湖北省黃岡、黃石、鄂州三市2022-2023學年高一年級下冊期末聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）

黃岡黃石鄂州三市2023年春季高一年級期末聯(lián)考

數(shù)學

本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

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注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準

考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫

在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿

紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結束后，請將答題卡上交.

一、選擇題(每小題5分，共8小題40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的)

2+產

Z--

1.已知復數(shù)l-i,則z的虛部為(

A.；B.-i

22

2.已知A(2,3),5(5,1),C(〃?,2),且A,B,。三點共線，則〃?=()

3.某工廠生產A,3,C三種不同型號的產品，產品數(shù)量之比為4:3",現(xiàn)用分層隨機抽樣方法抽取一個容

量為140的樣本.已知C型產品抽取了56件，則A型產品抽取的件數(shù)為()

A.36B.48C.56D.60

4.下列說法正確的是()

A.兩兩相交的三條直線確定一個平面

B.如果直線“，匕和平面a滿足a//a,hlla,那么a〃方

C.過平面外一點有且只有一條直線與這個平面垂直

D.若平面a_L平面,，平面耳，平面那么平面a_L平面/

5.已知一ABC中，A5=6,BC=8,ZB=60）則AB邊上的中線長為（）

A.V78B.8C.7D.6

6.已知空間中NPQ4=NPQ5=60°,ZAOB=90°,直線OP與平面AQB所成的角為仇貝Icos6為

()

1

A.V2o.6Cr.Dn.1

2323

已知函數(shù)/(x)=8cos|X-0+—cosx-0--+2l0<6><^jr

7.的一條對稱軸為x==,且在區(qū)間

6

ro,n上值域為[2,4],則實數(shù)t的最大值為（）

5兀2兀5兀兀

A.B.—C.D.-

~6312

c,滿足asin41C

8.已知一ABC中角A,B,C所對的邊分別為。，b,=bs\nA,且

cosAcosB2sinBsinC

-------+--------.則a+2c的最大值為（)

b3sinA

A.6B.45/3c.2V3D.2不

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽

險；戊，重大疾病保險.各種保險按相關約定進行參保與理賠.該保險公司對5個險種的參保客戶進行抽

樣調查，得出如下統(tǒng)計圖例，則以下四個選項正確的是（

A.18-29周歲人群參保總費用最少

B.30周歲以上的參保人群約占參?？側巳旱?0%

C.54周歲以上參保人數(shù)最少

D.丁險種更受參保人青睞

10.下列各式的值為正是（）

2

3tan15。

AA.cos2-兀--si.n2——兀

12121-tan215°

5兀5兀

tan+tan

V33D4______12

5兀,

4sinl0°4cos10°tan----1

12

ii.在棱長為4的正方體ABC。一AAGR中，下列說法正確的是（）

A.A.C1BD

B.直線BG與平面所成的角為30。

C.三棱錐￡-A3。的體積為更也

3

D.M是的中點，點尸是側面CDRC內的動點.若兒。〃平面ABC，則A/P的最大值為4及

12.著名數(shù)學家歐拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一條直線上，且重心到外心的距

離是重心到垂心距離的一半.此直線稱為歐拉線.該定理稱為歐拉線定理.已知一A8C的外心為。，重心

為G,垂心為“，且AB=6,AC=4,以下結論正確的是（）

A.AGBC=~—

3

B.AOBC^iO

C.OH=OA+OB+OC

D.若|BC|=2S,則OB.OC=-匕

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知復數(shù)z滿足（1—i）z—3i=l,則|z|=.

14.已知向量a=（6,l）,忖=1,卜+2H=2,則向量°與q+〃的夾角為.

15.如圖，一輛汽車在--條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂。在西偏北30°的方

向上，行駛800m后到達5處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為45°,則此山的高度8=

m.

D

16.已知三棱錐S—ABC中，頂點S在底面的射影恰好是二ABC內切圓的圓心，底面一ABC的最短邊長為

6.若三個側面面積分別為3弧，4曬,5曬,則頂點S到底面A3C的距離為；三棱錐

S-ABC的外接球的表面積為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.某校從參加數(shù)學競賽的同學中選取100名同學將其成績(百分制，均為整數(shù)分數(shù))分成五組，得到如下

頻率分布表：

分數(shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,1001

頻率0.103m0.130.07

(1)估計這100名學生的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間中點值為代表)；

(2)根據(jù)頻率分布表，估算這100名學生成績的第85百分位數(shù)(結果保留一位小數(shù)).

((E\、

.71

18.己i知向量sin—FxCOSX設/(%)=〃力.

I(4)

7

(1)若tanx=2,求/(外的值；

(2)若將/(x)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的g(縱坐標不變)，再把所得的圖象向右平移J個單位得到

O

71

函數(shù)g(x)的圖象’當XG0,-時’求函數(shù)g⑴的值域.

19.已知4ABe中角A,B,。所對的邊分別為b,C,設其面積為S,~7=—上

a2+b2-c24

⑴求角C；

(2)若c=2jiZ，點。在邊上，若CD是/C平分線，且CD=1,求S.

20.如圖，在三棱柱ABC-A中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，。為的中

點.行.點用在底面A8C的射影恰好是邊AC的中點E.

(1)求證4。，平面gAC；

(2)求二面角A——C的余弦值.

上，點O，E分別在邊3C,A3上，且

21.如圖，在ABC中，AB=10,AC=3,cosZACB

27

BD=2DC,CE±AC)AD與CE交于點M.

(1)設CB=a，CA=b，試用a，b表示CE；

⑵求長.

22.如圖①，在矩形ABCD中，AB=2AD=46E為CD中點，如圖②，將△?1￡￡)沿AE折起,

點M在線段CO上.

①②

(1)若DM=2MC,求證〃平面MEB；

(2)若平面AED_L平面BCE4,是否存在點M,使得平面皿與平面垂直？若存在，求此時三棱

錐夕一龐必的體積，若不存在，說明理由.

黃岡黃石鄂州三市2023年春季高一年級期末聯(lián)考

數(shù)學

本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

★祝考試順利★

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準

考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫

在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿

紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結束后，請將答題卡上交.

一、選擇題(每小題5分，共8小題40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的)

2+i2023

Z--

1.已知復數(shù)IT,則z的虛部為()

11.33.

A.-B.-1C.-D.-i

2222

【答案】A

【解析】

【分析】化簡復數(shù)，分子分母同時乘以1+i,進而求得復數(shù)z,由此得到虛部.

故選：A

2.己知A(2,3),8(5,1),C(m,2),且A,B,C三點共線，則加二()

135

A."B.-C.一

222

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三點共線得出向量共線，結合向量共線坐標表示可得答案.

【詳解】因為A（2,3）,B（5,l）,C（肛2）,所以AB=（3,-2）,AC=（機—2,-1）,

m-2-17

因為三點共線，所以——=——，解得加=—.

3-22

故選：D.

3.某工廠生產A,6,C三種不同型號的產品，產品數(shù)量之比為4:3",現(xiàn)用分層隨機抽樣方法抽取一個容

量為14（）的樣本.已知C型產品抽取了56件，則A型產品抽取的件數(shù)為（）

A.36B.48C.56D.60

【答案】B

【解析】

14

【分析】根據(jù)比例求出攵=一,再由A種型號所占比例求解即可.

3

k5614

【詳解】由題意，=衛(wèi)，得我=一,

k+71403

4

140x丁=48

A型號產品抽取的件數(shù)為r14一.

3

故選:B.

4.下列說法正確的是（）

A.兩兩相交的三條直線確定一個平面

B.如果直線“，。和平面a滿足。//。，bHa,那么a/多

C.過平面外一點有且只有一條直線與這個平面垂直

D.若平面a_L平面/，平面耳，平面/,那么平面a_L平面/

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關系，結合判定定理與性質定理，對每個選項逐一分析，即可判斷.

【詳解】對A,若兩兩相交的三條直線過同一個點，則它們可以確定一個或三個平面，故A錯誤；

對B,若alla,blla,則直線“，〃可能平行、相交或者成異面直線，故B錯誤；

對C,過平面外一點有且只有一條直線與這個平面垂直，該結論正確，故C正確；

對D,若平面。_1_平面夕，平面尸J?平面/,則平面a和平面/可能相交、垂直或平行，故D錯誤.

故選：C

5.已知,ABC中，AB=6,BC=8,NB=60，則A3邊上的中線長為（）

A.V78B.8C.7D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)余弦定理，即可求解.

【詳解】如圖，A3邊的中點為“，

BM=3,BC=8，NB=60>

3cM中，根據(jù)余弦定理，

MC2=BC2+BM2-2BC-/?M-COS60

=64+9-2x8x3x1=49,

2

則MC=7

6.已知空間中NR9A=NPQB=60°,ZAOB=90°,直線OP與平面AQB所成的角為6,則cos。為

()

A.—B.立C.1D.-

2323

【答案】A

【解析】

【分析】作PCJ■平面A08,即可說明NPOC為直線OP與平面A08所成的角。，然后通過作垂線求得

線段之間的數(shù)量關系，解直角三角形即可求得答案.

【詳解】如圖，作PC,平面AO8,垂足為C,連接OC,

則ZPOC為直線OP與平面AO8所成的角。，

p

作CE_LO3,垂足為E,連接尸￡,

因為OBu平面AOB,故PCJ_OB,

PCClCE=C,PC,CEu平面PCE,故03，平面「。后,

P￡u平面AOB,則O5_LPE,

同理作CF_LQ4,垂足為凡連接尸尸，可證Q4，P廠,

由于/。。4=/尸。5=60°,OP為RtPEO,RtPPO的公共邊,

故RtAPEO絲RtAPFO,則OE=OF,

而OC=OC,^RtACEO^RtACFO,故CE=CF,

即OC為ZAOB=90°的平分線，即ZCOE=ZCOF=45°,

設OC=2,則OE=0，故OP=—注—=^￡_=2后,

cosNPOEcos60

則cos0=cosZPOC==—j-=,

OP2V22

故選：A

TT

7.己知函數(shù)/(x)=8cos[x-e+方卜+2(0<6<]的一條對稱軸為龍="，且在區(qū)間

36

[0,八上值域為[2,4],則實數(shù)f的最大值為（）

【答案】D

【解析】

【分析】利用兩角和與差的余弦公式以及二倍角的余弦公式化簡計算得函數(shù)/（x）=4cos（2x-2，），利用

整體法，代入對稱軸計算得6的值，然后利用整體法分析函數(shù)/*）的值域，列關于。的不等式計算即可得答

案.

[詳解]/(x)=8cos[彳-8+]kos(工_8_])+21()<8<5

f(x)=8；cos(x-。)-日sin（九一6）；cos(x-6)+冬g-0)+2

i3

f(x)=8—cos2(x-^)--sin2(x-0)+2=cos[2(x-e)]+l-3+3cos[2(x-6)]+2

/(x)=4cos(2x—28),因為函數(shù)/(X)的一條對稱軸為工=-,

6

jrjrKTT

所以2x——?e=E,keZ,即。=------,keZ,

662

又因為0<6<與，所以6=5,所以/(x)=4cos(2x-f],

26v37

f兀)兀71

當xe[0,H時，[2x-,卜——

因函數(shù)/?在區(qū)間［0,力上值域為［2,4］,

7T兀7T7L

所以042f——<-,解得一4/4一,

3363

所以實數(shù)。的最大值為四.

3

故選：D

A+C

8.已知,ABC中角A,B,。所對的邊分別為。，b,C滿足asin=Z?sinA,且

2

cosAcosfi2sinBsinC

------+.則。+2c的最大值為（)

~~b~3sinA

A.6B.4百C.2GD.277

【答案】D

【解析】

【分析】先由正弦定理及兩角和差得出仇B(yǎng),再由正弦定理邊角互化結合輔助角公式計算即可.

【詳解】—ABC中由正弦定理

...A+C.?...A+CA+C71

sinAsin-------=sinnsinA,sin--------=sinB,/.B,B=

2223

cosAcosB2sinBsinCbcosA+acosB2sinBsinCsinBcosA+sinAcosB

------+------=-------------..??------------------=-------------=--------------------------

b3sinAah3sinAbsinA

2sinBsinC_sinBcosA+sinAcosBsin（B+A）=01G.i

3sinA/?sinAZ?sinAhsinA

Cac6

Q------=-------=-2

sinAsinCV3

y

a+2c=2sinA+4sinC=2sinA+4sin4sinA+2v5cosA=2幣sin（A+夕）

Qtan夕=,0<A<—,<A+。；時，。+2c的最大值為2J7.

23，

故選：D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽

險；戊，重大疾病保險.各種保險按相關約定進行參保與理賠.該保險公司對5個險種的參?？蛻暨M行抽

樣調查，得出如下統(tǒng)計圖例，則以下四個選項正確的是（）

B.30周歲以上的參保人群約占參?？側巳旱?0%

C.54周歲以上的參保人數(shù)最少

D.丁險種更受參保人青睞

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖表給出信息逐個選項判斷.

【詳解】對于A：由第一個圖可得54周歲及以上的參保人數(shù)最少，占比為

1-30%-33%-20%=17%,

其余年齡段的參保人數(shù)均比18-29周歲人群參保人數(shù)多.

由第二個圖可得，因為20%x4000<17%x6（XX）,所以18—29周歲人群參?？傎M用最少，故A對.

對于B：由第一個圖可得，30周歲以上的參保人群約占參?？側巳旱?0%,故B錯.

對于C：由第一個圖可得，54周歲及以上的參保人數(shù)占參保總人數(shù)的1一30%-33%—20%=17%,所以

C對.

對于D：由第三個圖可得，丁險種參保人群約占參?？側巳旱?5%,所以最受青睞，所以D對.

故選：ACD.

io.下列各式的值為正是（）

2

3tan15°

B.

1-tan215°

5n57i

tan-----ktan一

C?3

D.412

4sinl00-4cosl0°571,

tan-----1

12

【答案】AB

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)恒等變形,即可化簡求值.

【詳解】A.cos?N-sin?2?=cos'=，故A正確;

121262

3tan15°32tan15°3百

--------------=-x----------——=-tan300=—故B正確;

-tan215°21-tan215022

C6_______3_Gcosl00-3sinl0°_26cos(10°+60°)

,4sinl0°-4cos10°-4sin10°cosl0°-2sin20°

2心竺70。=2心網(wǎng)(90220。)=6,故C錯誤

2sin2002sin20°

5兀5兀

tan-----btan—

(5兀5兀571

D.412-tan-----1---=--tan—,

5兀57t.I412

tan—tan-----13

412

tan2n~—=-6故D錯誤.

I3

故選：AB

u.在棱長為4的正方體A3。）-AAGR中，下列說法正確的是（）

A.\CVBD

B.直線BQ與平面AfC。所成的角為30。

C.三棱錐a一48。的體積為?1

3

D.M是A4的中點，點P是側面CQQG內的動點.若〃平面做。，則"P的最大值為4血

【答案】AD

【解析】

【分析】對于A,連接AC,可證得即上平面AAC,從而可得結論，對于B,由正方體的性質可證得

8G，平面Ageo,對于C,三棱錐G—AfO的體積等于正方體的體積減去4個三棱錐的體積，對于

D,取CO的中點N,CG的中點R,BG的中點〃，連接MN,MH,HR,NR,則證得平面MNR“〃平

面48°,則線段兒。掃過的圖形為然后求出其范圍，從而可得答案.

【詳解】對于A,連接AC,則3OLAC,因為AA，平面ABC。，BDu平面ABCD,

所以因為AAIAC=A,A*,ACu平面A/C,

所以3。人平面MAC,因為ACu平面AAC,所以ACLBO,所以A正確，

對于B,因為44_L平面581GC,8C；U平面所以AgLBG，

因為ACL8G，A4B[C=B],Ag,B|Cu平面Ageo,

所以6G，平面所以直線BC1與平面A4C。所成的角為90°,所以B錯誤，

對于C,因為正方體ABC。一AAGA的棱長為4,所以三棱錐G-48。的體積為

%一印0=匕8cO—A14GA~^A-AlBD-。一由8G-^C-BC{D~^DX-AiC}D

3

=4-4xlxlx4x4x4=—,所以C錯誤，

323

對于D,取CD的中點N,CG的中點R,Bg的中點“，連接MN,MH,HR,NR,

則MN//B,C//HR>MH//AG〃AC,

因為MH,HR<Z平面ABC，AC,BCu平面A與C,

所以MH〃平面4gC,”R〃平面A8C，

因為MHcHR=H，MH,HRu平面MNRH,

所以平面〃平面AB?,

因為MPu平面，所以MP〃平面MNRH,

所以線段除掃過的圖形為_MNR,

由AB=4，得MN=4&，NR=20,MR=276）

所以用N2=NR2+"/?2,所以NMRN=90。，

所以MR<MP<MN,即MP范圍為[26,40],

所以MP的最大值為4加

故選：AD

12.著名數(shù)學家歐拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一條直線上，且重心到外心的距

離是重心到垂心距離的一半.此直線稱為歐拉線.該定理稱為歐拉線定理.已知.ABC的外心為。，重心

為G,垂心為“，且AB=6,AC=4,以下結論正確的是（）

A.AGBC=~—

3

B.AOBC=1Q

COH=OA+OB+OC

D.若陷=25，貝ij08-0C=—日

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,根據(jù)三角形重心的向量性質及向量的加減法求得結果；對于B,根據(jù)三角形的外心性質結

合向量的數(shù)量積求得結果；對于C,由歐拉線定理得20G=G〃，即O〃=3OG，結合三角形重心的向量

性質進行計算即可；對于D,利用正余弦定理及向量的數(shù)量積公式進行計算.

【詳解】對于A,.48c的重心為G,有AG=g（A8+AC）,且AB=6,AC=4,

故4G.BC=g（AB+4C1（AC—A8）=g（Ac2—A8]=—m，故A正確.

對于B,_ABC的外心為0,有

AOBC=AO^AC-AB）=^AO^AC\cosZOAC-|AO||AqCOSNOAB

=g（AC，—4B]=—10,故B錯誤；

對于C,由歐拉線定理得2OG=G〃，即。”=3OG，又GA+G8+GC=0,

所以OH=3OG+G4+GB+GC=O4+OB+OC，故C正確；

對于D,因為AB=6,AC=4,\BC\=2y/7,

所以由余弦定理as4=6+心-叱=―僅可=_1

2ABAC2x6x42

又0<4<兀，所以A=W，如圖，/BOC=—,

33

g277_4721用

由正弦定理可得sinA一6-3，所以R=0B=0C=￡T，

—3

2

則0B-OC=|OB||OC|COSZBOC=-y,故D正確.

故選：ACD

【點睛】方法點睛：

三角形的三條垂直平分線交于一點，即為外心，外心是三角形外接圓的圓心.

（I）|OA|=|OS|=|OC|;

(2)AOAB=^A^,AO-AC=y|Ac|2；AO-BC?C『—網(wǎng)?

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知復數(shù)z滿足(l-i)z-3i=l,則|z|=.

【答案】75

【解析】

【分析】利用復數(shù)的除法運算求出復數(shù)Z,再求出Z的模作答.

(l+3i)(l+i)-2+4i

【詳解】由(1—吐詈=-1+2i,

(l-i)(l+i)2

所以|z|=J(—1)2+2?=6.

故答案為：V5

14.已知向量忖=1,卜+2目=2,則向量0與〃+/,的夾角為.

【答案】30°

【解析】

【分析】根據(jù)己知，利用向量的模長、夾角公式、向量的坐標表示以及向量的運算律計算求解.

【詳解】因為口+2目=2,所以(a+2b)2=4,所以1+4廣+4〃3=4，

又a=|/?|—1,所以卜卜2,所以4+4+4a=4，

所以=—1，所以卜+0==yla+b+2a-b=V4+1-2=y/3，

■/?*2.

5La-\a+b\=a+q?0=3,

a\a+b\3J3

所以向量〃與Q的夾角為6——L=一廠=￡,

+〃2x，32

因為向量a與a+0的夾角范圍為：0°?,力)4180。，

所以向量a與a+。的夾角為30°.

故答案為：30°.

15.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂。在西偏北30。的方

向上，行駛800m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為45°,則此山的高度8=

m.

D

________B__________

【答案】4000

【解析】

【分析】根據(jù)己知，利用正弦定理以及直角三角形的性質計算求解.

如圖，在_ABC中，ZBAC=30，ZCBA=105，所以NACB=45，

800BC

ABBC

又，由正弦定理有:，即及一1，

AB=800sinZBCA~sinZCAB

T2

解得BC=400V2，

又△8C￡)是直角三角形，且NCB￡>=45，所以CO=BC=40()五，

所以此山的高度CO=400及m.

故答案為：40072.

16.已知三棱錐S-ABC中，頂點S在底面的射影恰好是qABC內切圓的圓心，底面JIBC的最短邊長為

6.若三個側面面積分別為3回，4月，5的,則頂點S到底面A8C的距離為；三棱錐

S-ABC的外接球的表面積為.

【答案】①.5②.10br

【解析】

【分析】設.ABC內切圓的圓心為G,內切圓半徑為廠，圓G分別切A8,8cAe于點￡>,E,F,連接

SG，DG,EG,FG,連接S0,SE,SP,則可證得M=SE=SF,再利用三個側面面積可求5C=6,

AB=8,AC=10,從而可求出廠，進而可求出SG,設AC的中點為M,連接GM,設。為三棱錐

S—A8C的外接球的球心，連接OM,則平面ABC，然后利用勾股定理列方程組可求出外接球

的半徑，從而可求出其表面積.

【詳解】設_48。內切圓的圓心為G,內切圓半徑為「，圓G分別切AB,8cAe于點。，區(qū)尸，連接

SG,DG,EG,FG,連接SD,SE,SE,

則SGJ?平面ABC,DG±AB,EG±BC,FG±AC,DG=EG=FG=r,

因為AB,BC,ACu平面ABC,所以SG_LAB,SG_LBC,SG_LAC,

因為SGn￡>G=O,SGn￡G=E,5GnFG=F,SG,DGu平面SDG,SG,￡Gu平面SEG,

SG,FGu平面SFG,

所以平面SDG,平面SEG,AC_L平面SPG，

因為SDu平面SOG,S￡u平面SEG,SEu平面SFG,

所以ABISO，BCJ.SE,AC±SF,

因為。G=EG=FG=r,所以SG公共邊，

所以.SOG^-SEG&cSEG,所以SD=SE=SF,

設.ABC的最短邊為3C,則BC=6,所以SsBc=gBC-SE=3SE=3a，解得SE=J再，

所以S￡>=SE=SF=J^，

因為S=-ABSD=4^,S=-AC-SF=5^,所以AB=8,AC=1°,

3U/10BSAC

所以AB2+8C2=AC2,所以_ABC為直角三角形，且NABC=90°,

所以尸=g(AB+BC-AC)=2，所以SG=，SZ)2—<=,29—4=5,

即頂點S到底面ABC的距離為5,

設AC的中點為M,連接GM,則加為_48。的外心，

則MF=CM—CF=CM-CE=CM—(BC—BE)=5—(6—2)=1,

所以例G?=EG?+"尸？=5，

設。為三棱錐S-ABC的外接球的球心，連接OM,則OM_L平面ABC,

設OM=x,三棱錐S-ABC的外接球的半徑為A,

則R2=AM2+O〃2,R2=MG2+(SG-OM)2(M在面ABC上方)，

^R2=AM2+OM2,R2=MG2+(SG+OM)2(M在面ABC下方),

所以A?=25+M,R2=5+(5—》)2,或R?=25+X2,R2=5+(5+X>,

則25+f=5+(5-x)2或25+f=5+(5+X)2,解得x=1■或x=-;(舍去),

所以R2=25+,=&,

44

所以三棱錐S-ABC的外接球的表面積為《兀4=4兀x=101兀，

4

故答案為：5,101兀

【點睛】關鍵點睛：此題考查多面體與球的外接問題，解題的關鍵是根據(jù)三個側面面積和底面內切圓有關

系判斷出「ABC為直角三角形，從而可可進一步求出棱錐的高和外接的半徑.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.某校從參加數(shù)學競賽的同學中選取100名同學將其成績（百分制，均為整數(shù)分數(shù)）分成五組，得到如下

頻率分布表：

分數(shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,1001

頻率0.10.3m0.130.07

（1）估計這100名學生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間中點值為代表）；

（2）根據(jù)頻率分布表，估算這100名學生成績的第85百分位數(shù)（結果保留一位小數(shù)）.

【答案】（1）72.7

⑵第85百分位數(shù)為83.8.

【解析】

【分析】（1）先求加，再利用平均數(shù)的計算公式可得答案；

（2）根據(jù)百分位數(shù)的求法，結合分布表可求答案.

【小問1詳解】

依題意有m=1-0.1-0.3-0.13-0.07=0.4,

100名學生的平均成績?yōu)?5x0.1+65x0.3+75x0.4+85x0.13+95x0.07=72.7；

【小問2詳解】

由⑴知[50,80)內有80個數(shù)，估計[80,90)分數(shù)段內的學生成績從低到高占5%位的數(shù),

.%—8090—80

則-----=-------???K83.8,故第85百分位數(shù)為838

0.050.13

//、、//\、

(4JI

18.已知向量。=sin—+%,cos%,h=sin----x,sinx,設/(x)

k\/7\?

⑴若tanx=2,求/⑴的值；

(2)若將/(x)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的g(縱坐標不變)，再把所得的圖象向右平移J個單位得到

O

71

函數(shù)g(x)的圖象，當XW0,-時，求函數(shù)g(x)的值域.

_4_

【答案】(1)二

【解析】

【分析】(1)由向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)恒等變換公式化簡可求出了(X)，再由tanx=2結合同角三角函

數(shù)的關系可求出/(X)的值；

(2)根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出g(x)的解析，再利用正弦函數(shù)的性質可求出g(x)的值域.

【小問1詳解】

依題意/(x)=sin[?+x)sin[(—x)+sinxcosx=g(cos?x-sin2x)+sinxcosx,

tanx=2?

cos2x-si?n2xsinxcosx1—tan2x+tanx

???/(x)=

2(sin2x+cos2x)sin2x+cos2x2(tan2x+l)tan2x+l

1-421

------1---=—

2x(4+l)4+110

【小問2詳解】

由(1)知/(%)=—sin2x+—cos2x=——sin2x+—

22214

將/(X)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的g(縱坐標不變)，得y=￥sin(4x+：),

再把所得的圖象向右平移J個單位得到g(x)=-sin

82

^7i1t7711兀3兀

當XE0,—時，4x——G——,一

44444

.V2.?，克sinUv也

??-----<sin4x--|<1,K

2I4j224V

??.g(x)e

19.已知二ABC中角A,B,C所對的邊分別為“，b，c,設其面積為S,-~7=

a2+b2-c24

(1)求角C；

(2)若c=2jiZ，點。在邊AB上，若CD是NC的平分線，且CD=1,求S.

2兀

【答案】(1)。=彳

⑵2G

加斤】

【分析】(1)利用三角形面積公式和余弦定理可求角C；

(2)利用余弦定理和角平分線的性質建立方程組，結合面積公式可得答案.

【小問1詳解】

依題意2%inC_sinC」anC=百,

a2+b2-c24cosC44

27r

:.tanC=-百，因為。€(0,兀)，所以C=w

【小問2詳解】

_ABC中，=4+匕2一勿匕cosC，/.a2+b2+ab-56■①

又SACD+SBCD=SABC，Jxlxbx顯+—X1X6ZX且」如烏即Q+b=Q。，②

222222

1G

聯(lián)立①②得a2b2-a。=56，.,.曲=8.，S=-a。sin—=273.

23

20.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，。為4G的中

⑴求證4。，平面gAC；

(2)求二面角A—gB—C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

1

⑵一1.

【解析】

【分析】(1)首先利用垂直關系證明8￡，平面44。，再根據(jù)平行關系此O//BE,即可證明；

(2)首先證明△片BC絲△ABA,再根據(jù)二面角的定義，構造二面角的平面角，再結合余弦定理，即可求解.

【小問1詳解】

。為正Z\A4a邊AG的中點，，B"AG.

又AC〃AG，??-8sAC,

而點B]在底面ABC的射影恰好是邊AC的中點E.

即gEL平面ABC,連BE,：.BiELBE,

又底面ABC是邊長為2的等邊三角形，則8ELAC，

而4EcAC=E,g￡,ACu平面B|AC,

平面耳AC,

連￡>E，DE/!\A!!BXB,且。E=AA=B]B

則四邊形BfE。為平行四邊形，.,.耳O〃BE,

平面4AC.

【小問2詳解】

在正_>^。中，BE=6EC=I,由⑴知/耳后0二/與仍=/^^^二見）。，

B]C=e，；.BiE=l,B]B=2,4A=0.

過C點作6乃于，，H為垂足.連AH，則△48C也△ABA,

AAH1BBX,則NCH4為二面角A——C平面角.

如下圖，BG工B?,垂足為點G,在等腰與B