深圳2024年高一年級(jí)下冊4月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

深圳中學(xué)2024年高一下學(xué)期4

月期中考試數(shù)學(xué)試題+答案

考試用時(shí)：120分鐘卷面總分：150分

注意事項(xiàng)：答案寫在答題卡指定的位置上，寫在試題卷上無效。選擇題作答必須用2B鉛筆。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足z=i?（1+i）,則z的共機(jī)復(fù)數(shù)］在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.甲、乙、丙、丁四名教師帶領(lǐng)學(xué)生參加校園植樹活動(dòng)，教師隨機(jī)分成三組，每組至少一人，

則甲、乙在同一組的概率為（）

1111

A.-B.-C.~D.一

6432

3.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=j^+g|z|,則復(fù)數(shù)z的虛部等于（）

A.1B.-1C.iD.-i

4.已知￡"是兩個(gè)不共線向量，且五目=￡+5瓦前=一2￡+86,。如=3￡—3上則（）

A.4及C三點(diǎn)共線B.4瓦。三點(diǎn)共線

C.5,C,。三點(diǎn)共線D.4C,。三點(diǎn)共線

5.己知向量。N,礪是兩個(gè)不共線向量，點(diǎn)C在線段胡的延長線上（如圖），且

雙=必+〃礪，貝!I（）

A.4+〃=1,丸<0,〃>0

B.2+//>1,2>05//<0

C.丸+〃=1,4>0,〃<0

D.丸+

6.袋中裝有6個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩

次，每次取一個(gè)球.事件4="第一次取出的球的數(shù)字為1”，事件4二”第一次取出的球的數(shù)字

為2"，事件4="兩次取出的球的數(shù)字之和為8”，事件4二“兩次取出的球的數(shù)字之和為7”，

高一數(shù)學(xué)期中考試試題第1頁，共4頁A卷

則（）

-4與4相互獨(dú)立B.4與4相互獨(dú)立

c.4與4相互獨(dú)立D.4與4相互獨(dú)立

7,已知。=（2,0）1=（-1,兩,則￡與￡一石夾角的余弦值為（）

8.在A4BC中，角4瓦。所對(duì)的邊分別為a,Z?,c,若a=近,b=3,c=2,則A45c外接

圓半徑等于（）

A.gB?立C.酒D.叵

233

二、僻題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的按部分得分，有選錯(cuò)的得。分.

9.若Z“Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）

22

A.Z]?Z2=Z1?Z2B21-^Z2=0<=>Z,=22=0

C-Zi%=|zJ同D.=0

?IZI-Z2HZ,+ZJ<=>Z,-Z2

io.已知向量Zj滿足,+*°—可=6,w=后，則下列結(jié)論正確的是（

A.albB.|q=l

D.￡+Z在￡-各方向上的投影向量為?￡一可

C.b(a—b)=—3

11.如圖，某巡邏艇在Z處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距癡+后海里的8處有一艘走私船，正沿東偏

南45°的方向以3海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以272海里/小時(shí)的速度沿著正東方

向直線追去，1小時(shí)后，巡邏艇到達(dá)C處，走私船到達(dá)。處，此時(shí)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改

變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以3夜海里小時(shí)的速度沿著東偏北a角方向直

線追擊，恰好在E點(diǎn)處追到走私船，則下列結(jié)論正確的是（Q

A.BC=243

B.當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距海里十/^\

C.NBCE為鈍角歹\

D.a=15°

高一數(shù)學(xué)期中考試試題第2頁，共4頁A卷

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他苧

圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱.為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三

類垃圾箱中總計(jì)lOOOt生活垃圾.經(jīng)分揀以后數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表（單位：t）：

"廚余垃圾"箱"可回收物"箱"其他垃圾"箱

廚余垃圾400100100

可回收物3024030

其他垃圾202060

則可估計(jì)居民生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率為.

13.在AABC中，角4瓦C所對(duì)的邊分別是4Ac,已知。=8,6=4瓜NB=60。.則AABC

的面積等于.

14.如圖，在梯形48cZ）中，aB//CD,4D=CD=l,4B=3,若/D^LBC,則就?麗的

值為_.

B

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本題滿分13分）

--3

已知a=（-3,1）,b=，求左為何值時(shí)：

（1）￡〃3；

（2）alb-,

（3）￡與方的夾角為銳角.

16.（本題滿分15分）

從集合｛1,2,3,4｝中隨機(jī)取兩次數(shù)（可以相同），每次取一個(gè).記第一次取的數(shù)為x,第二次取的

數(shù)為兩次取數(shù)結(jié)束，算作一次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果記為（xj）.

（1）寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間C,以及C中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)：

（2）事件“x+y=5”包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？事件"x<3且y>l”包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？

（3）若事件4="方丁=4",3=、="',求尸（4113）.

育一數(shù)學(xué)期中考試試題第3頁，共4頁A卷

17.(本題滿分15分)

在中，角4B,C所對(duì)的邊分別是a,8c,滿足(2Z?-c)cos4=acosC.

(1)求角4的大??；

(2)若q=近，8c邊上的中線40的長為乂12,求A/43C的面稅

2

18.(本題滿分17分)

品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試.一種通常采用的測試方法如下：拿出〃瓶外觀相同但品

質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，經(jīng)過一段時(shí)間，等其記憶淡忘后，再讓其

品嘗這〃瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試.根據(jù)一輪測試中的兩次排序偏離

程度的高低對(duì)其酒味鑒別能力進(jìn)行評(píng)價(jià).

現(xiàn)設(shè)"=3,分別以ax,a2,a3表示第一次排序時(shí)被排為1,2,3的三種酒在第二次排序時(shí)的序號(hào)，

也,%4}={L2,3},并令X=|q-1|+&-21+14-31,則X是對(duì)兩次排序的偏離程度的一

種描述,若兩輪測試都有X=Q，則該品酒師被授予“特級(jí)品酒師”稱號(hào)；若兩輪測試都有,XV2,

且至少有一輪測試出現(xiàn)XwO.則該品酒師被授予“一級(jí)品酒師”稱號(hào).

(1)用下列表格形式寫出第二次排序時(shí)所有可能的弓,排序結(jié)果，并求出相應(yīng)的X值；

X

1,2,30

(2)沒有酒味鑒別能力的品酒師甲參加了兩輪測試兩輪測試結(jié)果相互獨(dú)立記事件￡>="甲

被授予一級(jí)品酒師稱號(hào)”，求P(。)；

(3)沒有酒味鑒別能力的品酒師甲連續(xù)兩年都參加了兩輪測試，兩年測試結(jié)果相互獨(dú)立，記

事件E="在這兩年中甲至少有一次被授予特級(jí)品酒師稱號(hào)”，求尸(E).

19.(本題滿分17分)

在中，角43,C所對(duì)的邊分別是"I,c,其面積記為S,且滿足從+4后=g+c)2.

(1)求角3；

(2)。為4C邊上一點(diǎn)，BD=2,—=-1求S的最小值.

DCJLJC

(3)圓。是A45c外接圓，尸是圓。外一點(diǎn)，尸川,兩分別切圓。于點(diǎn)〃,汽，若6=1,

求麗?麗的最小值.

高一數(shù)學(xué)期中考試試題第4頁，共4頁A卷

試卷類型：A

深圳中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期中考試試題

年級(jí)：高一科目：數(shù)學(xué)

命題人：郭勝宏審題人：潘豪、唐夷非

考試用時(shí)：120分鐘卷面總分：150分

注意事項(xiàng)：答案寫在答題卡指定的位置上，寫在試題卷上無效。選擇題作答必須用2B鉛筆。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z=i-（l+i）,則z的共軌復(fù)數(shù)三在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C.

【解析】z=i-（l+i）=—l+inZ=—1—i,所以復(fù)數(shù)三在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（―1,—1）,在

第三象限.

【考查目標(biāo)】復(fù)數(shù)基本運(yùn)算、共輾復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)幾何意義.基礎(chǔ)題

2.甲、乙、丙、丁四名教師帶領(lǐng)學(xué)生參加校園植樹活動(dòng)，教師隨機(jī)分成三組，每組至少一人，

則甲、乙在同一組的概率為（）

【答案】A.

【解】甲、乙、丙、丁四名教師按要求分成三組，同一組兩人共有下列6種情形:

（甲乙），（甲丙），（甲?。?，（乙丙），（乙丁），（丙丁），

所以甲乙在同一組的概率P=L.

6

【考查目標(biāo)】簡單古典概型概率計(jì)算.基礎(chǔ)題

3.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z="+L|z|,則復(fù)數(shù)z的虛部等于（）

1-12

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】A

高一數(shù)學(xué)期中考試試題第1頁，共12頁A卷

【解析】z=-+-\z\=9上匚+z|=i+-|z|,所以復(fù)數(shù)Z的虛部為1,故選項(xiàng)A正確.

1-i21+122

【考查目標(biāo)】復(fù)數(shù)基本概念和基本運(yùn)算.基礎(chǔ)題

4.已知a,B是兩個(gè)不共線向量，且4S=a+=-24+麗,?！辏?3a-3瓦則（）

A.。三點(diǎn)共線B.4民。三點(diǎn)共線

C.8,C,。三點(diǎn)共線D.4C。三點(diǎn)共線

【答案】B.

【解析】因?yàn)獒芡邤?shù)沒有數(shù)乘關(guān)系，所以選項(xiàng)A不正確；

因?yàn)辂?萬e+函=Z+5B=N瓦所以麗//分，選項(xiàng)B正確.

【考查目標(biāo)】利用向量數(shù)乘關(guān)系，判斷三點(diǎn)共線.基礎(chǔ)題

5.已知向量力,礪是兩個(gè)不共線向量，點(diǎn)C在線段A4的延長線上（如圖），且

0C=AOA+/nOB，則（）

A.2+//=1,2<0,//>0

B.2+//>1,2>0,//<0

C.2+〃=1,2〉0,〃<0

D.2+//<1,2<0,//>0

【答案】C.

【解】過點(diǎn)C分別作平行線，交OB于F,交。4于E,

則無=2方,礪瓦因?yàn)闊o，刀同向，礪，礪反向，所以2〉0,〃<0,

因?yàn)?瓦。三點(diǎn)共線，所以九+〃=1.故只有選項(xiàng)C正確.

【考查目標(biāo)】向量分解知識(shí)，三點(diǎn)共線性質(zhì)定理.基礎(chǔ)題

6.袋中裝有6個(gè)完全相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有■放回她隨機(jī)取兩次,

每次取一個(gè)球.事件4="第一次取出的球的數(shù)字為1"，事件也="第一次取出的球的數(shù)字為2”,

事件4="兩次取出的球的數(shù)字之和為8"，事件4="兩次取出的球的數(shù)字之和為7”，則（）

A.4與4相互獨(dú)立B.4與4相互獨(dú)立

高一數(shù)學(xué)期中考試試題第2頁，共12頁A卷

c.4與4相互獨(dú)立D.4與4相互獨(dú)立

【答案】B.

【解】若第一次取出的數(shù)字為x,第二次取出的數(shù)字為V,試驗(yàn)結(jié)果記作(x,y),顯然試驗(yàn)樣

本空間共有6x6=36個(gè)樣本點(diǎn)，事件4,幺2,小，4樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為6,6,5,6.

所以尸(4)=3P⑷=［尸⑷=總產(chǎn)⑷=g

o63636o

因?yàn)?,4是互斥事件，所以尸(4。4)=0。尸(&)x尸(&),所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)?n4只有一個(gè)樣本點(diǎn)，所以尸(4n4)='=P(4)義尸(4)，所以選項(xiàng)B正確；

36

因?yàn)閍n4只有一個(gè)樣本點(diǎn)，所以尸(4C4)=,力尸(4*尸(4)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

36

因?yàn)?,4是互斥事件，所以尸(4。4)=0。尸(4)乂尸(4)，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

【考查目標(biāo)】兩事件相互獨(dú)立判斷方法，簡單事件概率計(jì)算.基礎(chǔ)題

7.已知a=(2,0),/?=(—1，J§"),則〃與a—6夾角的余弦值為()

AV3」r1D出

2222

【答案】D.

［解析］因?yàn)閍=(2,0),3=(-1,0)，所以a=(3,-百)=>.一,=26.

---7”力)6+0V3

所以cos<a^a—b>=?一?——=-----廣——?

\a［\a-b\2x2732

【考查目標(biāo)】向量減法坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，長度、夾角運(yùn)算.基礎(chǔ)題

8.在AA8C中，角48,C所對(duì)的邊分別為a,仇c,若a=J7/=3,c=2,則A48C外接

圓半徑等于().

A.V?B.—C.D.

233

【答案】D.

［解析】由三角形余弦定理有cosA=/=9+4~7=L=sinZ=也，

2bc2x3x222

設(shè)AABC外接圓半徑為R,則2R=」一=冬包二氏=巨.

sin/33

高一數(shù)學(xué)期中考試試題第3頁，共12頁A卷

【考查目標(biāo)】三角形余弦定理，求三角形外接圓半徑長方法.中檔題

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的按部分得分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若4/2是復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是()

2

A.Zj-z2=Zj-z2B.z；+Z2=00%=z2=0

c.=|z1|-|z1|D.匕一Z2|=匕+221=44=0

【答案】AC.

【解析】由復(fù)數(shù)共軌的性質(zhì)可以知道選項(xiàng)A正確；

取W=I/?=i,顯然選項(xiàng)B錯(cuò)誤；取4=I*2=i,顯然選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C,Z[?[='『，又匕1|=同，所以選項(xiàng)C正確.

【考查目標(biāo)】考查復(fù)數(shù)模、共輾、平方性質(zhì)，考查復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、向量三者在運(yùn)算方面的聯(lián)系與

區(qū)別.基礎(chǔ)題.

10.已知向量滿足卜+囚=卜一,=G,則下列結(jié)論正確的是()

A.alSB.|S|=1

C.b-(a-b)=-3D.Z+B在各方向上的投影向量為*—可

【答案】ABD.

【解析】由向量加減法幾何意義，不難看出選項(xiàng)AB都正確，下面用直接推理的方法求解.

由卜+4=卜一囚=G,

a+~b+2a-b=3,=0,±b,

平方得到〈,,n<-2選項(xiàng)A,B正確；

a：+~b-2a-b=31b=1|^|=1-

因?yàn)?=0—1=一1,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

(a^b\\a-b\2-1/--\]l.

￡+3在各方向上的投影向量為(_—=-

,叫33

所以選項(xiàng)D正確.

【考查目標(biāo)】綜合考查向量基本知識(shí)，基礎(chǔ)題.

高一數(shù)學(xué)期中考試試題第4頁，共12頁A卷

11.如圖，某巡邏艇在Z處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距亞海里的8處有一艘走私船，正沿東偏

南45°的方向以3海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛,巡邏艇立即以2行海里/小時(shí)的速度沿著正東方

向直線追去，1小時(shí)后，巡邏艇到達(dá)。處，走私船到達(dá)。處，此時(shí)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改

變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以3亞海里/小時(shí)的速度沿著東偏北a角方向直

線追擊，恰好在E點(diǎn)處追到走私船，則().

A.BC=2G

B.當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距百海里卜/

C.NBCE為鈍角

D.a=15°

【答案】ABD

【解】由題設(shè)條件知道：AC=2A/2,AB=46+y/2,ABAC=60°,

在A48C中由余弦定理有

+次—2ZCcos60。=8+(8+46)-(46+4)=12,

所以BC=2JJ，選項(xiàng)A正確；

設(shè)?分別是正東、正北方向單位向量，則

V6+V273A/2+\/6-3y/2-：3y/2z

AB=-----------z+-------------i,BD=------z--------j，

2222

所以元=萬+麗=后+4&*漁7,又就=2萬，

22

所以質(zhì)=彳方—就=管7+半7=盧卜百G，所以選項(xiàng)B正確;

注：也可在A48C中，用正弦定理解得N4BC=45°,得至(JNCAD=30°,

解得CD=V3.

在A5CD中，因?yàn)锽C?=12=9+3=8。2+0￡)2,所以/8。。=90。.

設(shè)巡邏艇用了f時(shí)在E點(diǎn)處追到走私船，則

DE=3t,CE=3伍ZCDE=360°-135°-90°=135°，

rpDE

在ACDE中，由正弦定理得：--------

smZCDEsinZDCE

則sin/￡>CE=3f，si?35=2,因?yàn)闉殇J角，所以故/DCE=30。，

3y/2t2

因?yàn)閆BCD=60°,所以ZBCE=ZBCD+NDCE=60°+30P=9T,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

所以a=]05。_90。=15。，選項(xiàng)D正確.

【考查目標(biāo)】解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用.較難題

高一數(shù)學(xué)期中考試試題第5頁，共12頁A卷

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃

圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱.為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三

類垃圾箱中總計(jì)lOOOt生活垃圾.經(jīng)分揀以后數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表（單位：t）：

"廚余垃圾"箱"可回收物”箱"其他垃圾"箱

廚余垃圾400100100

可回收物3024030

其他垃圾202060

則可估計(jì)居民生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率為.

3

【答案】歷

【解】從所給表格數(shù)據(jù)可以看出:生活垃圾投放正確共有400+240+60=700t,

所以生活垃圾投放正確的概率估計(jì)為=工，

100010

所以生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率估計(jì)為1一工=a

1010

【考查目標(biāo)】用頻率估計(jì)概率.基礎(chǔ)題

13.在AABC中，角48,C所對(duì)的邊分別是見“C,己知4=8,6=4NB=60°,則AABC

的面積等于.

【答案】8（3+?

【解】由三角形的余弦定理有尸=/+02-2accos3,

也即96=64+c?—8cnc?一8。-32=o=-4）2=48,

因?yàn)椤恪?,所以°=4+廊'=4+46，

所以A48C的面積S=；acsin8=8x（4+46）x1=8（3+⑹.

【考查目標(biāo)】余弦定理，三角形面積公式應(yīng)用.基礎(chǔ)題.

14.如圖，在梯形45co中，AB//CD,AD=CD=1,AB=3.若AD：LBC,則太?麗的

值為_______.D_C

【答案】—3.Y

【解】過C作CE///8,交AB于E,則

高一數(shù)學(xué)期中考試試題第6頁，共12頁A卷

四邊形NDCE是菱形.

由題設(shè)有8C，CE,8E=2=2CE,)

所以/。8￡=30°,/?！?=/。/8=60°,

AC-BD=(AE+ADy(AD-AB)AE

=(^AB+AD)-(AD-AB)

--21--22—?—■21

=AD——AB--AD-AB=1-3--xlx3x-=-3.

3332

【考查目標(biāo)】數(shù)量積計(jì)算，中檔題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本題滿分13分)

-3

己知a=(―3/),b=(一］,左)，求左為何值時(shí)：

(1)alb，(2)(3)。與B的夾角為銳角.

【解】(1)因?yàn)?//B，所以一3左一1x(—1)=0,--------------2分

解得左二L-------------------------------------------------------4分

2

(2)因?yàn)镼_|_6，所以-3X(-5)+1XK=0,------------------6分

9

解得左二——.----------------------------------------------8分

2

-*—*兀————

(3)因?yàn)?<<見人><——，所以cosOna?/>>(),--------------------9分

2

所以—3x(—―)+lx左=左+彳〉0,-------------------------------10分

由(1)知道，左=；時(shí)，"http://B，此時(shí)凡3共線同向，<。,3>=0，不符合要求，-12分

高一數(shù)學(xué)期中考試試題第7頁，共12頁A卷

91

所以當(dāng)且僅當(dāng)左〉—5且左時(shí)，Z與B的夾角為銳角.------------------------13分

16.(本題滿分15分)

從集合｛1,2,3,4｝中隨機(jī)取兩次數(shù)，每次取一個(gè).記第一次取的數(shù)為x,第二次取的數(shù)為V,

兩次取數(shù)結(jié)束，算作一次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果記為(x,y).

(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Q,以及Q中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)事件“x+y=5”包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？事件“》＜3且7〉1”包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？

(3)若事件2=""卜=4",8="》=了",求尸(21^).

【解】⑴Q=｛(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.---------------------------------------------3分

Q中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為16；--------------------------------------------4分

(2)事件“x+y=5”包含的樣本點(diǎn)為：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1);-----------6分

事件“X<3且y〉1”包含的樣本點(diǎn)為:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).——8分

(3)因?yàn)槭录包含的樣本點(diǎn)為：(1,4),(2,2),(4,1),-----------------------9分

3

所以尸(2)=記.----------------------------------------------------10分

事件8包含的樣本點(diǎn)為：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),---------------------11分

41

所以P(8)=—=—.------------------------------------------------12分

164

事件包含的樣本點(diǎn)為：(2,2),----------------------------------13分

所以P(Zn8)=記.-------------------------------------------------14分

所以「(ZU3)=尸(Z)+尸(8)—尸(2口8)=3+-----=—=-------15分

16416168

高一數(shù)學(xué)期中考試試題第8頁，共12頁A卷

17.(本題滿分15分)

在A48C中，角4民。所對(duì)的邊分別是a,"c,滿足(2Z?-c)cosZ=acosC.

(1)求角Z的大?。?/p>

(2)若a=J7，8C邊上的中線2。的長為叵，求A48c的面積.

2

nhc

【解】(1)由三角形正弦定理——=——=——及題設(shè)條件可得

sinAsinBsinC

(2sinB-sinC)cos4=sin/cosC,--------------------------------------------------2分

也即

2sinBcosA=sinCcos/+sin/cosC=>2sinBcosA=sin(4+C),-----------3分

因?yàn)?+。+5="，所以sin5=sin(4+C),

所以2sinBcosZ=sinB,---------------------------------------------------------------4分

因?yàn)?E(0,%)，所以sinB>0,

所以2cos4=1ncosA=—,----------------------------6分

2

A

因?yàn)閆e(0"),所以Z=§.------------------------

說明：不說明8e(0"),Ze(0,〃),酌情扣1分.BD。

【解2】由三角形的余弦定理有

j22_2

(2b-c)cosA=acosCn(2b-c)------------=a.3士-----------------2分

2bclab

化簡整理得〃+/—/=2bc,-----------------4分

所以cosZ==1------------6分

高一數(shù)學(xué)期中考試試題第9頁，共12頁A卷

77

因?yàn)閆e(O"),所以Z=—.-----------------------7分

3

說明：不說明Ze(O,?),酌情扣1分.

(2)因?yàn)槎?((]/+%),

---*21---2---*2--------1,,19

所以AD=—(AB+AC+2AB-AC)=-(c2+b2+bc)=―,

444

也即c2+b2+bc=19,-----------------------9分

由余弦定理有a2=c2+b2-2bccosA^l=c2+b2-be,----------H分

c2+b2+bc=19,

由《，nbc=6,----------------------------------13分

c~+b--be=7

所以AASC的面積S=Lesin/=—x6x—^-=-------------15分

2222

18.（本題滿分17分）

品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試.一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品

質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，經(jīng)過一段時(shí)間，等其記憶淡忘后，再讓其

品嘗這〃瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試.根據(jù)一輪測試中的兩次排序偏離

程度的高低對(duì)其酒味鑒別能力進(jìn)行評(píng)價(jià).

現(xiàn)設(shè)〃=3,分別以為,4,%表示第一次排序時(shí)被排為1,2,3的三種酒在第二次排序時(shí)的序號(hào),

并令X=|%-11+|&-21+|%-3|,則X是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描述.若兩輪測試都有

X=0,則該品酒師被授予“特級(jí)品酒師”稱號(hào)；若兩輪測試都有X<2,且至少有一輪測試出

現(xiàn)XwO,則該品酒師被授予“一級(jí)品酒師”稱號(hào).

（1）用下列表格形式寫出第二次排序時(shí)所有可能的q,%，的排序結(jié)果，并求出相應(yīng)的X值;

a

%,。2，3X

1,2,30

........

高一數(shù)學(xué)期中考試試題第10頁，共12頁A卷

(2)甲參加了兩輪測試，兩輪測試結(jié)果相互獨(dú)立，記事件。="甲被授予一級(jí)品酒師稱號(hào)”,

求P0);

(3)甲連續(xù)兩年都參加了兩輪測試，兩年測試結(jié)果相互獨(dú)立，記事件E="在這兩年中甲至

少有一次被授予特級(jí)品酒師稱號(hào)”，求尸(E).

【解】(1)第二次排序時(shí)所有可能的排序及相應(yīng)的X值列表如下：

X

1,2,30

1,3,22

2,1,32

2,3,14

3,1,24

3,2,14

----------------------------------------------------------------3分

(2)令Z表示事件"X=0",8表示事件"X=2"，。表示事件"X=4".

由(1)知道P(Z)=±P(3)=±P(C)=L.--------------------------------6分

632

甲參加第一輪測試X值記為X],參加第二輪測試X值記為x2,

記事件9="乂=0,入2=2"，3="占=2,工=0"，°3="王=2,工=2",

則￡>=。lUD2U。3,------------------8分

因?yàn)閮奢啘y試結(jié)果相互獨(dú)立，所以

P(DJ=P("X=0")-P("X2=2")=1x；=白---------------------------9分

P(2)=P("X=2")-P("X2=0")=|X1=3---------------------------10分

P0)=P"i=2").P("X2=2")=|X|=i----------------------------11分

因?yàn)閆>1，Z>2，03互斥，

1112

所以尸(0=P(DiUAU2)=P(2)+P(Q)+P(3)=-+-+-=——12分

lo1oyy

(3)記事件E，="甲在第i年測試中被授予特級(jí)品酒師稱號(hào)”，/.=1,2,

則E=E]UE2?---------------------------------------------------------------------------------13分

P(^)=P(E)=P("X=0")-P("X=0")=—,---------------------14分

~236

因?yàn)樵?4相互獨(dú)立，

所以尸(E)=P(E[U當(dāng))=尸(&)+尸(反)—尸(％AE2)---------------------15分

=P(4)+尸(打)一尸(一)尸(4)=(一號(hào)了=康------------17分

高一數(shù)學(xué)期中考試試題第11頁，共12頁A卷

19(本題滿分17分)

在AABC中，角48,。所對(duì)的邊分別是見“c,其面積記為S,且滿足〃+4百S=(“+c>.

(1)求角8；

RAAD

(2)。為NC邊上一點(diǎn)，BD=2,且整=照，求S的最小值.