2024年江蘇省無錫市濱湖區(qū)中考數(shù)學一模試卷

2024年江蘇省無錫市濱湖區(qū)中考數(shù)學一模試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確

的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項標號涂黑）

L（3分）4的算術(shù)平方根是（）

A.±2B.-2C.2D.V2

2.（3分）函數(shù)y=U2x-l中的自變量X的取值范圍是（）

A.B.C.D.

222

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.3。?/=3〃3B.

-3.—2

C.（2/）3=6〃6.Cl~CI—CI

4.（3分）一組數(shù)據(jù)11,12,13,15,16,18的中位數(shù)和眾數(shù)分別為()

A.15,13B.13,14C.14,13D.13,13

6.（3分）小明從某一角度看一個立體圖形，看到的形狀為三角形，則這一立體圖形一定不是（）

A.圓柱B.圓錐C.棱柱D.棱錐

7.（3分）下列結(jié)論中，菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.內(nèi)角和為360°B.對角線互相平分

C.對角線相等D.對角線互相垂直

8.（3分）如圖，在。。中，半徑04點C在劣弧AB上.若/ABC=20°,貝!!/BAC=()

C.30°D.45°

9.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，尸為函數(shù)k（k>o,x>0），過點P作軸于點4將

y二

線段必繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)得到線段PB,若點A（4,0）,B（0,2）,則人的值為（）

C.12V3D.1572

10.（3分）如圖,在△ABC中，AB=3,BC=1.E、廠分別為BC、CA上的動點，且BE=b,則AE+BF

的最小值為（）

A.V35B.V37C.6D.V39

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.第16題第一空1分，第二空2分.不需寫出解答過

程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）

11.（3分）分解因式：2d-8=.

12.（3分）2024年3月24日，3.3萬名選手齊聚櫻花賽道參加2024無錫馬拉松比賽，據(jù)無錫市大數(shù)據(jù)管

理局統(tǒng)計，請將276700000用科學記數(shù)法表示為.

13.（3分）請寫出一個我的同類二次根式.

14.（3分）若一個圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則這個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角等于

15.（3分）《九章算術(shù)》中有一道題，原文是“今有人共買雞，人出九；人出六，不足十六.問人數(shù)、雞

價各幾何？”意思是：有若干人湊錢合伙買雞，多出11文錢；如果每人出6文錢，根據(jù)題意，則可列

方程為.

16.（3分）拋物線y=（尤-3）2+2與y軸交點的坐標為,將拋物線向下平移個

單位長度，該拋物線與坐標軸有且只有兩個交點.

17.（3分）已知二次函數(shù)y=cu?+c（a>0）的圖象與直線y=Ax+6（左>0）交于點m）（2,n）

兩點，則關(guān)于x的不等式辦2-fcr+（c-b）<。的解集為.

18.（3分）如圖，在網(wǎng)格圖中（每個小正方形的邊長為1）,點A、B、C、。均為格點

①點A到點B的最短距離為03；

②點A到直線CD的距離為如1_；

5

③直線AB、C。所交的銳角為45°；

其中，所有正確命題的序號為.（填序號）

三、解答題（本大題共10小題，共96分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步驟）

19.（8分）（1）計算：|?|-g）2+2sin60°;

（2）化簡：（〃-/?）2-a（a-2b）.

20.（8分）（1）解方程：9>①；

xx-l

x+4>-2x+l

（2）解不等式組：xx-l/?

（23飛

21.（10分）如圖，已知￡、尸為平行四邊形ABCZ）的對角線上的兩點，且BE=DF,

（1）求證：AABE注ACDF；

（2）若/AEC=90°,求證：四邊形AECF為矩形.

22.（10分）某校為掌握九年級學生每周的自主學習情況，學生會隨機抽取九年級的部分學生，調(diào)查他們

每周自主學習的時間⑺分為四種類別：A（O/7Wr<3〃），BC（6/?Wr<9/i）,DG29/?）,

將分類結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

四種類別的人數(shù)條形分布直方圖四種類別的人數(shù)扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）求出本次抽樣調(diào)查的樣本容量為;

（2）補全頻數(shù)分布直方圖，并計算扇形統(tǒng)計圖中C所在扇形的圓心角的度數(shù)為°；

（3）根據(jù)調(diào)查結(jié)果可知，自主學習時間的中位數(shù)落在組；

（4）若該校九年級有1200名學生，請估計一周自主學習的時間不少于6/?的人數(shù).

23.（10分）某班舉行“紅領(lǐng)巾尋訪”展示活動，活動設(shè)計的項目及要求如下：A、講一講革命故事，8、

說一說家鄉(xiāng)變化，。、畫一畫宏偉藍圖.人人參加，每人從中任意選一項.為公平起見，將圓形轉(zhuǎn)盤四

等分并標上字母4B、C、D,每位學生轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，指針所指扇形部分的字母對應(yīng)的活動項目即為

他選到的項目（當指針指在分界線上時重轉(zhuǎn)）.

（1）任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，選到“A、講一講革命故事”的概率是；

（2）甲、乙是該校的兩位學生，請用列表或畫樹狀圖的方法，求甲和乙選到不同活動項目的概率.

24.（10分）如圖，在平行四邊形ABC。中，AB>AD.

（1）請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作圖.要求：保留作圖痕跡，不寫作法.

①在AB上取一點E,使②作的平分線交AB于點F.

（2）在（1）所作的圖形中，DE交CF于點P,且AB=6,BC=5（如需畫草圖，請使用備用圖）

（備用圖）

25.（10分）如圖所示，某景區(qū)擬在矩形ABC。的空地上建造一個含“內(nèi)接平行四邊形MNP?！钡幕▔?平

行四邊形MNP。四個頂點M、N、尸、。分別在矩形A8C。四條邊AB、BC、CD、DA1..已知AB=6優(yōu),

BC=lOm,要求AQ=BM.設(shè)AQ=x機(0<x<6),平行四邊形MNPQ的面積為SM?.

(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)景區(qū)準備在平行四邊形MNPQ內(nèi)種植“郁金香”，四個三角形內(nèi)種植“紅玫瑰”.已知“郁金香”

的價格為20元加2,“紅玫瑰”的價格為40元加2.若景區(qū)購買兩種花卉的預(yù)算不超過1800元，求x的

取值范圍.

26.(10分)如圖，為。。的直徑，C為。。上一點，。為AB延長線上一點，連接C。

(1)求證：C。是。。的切線；

(2)若。。的半徑為百5，ZVIBC的面積為3百5,E為。。上一點，若空」，求BE的長.

27.(10分)如圖，已知拋物線〉=/+區(qū)+c與x軸交于點A(-3,0)、B(1,0)兩點(0,3),點P是

拋物線上的一個動點.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖1,當點尸在直線AC上方的拋物線上時，連接AP、BP,若S?PD=kS^ABD,求上的取值范

圍；

(3)已知M是直線AC上一動點，將點M繞著點。旋轉(zhuǎn)90°得到點。，若點。恰好落在二次函數(shù)的

圖象上

yy

圖1備用圖

28.(10分)如圖，在菱形ABC。中，tanA=&，"、N分別在邊A。、8c上，使AB的對應(yīng)線段所經(jīng)過

3

頂點。.

(1)若Z)E=Z)M時，求吼的值；

AM

(2)若是直角三角形，求現(xiàn)的值.

CN

(備用圖)

2024年江蘇省無錫市濱湖區(qū)中考數(shù)學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確

的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項標號涂黑）

1.（3分）4的算術(shù)平方根是（）

A.±2B.-2C.2D.V2

【解答】解：4的算術(shù)平方根是：y=&

故選：C.

2.（3分）函數(shù)y=02x-l中的自變量x的取值范圍是（）

A.尤W』B.C.尤＞工D.x^—

222

【解答】解：函數(shù)y=j2x-l中:4x-l20,

解得：尤。工.

2

故選：D.

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.3a,a3=3a3B.

C.（2cz2）3=6a6Dn.a3~.ci—a9

【解答】解：A、3a?『=7/,原計算錯誤，不符合題意;

B、a+a=2a,不符合題意；

C、（7/）3=3/，原計算錯誤，不符合題意;

D、a3-r-a=a3,正確，符合題意，

故選：D.

4.（3分）一組數(shù)據(jù)11,12,13,15,16,18的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）

A.15,13B.13,14C.14,13D.13,13

【解答】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為11,12,13,16,18,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為生且殳=14.

2

故選：C.

5.（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（

A.B.C.D.

【解答】解：A.原圖既是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

B.原圖是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C.原圖既是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D.原圖既是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：B.

6.（3分）小明從某一角度看一個立體圖形，看到的形狀為三角形，則這一立體圖形一定不是（

A.圓柱B.圓錐C.棱柱D.棱錐

【解答】解：正立的圓柱從上、下面看是圓形，故A符合題意，

正立的圓錐從側(cè)面看是三角形，故8不符合題意，

正立的三棱柱從上、下面看是三角形，

正立的棱錐從側(cè)面看是三角形，故。不符合題意，

故選：A.

7.（3分）下列結(jié)論中，菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.內(nèi)角和為360。B.對角線互相平分

C.對角線相等D.對角線互相垂直

【解答】解：選項A,菱形和矩形都是四邊形，不符合題意；

選項8,菱形和矩形都是特殊的平行四邊形，不符合題意；

選項C,矩形的對角線相等，不符合題意；

選項D,矩形的對角線不一定互相垂直，符合題意.

故選：D.

8.（3分）如圖，在。。中，半徑。4,點C在劣弧上.若/ABC=20°,貝iJ/BAC=（）

A.20°B.25°C.30°D.45°

【解答】解：連接0C,

VZABC=20°,

AZAOC=2ZABC=40°,

9：0A±0B,

：.ZAOB=90°,

：.ZBOC=90°-40°=50°,

：.ZBAC=^ZBOC=^.

82

9.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，尸為函數(shù)y上（k>0,x>o），過點尸作軸于點A,將

X

線段B4繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)得到線段P8,若點A（4,0）,B（0,2）,則左的值為（）

C.1273D.15V2

【解答】解：如圖，作尸軸,

:點A(4,0),5),

：.AO=CP=4,

：.P(4,K),B4=PB=K,

24

.?.2C=區(qū)-2,

4

在RtZXBCP中，PC2+BC2^PB4,

.-.42+(K_n)2=(1)2,

32

10.（3分）如圖，在△ABC中，AB=3,BC=1.E、歹分別為BC、CA上的動點，且BE=CR則AE+B尸

的最小值為（）

A.V35B.V37C.6D.V39

【解答】解：過點8作8G〃AC,且使得BG=BC,8HLCA交CA的延長線于點H.

H

:./C=/EBG,

在△8CF和AGBE中，

fCF=BE

>NC=NEBG，

CB=BG

.,.△BCF當ABGE(SAS),

：.BF=EG,

'."AH//BJ,BHLAH,

：.ZH=ZAJB=ZJAH=90°,

，四邊形是矩形,

：.BH=AJ,AH=BJ,AH=BJ=y.7,

223

Ly+(x+2)=7

'_3_

x=7

解得〈/-，

7V3

:.AH=BJ=?,JG=BG-BJ=7-

2__________22

?加6+口2=小呼)2+得不俯,

"：AE+BF^AE+EG^AG,

：.AE+BF^^37,

：.AE+BF的最小值為

故選：B.

二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分.第16題第一空1分，第二空2分.不需寫出解答過

程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置)

11.(3分)分解因式：2/-8=2(x+2)(x-2).

【解答】解：2?-2

=2(%2-8)

=2(無+2)(x-4)；

故答案為：2(尤+2)(x-7).

12.(3分)2024年3月24日，3.3萬名選手齊聚櫻花賽道參加2024無錫馬拉松比賽，據(jù)無錫市大數(shù)據(jù)管

理局統(tǒng)計，請將276700000用科學記數(shù)法表示為2.767X1()8.

【解答】解：276700000=2.767義1()8.

故答案為：6.767X108.

13.(3分)請寫出一個我的同類二次根式,通

【解答】解:由題意得：2我是我的同類二次根式.

故填：2y.

14.(3分)若一個圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則這個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角等于120°.

【解答】解：設(shè)母線長為R,底面半徑為，，底面面積=TT/,側(cè)面面積=nrR

???側(cè)面積是底面積的3倍，

:?R=3r.

設(shè)圓心角為n.

...n兀R=2TU~=2,

1802

."=120°,

故答案為：120.

15.（3分）《九章算術(shù)》中有一道題，原文是“今有人共買雞，人出九；人出六，不足十六.問人數(shù)、雞

價各幾何？”意思是：有若干人湊錢合伙買雞，多出11文錢；如果每人出6文錢，根據(jù)題意，則可列

方程為9x-ll=6x+16.

【解答】解：依題意得：9尤-ll=6x+16.

故答案為：4x-ll=6x+16.

16.（3分）拋物線y=（x-3）2+2與y軸交點的坐標為（0,11）,將拋物線向下平移2或11個

單位長度，該拋物線與坐標軸有且只有兩個交點.

【解答】解：當x=。時，y=（x-3）3+2=11,

.,.拋物線與y軸的交點坐標為（0,11）,

?拋物線》=（%-2）2+2的頂點坐標為（8,2）,

...當拋物線y=（x-3）4+2向下平移2個單位時，平移后的拋物線解析式為>=（尤-6）2,拋物線y

=（x-3）5的頂點坐標為（3,0）,與y軸的交點坐標為（5；

當拋物線>=（尤-3）2+8向下平移11個單位時，平移后的拋物線解析式為y=（x-3）2-8,即y=/

-6x,拋物線與坐標軸的交點為（3,（6.

綜上所述，拋物線y=（尤-3）3+2向下平移2或11個單位長度，該拋物線與坐標軸有且只有兩個交點.

故答案為：（7,11）.

17.（3分）已知二次函數(shù)（a>0）的圖象與直線>=依+6（左>0）交于點m）（2,n）

兩點，則關(guān)于尤的不等式辦2-（c-b）<0的解集為—\[?.<x<2.

【解答】解：?二次函數(shù)y=czx2+c（°>0）的圖象與直線>=丘+6（%>3）交于點M（-正,in）、N（2,

當時2+c<kx+b,

即辦5-kx+c-b<0,

關(guān)于x的不等式or2-（c-b）<3的解集為J5cx<2.

故答案為：V7<%<2.

18.（3分）如圖，在網(wǎng)格圖中（每個小正方形的邊長為1）,點A、B、C、。均為格點

①點A到點B的最短距離為西；

②點A到直線CD的距離為全區(qū);

5

③直線A3、8所交的銳角為45°；

其中，所有正確命題的序號為①②③.（填序號）

【解答】解：由圖可得，點A到點8的最短距離為AB=?儼+82='國;

取格點E,連接。E,則C,D,F,過點A作于

?12

.5^^^義2義2巧理佃，

故②正確；

V34

取格點J,連接A7,則47〃。，

.?.ZBAJ=45°,

直線A8、CD所交的銳角為45°,

故答案為：①②③.

三、解答題（本大題共10小題，共96分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步驟）

19.(8分)(1)計算：|A/3-2I-2+2sin60°;

(2)化簡：(a-b)2-a(a-2b).

【解答】解：(1)原式=2-5+2x1

4

=2-Vs-4+V3

=-2；

(2)原式=/-2"+廿-鏘2"

=b2.

20.(8分)(1)解方程：9--；

XX-1

x+4>-2x+l

(2)解不等式組：X__x-l

123<1

【解答】解：(1)2=旦,

XX-8

方程兩邊都乘x(x-1得4(%-8)=3x,

4x-3=3x,

4x-5x=4,

x=4,

檢驗：當x=3時，x(x-1)WO,

所以分式方程的解是x=7；

x+4>-2x+4①

(2)'YY—1/，

I■號<1②

解不等式①，得x>-1,

解不等式②，得了W4,

所以不等式組的解集是-1<XW4.

21.(10分)如圖，已知￡、尸為平行四邊形ABC。的對角線上的兩點，5.BE=DF,

(1)求證：AABE出ACDF；

(2)若NAEC=90°,求證：四邊形AECP為矩形.

【解答】證明：（1）?四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AB=CD,AB//CD,

：.ZABE=ZCDF,

在△ABE和△CZ)E中，

rAB=CD

<NABE=NCDF，

BE=DF

:.AABE義ACDF(SAS)；

(2)如圖，由(1)可知，

：.AE^CF,ZAEB=ZCFD.

,：ZAEB+ZAEO=ZCFD+ZCFE=180°

ZAED^ZCFE,

C.AE//CF,

四邊形AECF為平行四邊形.

XVZA￡C=90°,

平行四邊形AECF為矩形.

22.（10分）某校為掌握九年級學生每周的自主學習情況，學生會隨機抽取九年級的部分學生，調(diào)查他們

每周自主學習的時間⑺分為四種類別：ACQh^t<3h）,B（3/zWf<6〃），C（6hWt〈9h）,DG29〃），

將分類結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

四種類別的人數(shù)條形分布直方圖四種類別的人數(shù)扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）求出本次抽樣調(diào)查的樣本容量為60A;

（2）補全頻數(shù)分布直方圖，并計算扇形統(tǒng)計圖中C所在扇形的圓心角的度數(shù)為144°；

（3）根據(jù)調(diào)查結(jié)果可知，自主學習時間的中位數(shù)落在C組;

（4）若該校九年級有1200名學生，請估計一周自主學習的時間不少于6/2的人數(shù).

【解答】解：（1）本次抽樣調(diào)查的樣本容量為6?10%=60（人）,

故答案為：60人；

(2)。組人數(shù)為60X20%=12(人),

補全圖形如下：

四種類別的人數(shù)條形分布直方圖

扇形統(tǒng)計圖中C所在扇形的圓心角的度數(shù)為360°X24=144°；

60

故答案為：144；

(3)自主學習時間的中位數(shù)是第30、31個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在。組；

故答案為：C；

(4)估計一周自主學習的時間不少于6〃的人數(shù)為1200x24+12=720(人).

60

23.(10分)某班舉行“紅領(lǐng)巾尋訪”展示活動，活動設(shè)計的項目及要求如下：A、講一講革命故事，8、

說一說家鄉(xiāng)變化，。、畫一畫宏偉藍圖.人人參加，每人從中任意選一項.為公平起見，將圓形轉(zhuǎn)盤四

等分并標上字母A、B、C、D,每位學生轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，指針所指扇形部分的字母對應(yīng)的活動項目即為

他選到的項目(當指針指在分界線上時重轉(zhuǎn)).

(1)任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，選到“4講一講革命故事”的概率是1；

—4―

(2)甲、乙是該校的兩位學生，請用列表或畫樹狀圖的方法，求甲和乙選到不同活動項目的概率.

【解答】解：(1):將圓形轉(zhuǎn)盤四等分并標上字母A、B、C、D,

任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，選到

4

故答案為：3；

4

（2）畫樹狀圖如下:

開始

由樹狀圖知，共有16種等可能的結(jié)果，

...甲和乙選到不同活動項目的概率為￡=3.

167

24.（10分）如圖，在平行四邊形A2CD中，AB>AD.

（1）請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作圖.要求：保留作圖痕跡，不寫作法.

①在AB上取一點E,使NAOE=ZAED；②作/BCD的平分線交AB于點F.

（2）在（1）所作的圖形中，DE交CF于點、P,且AB=6,BC=5（如需畫草圖，請使用備用圖）

（備用圖）

【解答】解：（1）①如圖，以點A為圓心，交AB于點E,

此時AD=AE,

則ZAED,

則點E即為所求.

②如圖，CE即為所求.

（2）如圖,

AFEB

ZADE=ZAED,

：.AD=AE.

???Cb為NBC。的平分線，

：.ZDCF=ZBCF.

???四邊形ABCD為平行四邊形，

：.CD=AB=6fAD=BC=5,

；.NDCF=/BFC,

:?/BCF=/BFC,

，BF=BC,

：.AE=BF=7,

：.AF=AB-BF=1,EF=AE-A尸=4.

在RtAADF中，由勾股定理得，DFMAD7-AF2=2^后，

在Rt/XOEb中，由勾股定理得｛DJT2+EF2=5，元.

'CAB//CD,

：.NCDP=NFEP,NDCP=/EFP,

:.△EFPs^DCP,

???—EF~—PE,

CDDP

即9=1,

62V10-PE

5

25.(10分)如圖所示，某景區(qū)擬在矩形ABC。的空地上建造一個含“內(nèi)接平行四邊形MNPQ”的花壇.平

行四邊形MNPQ四個頂點M、N、P、。分別在矩形ABC。四條邊A3、BC、CD、DA±.己知

BC=10m,要求設(shè)AQ=x機(0<x<6),平行四邊形MNPQ的面積為s/.

(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)景區(qū)準備在平行四邊形MVPQ內(nèi)種植“郁金香”，四個三角形內(nèi)種植“紅玫瑰”.已知“郁金香”

的價格為20元行？，“紅玫瑰”的價格為40元的2.若景區(qū)購買兩種花卉的預(yù)算不超過1800元，求x的

取值范圍.

AQD

:四邊形ABC。是矩形，

：.AD//BC,

：.ZDQN=ZBNQ,

,/四邊形MNPQ是平行形四邊形，

/.ZPQN=ZMNQ,PQ=MN,

：.ZPQD=ZMNB,

又：/B=NQ=90°,

:.APDQmAMBN(A4S),

同理可證，△AMQdCPN,

:.AQ=BM=NC=DP=xm,

：.AM=(6-尤)m,BN=(10-x)m,

4

；.S=S矩形ABCD-2S^AMQ-7sABMN=6乂10-2XAx(6-x)-8XA-16x+60,

22

與尤的函數(shù)關(guān)系式為S=2f-16x+60；

(2)根據(jù)題意得：40X[8xXc(3-尤)+2XA2-16x+60)W1800,

24

整理得：/-4x+1520,

解得尤N5或xW4,

'：0<x<6,

.?.8<xW3或5Wx<6.

26.(10分)如圖，AB為O。的直徑，C為。。上一點，。為AB延長線上一點，連接C。

(1)求證：C。是。。的切線；

(2)若。。的半徑為JI5，△ABC的面積為3mE為O。上一點，若里二，求的長.

CF3

,：AB為OO的直徑，

AZACB=90°,ZA+ZABC=90°,

：OB=OC,

ZABC=ZBCO,

又乙BCD=

：.ZBCD+ZBCO=90°,即/。CO=90°,

C.OCLCD,

是。。的半徑，

???CD是。。的切線；

(2)解：過C作CAf_LAB于過￡作EH_LA8于H,如圖:

:。。的半徑為JI3，

：.AB=241Q,

,：△ABC的面積為305，

.?.2AB?CM=3JI5，即至JI5?CM=3A/I5，

22

；.CM=8,

Rtz\BCM中，ZBCM=90°-ZCBA,

RtZXABC中，ZA=90°-ZCBA,

：.ZBCM=ZA,

：.tmZBCM=tanA,即地WL

CMAM

.BM_3

"Vs^io-BM

解得BM=JI3-iTTo+i舍去），

,；CMLAB,EHLAB,

?EF_HE_HF.

,,mFT

.?.EF=—2,

CF3

.HE_1,

"CM"MF

由（2）知CM=3,BM=V10，

：.HE=1,MF=3HF,

RtAOEH中，0H=>/OE2-HE2=7（V10）2-12'

：.AH=OA-O//=V10-8,

設(shè)“尸=x,則MF=3x,

由AB=2VT5可得：BM+MF+HF+AH=8^10>

?,?A/10-1+3x+x+,\/10V10>

解得：x=6,

：.HF=1,MF=3,

:.BF=BM+MF=(V10-6)+3=-/10.

27.(10分)如圖，已知拋物線y=a?+6x+c與x軸交于點A(-3,0)、B(1,0)兩點(0,3),點P是

拋物線上的一個動點.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖1,當點尸在直線AC上方的拋物線上時，連接AP、BP,若S^APD=kS^ABD,求人的取值范

圍；

(3)已知M是直線AC上一動點，將點M繞著點。旋轉(zhuǎn)90°得到點。，若點。恰好落在二次函數(shù)的

圖1備用圖

【解答】解：(1)設(shè)拋物線的表達式為y=a(x-xi)(x-%2)—a(x+3)(尤-1),

將點C的坐標代入上式得：3=。(3+3)(0-8),解得a=-l,

故拋物線的函數(shù)表達式為y=-(x+3)(x-2)=-?-2r+3；

(2)如圖，過點B作2E〃y軸交AC于E,

設(shè)直線AC的解析式為把A(-3,C(0,

得卜5k+n=0,

ln=3

解得：0=3,

ln=3

直線AC的解析式為y=x+3,

設(shè)P(f,-戶-2什3),且f+3),

：B(4,0),

\E(1,7),

\BE=4,PF=-F-5f+3-G+3)=-#-3z,

.?8E〃y軸，尸尸〃y軸，

,.BE//PF,

,.△BDES4PDF,

?PD=PF=-tMt=_13A3,9

"BDBE—4-7?IT

-3<t<2,

?.當仁-旦時，電取得最大值二，

2BD16

:S^APD=kSAABD，

.SAAPDPD

^AABDBD

..人的最大值為a,

16

?.0<