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文檔簡介

下學(xué)期數(shù)學(xué)統(tǒng)練二

(高21級)2024.3

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要

求的一項.

1.拋物線的焦點坐標(biāo)為()

A,1一3°]R"C.(TO)D.(1,0)

【答案】B

【解析】

【分析】由拋物線的方程即可確定焦點位置和焦點坐標(biāo).

【詳解】由拋物線的方程F=2x可知,拋物線的焦點位于x軸正半軸,由2。=2,可得:言=g,即焦

點坐標(biāo)為.

故選:B.

2.已知集合2={32工—3x〉0},B={0,l,2,3,4},則幺口5=()

A.{0}B.{1,2,3}C.{0,4}D.{3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)所給集合,把集合B中元素代入集合A中檢驗即可得解.

【詳解】由2={/2'—3x〉0},8={0』,2,3,4},

把0,1,2,3,4代入2、—3x〉0檢驗,可得0,4成立,

故ZcB={0,4},

故選:C

3.曲線y=/(x)與曲線V=cosx關(guān)于x軸對稱,則()

A./(x)=sinxB./(x)=-sinxC./(x)=cosxD./(x)=-cosx

【答案】D

【解析】

第1頁/共22頁

【分析】根據(jù)兩個函數(shù)圖象關(guān)于X對稱,利用對稱性求解解析式即可.

【詳解】設(shè)y=圖象上任意點尸(X/),

則P點關(guān)于X軸對稱的對稱點P'(x,-內(nèi)在^=cosx圖象上,

所以_>=cosx,即y=—cosx,

所以/(x)=-cosx.

故選:D

4.已知數(shù)列{%}為等差數(shù)列,也}為等比數(shù)列,%="=4,則()

A,貼52a3%B,bi+bi>a3+a5C.b3b5<a3a5D,b3+b5<a3+a5

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),利用二次函數(shù)及均值不等式可得解.

【詳解】因為數(shù)列{%}為等差數(shù)列,所以%+%=2%=8,

因為{4}為等比數(shù)列,所以貼$=才=16,

2

而a3a5=(8-a5)a5=-aj+Sa5=-Q-4)+16<16,

所以用a>a3a5,故A對C錯;

因為%+%=8,而%a可同為正數(shù)也可同為負(fù)數(shù),

當(dāng)a,&<0時,b3+b5<a3+a5,當(dāng)4也>。時,"+4-2db3b5=8?/+%

所以%+%,a+々大小不確定,故BD錯誤.

故選:A

5.如圖,在口OACB中,E是AC的中點,F(xiàn)是BC上的一點,且BC=3BF,若云=m^+〃而,其中m,

neR,貝!]m+n的值為()

第2頁/共22頁

【解析】

【分析】根據(jù)題意將雙用基底向量方,無表示出來,然后通過基底向量進(jìn)行計算.

【詳解】在平行四邊形中瓦=而,赤=%,*=況+礪

因為E是AC中點,

所以近=!正=,礪

22

所以赤=03+冠=厲+工礪,

2

因為5C=3B/

所以而=1就=工刀

33

所以礪=礪+而=礪+1次

3

因為OC=mOE+nOF

4

m+—n=\m=—

35

1,解得<

3

~m+n=\n=一

[25

所以m+n=—

5

故選C

【點睛】本題考查向量的運算,解題的關(guān)鍵是找到一組基底,將所求向量用基底表示,然后再進(jìn)行運算.

6.已知彳表示復(fù)數(shù)Z的共軌復(fù)數(shù),Z]/2為非零復(fù)數(shù),"Z]Z2eR”是“存在非零實數(shù)右使得馬=此2”()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】求出Z]Z2cR的等價條件ad+bc=O,4=/^的等價條件。=化,6=—以,分別討論復(fù)數(shù)為純虛

數(shù),實數(shù),a,b,c,d都不為0的情況,結(jié)合充分條件、必要條件可得解.

【詳解】設(shè)

Z]=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR),

zx-z2=(ac-bd)+(ad+bc)i,

第3頁/共22頁

若2逐2€R,則ad+Z?c=0,

若Z[=,Z2,則a+bi=—w0),即a=Jc,b=Td,

由于4/2為非零復(fù)數(shù),所以,當(dāng)a=0,c=0,6wO,d。0時,滿足ad+/?c=O,

此時存在非零實數(shù),,使。=%/=-4成立,反之亦成立;

當(dāng)b=d=O,a。0,。。0時,滿足ad+/?c=O,此時存在非零實數(shù)"使。=%,6=-以成立,反之亦成立;

ac

當(dāng)aw0,6w0,cw0,dw0時,滿足ad+bc=O,則ad=-be,即一=——,

bd

所以a=tc,b=Td,反之亦成立;

綜上,“平26"是“存在非零實數(shù)/,使得4="”成立的充要條件.

故選:C

7.斜拉橋是橋梁建筑的一種形式,在橋梁平面上有多根拉索,所有拉索的合力方向與中央索塔一致.如下

圖是重慶千廝門嘉陵江大橋,共有10對永久拉索,在索塔兩側(cè)對稱排列.已知拉索上端相鄰兩個錨的間距

|學(xué)=1,2,3,L,9)均為3.4m,拉索下端相鄰兩個錨的間距=1,2,端L,9)均為16m.最短拉

索的錨8,4滿足制=66m,|(?4]=86m,則最長拉索所在直線的斜率為()

A.±0.47B.±0.45C.±0.42D.±0.40

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意利用已知長度可分別計算|。40|,|。40|,再利用斜率的定義可解.

【詳解】根據(jù)題意,最短拉索的錨耳,4滿足|。用=66m,|O4|=86m,

且|單浦?=1,2,3,L,9)均為3.4m,拉索下端相鄰兩個錨的間距|44+」?=L2,3,L,9)均為16m,

則|=|。41+144。|=86+9x16=230,即點&(230,0),

同理呂。(-230,0),

第4頁/共22頁

又\OPW\=\OP,\+電oI=66+9x3.4=96.6,即點又(0,96.6),

96.6-0"42,

所以的尸—0.42,k‘即t勺。

Aono0-230

故選:c.

8.已知三棱錐S—NBC中,SC=2&AB=2,E,歹分別是S4,BC的中點,EF=1,則跖與所

成的角大小為()

71717171

A.一B.一C.—D.一

2346

【答案】B

【解析】

【分析】取SS的中點G,然后根據(jù)異面直線所成角的定義證明NGE/(或其補(bǔ)角)是£尸與48所成的

角,進(jìn)而求得答案.

【詳解】取部的中點G,連接GF,GE,如圖,

又E為”的中點,所以EG//4B,EG=L48=1,同理可得GE//SC,GE=LSC=G,

22

所以NG£E(或其補(bǔ)角)是£尸與48所成的角.

取GE的中點連接EH,則尸,

所以sin/HM=—=—^NHEF=-,

EF23

2兀7T

則NGEE=——,所以E尸與48所成的角為一.

33

故選:B.

9.已知函數(shù)/(x)=,l["刊若實數(shù)2,0],貝!||/(x)—/(—1)|在區(qū)間阿,加+2]上的最大值

x-2x,x>0

的取值范圍是()

A.[1,4]B.[2,4]C.[1,3]D.[1,2]

【答案】D

第5頁/共22頁

【解析】

【分析】

先求出〃T)=1,進(jìn)而可知|/(x)—/(—l)|=|/(x)—1],由機(jī)直一2,0],可知區(qū)間[掰,冽+2]口[—2,2],且

該區(qū)間長度為2,然后畫出函數(shù)/(x)的圖象,進(jìn)而可得到y(tǒng)=|/(x)-1|在[-2,2]上的圖象,結(jié)合圖象可求

得^=1/(幻-1|在區(qū)間[見加+2]上的最大值的取值范圍.

【詳解】由題意,當(dāng)x4-l時,/(x)=x+2;當(dāng)一l<x<0時,f(x)=-x;當(dāng)xNO時,f(x)=x2-2x.

所以〃一1)=1,則"(X)―/(-1)1=1/(X)—11,

因為加e[-2,0],所以區(qū)間[7%加+2]7[—2,2],且該區(qū)間長度為2.

作出函數(shù)/(x)的圖象,如圖1,進(jìn)而可得到^=|/(》)-1]在[-2,2]上的圖象,如圖2,

根據(jù)圖象可知y=|/(x)-11在區(qū)間“am+2]上的最大值的取值范圍是工2].

【點睛】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用,考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查學(xué)生的計算求解能力與推理論證能力,屬

于中檔題.

10.已知半圓C:x2+V2=1(^>0),A、B分別為半圓C與x軸的左、右交點,直線m過點B且與x軸

垂直,點P在直線m上,縱坐標(biāo)為t,若在半圓C上存在點Q使N3尸。=5,則t的取值范圍是()

A.[一行^,0)。(0,向B-[-^3,0)u(0,

C.[―,,0)U(0,g]D.[一手,0)U(0,手]

【答案】A

【解析】

第6頁/共22頁

【分析】根據(jù)題意,設(shè)尸。與X軸交于點7,分析可得在RtZ^T羽中,|*=口|陽=口㈤,分。在X

33

軸上方、下方和X軸上三種情況討論,分析|87|的最值,即可得力的范圍,綜合可得答案.

【詳解】根據(jù)題意,設(shè)園與x軸交于點7,則|必|="|,

由于彼與X軸垂直,且NBPQ=—,則在Rt△陽T中,

3

\BT\=—\PB\=—\t\,

33

當(dāng)戶在x軸上方時,尸7與半圓有公共點0,PT與半圓相切時,有最大值3,此時t有最大值百,

當(dāng)尸在x軸下方時,當(dāng)0與/重合時,有最大值2,有最大值2叵,則t取得最小值—2叵,

33

t=0時,戶與方重合,不符合題意,

則力的取值范圍為[—答,0)u(0,V3];

-2U

【點睛】本題考查直線與圓方程的應(yīng)用,涉及直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5道小題,每小題5分,共25分.

11.在(1—2x)5—(1—x)4的展開式中,含V項的系數(shù)為.

【答案】-76

【解析】

【分析】利用組合方法分別求出展開式中含V項,合并同類項即可得解.

【詳解】由組合知識知,(1-2x)5展開式中含/的項為c:(-2x)3=_80/,

第7頁/共22頁

(1—x)4的展開式中含V的項為C:(—x)3=—4d,

合并同類項可得—80d—(―4/)=-76/,即含/項的系數(shù)為—76.

故答案為:-76

12.請寫出一個焦點在〉軸上,且與直線y=2x沒有交點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:.

【答案】匚-必=1(答案不唯一)

4

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線與雙曲線無交點,即可得到滿足條件的雙曲線可以為=2(彳〉0),即

可求解.

2

【詳解】與直線J=2x沒有交點,則j=2x可以作為雙曲線的漸近線,故滿足"-/="彳〉0),取%=1,

則滿足條件的一個雙曲線方程可以為且-V=i.

4

故答案為:^-x2=l

4

13.已知函數(shù)/(x)=9+辦+同在區(qū)間[0,4]上的最大值為跖當(dāng)實數(shù)°,6變化時,M最小值為.

【答案】2

【解析】

【分析】/(x)=|x2-4x-[-(tz+4)x-Z)]|,則M即為函數(shù)g(x)=/一4x與函數(shù)h(x)=-(a+4)x-b圖

象上點的縱向距離的最大值中的最小值,作出函數(shù)圖象,由圖象觀察即可得出答案.

【詳解】/(x)=|x2-4x+(a+4)x+b|=|x2-4x-[-(a+4)x-Z)]|,

上述函數(shù)可理解為當(dāng)橫坐標(biāo)相同時,函數(shù)g(x)=/—4x,xe[0,4]與函數(shù)=-(a+4)x-b,xe[0,4]

圖象上點的縱向距離,

則”即為函數(shù)g(x)=V—以與函數(shù)%(x)=-(a+4)x-b圖象上點的縱向距離的最大值中的最小值,

作出函數(shù)g(x)"(x)圖象,如圖,

第8頁/共22頁

由圖象可知,當(dāng)函數(shù)/z(x)的圖象剛好為了=-2時此時。=-4,6=2,M取得最小值為2.

故答案為:2

14.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+°),其中0>0,且恒成立,/(x)在^上單調(diào),

則(0的取值范圍是,

【答案】[o,|

【分析】由|〃x)|"0)可知說)=1,則夕專-詈+2?,"Z,由正弦函數(shù)的單調(diào)性建立不等式組,解之

即可求解.

【詳解】由題意知,|/(x)|</(5,則/G)=l,即sinGo+°)=l,解得夕?+2板丘Z.

66626

,715兀八/口〃>兀兀

由一<x<—,69〉0,得--\-(p<cox+(p<-------F(p,

3636

71371_,712o)Tt_T

nrt—l-----F2kli<cox+夕<—l--------F2左7兀4£Z,

2623

若函數(shù)/(x)在(工型)上單調(diào)遞增,貝IJ一乙+2祈4烏+絲+2kit<-+—+%M來印eZ,

36226232

兀C7,兀刃兀

-----F2左兀<—+-----Fi207kjl

226CO>-6

兀①兀-,71兀

即H------F2左兀<-+——+2kn,上cZ,解得G>0,則不等式組無解;

12623

0Vo

兀2〃沉一71一

【2++ZkTiV+2kit

32

若函數(shù)仆)在上單調(diào)遞減,貝吟+2E甘+干+2加<尹等+如吟+如匕eZ,

第9頁/共22頁

兀_,兀

76971_7

—+2左兀<—+-----F2左兀

226co>0

口口兀G兀C7兀2G兀?keZ,解得卜>。,則0<。/,

即〈—I----F2ATI<—I-----F2左兀,

2623一32

兀2G兀,3?!?/p>

—I-----F2kliV-----F2左兀

1232

所以實數(shù)。的取值范圍為

故答案為:(0,1]

15.數(shù)列{4}的前?項和為S“,若數(shù)列{%}與函數(shù)/(X)滿足:①/(X)的定義域為R;②數(shù)列{%}與函數(shù)/(X)

均單調(diào)遞增;③m〃eN*使S“=/(a〃)成立,則稱數(shù)列{4}與函數(shù)/(刈具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”.有下面四個

結(jié)論:

(1)%=2〃+1與/(x)=x具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”

(2)%=2"與/(x)=2x-2不具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”

(3)與數(shù)列{2〃+1}具有“單調(diào)偶遇關(guān)系的函數(shù)有有限個

(4)與數(shù)列{2"}具有"單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個

其中正確結(jié)論的序號為.

【答案】(1)(4)

【解析】

【分析】根據(jù)“單調(diào)偶遇關(guān)系”的新定義可判斷選項(1),(2);以一次函數(shù)為例,/(x)=Ax+3可判斷(3);

令=通過計算可判斷(4),進(jìn)而可得正確選項.

【詳解】對于(1):數(shù)列{%}中,由%=2〃+1可知任意兩項不相等,/(x)=x定義域為R滿足①,數(shù)

列4=2〃+1和/(x)=x均單調(diào)遞增滿足②,{4}的前“項和S),=〃(3+2〃+1)=/+2”,由

5“=/(?!?得/+2〃=2〃+1,解得〃=1,所以加eN*使S〃=/(a,)成立‘滿足③,故(1)正確;

對于(2):數(shù)列{4}中,由g=2"可知任意兩項不相等,/(x)=2x—2定義域為R滿足①,數(shù)歹Ua“=2"

和/(x)=2x—2均單調(diào)遞增滿足②,{%}的前"項和S“=2向—2,由S“=得2向—2=2x2"—2

恒成立,所以加eN*使8“=/(%)成立滿足③,故

第10頁/共22頁

=2"與/(力=2%-2具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”,故⑵說法不正確;

2

對于(3):以一次函數(shù)為例,f[x}=kx+b,Sn=n+2n,Sn=/(<2?),即〃?+2〃=左(2〃+l)+b整理

得〃2+(2—2左)(左+6)=0,只要方程有正整數(shù)解且左>0即可,如方程中取〃=1,則有3=3k+6,

即左=1-g,對6進(jìn)行不同的取值即可保證數(shù)列{2〃+1}具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)組,故(3)說

法不正確;

2

對于(4):中S.=2"+i—2,令=由S,=/(a“)得2向—2=4x2",取4=2—三即可保證

Sn=/(4)恒成立,故選項(4)正確,

故答案為:(1)(4).

三、解答題共6道小題,共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.如圖,在A4BC中,AB=2,cos3=1,點。在線段5C上.

3

(II)若BD=2DC,A4CD的面積為逑,求竺芻竺■的值.

3sinZCAD

Q

【答案】⑴-;(2)472.

【解析】

【詳解】(1)在三角形中,???cos5=1,.?"吊8=迪.

33

在A48D中,由正弦定理得———=也,

sinZADBsinB

又AB=2,ZADB=~,sinB=^./.AD=-.

433

(II)*.*BD=2DCfS*BD~2sMDC,;隊建*虹零

第11頁/共22頁

又S“DC=§也,S^BC=4A/2,

SMRC=—ABBCsin/ABC,BC=6,

S..?=-AB-ADsinABAD,S=-ACADsinACAD,

LX/1DnUiMs/iUnLr2

sinZBADAC

SWBD~2s,................-2'-----

AsinZCADAB'

在AABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2一2ABBCcos/ABC.

,l.sinZBADAC“后

??AC—4V2,?-------------=2------=4\2.

7sinZCADAB

17.某大學(xué)N學(xué)院共有學(xué)生千余人,該學(xué)院體育社團(tuán)為了解學(xué)生參與跑步運動的情況,按性別分層抽樣,已

知/學(xué)院男生與女生人數(shù)之比為16:9,從該學(xué)院所有學(xué)生中抽取若干人作為樣本,對樣本中的每位學(xué)生在

5月份的累計跑步里程進(jìn)行統(tǒng)計,得到下表.

跑步里程s(km)0<5<3030<5<6060<5<905>90

男生a9106

女生6642

用樣本頻率估計總體概率,

(1)求a的值,并估計從N學(xué)院所有學(xué)生中抽取一人,該學(xué)生5月份累計跑步里程s(km)在[0,30)中

的概率;

(2)從N學(xué)院所有男生中隨機(jī)抽取2人,從N學(xué)院所有女生中隨機(jī)抽取2人,估計這4人中恰有2人在5

月份的累計跑步里程不低于60km的概率;

(3)該大學(xué)8學(xué)院男生與女生人數(shù)之比為X,5學(xué)院體育社團(tuán)為了解學(xué)生參與跑步運動的情況,也按性別

進(jìn)行分層抽樣已知A學(xué)院和B學(xué)院的樣本數(shù)據(jù)整理如下表.

5月份累計跑步里程平均值(單位:km)

學(xué)院性別AB

男生5059

女生4045

設(shè)/學(xué)院樣本中學(xué)生5月份累計跑步里程平均值為乙,3學(xué)院樣本中學(xué)生5月份累計跑步里程平均值為馬,

是否存在X,使得乙如果存在,求的最大值;如果不存在,說明理由.

第12頁/共22頁

13

【答案】(1)a=7,概率為歷

⑵得

(3)存在滿足條件的X,且X的最大值為工

9

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)男女比即可求出。,再根據(jù)古典概型即可求出所求概率;

(2)先分別求出在/學(xué)院所有男生中任取1人,跑步里程不低于60km的概率及在/學(xué)院所有女生中任取1

人,跑步里程不低于60km的概率,再根據(jù)乘法公式求解即可;

(3)設(shè)8學(xué)院女生人數(shù)為x,則男生人數(shù)為Xx,求出%,xB,即可得到不等式,解得即可.

【小問1詳解】

tz+9+10+616.,

依題息------------=—,解得<2=7,

6+6+4+29

__________1+6__________13

所以在[0,30)中的概率為

7+9+10+6+6+6+4+250

【小問2詳解】

A學(xué)院所抽取的學(xué)生中男生有7+9+10+6=32人,

其中5月份的累計跑步里程不低于60km有10+6=16人,

女生有6+6+4+2=18人,

其中5月份的累計跑步里程不低于60km有4+2=6人,

所以在4學(xué)院所有男生中任取1人,跑步里程不低于60km的概率為—

322

在N學(xué)院所有女生中任取1人,跑步里程不低于60km的概率為9,

183

所以4人中恰有2人累計跑步里程不低于60km的概率為

【小問3詳解】

設(shè)2學(xué)院女生有x人,則男生有人,

一1659八232

x——x50H----x40-------,

“A25255

——592x+45%592+45

xR----------

Ax+x2+1

—口口232592+45

依題思xA>xB,即—^―>--―--

第13頁/共22頁

顯然2〉0,解得0<2<,,所以2的最大值為

99

18.四棱錐P—48CD中,底面48c。為平行四邊形,平面尸48_1_平面48CD,PALAB,E為棱PA

的中點,過點8,C,£的平面交棱PD于點足

(1)求證:F為PD中點、;

(2)若歸/|=|45|=2,怛。|=3,再從條件①,條件②,條件③中選擇一個作為已知,使四棱錐唯一確定,

求二面角D-CF-E的余弦值.

條件①:PC1BD

條件②:|尸。|=忸。|

條件③:PC與平面45CD所成角的正切值為2

如果選擇的條件不符合要求,第(2)問得0分;如果選擇多個符合要求的條件分別解答,按第一個解答計

分.

【答案】(1)證明見解析

(2)選條件①:不合題意;選條件②:-2;選條件③:-2;

55

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)定理可得結(jié)果;

(2)選條件①:根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合已知,不合題意;選條件②:根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合

已知,建立空間直角坐標(biāo)系,由向量法求二面角可得結(jié)果;選條件③:根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得NFC4為

PC與平面A8CD所成角,建立空間直角坐標(biāo)系,由向量法求二面角可得結(jié)果.

【小問1詳解】

因為四邊形/BCD為平行四邊形,所以BC//4D,

又平面P/。,40u平面尸40,所以5C//平面P4D,

又BCu平面CBEF,平面CBEFn平面PAD=EF,

所以BC//EF,所以EF//4D,又E為棱PZ的中點,

所以歹為尸。中點.

【小問2詳解】

選條件①:

第14頁/共22頁

因為平面尸48,平面48CD,平面048c平面48CD=48,PA1AB,

所以PA±平面ABCD,所以PZ_L5。,,40,又尸C,,且上4npe=P,P4,PC<=平面上4。,

所以平面上4C,所以AD1/C,故四邊形/BCD為菱形,

但歸/|=|/即=2,忸。|=3,在RtZXP/。中,\AD\=^\PD^-\AD^=V5\AB\>

這與四邊形/BCD為菱形矛盾,不合題意;

選條件②:

因為平面尸48_L平面48cD,平面「48c平面48CD=48,PALAB,

所以尸平面48cO,所以尸又歸/|=|/4=2,怛。|=3,

在RtAP4D中,|超=J即2-=正=忸q,所以|PC|=|5C|=JL

所以在RtAPZC中,|/C|=1,在AB/C中,|48『+以?!?忸?!?,

所以481ZC,如圖,以/為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,

所以C(0,l,0),0(-2,1,0),P(0,0,2),E(0,0,1),

設(shè)平面£尸0的一個法向量為&=(XQ],Z]),又赤g,l],麗=1-l,g,0

--------1

〃],CF——X[---必+Zj—0

n^CF

因為<所以《彳,令必=2,則玉=I/1=2,

--—-1

nxL~EF

nx-EF=-x{+-yx=0

故成=(1,2,2),

(x,y,z),又而=,l,—g,l;*=(2,0,0),

設(shè)平面。尸。的一個法向量為%=222

一一?1

Z-LCF4,CF——x9y9+z9=0

因為《」一,所以2,令刑=2,則%=0,z2=1,

n2_LDC

n2-DC=2X2=0

故句=(0,2,1),

6275

貝ICOS%,%二^^=飛—,因為二面角D—CF—E為鈍角,

所以二面角D-CF-E的余弦值為-拽

5

第15頁/共22頁

選條件③:因為平面尸48,平面48CD,平面「45c平面48CD=48,PA1AB,

所以R4,平面ABCD,所以4c為PC在平面ABCD內(nèi)的射影,

1Pzi2

故ZPCA為PC與平面ABCD所成角,即tanZPCA=舄=——=2,

\AC\\AC\

所以Ma=i,在AB/C中,|^5|2+|^C|2=|5C|2,

所以481/C,如圖,以/為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,

所以。(0,1,0),£?(—2,1,0),P(0,0,2),E(O,O,1),"—',1],

=(再,必,4),又。尸=(一1,一(,11,跖

設(shè)平面£FC的一個法向量為加T3,

4.CF=-%1--y+Z]=0

nLCFx

因為《x所以《,令%=2,則/=L4=2,

n^EF-??1

ncEF=-Xl+-yI=0

故*=(1,2,2),

設(shè)平面C的一個法向量為0=(x2,y2,z2),又而灰=(2,0,0),

n,±CF〃,,CF=—x,—y?+z,=0

因為<二一,所以<一2.-",令%=2,則%=0,=1,

n2LDC

n2-DC=2X2=0

故第=(0,2,1),

6275

則COS(〃1,〃2

"J亞=飛一,因為二面角£>—CE—E為鈍角,

所以二面角D-CF-E的余弦值為-35

5

19.已知點,!V22

在橢圓£:—+方=1(?!?)〉0)上,且£的離心率為]

a

第16頁/共22頁

(1)求£的方程;

(2)設(shè)尸為橢圓£的右焦點,點尸(加,〃)是£上的任意一點,直線尸產(chǎn)與直線3M+4即=0相交于點。,

求|尸。|的值.

22

【答案】(1)土+土=1;

43

(2)|PQ|=2.

【解析】

19,

------1---------1

a24b2----'

c1

【分析】(1)由題意得一=彳,求出即可得橢圓方程;

a2

a2=b2+c2,

(2)由題意可得3/+4〃2=12,當(dāng)掰=1時,求出的值;當(dāng)加時,聯(lián)立直線尸尸與直線

3〃ix+4町=0的方程求出點。的坐標(biāo),根據(jù)3加2+4/=12求解「即可.

【小問1詳解】

191

/十加一戶2,

由題意得]£=不,解得|分=百,

a2

a2=b2+c2,I?!?/p>

22

所以橢圓E的方程為土+土=1.

43

【小問2詳解】

因為點尸(外〃)是£上的任意一點,所以3/+4/=12.

①當(dāng)加=1時,點尸或P11,一

當(dāng)點尸時,直線依與直線x+2y=0相交于點0。,—;I止匕時歸。|=2.

第17頁/共22頁

當(dāng)點尸]1‘一』時,直線"與直線X—2y=0相交于點止匕時歸。|=2.

②當(dāng)加W1時,直線尸廠的方程為y=——(X-1),

m-1

c\An2

,了二----?(xT)-rz12-3m,A4M--mn

由《m—1,可得B《,所Eff以rQ—;―-—,-----

,-mn[12-3m4-m

3amx+4Any=0ny=-----'

、4-m

(、

4n2V(-mnY12m-3m2-4n22(,4n-mn+mn

所以|PQ『=m---------

+C-4-mJ、12—3加)14-m

12-3m?

4加-4丫(4nY(4*4)2+16](4加-4『+4(12-3/)

4-m)\4-m)(4-m)2(4-m)2

4(加之一8加+16)4(加黃)2斗

(4-m)2(4-m)"

所以|PQ|=2.

綜上所述,|尸。|=2.

【點睛】總結(jié)點睛:

(1)解答直線與橢圓的題目時,時常把兩個曲線的方程聯(lián)立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根與

系數(shù)的關(guān)系,并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.

(2)涉及到直線方程的設(shè)法時,務(wù)必考慮全面,不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.

20.設(shè)函數(shù)/(x)=ln("+l)-x,aeR,曲線了=/(x)在原點處的切線為x軸,

(1)求°的值;

V2

(2)求方程—的解;

x+2

20242023.5

(3)證明:e<

2023

【答案】(1)1(2)0

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意可知/(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)值為0,解方程即可;

第18頁/共22頁

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(x+l)---,利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性,再通過觀察法得x=0是g(x)的零點,

x+2

從而得解;

20241

(3)利用(2)中結(jié)論證明In——>--------,由此得證.

20232023.5

【小問1詳解】

n

因為/(x)=ln(at+l)—x,所以/(x)=—■——1,

ax+\

因為曲線y=在原點處的切線為x軸,所以/'(0)=?!?=0,即a=1.

【小問2詳解】

由(1)知f(x)=ln(x+1)-x

丫22x

所以方程/(x)=-—可化為ln(x+1)———=0(x>-1),

x+2x+2

22

2x14_(x+2)-4(x+l)X

令g(x)=ln(x+1)--------,則g'(x)=>0,

x+2x+1(x+2)2(x+l)(x+2)2(x+l)(x+2)2

所以g(x)在(―1,+8)上單調(diào)遞增,又g(0)=0,所以g(x)在(―1,+8)上有唯一零點X=0,

r2

所以方程/(x)=—二」有唯一解x=0.

x+2

【小問3詳解】

2024產(chǎn)工5202420241

要證e<,即證1<2023.5><ln------即證ln」^〉------

2023I202320232023.5

下證4〉,

20232023.5

2x小、

由(2)中g(shù)(x)單調(diào)遞增且g(0)=0,Wln(x+1)>——-X€(0+oO),

x+2??

2x^—.

20241

所以In2竺=In/+1>2023.2

20231c40472023.5

2023

20242023.5

故可得證6<

2023

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