山西省忻州市靜樂縣第一中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

山西省忻州市靜樂縣第一中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）中，若，，，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．在△ABC中，已知，P為線段AB上的點，且的最大值為（）A．3B．4C．5D．63．已知函數(shù)在區(qū)間上至少取得2次最大值，則正整數(shù)t的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．94．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的的比值等于A． B． C． D．5．的內(nèi)角的對邊分別為,邊上的中線長為,則面積的最大值為（）A． B． C． D．6．已知內(nèi)角的對邊分別為，滿足且，則△ABC（）A．一定是等腰非等邊三角形 B．一定是等邊三角形C．一定是直角三角形 D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形7．若將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為（）A． B． C． D．8．將函數(shù)（其中）的圖象向右平移個單位，若所得圖象與原圖象重合，則不可能等于（）A．0 B． C． D．9．已知，，，則的最小值為A． B． C． D．410．下列命題中不正確的是（）A．平面∥平面，一條直線平行于平面，則一定平行于平面B．平面∥平面，則內(nèi)的任意一條直線都平行于平面C．一個三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個平面，那么該三角形所在的平面與這個平面平行D．分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在平行四邊形中，=，邊，的長分別為2，1.若，分別是邊，上的點，且滿足，則的取值范圍是______．12．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則_______.13．已知等比數(shù)列的首項為，公比為，其前項和為，下列命題中正確的是______.（寫出全部正確命題的序號）（1）等比數(shù)列單調(diào)遞增的充要條件是，且；（2）數(shù)列：，，，……，也是等比數(shù)列；（3）；（4）點在函數(shù)（，為常數(shù)，且，）的圖像上.14．一艘海輪從出發(fā)，沿北偏東方向航行后到達海島，然后從出發(fā)沿北偏東方向航行后到達海島，如果下次直接從沿北偏東方向到達，則______.15．分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦.B.曼德爾布羅特在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立，為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，下圖是按照一定的分形規(guī)律生長成一個數(shù)形圖，則第13行的實心圓點的個數(shù)是________16．不等式的解集為_______________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在一個盒子中裝有6支圓珠筆，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，從中任取3支.求（1）恰有1支一等品的概率；（2）恰有兩支一等品的概率；（3）沒有三等品的概率.18．已知圓的方程為，直線l的方程為，點P在直線l上，過點P作圓的切線PA，PB，切點為A，B.（1）若，求點P的坐標(biāo)；（2）求證：經(jīng)過A，P，三點的圓必經(jīng)過異于的某個定點，并求該定點的坐標(biāo).19．如圖，在△ABC中，A（5，–2），B（7，4），且AC邊的中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上．（1）求點C的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積．20．如圖,四棱錐中,是正三角形,四邊形ABCD是矩形,且平面平面.(1)若點E是PC的中點,求證:平面BDE;(2)若點F在線段PA上,且,當(dāng)三棱錐的體積為時,求實數(shù)的值.21．已知向量，不是共線向量，，，（1）判斷，是否共線；（2）若，求的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)題意，將直三棱柱擴充為長方體，其體對角線為其外接球的直徑，可得半徑，即可求出外接球的表面積．【詳解】∵，，∠ABC=90°，∴將直三棱柱擴充為長、寬、高為2、2、3的長方體,其體對角線為其外接球的直徑,長度為，∴其外接球的半徑為,表面積為=17π.故選：A.【點睛】本題考查幾何體外接球，通常將幾何體進行割補成長方體，幾何體外接球等同于長方體外接球，利用長方體外接球直徑等于體對角線長求出半徑，再求出球的體積和表面積即可，屬于簡單題.2、A【解析】試題分析：在中，設(shè)，∵，，即，∴，∵，∴，即．∵，，∴，，∴．根據(jù)直角三角形可得，，，∴，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系可得，為線段上的一點，則存在實數(shù)使得．設(shè)，，則，且，∴，可得則，即，解得，故所求的最大值為：，故選A．考點：三角形的內(nèi)角和定理，兩角和的正弦公式，基本不等式求解最值．3、C【解析】

先根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可推斷出函數(shù)的最小正周期為6，進而推斷出，進而求得t的范圍，進而求得t的最小值．【詳解】函數(shù)的周期T=6，則，∴，∴正整數(shù)t的最小值是8.故選：C.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的周期性以及正弦函數(shù)的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

從莖葉圖提取甲、乙兩組數(shù)據(jù)中的原始數(shù)據(jù)，并按從小到大排列，分別得到中位數(shù)，并計算各自的平均數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)、平均值相等得到關(guān)于的方程.【詳解】甲組數(shù)據(jù)：，中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)：，中位數(shù)為：，所以，所以，故選A.【點睛】本題考查中位數(shù)、平均數(shù)的概念與計算，對甲組數(shù)據(jù)排序時，一定是最大，乙組數(shù)據(jù)中一定是最小.5、D【解析】

作出圖形，通過和余弦定理可計算出，于是利用均值不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意可知，而，同理，而，于是，即，又因為，代入解得.過D作DE垂直于AB于點E，因此E為中點，故，而，故面積最大值為4，答案為D.【點睛】本題主要考查解三角形與基本不等式的相關(guān)綜合，表示出三角形面積及使用均值不等式是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度較大.6、B【解析】

根據(jù)正弦定理可得和，然后對進行分類討論，結(jié)合三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)果.【詳解】在中，因為，所以，又，所以，又當(dāng)時，因為，所以時等邊三角形；當(dāng)時，因為，所以不存在，綜上：一定是等邊三角形.故選:B.【點睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，解題過程中注意兩解得情況，一般需要檢驗，本題屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象平移規(guī)律計算即可.【詳解】.故選：B.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移變化，考查對基本知識的理解和掌握，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】由題意，所以，因此，從而，可知不可能等于．9、C【解析】

化簡條件得，化簡，利用基本不等式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，知，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取得等號，所以，即的最小值為，故選C．【點睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件：一正、二定、三相等是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解析】

逐一考查所給的選項是否正確即可.【詳解】逐一考查所給的選項：A.平面∥平面，一條直線平行于平面，可能a在平面內(nèi)或與相交，不一定平行于平面，題中說法錯誤；B.由面面平行的定義可知：若平面∥平面，則內(nèi)的任意一條直線都平行于平面，題中說法正確；C.由面面平行的判定定理可得：若一個三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個平面，那么該三角形所在的平面與這個平面平行，題中說法正確；D.分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線，不可能相交，題中說法正確.本題選擇A選項.【點睛】本題考查了空間幾何體的線面位置關(guān)系判定與證明：（1）對于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異面直線；（2）對于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

以A為原點AB為軸建立直角坐標(biāo)系，表示出MN的坐標(biāo)，利用向量乘法公式得到表達式，最后計算取值范圍.【詳解】以A為原點AB為軸建立直角坐標(biāo)系平行四邊形中，=，邊，的長分別為2，1設(shè)則當(dāng)時，有最大值5當(dāng)時，有最小值2故答案為【點睛】本題考查了向量運算和向量乘法的最大最小值，通過建立直角坐標(biāo)系的方法簡化了技巧，是解決向量復(fù)雜問題的常用方法.12、【解析】

由圖可得，即可求得：，再由圖可得：當(dāng)時，取得最大值，即可列方程，整理得：，解得：（），結(jié)合即可得解.【詳解】由圖可得：，所以，解得：由圖可得：當(dāng)時，取得最大值，即：整理得：，所以（）又，所以【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的性質(zhì)及觀察能力，還考查了轉(zhuǎn)化思想及計算能力，屬于中檔題．13、（3）【解析】

根據(jù)遞增數(shù)列的概念，以及等比數(shù)列的通項公式，充分條件與必要條件的概念，可判斷（1）；令，為偶數(shù)，可判斷（2）；根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，直接計算，可判斷（3）；令，結(jié)合題意，可判斷（4），進而可得出結(jié)果.【詳解】（1）若等比數(shù)列單調(diào)遞增，則，所以或，故且不是等比數(shù)列單調(diào)遞增的充要條件；（1）錯；（2）若，為偶數(shù)，則，，因等比數(shù)列中的項不為，故此時數(shù)列，，，……，不成等比數(shù)列；（2）錯；（3），所以（3）正確；（4）若，則，若點在函數(shù)的圖像上，則，因，，故不能對任意恒成立；故（4）錯.故答案為：（3）【點睛】本題主要考命題真假的判定，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.14、【解析】

首先根據(jù)余弦定理求出，在根據(jù)正弦定理求出，即可求出【詳解】有題知.所以.在中，，即，解得.所以，故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的實際應(yīng)用，熟練掌握公式為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.15、【解析】

觀察圖像可知每一個實心圓點的下一行均分為一個實心圓點與一個空心圓點,每個空心圓點下一行均為實心圓點.再利用規(guī)律找到行與行之間的遞推關(guān)系即可.【詳解】由圖像可得每一個實心圓點的下一行均分為一個實心圓點與一個空心圓點,每個空心圓點下一行均為實心圓點.故從第三行開始,每行的實心圓點數(shù)均為前兩行之和.即.故第1到第13行中實心圓點的個數(shù)分別為：.故答案為：【點睛】本題主要考查了遞推數(shù)列的實際運用,需要觀察求得行與行之間的實心圓點的遞推關(guān)系,屬于中等題型.16、【解析】.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）恰有一支一等品，從3支一等品中任取一支，從二、三等品種任取兩支利用分布乘法原理計算后除以基本事件總數(shù)；（2）恰有兩枝一等品，從3支一等品中任取兩支，從二、三等品種任取一支利用分布乘法原理計算后除以基本事件總數(shù)；（3）從5支非三等品中任取三支除以基本事件總數(shù)．【詳解】（1）恰有一枝一等品的概率；（2）恰有兩枝一等品的概率；（3）沒有三等品的概率.【點睛】本題考查古典概型及其概率計算公式，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于?？碱}.18、（1）和；（2）和【解析】

（1）設(shè)，連接，分析易得，即有，解得的值，即可得到答案.（2）根據(jù)題意，分析可得：過A，P，三點的圓為以為直徑的圓，設(shè)的坐標(biāo)為，用表示過A，P，三點的圓為，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分析可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，點P在直線l上，設(shè)，連接，因為圓的方程為，所以圓心，半徑，因為過點P作圓的切線PA，PB，切點為A，B；則有，且，易得，又由，即，則，即有，解得或，即的坐標(biāo)為和.（2）根據(jù)題意，是圓的切線，則，則過A，P，三點的圓為以為直徑的圓，設(shè)的坐標(biāo)為，，則以為直徑的圓為，變形可得：，即，則有，解得或，則當(dāng)和，時，恒成立，則經(jīng)過A，P，三點的圓必經(jīng)過異于的某個定點，且定點的坐標(biāo)和.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、圓中的定點問題，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.19、（1）（–5，–4）（2）【解析】

（1）設(shè)點，根據(jù)題意寫出關(guān)于的方程組，得到點坐標(biāo)；（2）由兩點間距離公式求出，再由兩點得到直線的方程，利用點到直線的距離公式，求出點到的距離，由三角形面積公式得到答案.【詳解】（1）由題意，設(shè)點，根據(jù)AC邊的中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上，根據(jù)中點公式，可得，解得，所以點的坐標(biāo)是．（2）因為，得．，所以直線的方程為，即，故點到直線的距離，所以的面積．【點睛】本題考查中點坐標(biāo)公式，兩點間距離公式，點到直線的距離公式，屬于簡單題.20、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=Q，又點E是PC的中點，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE；（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點M，則FM⊥平面ABCD，進一步利用求得最后利用平行線分線段成比例求出λ的值試題解析：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=Q，又點E是PC的中點，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE（Ⅱ）解：依據(jù)題意可得：PA=AB=PB=2，取AB中點O，所以PO⊥AB，且又平面PAB⊥平面ABCD