初中數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)重難突破專題04 折疊問題(含答案)

專題04折疊問題重點(diǎn)分析在中考，這是必考內(nèi)容，主要考查形式包括：單純判斷對(duì)稱圖形的識(shí)別；利用對(duì)稱圖形的性質(zhì)求點(diǎn)坐標(biāo)；利用折疊的對(duì)稱性性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算與證明。難點(diǎn)解讀考點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形定義如果一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸如果兩個(gè)圖形對(duì)折后，這兩個(gè)圖形能夠完全重合，那么我們就說這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸性質(zhì)對(duì)應(yīng)線段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′對(duì)應(yīng)角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分區(qū)別(1)軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，只對(duì)一個(gè)圖形而言；(2)對(duì)稱軸不一定只有一條(1)軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個(gè)圖形；(2)只有一條對(duì)稱軸關(guān)系(1)沿對(duì)稱軸對(duì)折，兩部分重合；(2)如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成“兩個(gè)圖形”，那么這“兩個(gè)圖形”就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱(1)沿對(duì)稱軸翻折，兩個(gè)圖形重合；(2)如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形拼在一起，看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形1．常見的軸對(duì)稱圖形:等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓．2．折疊的性質(zhì):折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，折疊前后的兩圖形全等，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3．作某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的一般步驟1）過已知點(diǎn)作已知直線（對(duì)稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足；2）在這條直線另一側(cè)從垂足除法截取與已知點(diǎn)到垂足的距離相等的線段，那么截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱點(diǎn)．4．作已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形的一般步驟1）作出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)；2）把這些對(duì)稱點(diǎn)順次連接起來，就形成了一個(gè)符合條件的對(duì)稱圖形．真題演練1.如圖，在矩形中，，將此矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)處，折痕為，則的長為____，的長為____．【答案】①.②.【解析】由折疊得，，，設(shè)DF=x，則AF=8-x，，由勾股定理得DF=，，過作，過D作DM⊥于M，根據(jù)面積法可得，，再由勾股定理求出，根據(jù)線段的和差求出，最后由勾股定理求出；【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，由折疊得，，設(shè)DF=x，則AF=8-x，又Rt中，，即解得，，即DF=∴過作，過D作DM⊥于M，∵∴，解得，∵∴，解得，∴∴∴；故答案為：6；．【點(diǎn)撥】此題主要考查了矩形的折疊問題，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．2.如圖，在中．，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)．連接，將沿折疊，點(diǎn)落在處，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部（不含邊界）時(shí)，長度的取值范圍是___________．【答案】【解析】分別求出當(dāng)落在AC和BC上時(shí)的長度即可.【詳解】∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，∴，當(dāng)點(diǎn)落在AC上時(shí)，如圖，∵將△ABD沿BD折疊，點(diǎn)A落在處，∴∠ADB==90°，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)落在BC上時(shí)，如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，∵將△ABD沿BD折疊，點(diǎn)A落在處，∴∠ABD=∠DBC=45°，∵DH⊥AB，∴∠HDB=∠HBD=45°，∴BH=DH，∵，∴HD=2AH=BH，∵AB=AH+BH=2AH+AH=2，∴，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)在△ABC內(nèi)部（不含邊界）時(shí)，AD長度的取值范圍為．【點(diǎn)撥】本題考查折疊問題，解題的關(guān)鍵是考慮兩種極端情況．還可以利用相似來解題．3.如圖，長方形ABCD中，AD=BC=8，AB=CD=17，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.點(diǎn)E為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ADE與△AD′E關(guān)于直線AE對(duì)稱，當(dāng)△AD′B為直角三角形時(shí)，DE的長為______．【答案】或【解析】分兩種情況：點(diǎn)E在DC線段上，點(diǎn)E為DC延長線上的一點(diǎn)，進(jìn)一步分析探討得出答案即可．【詳解】如圖1，∵折疊，∴△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E=∠D=90°，∵∠AD′B=90°，∴B.D′、E三點(diǎn)共線，又∵ABD′∽△BEC，AD′=BC，∴ABD′≌△BEC，∴BE=AB=17，∵BD′==15，∴DE=D′E=17﹣15=2；如圖2，∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，∴∠CBE=∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∠D″=∠BCE，AD″=BC，∠CBE=∠BAD″，∴△ABD″≌△BEC，∴BE=AB=17，∴DE=D″E=17+15=32．綜上所知，DE=2或32．故答案為2或32．【點(diǎn)撥】本題考查翻折的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握翻折的性質(zhì)，分類探討的思想方法是解決問題的關(guān)鍵．4.在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2cm，M為AB的中點(diǎn)，N為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BMN沿直線MN折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE，CE，當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，線段BN的長為_____．【答案】或2【解析】分兩種情況：①如圖1，當(dāng)DE=DC時(shí)，連接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性質(zhì)得出AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出DG=，CG=，BG=BC+CG=3，由折疊的性質(zhì)得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，證明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，證出D.E.N三點(diǎn)共線，設(shè)BN=EN=x，則GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②如圖2，當(dāng)CE=CD上，CE=CD=AD，此時(shí)點(diǎn)E與A重合，N與點(diǎn)C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等邊三角形，BN=BC=2（含CE=DE這種情況）．【詳解】解：分兩種情況，①如圖1，當(dāng)DE=DC時(shí)，連接DM，作DG⊥BC于G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，∴DE=AD=2，∵DG⊥BC，∴∠CDG=90°-60°=30°，∴CG=CD=1，∴DG=CG=，BG=BC+CG=3，∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴AM=BM=1，由折疊的性質(zhì)得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，在△ADM和△EDM中，AD＝ED，AM＝EM，DM＝DM，∴△ADM≌△EDM（SSS），∴∠A=∠DEM=120°，∴∠MEN+∠DEM=180°，∴D.E.N三點(diǎn)共線，設(shè)BN=EN=x，則GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得：（3-x）2+（）2=（x+2）2，解得：x=，即BN=；②當(dāng)CE=CD時(shí)，CE=CD=AD，此時(shí)點(diǎn)E與A重合，N與點(diǎn)C重合，如圖2所示：CE=CD=DE=DA，△CDE是等邊三角形，BN=BC=2（符合題干要求）；綜上所述，當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，線段BN的長為或2；故答案為或2．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三點(diǎn)共線、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．5.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點(diǎn)P是AB上（不含端點(diǎn)A，B）任意一點(diǎn)，把△PBC沿PC折疊，當(dāng)點(diǎn)B′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在矩形ABCD的對(duì)角線上時(shí)，BP=__________________________．【答案】或．【解析】分兩種情況探討：①點(diǎn)B落在矩形對(duì)角線BD上，②點(diǎn)B落在矩形對(duì)角線AC上，由三角形相似得出比例式，即可得出結(jié)果．【詳解】①點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線BD上，如圖1所示．∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3∴∠ABC=90°，AC=BD，∴AC=BD==5．根據(jù)折疊的性質(zhì)得：PC⊥BB′，∴∠PBD=∠BCP，∴△BCP∽△ABD，∴，即，解得：BP=．②點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線AC上，如圖2所示．根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BP=B′P，∠B=∠PB′C=90°，∴∠AB′A=90°，∴△APB′∽△ACB，∴，即，解得：BP=．故答案為或．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊問題、勾股定理，矩形的性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，由三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．6.如圖，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，點(diǎn)E為射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿直線AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，則DE的長為_____．【答案】或10【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)題意，可分為E點(diǎn)在DC上和E在DC的延長線上，兩種情況求解即可：如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在DC上時(shí)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線QP上，易求FP=3，所以FQ=2，設(shè)FE=x，則FE=x，QE=4-x，在Rt△EQF中，（4-x）2+22=x2，所以x=．（2）如圖②，當(dāng)，所以FQ=點(diǎn)E在DG的延長線上時(shí)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線QP上，易求FP=3，所以FQ=8，設(shè)DE=x，則FE=x，QE=x-4，在Rt△EQF中，（x-4）2+82=x2，所以x=10，綜上所述，DE=或10.7.如圖，在矩形紙片中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折，得到，連接，，則當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，的長是________．【答案】或【解析】存在兩種情況：當(dāng)=DC時(shí)，連接ED，根據(jù)勾股定理可得ED的長，可判斷E，A′，D三點(diǎn)共線，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；當(dāng)=時(shí)，證明AEA′F是正方形，于是得出結(jié)論．【詳解】解：①當(dāng)=DC時(shí)，如圖1，連接ED，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，四邊形是矩形，∴AD=BC=，∠A=90°，∴DE=，∵將沿所在直線翻折，得到，∴A′E=AE=2，A′D=DC=AB=4，∴DE=A′E+A′D=6，∴點(diǎn)E，A′，D三點(diǎn)共線，∵∠A=90°，∴∠FA′E=∠FA′D=90°，設(shè)AF=x，則A′F=x，F(xiàn)D=-x，在Rt△FA′D中，，解得x=，∴FD=3；②當(dāng)=時(shí)，如圖2，∵=，∴點(diǎn)A′在線段CD的垂直平分線上，∴點(diǎn)A′在線段AB的垂直平分線上，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴EA′是AB的垂直平分線，∴∠AEA′=90°，∵將沿所在直線翻折，得到，∴∠A=∠EA′F=90°，AF=FA′，∴四邊形AEA′F是正方形，∴AF=AE=2，∴DF=．故答案為或．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理．分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．8.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于點(diǎn)F.若△AB′F為直角三角形，則AE的長為____或___【答案】3或【解析】△AB′F為直角三角形，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論.當(dāng)∠AFB′為直角時(shí)，利用勾股定理求出B′E，也就是BE的長，便求出AE．當(dāng)∠AB′F為直角時(shí)，過A作AN⊥EB′，交EB′的延長線于N，構(gòu)造Rt△B′EF，利用勾股定理便可求出AE.【詳解】解：①當(dāng)B′D⊥AE時(shí)，△AB′F為直角三角形，如下圖：根據(jù)題意，BE=B′E,BD=B′D=BC=.∠B=∠EB′F∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2∴AB===4∴∠B=∠EB′F=30°.∵在Rt△BDF中，∠B=30°∴DF=BD=∴B′F=B′D-DF=-=∵在Rt△B′EF中，∠EB′F=30°∴EF=B′E,∵B′F===EF,即=EF,∴EF=，則BE=1，∴AE=AB-BE=4-1=3.②當(dāng)DB′⊥AB′時(shí)，△AB′F為直角三角形，如下圖：連接AD，過A作AN⊥EB′，交EB′的延長線于N.根據(jù)題意，BE=B′E,BD=CD=B′D=BC=.∠B=∠EB′F∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2∴AB===4∴∠B=∠EB′F=30°.∵∠AB′F=90°∴∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=120°∴Rt△AB′N中，∠AB′N=60°，∠B′AN=30°∴B′N=AB′在Rt△AB′D和Rt△ACD中∴Rt△AB′D≌Rt△ACD（HL）∴AB′=AC=2∴B′N=1,AN=設(shè)AE=x,則BE=B′E=4-x∵在Rt△AEN中，∴()2+(4-x+1)2=x2∴x=綜上，AE的長為3或.【點(diǎn)撥】本題是一道綜合題，涉及到直角三角形全等的判定，30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí).9.如圖，在矩形中，，，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.的平分線交于，且.若點(diǎn)落在矩形的邊上，則的值為______.【答案】或【解析】分兩種情況：①點(diǎn)B′落在AD邊上，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)易得AB＝BE，即可求出a的值；②點(diǎn)B′落在CD邊上，證明△ADB′∽△B′CE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出a的值．【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如圖1．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在AD邊上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝1，∴a＝；②當(dāng)點(diǎn)B′落在CD邊上時(shí)，如圖2．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝