微專題04 平面向量痛點(diǎn)問(wèn)題之三角形“四心”問(wèn)題（四大題型）（解析版）

微專題04平面向量痛點(diǎn)問(wèn)題之三角形“四心”問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：重心定理題型二：內(nèi)心定理題型三：外心定理題型四：垂心定理【知識(shí)點(diǎn)梳理】一、四心的概念介紹：（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2：1．（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等．（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直．二、三角形四心與推論：（1）是的重心：．（2）是的內(nèi)心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．【方法技巧與總結(jié)】（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上.為的內(nèi)心.（2）外心：為的外心.（3）垂心：為的垂心.（4）重心：為的重心.【典型例題】題型一：重心定理【例1】（2024·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知點(diǎn)G是的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)N與點(diǎn)C不重合），設(shè)，則的值為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】設(shè)，則，又因?yàn)镚是的重心，故，所以有.故選：A【變式1-1】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知中，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“”是“點(diǎn)為重心”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】依題意，則是重心，即充分性成立；若是重心時(shí)，，可得所以，必要性成立，故選：C.【變式1-2】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是三角形所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)軌跡一定通過(guò)三角形的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心【答案】D【解析】記為的中點(diǎn)，連接，作，如圖，則，，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在三角形的中線上，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的重心.故選：D.題型二：內(nèi)心定理【例2】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在△ABC中，，若O為內(nèi)心，且滿足，則x+y的最大值為．【答案】【解析】延長(zhǎng)AO交BC于D，設(shè)BC與圓O相切于點(diǎn)E，AC與圓O相切于點(diǎn)F，則OE＝OF，則，設(shè)，因?yàn)锽、C、D三點(diǎn)共線，所以，即，因?yàn)?，，所以，所以．故答案是：【變?-1】（2024·江蘇南通·高一如皋市第一中學(xué)期末）已知點(diǎn)P為的內(nèi)心，，若，則．【答案】【解析】在，由余弦定理得,設(shè)分別是邊上的切點(diǎn)，設(shè)，則，所以，由得，，即，①同理由,②聯(lián)立①②以及即可解得：，故答案為：【變式2-2】（2024·廣西柳州·高一統(tǒng)考期末）設(shè)為的內(nèi)心，，，，則【答案】【解析】取中點(diǎn)，連接，作，垂足分別為，，為的角平分線，；又，，，則；周長(zhǎng)，面積，內(nèi)切圓半徑，，又，，，，，，.故答案為：.題型三：外心定理【例3】（2024·吉林長(zhǎng)春·高一東北師大附中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)O是△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點(diǎn)，則．【答案】5【解析】如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，連接OE，因?yàn)闉椤鰽BC的外心，則，所以，同理：，所以.故答案為：5.【變式3-1】（2024·安徽六安·高一六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？计谀┮阎狾是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的．(從“重心”，“外心”，“內(nèi)心”，“垂心”中選擇一個(gè)填寫）【答案】外心【解析】如圖所示：為中點(diǎn)，連接，，，故，即，故的軌跡一定經(jīng)過(guò)的外心.故答案為：外心【變式3-2】（2024·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，，，，為的外心，若，則的值為（）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】由題意可知，為的外心，設(shè)外接圓半徑為，在圓中，過(guò)作，，垂足分別為，，則，分別為，的中點(diǎn)，因?yàn)?，兩邊乘以，即，的夾角為，而，則，得①，同理兩邊乘，即，，則，得②，①②聯(lián)立解得，，所以．故選：C．題型四：垂心定理【例4】（2024·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知的垂心為點(diǎn)，面積為15，且，則；若，則.【答案】3025【解析】如圖，是的邊上的高，則；設(shè)，因?yàn)椋娣e為15，所以，即；.由第一空可知，所以；所以，由可得，即；因?yàn)?，所以；故答案為?0

25.【變式4-1】（2024·湖北黃岡·高一校聯(lián)考期末）若為的垂心，，則＝，．【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，，所以，所以為的中位線，且，所以為的中點(diǎn)，所以，又，，所以，所以，所以，同理可得，所以，，又為的垂心，，設(shè)，，則，，所以，即，所以，則所以，所以，故答案為：；【變式4-2】（2024·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為的垂心（三角形的三條高線的交點(diǎn)），若，則.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，同理，由H為△ABC的垂心，得，即，可知，即，同理有，即，可知，即，所以，，又，所以．故答案為：.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、內(nèi)心分別為，，，，若（其中），當(dāng)取最大值時(shí)，（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】直角三角形中，，為中點(diǎn)，的重心為，如圖所示，，則，；直角三角形中，，的外心為，則為中點(diǎn)，如圖所示，，則，；直角三角形中，，的垂心為，則與點(diǎn)重合，，則，；直角三角形中，，的內(nèi)心為，則點(diǎn)是三角形內(nèi)角平分線交點(diǎn)，直角三角形中，角的對(duì)邊分別為，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，得，，，.最大，所以當(dāng)取最大值時(shí)，.故選：B.2．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？茧A段練習(xí)）若O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，H，N，Q在△ABC所在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則直線AP一定經(jīng)過(guò)的____心，點(diǎn)H滿足，則H是的____心，點(diǎn)N滿足，則N是的____心，點(diǎn)Q滿足，則Q是的____心，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．外心，內(nèi)心，重心，垂心 B．內(nèi)心，外心，重心，垂心C．內(nèi)心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，內(nèi)心【答案】B【解析】，變形得到，其中分別代表方向上的單位向量，故所在直線一定為的平分線，故直線AP一定經(jīng)過(guò)的內(nèi)心，，即點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)相等，故點(diǎn)是的外心，因?yàn)?，所以，如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，故三點(diǎn)共線，且，所以是的重心，由可得，故，同理可得，故為三條高的交點(diǎn)，為的垂心.故選：B二、多選題3．（2024·河南鄭州·高一校聯(lián)考期末）點(diǎn)為△所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（

）A．若，則點(diǎn)為△的重心B．若，則點(diǎn)為△的垂心C．若．則點(diǎn)為△的垂心D．在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)△的外心【答案】AD【解析】A．由于，其中為的中點(diǎn)，可知為邊上中線的三等分點(diǎn)（靠近線段），故為△的重心；選項(xiàng)A正確.B．向量，，分別表示在邊和上取單位向量和，它們的差是向量，當(dāng)，即時(shí)，則點(diǎn)在的平分線上，同理由，知點(diǎn)在的平分線上，故為△的內(nèi)心；選項(xiàng)B錯(cuò)誤.C．是以，為邊的平行四邊形的一條對(duì)角線的長(zhǎng)，而是該平行四邊形的另一條對(duì)角線的長(zhǎng)，表示這個(gè)平行四邊形是菱形，即，同理有，故為△的外心．選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于D，設(shè)是的中點(diǎn)，，即，所以，所以動(dòng)點(diǎn)在線段的中垂線上，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)△的外心.選項(xiàng)D正確.故選：AD.4．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則點(diǎn)是邊BC的中點(diǎn)B．若，則點(diǎn)是邊BC的三等分點(diǎn)C．若，則點(diǎn)是邊的重心D．若，且，則的面積是面積的【答案】ACD【解析】對(duì)于A中，根據(jù)向量的平行四邊形法則，若，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，所以A正確；對(duì)于B中，由，則，即，則為的中點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，如圖所示，由，可得，取的中點(diǎn)，可得，則點(diǎn)為的重心，所以C正確；對(duì)于D中，由，且，所以且，設(shè)，可得，且，所以三點(diǎn)共線，因?yàn)?，所以為的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近），如圖所示，所以，即則的面積是面積的，所以D正確.故選：ACD.5．（2024·山東棗莊·高一?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)O、G、H分別是△ABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A.為重心，所以,所以,所以,所以，所以該選項(xiàng)正確.B.，由于G是重心，所以，所以，同理,所以，所以該選項(xiàng)正確.C.,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.D.,所以,所以該選項(xiàng)正確.故選：ABD6．（2024·安徽池州·高一統(tǒng)考期末）已知△ABC的重心為，邊的中點(diǎn)分別為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若△ABC為正三角形，則C．若，則D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)闉橹械闹悬c(diǎn)，所以，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)闉檎切?，所以，所以，所以B不正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)闉榈闹匦模謩e為邊的中點(diǎn)，所以，即，所以，所以D正確.故選：ACD.7．（2024·廣東廣州·高一?？计谀┫铝忻}正確的是（

）A．若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且，則B．在中，若O點(diǎn)滿足，則O點(diǎn)是的重心C．若，把右平移2個(gè)單位，得到的向量的坐標(biāo)為D．在中，若，則P點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的內(nèi)心【答案】BD【解析】對(duì)于A，依題意如圖，但，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)的中點(diǎn)為，由于，即，所以，所以O(shè)點(diǎn)是的重心，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，向量平移后不改變方向和模，為相等向量，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)向量加法的幾何意義知，以和為鄰邊的平行四邊形為菱形，點(diǎn)P在該菱形的對(duì)角線上，由菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，故P點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的內(nèi)心，故選項(xiàng)D正確.故選：BD8．（2024·新疆·高一兵團(tuán)第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)O在所在的平面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則點(diǎn)O為的垂心B．若，則點(diǎn)O為的外心C．若，則1D．若且，則點(diǎn)O是的內(nèi)心【答案】ACD【解析】對(duì)A：如圖所示，，則，，，，為的垂心，A正確；對(duì)B：如圖，取的中點(diǎn)，連接，由，則，，，三點(diǎn)共線，又是的中線，且，為的重心，B錯(cuò)誤；對(duì)C：如圖：，分別是，的中點(diǎn)，由，，，，，，則，，，則，C正確；對(duì)D：如圖，，，，，即為的平分線，同理由得，即為的平分線，為的內(nèi)心，D正確．故選：ACD三、填空題9．（2024·甘肅武威·高一校聯(lián)考期末）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若O為的重心，，則.【答案】【解析】連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于D，由題意得D為BC的中點(diǎn)，，所以，.因?yàn)?，所以，?故.故答案為:.10．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）點(diǎn)是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上的三個(gè)頂點(diǎn)，、分別是邊、的對(duì)角，以下命題正確的是（把你認(rèn)為正確的序號(hào)全部寫上）．①動(dòng)點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；②動(dòng)點(diǎn)滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；③動(dòng)點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；④動(dòng)點(diǎn)滿足，則的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；⑤動(dòng)點(diǎn)滿足，則的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中．【答案】①②③④⑤【解析】對(duì)于①，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)是的重心，故①正確；對(duì)于②，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，，又在的平分線上，與的平分線所在向量共線，所以的內(nèi)心在滿足條件的點(diǎn)集合中，②正確；對(duì)于③，動(dòng)點(diǎn)滿足，，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，，向量與邊的中線共線，因此的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中，③正確；對(duì)于④，動(dòng)點(diǎn)滿足，，，，所以的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中，④正確；對(duì)于⑤，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)，則，由④知，，，點(diǎn)的軌跡為過(guò)的的垂線，即的中垂線；所以的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合，⑤正確．故正確的命題是①②③④⑤．故答案為：①②③④⑤．11．（2024·遼寧·高一校聯(lián)考期末）某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對(duì)的外接圓的三條圓?。踊。┭刂切蔚倪呥M(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點(diǎn)）.如圖，已知銳角外接圓的半徑為2，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點(diǎn).若，則；若，則的值為.【答案】/5.75【解析】設(shè)外接圓半徑為，則，由正弦定理，可知，即，由于是銳角，故，又由題意可知P為三角形ABC的垂心，即,故，所以；設(shè)，則，由于，不妨假設(shè)，由余弦定理知，設(shè)AD,CE,BF為三角形的三條高，由于,故,則得，所以，同理可得，所以,故答案為：；12．（2024·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)?？计谀┮阎獮樗谄矫鎯?nèi)一點(diǎn)，有下列結(jié)論：①若為的內(nèi)心，則存在實(shí)數(shù)使；②若，則為的外心；③若，則為的內(nèi)心；④若，則與的面積比為．其中正確的結(jié)論是．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①【解析】設(shè)中點(diǎn)，對(duì)于①若為的內(nèi)心，所以在的角平分線上，因?yàn)闉榉较蛏系膯挝幌蛄?，為方向上的單位向量，令，所以在的角平分線上，即與共線，所以存在實(shí)數(shù)使，即，故①正確；對(duì)于②，若，則，所以在中線上且，即為三角形重心，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，所以為的外心，故③錯(cuò)誤；若，則，即，所以為上靠近的三等分點(diǎn)，所以，故與的面積比為，故④錯(cuò)誤．故答案為：①13．（2024·廣西河池·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，已知，，，為的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)D，則的外接圓的面積為，.【答案】/；/.【解析】由余弦定理得，.設(shè)三角形的外接圓的半徑為,所以，所以的外接圓的面積為.由余弦定理得,所以，.所以.由正弦定理得.故答案為：；.14．（2024·四川遂寧·高一遂寧中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是平面上的一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的(填序號(hào)）．①內(nèi)心

②垂心

③重心

④外心【答案】④【解析】設(shè)BC的中點(diǎn)為D，∵，∴，即，兩端同時(shí)點(diǎn)乘，∵====0，所以，所以點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，即P經(jīng)過(guò)△ABC的外心故答案為：④.15．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知為的內(nèi)心，，且滿足，則的最大值為．【答案】【解析】如圖，延長(zhǎng)交于，設(shè)分別與圓切于點(diǎn)，則，，設(shè)，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)等號(hào)成立．所以的最大值為．故答案為：．16．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的（填“內(nèi)心”“外心”“垂心”或“重心”）.【答案】重心【解析】根據(jù)已知條件判斷三點(diǎn)共線，結(jié)合重心的定義，判斷出的軌跡過(guò)三角形的重心.∵點(diǎn)滿足，且，∴，，三點(diǎn)共線.又是的中點(diǎn)，∴是邊上的中線，∴點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的重心.故答案為：重心17．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是的內(nèi)心，若，則.【答案】【解析】因?yàn)?，即，取中點(diǎn)，連接，則，故，故點(diǎn)共線，又，故，且，所以.故答案為：.18．（2024·四川成都·高一成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)O是△ABC的外心，，若，則．【答案】7【解析】如圖，，，，且，，，，，，整理得，，．故答案為：719．（2024·湖北武漢·高一期末）中，，，，點(diǎn)為的外心，若，則實(shí)數(shù)．【答案】/【解析】由可得，所以，，同理可得，，故即，而，故為鈍角.如下圖所示：取線段的中點(diǎn)，連接，由垂徑定理可得，則，同理可得，因?yàn)?，則；，即，故故答案為：.20．（2024·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，已知，P是△ABC的外心，則的余弦值為.【答案】【解析】，故，設(shè)的外接圓半徑為，則，中，.故答案為：.21．（2024·四川達(dá)州·高一達(dá)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)為的外心a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，若，，則．【答案】8【解析】如圖所示，因?yàn)闉榈耐庑?，取AB中點(diǎn)E，則OE⊥AB，則，同理，所以．故答案為：822．（2024·廣東汕頭·高一金山中學(xué)?？计谀┮阎獮榈耐庑?，若，則最小值.【答案】【解析】∵為的外心，若，∴,∴，∴,即，即，∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故答案為:.23．（2024·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)校考期末）某同學(xué)在查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，且存在，使得，則．請(qǐng)以此結(jié)論回答：已知在中，，，O是的外心，且，則．【答案】/【解析】如圖，因?yàn)镺是的外心，所以，由結(jié)論可得，即，可得，即.因?yàn)?，所以，所以，即，即，解?故答案為：.24．（2024·遼寧大連