重難點31 阿基米德三角形（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

重難點31阿基米德三角形【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1弦長與弦所在方程問題】 2【題型2定點問題】 3【題型3切線垂直問題】 4【題型4切線交點及其軌跡問題】 5【題型5面積問題】 7【題型6最值問題】 81、阿基米德三角形阿基米德三角形是圓錐曲線的重要內(nèi)容，圓錐曲線是高考的重點、熱點內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，阿基米德三角形的考查頻率變高，在各類題型中都有可能考查，復習時要加強此類問題的訓練，靈活求解.【知識點1阿基米德三角形】拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.性質(zhì)1阿基米德三角形的底邊AB上的中線MQ平行于拋物線的軸.性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊AB過拋物線內(nèi)的定點C，則另一頂點Q的軌跡為一條直線，該直線與以C點為中點的弦平行.性質(zhì)3若直線l與拋物線沒有公共點，以l上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊AB過定點(若直線l方程為：ax+by+c=0，則定點的坐標為.性質(zhì)4底邊AB為a的阿基米德三角形的面積最大值為.性質(zhì)5若阿基米德三角形的底邊AB過焦點，則頂點Q的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積最小，最小值為p2.【題型1弦長與弦所在方程問題】【例1】（23-24高二下·河南開封·期末）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天文學家，不僅在物理學方面貢獻巨大，還享有“數(shù)學之神”的稱號．拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，稱△PAB為“阿基米德三角形”，當線段AB經(jīng)過拋物線焦點F時，△PAB具有以下特征：（1）P點必在拋物線的準線上；（2）△PAB為直角三角形，且PA⊥PB；（3）PF⊥AB．已知過拋物線x2=16y焦點的直線l與拋物線交于A，B兩點，過點A，B處的切線交于點P，若點P的橫坐標為2，則直線AB的方程為（

）A．x+2y?8=0 B．x?2y+8=0C．x?4y+16=0 D．x+4y?16=0【變式1-1】（2024·陜西西安·二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天文學家，不僅在物理學方面貢獻巨大，還享有“數(shù)學之神”的稱號．拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，稱三角形PAB為“阿基米德三角形”.已知拋物線C：x2=8y的焦點為F，過A，B兩點的直線的方程為3x?3y+6=0，關于“阿基米德三角形”△PABA．AB=323C．PF⊥AB D．點P的坐標為3【變式1-2】（23-24高二上·重慶·期末）阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希臘偉大的物理學家，數(shù)學家和天文學家，并享有“數(shù)學之神”的稱號.他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理．在該定理中，拋物線的弦與過弦的端點的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．若拋物線上任意兩點A,B處的切線交于點P，則△PAB為“阿基米德三角形”，且當線段AB經(jīng)過拋物線的焦點F時，△PAB具有以下特征：（1）P點必在拋物線的準線上；（2）PA⊥PB；（3）PF⊥AB．若經(jīng)過拋物線y2=8x的焦點的一條弦為AB，“阿基米德三角形”為△PAB，且點P在直線x?y+6=0上，則直線AB的方程為（

A．x?y?2=0 B．x?2y?2=0C．x+y?2=0 D．x+2y?2=0【變式1-3】（2024高三·全國·專題練習）AB為拋物線x2=2pyp>0的弦，Ax1,y1，Bx2,y2A．xB．底邊AB的直線方程為x0C．△AMB是直角三角形；D．△AMB面積的最小值為2p【題型2定點問題】【例2】（23-24高二下·安徽·開學考試）拋物線的弦與在弦兩端點處的切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．對于拋物線C：y=ax2給出如下三個條件：①焦點為F0,12(1)從以上三個條件中選擇一個，求拋物線C的方程；(2)已知△ABQ是（1）中拋物線的“阿基米德三角形”，點Q是拋物線C在弦AB兩端點處的兩條切線的交點，若點Q恰在此拋物線的準線上，試判斷直線AB是否過定點？如果是，求出定點坐標；如果不是，請說明理由．【變式2-1】（2024·湖南·三模）已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F，過F且斜率為2的直線與E交于A，B(1)求E的方程；(2)直線l:x=?4，過l上一點P作E的兩條切線PM,PN，切點分別為M，N.求證：直線MN過定點，并求出該定點坐標.【變式2-2】（2024·甘肅蘭州·一模）已知圓C過點P4,1，M2,3和N2,?1，且圓C與y軸交于點F，點F(1)求圓C和拋物線E的方程；(2)過點P作直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，過點A，B分別作拋物線E的切線，兩條切線交于點Q，試判斷直線QM與圓C的另一個交點D是否為定點，如果是，求出D點的坐標；如果不是，說明理由．【變式2-3】（2024·遼寧·三模）設拋物線C的方程為y2=4x，M為直線l:x=?m(m>0)上任意一點；過點M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B（(1)當M的坐標為?1,32時，求過M，A，(2)求證：直線AB恒過定點；(3)當m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使△MAB為直角三角形，若存在，有幾個這樣的點，說明理由；若不存在，也請說明理由．【題型3切線垂直問題】【例3】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知拋物線C的方程為x2=4y，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為（1）若點P坐標為0,?1，求切線PA,PB的方程；（2）若點P是拋物線C的準線上的任意一點，求證：切線PA和PB互相垂直.【變式3-1】（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知P是拋物線C:y2=4x的準線上任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB(1)若點P縱坐標為0，求此時拋物線C的切線方程；(2)設直線PA,PB的斜率分別為k1,k【變式3-2】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知拋物線C的方程為x2=4y，點P是拋物線C的準線上的任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A,B，點M是（1）求證：切線PA和PB互相垂直；（2）求證：直線PM與y軸平行；（3）求△PAB面積的最小值.【變式3-3】（23-24高三下·江西景德鎮(zhèn)·階段練習）已知橢圓C1:x23+y22=1，拋物線C2與橢圓C1有相同的焦點，拋物線C2的頂點為原點，點P是拋物線C2的準線上任意一點，過點P作拋物線C2的兩條切線PA（1）求拋物線C2的方程及k（2）若直線AB交橢圓C1于C、D兩點，S1、S2分別是△PAB、△PCD【題型4切線交點及其軌跡問題】【例4】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知拋物線E：x2=2y，過點T1,1的直線與拋物線E交于A，B兩點，設拋物線E在點A，B處的切線分別為l1和l2，已知l1與x軸交于點M，l2與x軸交于點N(1)證明：點P在定直線上；(2)若△PMN面積為22，求點P(3)若P，M，N，T四點共圓，求點P的坐標.【變式4-1】（24-25高三上·云南·階段練習）已知點Px0,y0是拋物線y2=2pxp>0上任意一點，則在點P處的切線方程為y0y=px+(1)當a=6時，設這兩條切線交于點Q，求點Q的軌跡方程；(2)（?。┣笞C：由點A，B及拋物線C0的頂點所成三角形的重心的軌跡為一拋物線C（ⅱ）對C1再重復上述過程，又得一拋物線C2，以此類推，設得到的拋物線序列為C1，C2，C3【變式4-2】（2024·廣西·二模）已知拋物線C:x2=y，過點E0,2作直線交拋物線C于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線(1)證明：P在定直線上；(2)若F為拋物線C的焦點，證明：∠PFA=∠PFB．【變式4-3】（2024·上?！と＃┮阎獟佄锞€Γ:x2=2y的焦點為F，過點T1,1的直線l與Γ交于A、B兩點．設Γ在點A、B處的切線分別為l1，l2，l1與x軸交于點M，l2與x(1)設點A橫坐標為a，求切線l1的斜率，并證明FM⊥(2)證明：點P必在直線y=x?1上；(3)若P、M、N、T四點共圓，求點P的坐標．【題型5面積問題】【例5】（23-24高三上·河南濮陽·階段練習）我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A，B處的兩條切線所圍成的三角形△PAB（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當線段AB經(jīng)過拋物線的焦點F時，△PAB具有以下性質(zhì)：①P點必在拋物線的準線上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直線l:y=kx?1與拋物線y2=4x交于A，B點，若AB=8，則拋物線的“阿基米德三角形”A．82 B．42 C．22【變式5-1】（2024·山西·模擬預測）圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，過拋物線焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于A，B兩點，分別過A，B兩點作拋物線的切線l1，l2相交于點P，那么阿基米德三角形PAB滿足以下特性：①點P必在拋物線的準線上；②△PAB為直角三角形，且∠APB為直角；③PF⊥AB，已知P為拋物線y2=x的準線上一點，則阿基米德三角形A．12 B．14 C．2【變式5-2】（2024·河北秦皇島·二模）已知拋物線E：x2=2y的焦點為F，點P是x軸下方的一點，過點P作E的兩條切線l1,l2，且(1)求證：F，P，M，N四點共圓；(2)過點F作y軸的垂線l，兩直線l1,l2分別交l于【變式5-3】（2024·河南·模擬預測）在直角坐標系xOy中，已知a=4,y,(1)求點Mx,y的軌跡Γ(2)由圓x2+y2=R2上任一點Nx0,y0處的切線方程為x0x+y0y=R2，類比其推導思想可得拋物線C:y2=2px(p>0)上任一點【題型6最值問題】【例6】（23-24高三·云南昆明·階段練習）過拋物線y2=2pxp>0的焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于A，B兩點，分別過A，B兩點作拋物線的切線l1，l2相交于點P，△PAB又常被稱作阿基米德三角形．△PABA．p23 B．p22 C．【變式6-1】（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）AB為拋物線x2=2pyp>0的弦，Ax1,y1，Bx2,y2分別過A,BA．xB．底邊AB的直線方程為x0C．△AMB是直角三角形；D．△AMB面積的最小值為2p【變式6-2】（2024·云南曲靖·一模）已知斜率為1的直線l1交拋物線E:x2=2pyp>0于A、B兩點，線段AB(1)求拋物線E的方程；(2)設拋物線E的焦點為F，過點F的直線l2與拋物線E交于M、N兩點，分別在點M、N處作拋物線E的切線，兩條切線交于點P，則△PMN的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及此時對應的直線l【變式6-3】（2024·河北·模擬預測）已知拋物線C:x2=2py(p>0)，過點P(0,2)的直線l與C交于A,B兩點，當直線l與y軸垂直時，OA⊥OB(1)求C的準線方程；(2)若點A在第一象限，直線l的傾斜角為銳角，過點A作C的切線與y軸交于點T，連接TB交C于另一點為D，直線AD與y軸交于點Q，求△APQ與△ADT面積之比的最大值.一、單選題1．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學家阿基米德提出，有著很多重要的應用，如在化學中作為一種穩(wěn)定的幾何構型，在平面設計中用于裝飾燈等.在圓倠曲線中，稱圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F，頂點為O，斜率為43的直線l過點F且與拋物線C交于M,N兩點，若△PMN為阿基米德三角形，則A．11 B．23 C．13 D．2．（2024·青海西寧·二模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的斜率之積為定值．設拋物線y2=2px(p>0)，弦AB過焦點，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（A．p22 B．p2 C．23．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，其中拋物線中的阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上．設拋物線y2=2pxp>0，弦AB過焦點F，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQA．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．隨著點A，B位置的變化，前三種情況都有可能4．（2024·河北·三模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學發(fā)展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊藏著很多性質(zhì)．已知拋物線y2=4x，過焦點的弦AB的兩個端點的切線相交于點M，則下列說法正確的是（A．M點必在直線x=?2上，且以AB為直徑的圓過M點B．M點必在直線x=?1上，但以ABC．M點必在直線x=?2上，但以AB為直徑的圓不過M點D．M點必在直線x=?1上，且以AB5．（23-24高三上·河南濮陽·階段練習）我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A，B處的兩條切線所圍成的三角形△PAB（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當線段AB經(jīng)過拋物線的焦點F時，△PAB具有以下性質(zhì)：①P點必在拋物線的準線上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直線l:y=kx?1與拋物線y2=4x交于A，B點，若AB=8，則拋物線的“阿基米德三角形”△PAB頂點A．±1 B．±2 C．±3 D．±6．（23-24高三·云南昆明·階段練習）過拋物線y2=2pxp>0的焦點F作拋物線的弦與拋物線交于A、B兩點，M為AB的中點，分別過A、B兩點作拋物線的切線l1、l2相交于點P①P點必在拋物線的準線上；②AP⊥PB；③設Ax1,y1、Bx2④PF⊥AB；⑤PM平行于x軸.其中正確的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2024高三·全國·專題練習）已知拋物線Γ:x2=8y的焦點為F，直線l與拋物線Γ在第一象限相切于點P，并且與直線y=?2和x軸分別相交于A，B兩點，直線PF與拋物線Γ的另一個交點為Q．過點B作BC//AF交PF于點C附加結論：拋物線上兩個不同的點A，B的坐標分別為Ax1,y1，Bx2,y2，以A，B為切點的切線

定理：點P的坐標為x1推論：若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)定點C0,mm>0，則另一頂點P的軌跡方程為A．5?1 B．2+5 C．3+58．（2024·云南昆明·模擬預測）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家和天文學家.他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理，并享有“數(shù)學之神”的稱號.拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.如圖，△PAB為阿基米德三角形.拋物線x2=2py(p>0)上有兩個不同的點Ax1,y1,Bx2,（1）若弦AB過焦點，則△ABP為直角三角形且∠APB=90（2）點P的坐標是x1（3）△PAB的邊AB所在的直線方程為x1（4）△PAB的邊AB上的中線與y軸平行（或重合）.A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）二、多選題9．（2024·山東·模擬預測）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形．已知拋物線C:x2=8y，阿基米德三角形PAB，弦AB過C的焦點F，其中點AA．點P的縱坐標為?2 B．C的準線方程為x=?2C．若AF=8，則AB的斜率為3 D．△PAB10．（2024·湖南長沙·二模）過拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點F的直線與拋物線C相交于A，B兩點，以A，B為切點作拋物線C的兩條切線l1，l2，設l1，l2的交點為M，稱△A．△AMB是直角三角形B．頂點M的軌跡是拋物線C的準線C．MF是△AMB的高線D．△AMB面積的最小值為211．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景?豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無窮的魅力.設A,B是拋物線C:x2=4y上兩個不同的點，以Ax1,y1,BA．xB．若x1=2，則AC．存在點P，使得PAD．△PAB面積的最小值為4三、填空題12．（2024高三·全國·專題練習）拋物線的弦與過弦端點的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形．設拋物線為y2=4x，弦AB過焦點，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為13．（24-25高二上·上?！卧獪y試）我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A、B處的兩條切線所圍成的△PAB（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當線段AB經(jīng)過拋物線的焦點F時，△PAB具有以下性質(zhì)：①P點必在拋物線的準線上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直線l：y=kx?1與拋物線y2=4x交于A、B兩點，若AB=8，則拋物線的“阿基米德三角形”△PAB的頂點P的坐標為14．（23-24高三下·江西·階段練習）圓錐曲線C的弦AB與過弦的端點A，B的兩條切線的交點P所圍成的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲線C的方程為x2=4y，弦AB過C的焦點F，設Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，則有x0=x1四、解答題15．（23-24高三上·河北衡水·階段練習）著名古希臘數(shù)學家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式S=abπ，（a,b分別為橢圓的長半軸長和短半軸長）為后續(xù)微積分的開拓奠定了基礎，已知橢圓C：x2(1)求C的面積；(2)若直線l:x+2y?3=0交C于A,B兩點，求AB．16．（23-24高二下·重慶·階段練習）過拋物線外一點P作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，我們稱△PAB為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應阿基米德三角形面積的三分之二．如圖，點P是圓Q:x2+(y+5)2=4上的動點，△PAB是拋物線Γ:

(1)求拋物線Γ的方程；(2)利用題給的結論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；(3)設D是“圓邊形”的拋