幻與圖+1之間插入幾個(gè)數(shù)，若這八+2個(gè)數(shù)恰能

組成一個(gè)公差為總的等差數(shù)列，求數(shù)列｛%?4,｝的前71項(xiàng)和Tn.

【題目叵（2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前幾項(xiàng)和為S”,且

滿足成+2冊(cè)=4*Sn+3.

（1）求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式.

（2）設(shè)數(shù)列｛0｝滿足條件①以二（_2）"（6.+5）；②/=（—2）%”,請(qǐng)從條件①②中選一個(gè)，求出數(shù)列

｛4｝的前幾項(xiàng)和北.

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

題目叵（2023?福建泉州?泉州七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)的積記為北,且滿足親=

斯T

Q?2

（1）證明：數(shù)列｛ZJ為等差數(shù)列;

1北,九為奇數(shù)，

（2）若bn=?占,n為偶數(shù)，求數(shù)列出｝的前2n項(xiàng)和A

題目叵〕（2023?海南海口??？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛%｝,其前幾項(xiàng)和S"滿足5"=4+小,小為常

數(shù).

⑴求772及｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列勾=譚，，求仍"｝前八項(xiàng)和的以

^n^n+1

:題目叵（2023?云南昭通?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛為｝的首項(xiàng)a1=1,其前幾項(xiàng)和為

Sn,從①an=2屈;—1；②$2=4耳，S”+i+S時(shí)產(chǎn)2（S.+1）（九>2）；③“=屈:+屈匚⑺>2）中任選

一個(gè)條件作為已知，并解答下列問題.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)b=-0門,設(shè)數(shù)歹U也“｝的前n項(xiàng)和黑，求證：,<Tn<1.

^n+14

（注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分）.

趣目叵］（2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛冊(cè)｝是等比數(shù)列，滿足冊(cè)+>an（neN*）Q=4,且1+

。2是電與。3的等差中項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛飆｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn=logzQmS九為數(shù)列｛6n｝的前n項(xiàng)和，記Tn=H---b1-,求Tn的取值范圍.

??

版目亞］(2023?廣東梅州?統(tǒng)考三模)已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足的=2,a2=4,an+2=an+1+2an.

(1)證明：數(shù)列｛冊(cè)｝為等比數(shù)列.

(2)數(shù)列｛b?｝滿足---卜詈=%+「2,求數(shù)列｛bn\的前n項(xiàng)和Sn.

b2bn

鸚目叵(2023?福建福州?福州四中?？寄M預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)/⑺=^+cosx.

(1)求/(①)的最小值；

(2)當(dāng)0V/V1時(shí)，若不等式包些>Yk恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

xx+2

nCOS--7?=~~______

⑶若九eN*,證明：Z—r>V^+1-1

題目”0（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考二模）已知數(shù)列｛冊(cè)｝中，冊(cè)>0,〃=3,記數(shù)列｛冊(cè)｝的前八項(xiàng)的乘積為

Sn，且Sn=J成.

（1）求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

n

（2）設(shè)bn=馬宗，數(shù)列出｝的前項(xiàng)和為耳，求證：AC⑺—l.n）.

%,十工

題目叵（2023?海南??？谑协偵饺A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)上獸=Inx-Q（X-1）.

XIJLXI-L

（1）若函數(shù)/（⑼在［1,+8）上只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

⑵若冊(cè)=卜］n=l

,記數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S”,證明：2S?<ln（n2+3n+2）.

ln+1,72>2

題目叵（2023?山東荷澤?統(tǒng)考二模）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列｛冊(cè)｝滿足%?%+]=16","eN”.

⑴求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)仇=1,bn+i=偶數(shù)'求數(shù)列也｝的前⑦項(xiàng)和SM

題目（2023?山東泰安?統(tǒng)考二模）已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前ri項(xiàng)和為Sn，的=2,0,anan+1=4Sn.

⑴求源；

（2）設(shè)b=（-1）71-（3n-l）,數(shù)列｛bj的前71項(xiàng)和為若VA;CN*,都有%T＜久V為慶成立,求實(shí)數(shù)A

的范圍.

?M

題目叵(2023?遼寧沈陽?東北育才學(xué)校?？家荒?如圖，已知曲線G：y=>0)及曲線C2-.y=

](l>0).從a上的點(diǎn)2(neN*)作直線平行于7軸,交曲線。2于點(diǎn)Q”，再?gòu)狞c(diǎn)Qn作直線平行于

“軸，交曲線。I于點(diǎn)Pn+1,點(diǎn)Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列｛an｝(0<0，1<y).

_rA二:.

O0的Uaa?X

(1)試求a?+i與冊(cè)之間的關(guān)系，并證明：a2rlT<-y<a2?(n€N*)；

⑵若Qi=1■，求冊(cè)的通項(xiàng)公式.

o

題月回〕(2023?山東?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足a尸l,an+1=-^-(nGN*).

a九十i

(1)求數(shù)列｛a?｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)%=1+湍+湍+1,b>0,數(shù)列出｝的前幾項(xiàng)和為S”,證明：WS“<n+1.

題耳叵(2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知正項(xiàng)數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和S”滿足關(guān)系式6sl?6s2?

QI+3。2+3

…+^lV=SeeN*.

Q九十3

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

Sn

⑵設(shè)￡=(―1)%—(―1)%2+—卜(―l)an,nEN*，證明|篇V4n,n3.

廉目回(2023?海南?海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))數(shù)列｛冊(cè)｝中，a尸』,對(duì)任意正整數(shù)n都有(3n+9)

y

,(n+l)2a?+i=(n+2)3a?.

(1)求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)｛aJ的前九項(xiàng)和為Sn,證明：

①a“(("3")?(n+1)；

②S“＜；-2-+5.

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