河北省保定市2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)5月月考數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

河北省保定市曲陽縣第一高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5

月月考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.己知復(fù)數(shù)z=43,i為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)Z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+產(chǎn)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.在中，角4,B,C的對(duì)邊分別為小b,c.若acosC+ccosA=a,則d的形

狀一定是（）

A.等腰三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

3.已知向量〃，〃滿足忖=2,h=（3,O）,P-/?|=V1O,則向量〃在向量b方向上的投影向

量為（）

A.加B,與0）C,加D.（1,0）

4.宋代是中國瓷器的黃金時(shí)代，涌現(xiàn)出了五大名窯：汝窯、官窯、哥窯、鈞窯、定窯.其

中汝窯被認(rèn)為是五大名窯之首.如圖1,這是汝窯雙耳罐，該汝窯雙耳罐可近似看成由兩個(gè)

圓臺(tái)拼接而成，其直觀圖如圖2所示.已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是12厘米，中間

圓的直徑是20厘米，上底面圓的直徑是8厘米，高是14厘米，且上、下兩圓臺(tái)的高之比是

3:4,則該汝窯雙耳罐的體積是（）

圖2

18847t-230471n2504兀

-----C.-----D.-----

333

5.從甲隊(duì)60人、乙隊(duì)40人中，按照分層抽樣的方法從兩隊(duì)共抽取10人，進(jìn)行一輪答題.相

關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：甲隊(duì)答對(duì)題目的平均數(shù)為1，方差為1;乙隊(duì)答對(duì)題目的平均數(shù)為1.5,方

差為0.4,則這10人答對(duì)題目的方差為（）

A.0.8B.0.675C.0.74D.0.82

6.設(shè)m、〃為空間中兩條不同直線，。、尸為空間中兩個(gè)不同平面，下列命題中正確的為

（）

A.若m上有兩個(gè)點(diǎn)到平面。的距離相等，則利IIa

B.若〃u/，貝是“a，6”的既不充分也不必要條件

C.若2，/，mua,〃u/?,則m_L〃

D.若機(jī)、〃是異面直線，機(jī)ua,mp,〃u/7,n//a,則?！?

7.在聞?C中，AC=2,。為AB的中點(diǎn)，CD=^-8C=y/7,P為CD上一點(diǎn),且

2

AP=fnAC+^AB,則卜尸卜（）

A屈R713rV13八2而

4323

8.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它

體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖所示，將正方體沿交同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，

共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種阿基米德多面體.己

知AB=1,則關(guān)于圖中的半正多面體，下列說法正確的有（）

B.該半正多面體過A,B,C三點(diǎn)的截面面積為空

4

C.該半正多面體外接球的表面積為品

D.該半正多面體的表面積為6+26

二、多選題

9.某燈具配件廠生產(chǎn)了一種塑膠配件，該廠質(zhì)檢人員某日隨機(jī)抽取了100個(gè)該配件的質(zhì)量

指標(biāo)值（單位：分）作為一個(gè)樣本，得到如下所示的頻率分布直方圖，則（同一組中的數(shù)據(jù)

用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（）

試卷第2頁，共6頁

A.=0.030

B.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為75

C.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)小7其平均數(shù)

D.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的第75百分位數(shù)為85

10.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若力>/?.則4n4>sin用

B.若則"BC為鈍角三角形

7T

C.若。=10,c=8,C=-,則符合條件的AABC有兩個(gè)

D.若acosA=%os8,則△/18C為等腰三角形或者直角三角形

11.如圖，已知直三棱柱人BC-AAG的所有棱長均為3,2E.EG分別在棱人用，4￡,

人民AC上，且AO=AE=3r=CG,”,尸分別為8cA”的中點(diǎn)，則（）

A.。石〃平面PR7

9

B.若M,N分別是平面4484和AACG內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則AWNP周長的最小值為；

C.若BF=gAB,過P,凡G三點(diǎn)的平面截三棱柱所得截面的面積為返

34

D.過點(diǎn)A且與直線4A和BC所成的角都為45°的直線有且僅有1條

三、填空題

12.已知向量BC=(31),AC=(2,3),4O=(m,—3),若B,C,。三點(diǎn)共線,則，〃=

13.已知在4ABe中，內(nèi)角4氏C所對(duì)的邊分別為44c,點(diǎn)G是加C的重心，且

^GA+1GB+^GC=O,則角C的大小為.

14.如圖所示，直角三角形4BC所在平面垂直于平面。，一條直角邊AC在平面a內(nèi)，另

一條直角邊8c長為且且NB4C=m，若平面a上存在點(diǎn)尸，使得上叱的面積為電，則

線段CP長度的最小值為.

四、解答題

15.已知向量4,6滿足a+力=(3,1),a-2b=(O,l).

⑴求

(2)求+〃；

(3)若向量a+加力與向量〃藺+b的方向相反，求實(shí)數(shù)〃1的值.

16.某地統(tǒng)計(jì)局就該地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分化

直方圖(每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在［100()/500).

A頻率

0.0005

0.0004

0.0003

0.0002

0.0001

O1000150020002500300035004000月收入/元

(1)求居民月收入在［3000,3500)的頻率；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);

試卷第4頁，共6頁

(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000人中用分

層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在［2500,3000)的這段應(yīng)抽多少人？

17.如圖，在四棱錐P-ABCO中，AD//BC.ADLDC,BC=CD=-AD=\,E為棱A。

2

(2)求證：平面Q48_L平面。80：

(3)若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與平面依。所成角的正弦值.

18.在"WC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量〃?=3,sin2A),〃=S,sinB),

且加〃〃.

(1)求角A的大??；

(2)已知/=/+C2—4C，S詆=8石，求ABS：的值

?曲\AB\+\AC\

19.如圖，已知三棱臺(tái)ABC-ABG的體積為氈，平面人8MA_L平面8CC田，JSC是

12

以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且48=2A4)=24用=1BB.,

⑴證明：8cl平面

⑵求點(diǎn)8到面ACGA的距離;

(3)在線段CG上是否存在點(diǎn)尸，使得二面角尸-血-。的大小為若存在，求出CF的長,

0

若不存在，請(qǐng)說明理由.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

I.B

【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法和乘方化簡復(fù):數(shù)z,再利用復(fù):數(shù)的幾何意義即可.

l+3il+3i(l+3i)(l+i)-2+4i,,

【詳解】復(fù)數(shù)z=中二k(I—i)(l+i廣-=2

所以在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,2),

該點(diǎn)位于第二象限.

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦推理判斷即可.

【詳解】在㈤5C中，由acosC+ccosA=a及正弦定理，WsinAcosC+sinCcosA=sinA,

^J^sin/l=sin(i4+C)=sinB,而0<4<兀,0<3<兀,0<A+B<TC,則A=8,

所以乂8c是等腰三角形.

故選：A

3.C

【分析】由題意可知：卜卜3,根據(jù)模長關(guān)系結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得〃0=|,進(jìn)而可求投

影向量.

【詳解】由題意可知：/卜3,

因?yàn)?布，則｝r2rrr2

_4=qa-2ab+b，

即10=4—2。.力+9，可得。力=5,

所以向量a在向量b方向上的投影向量為

故選：C.

4.D

【分析】求出上下圓臺(tái)的高，利用臺(tái)體體積公式求出答案.

3

【詳解】上、下兩圓臺(tái)的高之比是3:4,故上圓臺(tái)的高為14x3=6厘米,

3+4

4

下圓臺(tái)的高為14x==8厘米，

3+4

答案第1頁，共16頁

故上圓臺(tái)的體積為v=6x元(42+102+J16XKX))=3]2冗立方厘米,

13

下圓臺(tái)的體積為V=8乂加僅2+102+'36￡0°)=些兀立方厘米,

'33

故該汝窯雙耳罐的體積為乂+匕=312兀+等兀="產(chǎn)立方厘米.

故選：D

5.D

【分析】根據(jù)分層抽樣的均值與方差公式計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)題意，按照分層抽樣的方法從甲隊(duì)中抽取10x器=6人，

40

從乙隊(duì)中抽取而J=4人，

這10人答對(duì)題目的平均數(shù)為專(6xl+4xL5)=1.2,

所以這10人答對(duì)題目的方差為萩6(1+(1-1.2)2)+4僅.4+(1.5-1.2)2)]=0.82.

故選：D.

6.D

【分析】對(duì)于A,m與?？梢韵嘟?，直線m上關(guān)于交點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)到平面的距離相等；對(duì)于

B,C,根據(jù)面面垂直的判定及性質(zhì)進(jìn)行判斷；對(duì)于D,根據(jù)面面平行的判定定理進(jìn)行判斷.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)直線相與a相交時(shí)，直線m上關(guān)于交點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)到平面的距離相等，

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若m_La,nu0,m//n,則〃_La,又〃u尸，所以aJ?尸：當(dāng)aJLQ時(shí)，ni±a,

當(dāng)機(jī)u￡時(shí)，〃u/,相，〃可以相交，所以“山〃〃”是的充分不必要條件，故B錯(cuò)

誤；

對(duì)于C,若尸，〃?ua,〃u,6,機(jī)與〃位置關(guān)系不固定，可以是各自平面內(nèi)的任意直

線，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若相、〃是異面直線，mua,m\ptnu0,n//a,則在直線，〃任取一點(diǎn)尸，

過直線〃與點(diǎn)尸確定平面/Qa=c,又n〃a、則〃〃c,〃u￡,所以c〃/,

又加p,mua,euamf|c=尸，所以a〃夕，故D正確.

答案第2頁，共16頁

故選：D.

7.D

【分析】由中點(diǎn)可知CO=g(CA+C8),根據(jù)模長關(guān)系可得C4C8=-2,設(shè)CP=X8,結(jié)合

1

m=-

平面向量的線性運(yùn)算以及基本定理可得用CAC8表示AP，結(jié)合模長運(yùn)算求解.

2=-

3

【詳解】因?yàn)?。為的中點(diǎn)，則。O=g(CA+C8),

CD=+CB2+2CA-,即7=；(4+28+204@),解得C4CB=-2,

又因?yàn)镻為C。上一點(diǎn)，設(shè)CP=HC￡>,

則4P=AC+CP=AC+2CD=AC+《；AB—AC)=(l-；l)AC+34E=mAC+g48

￡

\-X=mm4ULT9UIU

可得義_1，解得，BPCP=-CD,

萬一52

3

ss浮

UUD、42124*

即-

-+---ulr=5-2AP-

可得AP999CA9T

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：I.根據(jù)模長關(guān)系可得CAC8=-2:

1

m=—

2.設(shè)CP=4CD，根據(jù)平面向量基本定理求得

2=-

3

3.以CAC8為基底表示4P，進(jìn)而運(yùn)算求解.

答案第3頁，共16頁

8.D

【分析】先將該半正多面休補(bǔ)形為正方休，利用正方休與棱錐的體積公式判斷A,利用該半

正多面體的對(duì)稱性，得到截面為正六邊形與外接球的球心位置，從而判斷BC,利用正三角

形與正方體的面積公式判斷D.

【詳解】A：如圖，因?yàn)?

所以該半正多面體是由棱長為&的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱鋅所得到的，

，一?????二B???1

所以該半正多面體的體積為：V=(A/2)3-8X|X1X

，故A錯(cuò)誤;

B：根據(jù)該半正多面體的對(duì)稱性可知，過三點(diǎn)的截面為正六邊形A8UED,

又AB=1,所以正六邊形面積為5=6x3x/==叵，故B錯(cuò)誤；

42

C：根據(jù)該半正多面體的對(duì)稱性可知，該半正多面體的外接球的球心為正方體的中心,

即正六邊形A8CFED的中心，故半徑為他=1,

所以該半正多面體外接球的表面積為S=4TCR2=47rxl2=4TC,故C錯(cuò)誤；

D：因?yàn)樵摪胝嗝骟w的八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形，棱長皆為1,

所以其表面積為+6x1?=6+,故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵有二，一是將該半正多面體補(bǔ)形為正方體，二是充分

利用該半正多面體的對(duì)稱性，從和得解.

9.ACD

【分析】運(yùn)用頻率分布直方圖中所有頻率之和為1及平均數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)公式計(jì)算即可.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由題意知(0.010+0.015+6+0.035+0.010)x10=1,解得根=0.030,故

A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為55x0.1+65x0.15+75x0.35+85x0.3+95x0.1=76.5,

答案第4頁，共16頁

故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，樣本質(zhì)星指標(biāo)值的眾數(shù)是氣典=75V76.5,故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，前3組的頻率之和為(0.010+0.015+0.035)x10=0.60,前4組的頻率之和為

0.60+0.030x10=0.90,

故第75百分位數(shù)位于第4組，設(shè)其為，，

則80)x0.030+0.60=0.75,解得E=85,

即第75百分位數(shù)為85,故D項(xiàng)正確.

故選：ACD項(xiàng).

10.ABD

【分析】利用正弦定理、余弦定理逐一判斷即可.

【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)大角對(duì)大邊，A>B=a>b,

根據(jù)正弦定理可得2RsinA=a>b=2Rsin3,其中R為三角形外接圓半徑，

于是sin4>sinB,A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，根據(jù)余弦定理結(jié)合選項(xiàng)可知，cosC=Q^C<0,

2ab

由Ce(0,%)，進(jìn)而B選項(xiàng)正確：

C選項(xiàng)，根據(jù)正弦定理，三=三，結(jié)合選項(xiàng)數(shù)據(jù)，得出sinA=^^>l,

sinAsinC8

故這樣的三角形不存在，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，若就osA=AosZ?,由正弦定理，2/?sinAcosA=27?sinZfcosB,

則sin2A=sin28,而AB,A+3?0,TC),則2A=2B或者2A+2B=JT,

即A=8,或者A+B=；,即JSC是等腰三角形或者直角三角形，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

11.BC

【分析】根據(jù)線面平行的定義判斷A；求出點(diǎn)尸關(guān)于平面AA8片和A4CG的對(duì)稱點(diǎn)的距離

判斷B：計(jì)算截面面積判斷C；找出與過點(diǎn)4且與直線4A和8C所成的角都為45°的直線條

數(shù)判斷D.

【詳解】直三棱柱ABC-A媯G的所有棱長均為3,

答案第5頁，共16頁

對(duì)于A,由4。=4七=8/=CG,得DE/IB\CJIBCHFG,

顯然尸GQE構(gòu)成一個(gè)平面，連接DREG,和A。，

正方形例與8中，AD=BF,設(shè)ABC!。/=?,顯然-4。?名.3201,

則Aa=B?,即。1為AB的中點(diǎn)，于是。?即01為。尸的中點(diǎn)，

同理設(shè)4。0反7=。2,則。2為EG的中點(diǎn)，因此002是AABC中位線，

由A”為中線，得P為002中點(diǎn)，因?yàn)椤?。2U平面尸GED,

因此尸w平面尸GEQ,即平面PFG與平面/GEO為同一個(gè)平面，則DE在平面PFG內(nèi)，A

錯(cuò)誤；

對(duì)于B,顯然平面AA8片與平面A4CG所成銳二面角大小為60°,

計(jì)算可得點(diǎn)”到平面4AB片和AACG的距離地，由選項(xiàng)A知，尸是的中點(diǎn)，

4

則點(diǎn)p至ij平面43陰和4公0的距離速，令點(diǎn)p關(guān)于平面人人網(wǎng)和AACG的對(duì)稱點(diǎn)分

8

別為M，N],

則當(dāng)M,N分別取直線MM與平面4A8線和AACG的交點(diǎn)時(shí)，△MNP的周長最短，

4出(27~27279

由|PMJ=|PNJ=乎,NM/N1=120,WlA/.TV,^—+—-2x—x(--)=^,

4V16161624

9

所以周長的最小值為:，B正確；

對(duì)于C,由選項(xiàng)A知，D,E在過P,F,G三點(diǎn)的平面內(nèi)，截面為四邊形FGEQ,

DE=1,FG=2,DF=EG=M,則截面面積為LxJ10-Lx(l+2)=爭C正確：

2V44

對(duì)于D,顯然A4,JLBC,過點(diǎn)A作BC的平行線力C',則叫,"。'，

答案第6頁，共16頁

與AA成45°的所有直線構(gòu)成以4為頂點(diǎn)的兩個(gè)對(duì)頂圓錐（AA）為軸），

同理與B'C'成45°的所有直線構(gòu)成以A為頂點(diǎn)兩個(gè)對(duì)頂圓錐（為軸）,

而AA,與BC所成角90，因此圓錐面上公共直線共有兩條，

所以過點(diǎn)A且與直線A4和BC所成的角都為45°的直線有2條，D錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關(guān)線段所在的平面圖形

展開并放在同一平面內(nèi)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短解決是關(guān)鍵.

12.-16

【分析】求出CO,再利用共線向量的坐標(biāo)表示求出

【詳解】依題意，CD=AD-AC=（m-2-6）t由B,C,。三點(diǎn)共線，得BC/ICD，

則相一2二-18,所以帆=一16.

故答案為：-16

【分析】根據(jù)重心性質(zhì)可得GC=-（G4+GB）,代入已知，結(jié)合平面向量基本定理可得

3

a=-c

7;,然后由余弦定理可解.

b=—c

7

【詳解】記4&8CCA的中點(diǎn)分別為RE/,

則GA+G8=2G。，

由重心性質(zhì)可知，GC=—2GD，所以GC=—（G4+G3）,

所以￡G4+&G8-/(GA+G8)=0,BPla~^CGA+lb~^CGB=0,

3

a=-c

la-3c=0即7

由平面向量基本定理司知

lb-5c=0

b=-c

922522

所…二『二號(hào)r-

77

答案第7頁，共16頁

因?yàn)椤?0,兀），所以。二號(hào).

故答案為：y

【分析】由題意，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得6C1平面ABC,利用線面垂直的性質(zhì)可得6。工

CP,進(jìn)而CP=MT,由三角形的面積公式可得8P=焉，即可求解.

【詳解】在ASAGC中，BC=?/BAC=巴，貝1」45=述，

363

又平面ABC_La,平面ABCkr=AC,AC_L8C.BCu平面ABC,

所以BC1平面ABC,連接CP,CPua,所以BC1CP,

得CP=J"一叱=MT，設(shè)48P=。（0<0<兀），

則$利=4488外而/即走=」述.8。疝。，得期=工，

2323sin。

當(dāng)sin6=l即。=］即AB_L陽時(shí)，8尸取到最小值1,

此時(shí)。尸取到最小值眄_；=n邛.

故答案為：見

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是利用勾股定理和三角形面積公式計(jì)算得到

CP=MT、BP=肅,而sin火1,即為所求.

15.（1）17

(3)-1

答案第8頁，共16頁

【分析】(1)首先求出a、)的坐標(biāo)，從而得到a—〃的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算

可得；

(2)求出;。+〃的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法計(jì)算可得；

(3)首先求出a+mb與ma+0的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出用，再代入檢驗(yàn).

【詳解】(1)因?yàn)椤?6=(3,1),"3=(0,7),

所以3。=2,+人)+4—勖=2(3』)+(0,7)=(6,9),則a=(2,3),

所以6=(3,1)—(2,3)=(1,—2),

所以d-5=(2,3)-(1,-2)=(1,5),

所以d.(a-0)=2xl+3x5=17；

(2)因?yàn)?+八#2,3)+(1,-2)=(2,-￡|,

所哈^卜卜+可考;

(3)因?yàn)?=(2,3),6=(1,-2),

所以a+"力=(2,3)+/〃(1,-2)=(2+〃7,3-2”),

=機(jī)(2,3)+(1,-2)=(2"+1,3〃?-2),

因?yàn)閍+mh與ma+h共線，

則(3-2〃。(2，〃+1)=(2+/〃)(3加一2),解得m=1或，〃=一1,

當(dāng)m=1時(shí)，ma+b=(3,\),a+inb=(3A),則〃+〃灑=〃?a+b，

此時(shí)a+/怎與ma+方方向相同，不符題意；

當(dāng)/?=—1時(shí)，=(1,5),a+inb=(-1,-5),則G+〃力=一(/成+8)，

此時(shí)a+/點(diǎn)與zna+方方向相反，符合題意：

綜上可得利=-1.

16.(1)0.15

(2)2400元

答案第9頁，共16頁

(3)25人

【分析】（1）根據(jù)圖中［3000,3500）所對(duì)應(yīng)的頻率/組距的值，乘上組距，即可得到月收入在

［3000.3500）的頻率.

（2）通過比較幾個(gè)區(qū)間的頻率之和與0.5的關(guān)系，判斷出中位數(shù)所在區(qū)間，進(jìn)而求出樣本

數(shù)據(jù)的中位數(shù).

（3）根據(jù)表格先居民月收入在［2500,3000）的頻率，接著計(jì)算10000人中月收入在

［2500,3000）的人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣抽出100人，計(jì)算得出月收入在［2500,3000）的這段應(yīng)

抽取的人數(shù).

【詳解】（1）月收入在［3000,3500）的頻率為：

0.0003x(3500-3000)=0.15

?,?居民月收入在［3000,3500）的頻率為0.15.

(2)0.0002x(1500-1000)=0.1,

0.0004x(2000-1500)=0.2,

0.0005x(2500-2000)=0.25,

0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,

:.樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2000+。"(。"叫=2000+400=2400

0.0005

???樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2400元.

(3)居民月收入在［2500,3000)的頻率為：

0.0005x(3000-2500)=0.25,

???10000人中月收入在［2500,3000)的人數(shù)為：

0.25x10000=2500,

再從10000人中分層抽樣方法抽出100人,

則月收入在［2500,3000）的這段應(yīng)油取:

答案第10頁，共16頁

工月收入在［2500,3000)的這段應(yīng)油25人.

17.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3《

【分析】(1)由題意可證四邊形為處為平行四邊形，則AB//EC,結(jié)合線面平行的判定定

理即可證明；

(2)如圖，易證即_LEC,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得8。上平面RW,結(jié)合面

面垂直的判定定理即可證明；

(3)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得/PDA為二面角P-C。-A的平面角，即

APDA=45“，作AM_LP8,由血皿垂直的性質(zhì)確定ZAPM為直線PA與平血PBD所成的角，

即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)锽C//AE且所以四邊形3CE4為平行四邊形，

則AB〃七C,又A8(z平面PCE,ECu平面尸CE,

所以AB〃平面PCE；

(2)由尸A_L平面ABC。，8￡＞u平面A8C。，得Q4_L8D,

連接防，由5C//DE且8c=OE,

所以四邊形5CDE為平行四邊形，又DE工CD,BC=CD=1,

所以平行四邊形BCDE為正方形，所以BDJ.EC,

又ABUEC,所以又附AB=A,PA.A8u平面R48,

所以瓦)1平面由Mu平面尸班＞,

所以平面PBD1平面PAB；

(3)由PA_L平面ABC。，C7)u平面A8C。，所以R4_LC￡),

又CD_LAO,相叢。=4必、ADu平面PAD,

所以CD1平面PAD,又電＞u平面R4。，所以CD上PD,

故N7VM為二面角尸-的平面角，即NPD4=45°,

在RfePAO中，PA=AD=2,VfAMLPB,垂足為M,

由(2)知，平面MD_L平面Q4B,平面尸以)？平面R4B=P8,AMu平面小B,

所以/W工平面P8Q,則PM為直線AP在平面尸班＞上的投影，

答案第11頁，共16頁

所以NARW為直線”與平面PM所成的角,

PAAB_2y/2_2y/3

在RfaEAB中，AB=CE=RPA=2,PB=4^,所以AM=

PB~J6~~

2G

在R%AMP中，.ZXDWAM~G，

sinZAPM=------=—^—=——

AP23

即直線4P與平面P8O所成角的正弦值為由.

3

18.⑴A=]

嗚

【分析】(1)根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算及正弦定理得sinAsinB=2sin8sinAcosA,化簡得

cosA=1,根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可；

(2)方法一：結(jié)合題干利用余弦定理求得6=4,再代入面積公式求得c=8,利用數(shù)量積定

義求得AB?AC=16,即可解答；

方法二：根據(jù)三角形面積公式求得從=32,進(jìn)而利用數(shù)量積的定義求得AB.AC=16,再利

用余弦定理和題干求得占=4和c=8,即可得解.

【詳解】(1)由向量/〃=(a,sin24),〃=S,sinB),且而〃幾得asin8=8sin2A,

利用正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosA,

又sinAsin4wO,所以2cosA=l,可得cosA=L

2

又Ae(0,7t),所以A=g.

(2)方法一：由(1)得8SA=〃+：——=^r,b2+c2-a2=bc.

2bc2

由。2=//+/-4。得4r=bc,得b=4.

答案第12頁，共16頁

又SARC=gbcsinA==8』可得c=8,

此時(shí)ABAC=AB-ACcosA=8x4xcos—=16,

3

g”ABAC164

丹T以-------------=------=—.

\AB\+\AC\8+43

方法二：由（1）得cosA=；,sinA=—?又S八“=；'csinA=8A/§,可得bc=32,

-22

此時(shí)ABAC=i4BACcosA=32xcos—=16,

3

由余弦定理可得cosA=M=I即斤+c，2-/=,

2bc2

由/二從十/—牝，得4c=be,得力=4,

由力c=32,可得c=8,

ABAC164

故-----------=----=—

\AB\+\AC\8+43'

19.（1）證明見解析

⑵岑

（3）存在，。尸=逑

5

【分析】（1）根據(jù)樓臺(tái)的性質(zhì)、長度關(guān)系和勾股定理可證得Aq_L84；由面面垂直和線面

垂直的性質(zhì)可證得A耳±BCt結(jié)合BC1AB可證得結(jié)論：

O

（2）延長例,8%CC|交于一點(diǎn)P,根據(jù)％TBC=,匕8C.AM可求得匕T8C，利用體積橋

%.板=%..可構(gòu)造方程求得結(jié)果；

（3）根據(jù)線面垂直和面面垂直性質(zhì)可作出二面角的平面角，設(shè)FE=⑸,根據(jù)幾何關(guān)系可

表示出。石，由二面角大小可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】（1）連接A4，

答案第13頁，共16頁

在三棱臺(tái)A3C?A5G中，ABHAfic

48=2A4,=2A旦=2BBi,/.四邊形ABB^為等腰梯形且NAB"=/BAA.=60,

設(shè)A8=2x,則叫=x.

由余弦定理得：AB;=AB2+BB;-2ABBB.cos60=3x2,

?.AB2=AB；+BB；,AB,1BB、；

.?平面j.平面BCG%平面人陰an平面BCGM=B%AB'平面ABB0,

二.A禺1平面8CG4，又BCu平面BCC/，

ABC是以3為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，.?.6C_LA3,

AB人用=4,AB,A昌u平面AB"人,「.BC，平面AB用4.

（2）由棱臺(tái)性質(zhì)知：延長"pB/CG交于一點(diǎn)P,

JA