山西省運(yùn)城市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)第二次模擬調(diào)研測試數(shù)學(xué)（A）試卷(含答案)

山西省運(yùn)城市2024屆高三下學(xué)期第二次模擬調(diào)研測試數(shù)學(xué)（A）試

卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足（4—3i）z=l+2i,則忖=（）

A.昱B,1dD當(dāng)

5555

2.已知圓錐的側(cè)面積為12兀，它的側(cè)面展開圖是圓心角為目的扇形，則此圓錐的體

3

積為（）

A.60兀B.電況C.6島D.16扃

33

3.已知向量。和b滿足何=3,慟=2,卜+0=6，則向量b在向量a上的投影向量

為（）

A.—aB.—uC.—uD.a

33

22

4.已知雙曲線二-3=1（。>0,5>0）的兩條漸近線均和圓C：V+y2+8x+7=0相

ab

切，且雙曲線的左焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（）

22

A.土-乙=1=1

97

5.將函數(shù)〃x）=2sin3x+：的圖象向右平移姒0>0）個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）

的圖象，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0,°）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則（p的取值范圍是（）

5兀3兀5兀3?！?，3兀1371

A.

129T129TU12

6.“五一”假期將至，某旅行社適時(shí)推出了“晉祠”“五臺(tái)山”“云岡石窟”“喬家大院”“王家

大院”共五條旅游線路可供旅客選擇，其中“喬家大院”線路只剩下一個(gè)名額，其余線路

名額充足.現(xiàn)有小張、小胡、小李、小郭這四人前去報(bào)名，每人只選擇其中一條線路,

四人選完后，恰好選擇了三條不同的線路.則不同的報(bào)名情況總共有（）

A.360種B.316種C.288種D.216種

7.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若兒〉0,與＜0,則?的取值范圍是（）

8.已知正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)P在以A為圓心，1為半徑的圓上，則

|尸3「+歸。『+歸式最小值為（）

A.18-8V2B.18-873C.19-8A/3D.19-8V2

二、多項(xiàng)選擇題

9.水稻產(chǎn)量是由單位面積上的穗數(shù)、每穗粒數(shù)（每穗穎花數(shù)）、成粒率和粒重四個(gè)基本

因素構(gòu)成.某實(shí)驗(yàn)基地有兩塊面積相等的試驗(yàn)田，在種植環(huán)境相同的條件下，這兩塊試

驗(yàn)田分別種植了甲、乙兩種水稻，連續(xù)試驗(yàn)5次，水稻的產(chǎn)量如下：

甲（單位:kg）250240240200270

乙（單位:kg）250210280240220

則下列說法正確的是（）

A.甲種水稻產(chǎn)量的極差為70

B.乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為240

C.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)

D.甲種水稻產(chǎn)量的方差小于乙種水稻產(chǎn)量的方差

10.已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意的x,yeR,都有/（肛）=燈＞（?。?W（x），

若/（2）=2,則下列說法正確的是（）

A.〃l）=0BJ（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

20242024

C.^/（2,）=2023X22025+2D./（2;）=2024x22026+2

z=li=l

11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A4Gq中，點(diǎn)P是側(cè)面AD24內(nèi)的一點(diǎn)，

點(diǎn)E是線段CG上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)P是線段4。的中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)E,使得平面尸耳2

B.當(dāng)點(diǎn)E為線段CG的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)A,E,2的平面截該正方體所得的截面的面積為

9

4

C.點(diǎn)E到直線BA的距離的最小值為0

D.當(dāng)點(diǎn)E為棱CG的中點(diǎn)且PE=2拒時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡長度為y

三、填空題

12.已知集合A=<%€七<3.<27,,B={x|x2-3x+m=o},若leAB,則AB

的子集的個(gè)數(shù)為..

13.已知tana=2tan〃，sin(a+夕)=；,則sin(/?-1)=.

22

14.已知橢圓C：-^z-+Y7=1(。〉6〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn),過工的直線與C

ab2

交于A,3兩點(diǎn)，且|A周=|A@,若△04耳的面積為￡〃，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

J~L的值為.

閨用

四,解答題

15.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c

csin—Z?sin2C+—csinCcos5.

242

⑴求sinA的值;

(2)如圖，a=66,點(diǎn)。為邊AC上一點(diǎn)，且2OC=5D5,ZABD=|,求△ABC的

面積.

B

AD

16.長跑可提高呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機(jī)能，較長時(shí)間有節(jié)奏的深長呼吸，能使人體

呼吸大量的氧氣，吸收氧氣量若超過平時(shí)的7-8倍，就可以抑制人體癌細(xì)胞的生長和

繁殖.其次長跑鍛煉還改善了心肌供氧狀態(tài)，加快了心肌代謝，同時(shí)還使心肌肌纖維變

粗，心收縮力增強(qiáng)，從而提高了心臟工作能力.某學(xué)校對(duì)男、女學(xué)生是否喜歡長跑進(jìn)行

了調(diào)查，調(diào)查男、女生人數(shù)均為200,統(tǒng)計(jì)得到以下2x2列聯(lián)表：

喜不喜合

歡歡計(jì)

男

12080200

生

女

100100200

生

合

220180400

計(jì)

⑴試根據(jù)小概率值c=0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生對(duì)長跑的喜歡情況與性別有

關(guān)聯(lián)？

(2)為弄清學(xué)生不喜歡長跑的原因，從調(diào)查的不喜歡長跑的學(xué)生中按性別采用分層抽樣

的方法隨機(jī)抽取9人，再從這9人中抽取3人進(jìn)行面對(duì)面交流，記隨機(jī)變量X表示抽

到的3人中女生的人數(shù)，求X的分布列；

(3)將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取12人，記其中喜

歡長跑的人數(shù)為匕求￥的數(shù)學(xué)期望.

9n(ad-bcY廿上

附：%一=7----------------------77；~其中〃=a+》+c+d.

a0.1000.0500.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

17.如圖1,在△ABC中，AC=BC=4,AB=4應(yīng)，點(diǎn)。是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E

是線段上的一點(diǎn)，且小，將△相＞后沿翻折到△P"的位置，使得

PE±BD,連接P5,PC,如圖2所示，點(diǎn)歹是線段PB上的一點(diǎn).

c

(1)若BF=2PF,求證：CF〃平面PDE；

(2)若直線Cb與平面PBD所成角的正弦值為警,求線段BF的長.

18.已知拋物線C：=2pX(P>0)的準(zhǔn)線與圓。：f+y2=l相切.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)尸是C上的一點(diǎn)，點(diǎn)A,3是C的準(zhǔn)線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且圓。是的內(nèi)

切圓.

①若|AB|=2行，求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；

②求面積的最小值.

19.已知函數(shù)/(x)=(x-a)e*+x+a(awR).

(1)若。=4,求/(x)的圖象在無=0處的切線方程；

(2)若/(x)20對(duì)于任意的恒成立，求a的取值范圍；

⑶若數(shù)列｛%｝滿足q=1且a用=3」(〃eN*),記數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為黑，求證：

“〃+2

S0+g<ln[("+l)(〃+2)].

參考答案

1.答案：A

解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足（7”=—所以"詈=渭粕>g%

2.答案：B

解析：設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線長為/,貝1]?！?12兀，迎=0,解得廠=2,

I3

1=6,所以此圓錐的高/z=J/2——=4夜,所以此圓錐的體積

V^-7tx22x4^=16^7r>j^B.

33

3.答案：A

解析：因?yàn)椴?0=近，所以卜|+2a0+慟=7,又卜|=3,=2,所以

----n-h-31

9+2〃,Z?+4=7,解得〃力二一3,設(shè)。與b的夾角為0,貝ljcos6=f-pyj=-----=—,

理3x22

所以向量b在向量a上的投影向量為Wcos6.jp故選A.

4.答案：D

A

解析：雙曲線的一條漸近線方程為y=2%,所以區(qū)-電=0.圓C%2+y+8%+7=0

a

的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+4y+y2=9,所以圓心為C（T,0）,r=3,所以尸|=3,又

yja2+b2

_22

a2+b2=16,解得。=近，b=3,所以雙曲線的方程為上-乙=1.故選D

79

5.答案：C

解析：將函數(shù)/（x）=2sin°x+￡|的圖象向右平移0（0>0）個(gè)單位長度，

得至Uy=2sin3（x-0）+：=2sin[3x-3o+：）,

所以g(x)=2sin-3。+己)，

當(dāng)x￡(0,0)時(shí)，3x—30+：￡1—3e+：,?),

又函數(shù)g(%)在區(qū)間(0,(p)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以一2?！丁?夕+/<—兀，解得變<"〈型，

4124

即。的取值范圍是(女，型］.故選C.

1124」

6.答案：C

解析：若小張、小胡、小李、小郭這四人中，沒有人選擇“喬家大院”線路，則報(bào)名情

況有C；xA；=144種.

若小張、小胡、小李、小郭這四人中，恰有1人選擇“喬家大院”線路，則報(bào)名情況有

C；(C；xAj)=144種.

所以不同的報(bào)名的情況總共有144+144=288種.故選C.

7.答案：B

解析：由題意知九=1"巧；囚5)=151〉o,所以霰〉。，

又&=16(。；?6)=8儂+。9)<0'

所以小+<0，所以。9V-。8<0.

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則d=%-%<0,

線=4+7d〉0,

所以%>0.所以<

/+。9=q+7d+q+8d=24+15d<0,所以一11

所以及=幺±@=]+&€

Ml,即空的取值范圍是.故選B.

8.答案：D

解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD所在的直線分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

如圖所示.

--------------------71c

設(shè)P(x,y),所以公+_/=1,又3(2,0),C(2,2),D(0,2),

22222

所以|PB「+|pc|+|PZ)|=(X-2)+V+(x-2)+(y—2?+Y+(y-2)

=19-8(x+y),

令x+y=/,即x+y-，=0,所以直線x+y-f=0與圓好+,2=i有公共點(diǎn)，所以

J￡<1

g

解得,

所以(|P3「+|PC「+|PD「)=19-80.故選D.

9.答案：ABD

解析：由表中數(shù)據(jù)可知，甲種水稻產(chǎn)量的極差為270-200=70,故A正確；

由表中數(shù)據(jù)可知，乙種水稻產(chǎn)量從小到大排列為210,220,240,250,280,所以乙

種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為240,故B正確；

對(duì)于C,甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為gx(250+240+240+200+270)=240,乙種水稻產(chǎn)

量的平均數(shù)為1x(250+210+280+240+220)=240,所以甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)等于

乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)，故C錯(cuò)誤；

甲種水稻產(chǎn)量的方差為

-xF(250-240)2+(240-240)2+(240-240)2+(200-240)2+(270-2407]=520,

5L-

乙種水稻產(chǎn)量的方差為

|X[(250-240)2+(210-240)2+(280-240)2+(240-240)2+(220-240)2]=600,

所以甲種水稻產(chǎn)量的方差小于乙種水稻產(chǎn)量的方差，故D正確.

故選ABD.

10.答案：AC

解析：令x=l,y=l,得/(1)=/(1)+/(1)，解得/(1)=0,故A正確；

令x=-l,y=-l,所以==解得=令y=-l,所以

/(-x)=#(-l)-/(x)=-/W,所以“X)是奇函數(shù)，所以〃力的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)?(2n)=f(2,!-'x2)=2"-1/(2)+2/(2"-]),令4=eN*)，

則4=24_1+2"("22,〃eN*),所以2f4=2｛川4_1+1,

令2=2一％”，則用=%+1，

又4=2-)2=1,所以｛%｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,

所以〃=4+5-1)=〃，所以a“=〃」2",

23

令5'=￡/的這以=%+。2+…+%,=1X2+2X2+3X2+---+H-2",

k=lk=l

則2s“=1x22+2x23+3x24+…+(〃-1>2"+〃-2"1,

所以—S“=2+22+23+-+2"—N-2"+I

2x(1—2")

=—；2-",2'用=(1—〃)2"M—2,

所以S,,=(“—l)-2"+i+2,

2024

所以=2023X22。25+2,故C正確，D錯(cuò)誤.

i=l

故選AC.

11.答案：ACD

解析：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示.

則。（0,0,0）,A（0,0,2）,A（2,0,2）,4（2,2,2）,

當(dāng)點(diǎn)p是線段4。的中點(diǎn)時(shí)，P(I,O,I),

設(shè)E(0,2,a)(0WaW2),

所以PR=(T0,l),PBi=(1,2,1),4E=(—2,2,a—2),

假設(shè)存在點(diǎn)E,使得A.E1平面PBR,

則P〃.AE=2+a—2=0,PB1-AlE=-2+4+a-2=0,

解得a=O,

所以存在點(diǎn)E,使得平面尸耳2，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，故A正確；

取5C的中點(diǎn)E連接Bq,EF,FA,AD,,D.E,如圖所示.

則EF〃5Ci，ADJ/BQ,所以

又易得他=2亞,EF=42,AF=D[E=5

所以梯形的面積為

AD.+EF(AD.-EF^2夜+亞I(272-72?9

,代-,付JF

Q

所以過A,E,R點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面的面積為2,故B錯(cuò)誤;

2

又5(2,2,0),<E(0,2,m)(0<m<2),

所以期=(一2,-2,2),BE=(-2,0,m),

所以點(diǎn)E到直線的距離

d=,@sin(BD],明=|BE|-J—cos?

/、2

m122

3一半半=JI(-)+

〔I"

所以《jin=3，

此時(shí)機(jī)=1,所以點(diǎn)E到直線3A的距離的最小值為夜，故C正確;

取。2的中點(diǎn)G,連接EG,EP,GP,

易得GEL平面AADQ,又GPu平面相。。，

所以GELGP,所以GP=J*_GE?=J（2可—22=2,

則點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡為以G為圓心，半徑為2的劣弧，

分別交AZ）,于鳥，4，

TTjr

則NAGR=ZPGD=J,則N<G馬=j,

2

所以點(diǎn)P的軌跡長度為二x2=@,故D正確.

33

故選ACD.

12.答案：8

解析：由題意知A=<xeNg<3Ai<27，={0,1},又leAB,

所以IEB,所以I2—3+機(jī)=。，解得根=2,

所以3=卜尸-3X+2=0}={1,2},所以A6={0,1,2},所以A-8的子集的個(gè)數(shù)為

23=8.

13.答案：-工

12

解析：因?yàn)閠ana=2tan〃，即電吧=2甄2,

C0S6ZCOS。

所以sinacos〃=2sin/?cosa,

因?yàn)閟in(a+尸)=sinacos/?+cosasin/?=：,

所以3cosasinJ3=—9解得cosasinJ3=—,sinacosJ3,

1

所以sin=sin/cosa-cos/sino=-----

12

".答案:半

解析：因?yàn)椤?4耳的面積為7^2,所以=2x4",

63

在心中，設(shè)N4A馬=，，。€（0,兀）,

2

由余弦定理可得陽閶2用之+|AK|-2|A^||A^|cos^,

即4c2=Q"|+14才—21MM用一21MM用cos。

=4a2+(-2-2cos6>)|A^||AK|,

則(2+2cos6>)|呵/=4/—牝2=4加,

所以△耳4月的面積S=J4用|A用sin6=sin”白=息白

1+cos。3

所以gsin6-cos0=1,

￡71571

即sin16一￡由于e—所以

2669~6

又所以是等邊三角形,即|饃|=|班|=|AB|,

由橢圓的定義可得|4周+忸制+|AB|=4a,所以|然|=%,

則|人閭=+，忸用=g,所以A3,占工，

=2tanNA斗片=竿

|耳聞閨閭

4

15.答案：(l)sinA=g

(2)18

242

由正弦定理得

sinCsin=—sinBsin2C+—sin2CcosB

242

=sinBsinCcosC+sin2CcosB

22

=好sinC(sini3cosC+sinCcosB)=-^-sinCsin(B+C),

又sinCwO,所以sin°=￥sin(g+C),所以sin氣&sin(兀一A),

pA(八兀)A八.AyJ5AL=.2A2<5

—G0,_9cos—w0,n\以sin—=—,cos—.1—sin——-,

2{2j2252V25

所以5也74=25也40)54=3.

225

(2)設(shè)05=2x(%>0)，又2DC=5DB,

所以DC=5x,cosZBDC-cosfA+-|-j=-sinA=

在△me中，由余弦定理得

4X2+25X2-(6A/5)2

DB°+DC?-BC?4

cosZ.BDC=

2DBDC2-2x-5x5

解得x-2,

所以應(yīng))=4,DC=10,

DB44

又sinA=——=—=-,所以ZM=5,AC=DA+DC=15,

DADA5

y.AB2+BD2=AD2,所以AB=3,

ii4

所以△ABC的面積S=—AB-ACsinA=—x3xl5x—=18.

225

16.答案：（1）學(xué)生對(duì)長跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于

0.050

(2)分布列見解析

⑶E")=M

解析：(1)零假設(shè)為“。：學(xué)生對(duì)長跑的喜歡情況與性別無關(guān)聯(lián).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到

_400x（120x100-80x100）2_姬

x4.040>3.841=x0050

200x200x220x18099

根據(jù)小概率值2=0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷4不成立，即認(rèn)為學(xué)生對(duì)長跑的喜

歡情況與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.050.

(2)從調(diào)查的不喜歡長跑的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取9人，其中男生

9x-^

的人數(shù)為:=4人,

80+100

100

女生人數(shù)為:9x=5人.

80+100

X的所有可能取值為0,1,2,3,

「31S

所以P（X=0）=W=—,p（x=l）=^^=—

\7Cg21'7Cg14

123

P（X=2）=^CC^=—in,P（X=3）=^c=—5,

''21'/C；42

所以入+口，所以E(y)=i2xH

17.答案：(1)證明見解析

解析：(1)證明：過點(diǎn)C作垂足為H,

在PE上取一點(diǎn)使得PM=LpE,連接FM,

3

如圖所示.

因?yàn)镻A/=」PE,PF=-PB,所以FM〃仍且RM=1E3,

333

因?yàn)椤Ｊ茿C的中點(diǎn)，且DELAB,所以CH//EB且CH=工EB,

3

所以CH//FM且CH=FM,所以四邊形CEW"是平行四邊形，所以CF//HM,

又CFU平面PDE,HMu平面PDE,所以C/〃平面PDE.

（2）因?yàn)镻E_LED,PELBD,ED\BD=D,ERBDu平面3CDE,所以PE_L平面

BCDE,

又3Eu平面3CDE,所以PELBE,PB=y/PE2+BE2=275.

又EBLED,所以EB,ED,￡P(guān)兩兩垂直，

故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB,ED,EP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

所以3（3行,0,0）,D（0,V2,0）,P（0,0,V2）,C（V2,272,0）.

設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量"=（x,y,z）,

又BP=（—30,0,0）,BD=（-372,72,0）,

匚口、」〃?5尸=—3岳+夜z=0,

所以-一lL

TI,BD——3v2x+N2y=0,

令1=1,解得y=3,z=3,

所以平面P5D的一個(gè)法向量〃=（1,3,3）.

設(shè)5尸=/L3P=（—3何,0,&）（0＜九＜1）,

所以"=C3+M=(20,—2倉0)+(-3A/22,0,V22)

=(2A/2-3屈,-2夜,怎)，

設(shè)直線。尸與平面P3D所成角的大小為e,

/\\n-CF\

所以sin6=cos(n,CF)=\-r,---\

'1HICFI

_____________________4V2___________________4屈

Jl+9+9義J(20—3衣+卜2何+(仞『57

解得或彳=工，所以BF」BP=百或BF，BP=^"

2102105

18.答案：(1)/=4%

⑵①3

②4指

解析：(1)由題意知C的準(zhǔn)線為》=-言，又C的準(zhǔn)線與圓。：必+產(chǎn)=1相切，所以

上=1,

2

解得夕=2,所以C的方程為

(2)設(shè)點(diǎn)？(如%),點(diǎn)A(-L〃z),點(diǎn)6(-1,〃)，直線Q4方程為y-相=當(dāng)——(x+1),

%+1

化簡得(為_/4*_(%0+l)y+(y0-m)+m(x0+1)=0.

又圓。是的內(nèi)切圓，

所以圓心0(0,0)到直線PA的距離為1,即呢+"-=1,

J(…了+(.+1)2

22222

故(%-m)+(x0+1)=(%-m)+2根(%-m)(x0+l)+m(x0+1)，

易知％0>1，上式化筒得，(九0—1)加2+2%加—(%+1)=0,

2

同理有(x0-l)zz+2yon-(xo+l)=O,

所以根〃是關(guān)于1的方程+2W-(/+1)=0的兩個(gè)不同的根，

所以根+〃=2%,mn-(玉)+1)

所以\AB^=(m-n)-=(m+/J_4mn=_4yo+4(*°+1),

(%-1)%-1

又點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)，所以y；=4%,

16%?4(/+1)=2XQ2+4XQ-1

所以|明=

(%-if/-1U-i)2

①若|陰=26，則2=2后,

解得％=3或%(舍)，所以點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為3.

②因?yàn)辄c(diǎn)P(%,為)到直線x=-1的距離d=毛+1，

所以的面積

1*

S5i加

2(3-1)2

/+10。+竺+*+32,

令/-1=/(/〉0),貝”=,2

因?yàn)槿耸?21；=8,10r+y>