浙江省2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

浙江省高中學(xué)2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)

崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不正確的是（）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.

A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上

B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%

C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80前多

D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（z-，）（—，）=5,則z=（）

A.6iB.-6iC.-6D.6

22

3.已知橢圓彳+￡=l（a〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、工，過點(diǎn)耳的直線與橢圓交于P、。兩點(diǎn).若的

內(nèi)切圓與線段尸工在其中點(diǎn)處相切，與相切于點(diǎn)尸一則橢圓的離心率為（）

A.正B.3C.也D.班

2233

4.若集合A={xeN|x=面},a=20則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.a^AC.{tz}eAD.a^A

5.已知/（x）為定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，/（x）=2x+x+m（加為實(shí)數(shù)），則關(guān)于x的不等式

—2＜/（x—1）＜2的解集是（）

A.(0,2)B.(-2,2)C.(-1,1)D.(1,3)

6.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+z）=l-，（，為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

A.-zB.iC.1D.-1

7.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面1000米處

開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜便

領(lǐng)先他100米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，烏龜先他10米，當(dāng)阿基里斯跑完下-個(gè)10米時(shí)，烏龜先他1米….所以,

阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為0.1米時(shí)，烏龜爬行的總距離為（）

空」米105-9

A.B.米

90090

厘米104-1

米

90090

8.已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次結(jié)束為止.某考

生一次發(fā)球成功的概率為〃（0＜夕＜1）,發(fā)球次數(shù)為X,若X的數(shù)學(xué)期望石（X）＞1.75,則P的取值范圍為（）

9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（）

+工

-L

t(￡>itn

A32g；

A?--------+6〃B.8G+6〃

3

?327316萬

--1----“&同等

33

10.將一塊邊長為acm的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工

成一個(gè)正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為72&cm3,

則。的值為()

(1)(2)

A.6B.8C.10D.12

11.已知函數(shù)/(司=3，g(x)=ln|+l,若/(〃z)=g(〃)成立，貝!相的最小值為()

12.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”，禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是

體育和勞動(dòng)；“書”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排

六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰，貝嚴(yán)六藝”課程講座不同的排

課順序共有()種.

A.408B.120C.156D.240

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知/(x)=x|x|,則滿足/(2x—l)+/(x)20的x的取值范圍為.

14.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。-5,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則

該圓柱的表面積為.

15.如圖，某地一天從614時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ox+0)+b,則這段曲線的函數(shù)解析式為

16.如圖，A5是圓。的直徑，弦加,C4的延長線相交于點(diǎn)尸垂直氏4的延長線于點(diǎn)求證:

AB2=BE-BD-AE-AC

F

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在及AABC中，ABC^90，tan/ACB=」.已知E,F分別是BC,AC的中點(diǎn).將ACEF沿跖折

2

起，使C到C'的位置且二面角C—所―5的大小是60。，連接C'BCA,如圖：

(1)證明：平面平面ABC'

(2)求平面AFC與平面BEC所成二面角的大小.

18.(12分)已知AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,滿足逝sinA+cosA=0.有三個(gè)條件：①a=l;

②6=行；③?其中三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出正確的條件完成下面兩個(gè)問題：

ZX/1DC4

(1)求C;

(2)設(shè)。為邊上一點(diǎn)，且AOJ.AC,求的面積.

19.(12分)中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四

個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉膀”.在如圖所示的陽馬尸-ABCD中,底面ABCD是矩形.PA，平面ABCD,

PA=AD=2,AB=y[1＞以AC的中點(diǎn)。為球心，AC為直徑的球面交如于M(異于點(diǎn)。)，交PC于N(異于

點(diǎn)O.

(1)證明：AM,平面PCD,并判斷四面體MCZM是否是鱉牖，若是，寫出它每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若

不是，請(qǐng)說明理由；

(2)求直線ON與平面AQ0所成角的正弦值.

20.（12分）如圖，在三棱柱ABC-AiBiG中，4A_L平面ABC,NAC5=90。，AC=C5=QC=1,M,N分別是AB,

AC的中點(diǎn).

(1)求證：直線MN_L平面ACBi；

(2)求點(diǎn)G到平面BiMC的距離.

21.(12分)如圖，在四棱錐尸—A5CD中，側(cè)棱K4,底面ABC。，AD//BC,AD=1,PA=AB=BC=2,M

是棱尸5的中點(diǎn).

(1)求證：AM〃平面PCD；

(2)若—ABC=90,點(diǎn)N是線段CD上一點(diǎn)，且。N=，Z)C,求直線MN與平面PC。所成角的正弦值.

3

k

22.(10分)對(duì)于給定的正整數(shù)總?cè)舾黜?xiàng)均不為0的數(shù)列｛4｝滿足：an_k-an_k+xan_x-an+xall+k_x-an+k=(a^

任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列｛%｝是“Q(k)數(shù)列”.

(1)證明：等比數(shù)列｛4｝是“Q(3)數(shù)列”；

(2)若數(shù)列｛?｝既是“。(2)數(shù)列”又是“Q(3)數(shù)列”，證明：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

根據(jù)兩個(gè)圖形的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察比較，即可判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】

在A中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%,所以是正確的；

在B中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到：

56%x39.6%=22.176%>20%,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%,所以是正確的；

在C中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分別條形圖得到：

13.7%x39.6%=9.52%>3%,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80后多，所以是正確的；

在D中，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后所占比例為56%x39.6%=22.176%<41%,所以不能判斷互聯(lián)網(wǎng)

行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了命題的真假判定，以及統(tǒng)計(jì)圖表中餅狀圖和條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算.

【詳解】

因?yàn)?z—i)(T)=5,所以z=』+i=6，

-I

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.屬于簡單題.

3、D

【解析】

可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為/,設(shè)歸胤=加，歸閭=〃，可得和+〃=2。，由切線的性質(zhì):切線長相等推得機(jī)=g〃，

解得根、并設(shè)|。耳|=乙求得/的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結(jié)合離心率公式可得所

求值.

【詳解】

可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為乙M為切煎,且為中點(diǎn)，尸叩二歸閭=慳可，

設(shè)盧與卜加，|/7寸=〃，則加=；〃，且有根+〃=2〃，解得機(jī)=g,〃=:，

r\

設(shè)|Q用=心|。閭=2aT,設(shè)圓/切。工于點(diǎn)N,^\NF2\=\MF2\=y,\QN\^\QF\=t,

由2a—"[Q閭=|QN|+|Ng|=f+?,解得r=券，.?.歸。=根+/=￥，

|^|=|2^|=y＞所以△尸巴。為等邊三角形,

所以，2c力.%,解得￡=立.

23a3

因此，該橢圓的離心率為且.

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運(yùn)用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，考查化簡運(yùn)算能力，屬

于中檔題.

4、D

【解析】

由題意A={xeN|x=，2020}=0,分析即得解

【詳解】

由題意A={xeN|x=J2020}=0,故aeA,Ac{a}

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關(guān)系，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值，然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.

【詳解】

據(jù)題意，得〃0)=1+加=0,得加=—1,所以當(dāng)行0時(shí)，/(x)=2，+x—1.分析知，函數(shù)/(%)在R上為增函數(shù).

又/(1)=2,所以=—2.又—2</(x—1)<2,所以—l<x—1<1,所以0<x<2,故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

6,D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=l-"利用復(fù)數(shù)的除法求得z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.

【詳解】

因?yàn)閺?fù)數(shù)Z滿足z(l+z)=l—"

(5

所以

1+Z(1+V)

所以Z的虛部為-1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

1(1丫一1

根據(jù)題意，是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)芻=100,g=—=0.1,由a=0.1=100x—，解得〃=4,

110nn110)

再求和.

【詳解】

根據(jù)題意，這是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)氣=100,7==0.1,

/]y-1

所以紇=0.1=100X—,

解得〃=4,

（（1

/\1001--

所以s=%（1一。4）=IioJ=io：—1.

4-1-71190

1——---

10

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于中檔題.

8、A

【解析】

根據(jù)題意，分別求出P（X=1）,P（X=2）,P（X=3）,再根據(jù)離散型隨機(jī)變量期望公式進(jìn)行求解即可

【詳解】

由題可知P（X=1）=〃，P（X=2）=（l-p）p,p（X=3）=（1-p）2p+（1-/?）3=（1-p）2,則

E（X）=P（X=1）+2P（X=2）+3P（X=3）=p+2（l-p）p+3（l-p）2>1.75

解得P>g或P<g，由〃w（O,l）可得

答案選A

【點(diǎn)睛】

本題考查離散型隨機(jī)變量期望的求解，易錯(cuò)點(diǎn)為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功

9、B

【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個(gè)圓柱和一個(gè)四棱錐組成的組合體，分別求解兩個(gè)部分的體積，加和得到結(jié)果.

【詳解】

由三視圖還原可知，原幾何體下半部分為半個(gè)圓柱，上半部分為一個(gè)四棱錐

半個(gè)圓柱體積為：K=-7rr2h=-7rx2rx3=67i

22

四棱錐體積為：V；=1s/z=|x4x3x2V3=8A/3

原幾何體體積為：V=h+%=8石+6萬

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題，關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體，從而分別求解各部分的體積.

10、D

【解析】

推導(dǎo)出PM+PN=a,且PM=PN,MN^-a,PM=-,設(shè)MN中點(diǎn)為。，則POL平面ABC。，由此能表

22

示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值.

【詳解】

解：如圖(4),APMN為該四棱錐的正視圖，由圖(3)可知，PM+PN=a,且PM=PN=%,由APMN為等

2

腰直角三角形可知，

MN^—a，設(shè)腦V中點(diǎn)為。，則尸0,平面ABC。，J.PO=LMN=Y2a，

224

，Vp-ABCD=§義j萬-a]xa=a3=72^2,解得a=12。

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖和錐體的體積計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

11、A

【解析】

令/(m)=8(〃)=人進(jìn)而求得〃-m=2——211n-2,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題即可求解.

【詳解】

V/(m)=g(w)=f/.e2=ln|-+l=?(r>0),An-m=2e'^-2\nt-2,

令：/z0)=2ei—21nf—2,//(r)=2^'-p在(0,+”)上增，

且〃(1)=0,所以力⑺在(0,1)上減，在(L+8)上增，

所以〃=入(所以“一加的最小值為.故選：

00rain1)=2—2=0,0A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，恰當(dāng)?shù)挠靡粋€(gè)未知數(shù)來表示"和加是本題的

關(guān)鍵，屬于中檔題.

12、A

【解析】

利用間接法求解，首先對(duì)6門課程全排列，減去“樂”排在第一節(jié)的情況，再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況，最

后還需加上“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況；

【詳解】

解：根據(jù)題意，首先不做任何考慮直接全排列則有其=720(種)，

當(dāng)“樂”排在第一節(jié)有g(shù)=120(種)，

當(dāng)“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)有用6=240(種)，

當(dāng)“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)有用禺=48(種)，

則滿足“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有720-120-240+48=408(種)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意“樂”的排列對(duì)“射”和“御”兩門課程相鄰的影響，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1、

13、［］,+℃)

【解析】

將/(x)寫成分段函數(shù)形式，分析得/(%)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.

【詳解】

,一fx2,x>0

根據(jù)題懸，/(x)=x|x|=S2c，

—x，冗<0

則/(“)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，

貝!)f(2x-1)+f(x)>0=^f(2x-1)>-f(x)闿(2x-1)>f(-x)=>2x-1>-x,

解可得於,，即x的取值范圍為［g,+oo);

33

故答案為：［3,+co).

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用，注意分析/(X)的奇偶性與單調(diào)性.

14、1271

【解析】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長為X,可求得x=20，代入圓柱的表面積公式，即得解

【詳解】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長為X,

貝岫爐=8,得x=20，

S圓柱表=2s底+S側(cè)=2x?x(V2)2+2?x^2x2A/2=12%.

故答案為：12萬

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓柱的軸截面和表面積，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

15、y=10sin[]x+子]+20,%e[6,14]

【解析】

根據(jù)圖象得出該函數(shù)的最大值和最小值,可得A=Waxfn的=ymax+Xnin，結(jié)合圖象求得該函數(shù)的最小正周期丁,

22

2萬

可得出0=于，再將點(diǎn)(10,20)代入函數(shù)解析式，求出9的值，即可求得該函數(shù)的解析式.

【詳解】

由圖象可知，。，b=丫儂*；%:

Vmax=3ymin=10,,-.A=^-Vmin=w>=20,

2?71

從題圖中可以看出，從614時(shí)是函數(shù)y=Asin(ox+0)+》的半個(gè)周期，則T=2x(14—6)=16,I.CD------——?

T8

又一xlO+0=2?+2左萬，k^Z,得0=----b2kji(keZ),取0=——,

844

所以y=10sinjgx+彳

+20,xe[6,14].

(jr37r

故答案為：Win鏟+7+20,xe[6,14].

【點(diǎn)睛】

本題考查由圖象求函數(shù)解析式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

16、證明見解析.

【解析】

ARAC

試題分析：A,￡>,E]四點(diǎn)共圓，所以BDBE=BABF,又△ABCs△的7,所以一=一，即

AEAF

ABAF=AEAC,得證.

試題解析：

A.連接AD,因?yàn)锳B為圓的直徑，所以

又EFLAB,則A,D,E/四點(diǎn)共圓，

所以瓦＞?§石=845戶.

又4ABC^AAEF,

ARAC

所以——=——,即AB?AF=AE?AC,

AEAF

：.BE-BD-AE-ACBA-BF-AB-AF=AB(BF-AF)=AB2.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析(2)45°

【解析】

(1)設(shè)AC'的中點(diǎn)為G,連接尸G,設(shè)6C的中點(diǎn)為X,連接GH,EH,從而NBEC'即為二面角C—跖―3的

平面角，ZBEC=60，推導(dǎo)出從而EF，平面BEC',則AB,石H,即EH_LAB,進(jìn)而EHL平

面ABC',推導(dǎo)四邊形E7/G/為平行四邊形，從而FG〃￡H,EG_L平面A5C',由此即可得證.

(2)以3為原點(diǎn)，在平面BEC'中過5作5E的垂線為x軸，BE為y軸，R4為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量

法求出平面AFC與平面BEC所成二面角的大小.

【詳解】

(1)I?1是AC的中點(diǎn)，.,.AF=C『.

設(shè)AC的中點(diǎn)為G,連接/G.

設(shè)BC'的中點(diǎn)為H,連接GH,EH.

易證：C'E±EF,BE工EF,

.??NBEC'即為二面角C'—所―5的平面角.

AZBEC=60，而E為的中點(diǎn).

易知BE=EC',；.ABEC'為等邊三角形，；.EHLBC'.①

VEF±C'E,EFLBE,C'EBE=E,六EF，平面3EC'.

而所〃二平面3EC',即EH_LAB.②

由①②，BCAB=3,EH_L平面ABC.

,:G,H分別為AC,5c的中點(diǎn).

二四邊形EHGF為平行四邊形.

J.FG//EH,EG，平面ABC',又FGu平面AFC'.

平面AFCL平面ABC.

(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2.

則4(0,0,2),B(0,0,0),F(2,0,1),E(2,0,0),C(l,曲)

顯然平面BEC的法向量加=(0,0,1),

設(shè)平面AFC的法向量為n=(%,y,z),星=(1,6-2),AF=(2,0,-1),

2x-z=0/、

「,An=ILA/3,2).

x+V3y-2z=0、)

m?n_y/2

cosm,n=

m臉\卜-詞2'

由圖形觀察可知，平面AFC與平面BEC所成的二面角的平面角為銳角.

二平面AFC與平面所成的二面角大小為45°.

本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小，難度一般，通?？刹捎脦缀畏椒ê拖蛄糠椒▋煞N進(jìn)行

求解.

18、(1)1；(2)昱

12

【解析】

57r

(1)先求出角人二二，進(jìn)而可得出則①②中有且只有一個(gè)正確，③正確，然后分①③正確和②③正確兩種情

6

況討論，結(jié)合三角形的面積公式和余弦定理可求得。的值;

S.ARn11

(2)計(jì)算出血□和NC4O,計(jì)算出常3=不，可得出5AAM=-5。左，進(jìn)而可求得AABD的面積.

?AACD乙3

【詳解】

(1)因?yàn)槭痵inA+cosA=0,所以百tanA+l=0,WtanA=,

3

457c

0<A<yr,A——

6

A為鈍角，與。=1<6=百矛盾，故①②中僅有一個(gè)正確，③正確.

顯然=；"csinA=,得bc=6.

當(dāng)①③正確時(shí)，

由。2=〃2+。2—2〃ccosA,^b2+c2=-2(無解);

當(dāng)②③正確時(shí)，由于bc=G，b=6,得。=1；

STT7TTT

(2)如圖，因?yàn)锳=——，ZCAD=-,則/區(qū)4。=—,

623

c_AB-AD-sinNBAD1r—r—

則j=2_________________=1.e_lc_1XV3.V3

見q1?'dAABD--dAABC--X-T--,

>AACD-AC-AD-smACAD233412

2

【點(diǎn)睛】

本題考查解三角形綜合應(yīng)用，涉及三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

19、(1)證明見解析，是，ZAMC,AAMD,NADC,ZMDC；(2)逅

5

【解析】

(1)根據(jù)AC是球的直徑，則又24,平面ABC。，得到CDLB4,再由線面垂直的判定定理得到

CD,平面上4D，,進(jìn)而得到CD，AM,再利用線面垂直的判定定理得到AM，平面PCD.

(2)以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)CN=2CP=卜伍,—24,22),由

AN1CN,解得2,得到CN，從而得到ON=OC+CN，然后求得平面ACM的一個(gè)法向量，代入公式

ONn

sin。=求解.

【詳解】

(1)因?yàn)锳C是球的直徑，則

又PA_L平面ABCD,

：.CDLPA,CDLAZ).，CD,平面。AD，

/.CD±AM,二AM_1_平面PCD.

根據(jù)證明可知，四面體MCDA是鱉膈.

它的每個(gè)面的直角分別是NAMC,/AMD,NADC,ZMDC.

(2)如圖，

以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,

則3（行,0,0）,C（V2,2,0）,0（0,2,0）,P（0,0,2）,0^,1,O^j.

M為PD中點(diǎn),從而

所以CP=（-V2,-2,2）,設(shè)CN=疣？=（-722,-22,22）,

則⑷V=AC+CN-（0-衣1,2-2九22）.

由4VJ.0V,

MTW-CN=V22（V22-A/2）-22（2-22）+422=1022-62=0.

由XwO得X=g,即CN=1—1夜,—d].

_V|1g、

所以O(shè)N=OC+CN=一元'一不二?

7

設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為〃=(%,y,z).

AM-n=y+z=0

由＜

AC-n-yjlx+2y=0

取*=也，y=T,z=l,得到〃=

記av與平面AMC所成角為仇

—也xG+9

ONn

則sin01055

ON36

-V2+1+1

所以直線ON與平面AMC所成的角的正弦值為逅

5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面垂直的判定定理和線面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

20、(1)證明見解析.(2)且

3

【解析】

(1)連接AG,3G,結(jié)合中位線定理可證MN〃BG,再結(jié)合線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)分別求證ACL5G,

BCxLBiC,即可求證直線MN_L平面AC5i；

(2)作交于點(diǎn)P,通過等體積法，設(shè)G到平面HCM的距離為九貝!J有』SB"??〃='SBCC,結(jié)合

幾何關(guān)系即可求解

【詳解】

(1)證明：連接AG,BCi,則NdAG且N為AG的中點(diǎn)；

???”是A3的中點(diǎn).

所以：MN//BC1；

；AiA_L平面ABC,ACu平面ABC,

：.AiA±AC,

在三棱柱ABC-A1B1G中，AAi//CC,

.\AC±CCi,

VZACB=90°,BCnCCj=C,BCu平面881clC,CQu平面8B1GC,

，AC_L平面BBiCiC,BCu平面BB?C,

：.AC±BCu又MN〃BCi

：.AC±MN,

'：CB=CiC=l,

二四邊形BBrCiC正方形，

：.BCi±BiC,：.MN^BiC,

而ACABiC=C,且ACu平面ACBi,CM平面4函，

.?.MN_L平面ACBi,

(2)作MP_LBC交于點(diǎn)尸，設(shè)G到平面BiCM的距離為h,

因?yàn)镸P--2,gRoCC。=—2>

所以匕

“"IYfI-BzJ|CC=—3,SzB5|CC——12,

B

因?yàn)镃M=J,BiC=V2；

所以

2

因?yàn)樨癷MC=%-B3，所以gSBiMC-/z=1S%GC?MP,解得〃4

所以點(diǎn)G，到平面與MC的距離為走

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查面面垂直的證明以及點(diǎn)到平面的距離，一般證明面面垂直都用線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直，而點(diǎn)到面的距

離常用體積轉(zhuǎn)化來求，屬于中檔題

21、(1)證明見解析；(2)早工

13

【解析】

(1)PC的中點(diǎn)E,連接E。，ME,證明四邊形ADEM是平行四邊形可得AM//DE,故而AM//平面PCD；

(2)以4為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出平面PCD的法向量加，計(jì)算MN與加的夾角的余弦值得出答案.

【詳解】

(1)證明：取PC的中點(diǎn)E,連接瓦)，ME,

M,E分別是PB,PC的中點(diǎn)，

:.MEHBC,ME=-BC,

2

又AD//BC,AD=-BC,

2

:.AD//ME,AD=ME,

四邊形ADEM是平行四邊形，；.DE//AM,

又DEu平面PC。