浙江省寧波市某中學(xué)2024屆中考數(shù)學(xué)最后一模試卷含解析

浙江省寧波市第七中學(xué)2024學(xué)年中考數(shù)學(xué)最后一模試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.如圖，比例規(guī)是一種畫圖工具，它由長度相等的兩腳AC和BD交叉構(gòu)成，利用它可以把線段按一定的比例伸長或

縮短.如果把比例規(guī)的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方（即同時使OA=3OC,OB=3OD）,然后張開兩腳，

使A,B兩個尖端分別在線段a的兩個端點上，當CD=1.8cm時，則AB的長為（）

DC

AB

A.7.2cmB.5.4cmC.3.6cmD.0.6cm

2.△ABC的三條邊長分別是5,13,12,則其外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑分別是（）

A.13,5B.6.5,3C.5,2D.6.5,2

3.某校九年級（1）班全體學(xué)生實驗考試的成績統(tǒng)計如下表:

成績（分）24252627282930

人數(shù)（人）2566876

根據(jù)上表中的信息判斷，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.該班一共有40名同學(xué)

B.該班考試成績的眾數(shù)是28分

C.該班考試成績的中位數(shù)是28分

D.該班考試成績的平均數(shù)是28分

4.如圖，PA、PB切。。于A、B兩點，AC是。O的直徑，ZP=40°,則NACB度數(shù)是（）

A

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.如果將直線h：y=2x-2平移后得到直線12：y=2x,那么下列平移過程正確的是（）

A.將h向左平移2個單位B.將h向右平移2個單位

C.將h向上平移2個單位D.將h向下平移2個單位

6.函數(shù)和y=—在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點P是的圖象上一動點，PCLx軸于點C,交y=—的圖象

于點5.給出如下結(jié)論：①△003與△OCA的面積相等；②與尸5始終相等；③四邊形”103的面積大小不會發(fā)

7.民族圖案是數(shù)學(xué)文化中的一塊瑰寶.下列圖案中，既不是中心對稱圖形也不是軸對稱圖形的是（）

A.

8.如圖，E尸過nA3CZ＞對角線的交點。,交AZ）于E,交8C于尸，若的周長為18,OE=1.5,則四邊形

EbCZ＞的周長為（）

C.12

C.

10.2017年“智慧天津”建設(shè)成效顯著，互聯(lián)網(wǎng)出口帶寬達到17200吉比特每秒.將17200用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.172xl02B.17.2X103C.1.72xl04D.0.172X105

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.如圖，路燈距離地面6加，身高1.5加的小明站在距離燈的底部（點。）157"的A處，則小明的影子AM的長為

_______m.

12.如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，ME1AM,ME交AD的延長線于點E.若AB=12,BM=5,則DE

的長為.

13.如圖，點A、B、C、D在。O上，O點在ND的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，貝!J/OAD+NOCD=.

14.按照神舟號飛船環(huán)境控制與生命保障分系統(tǒng)的設(shè)計指標，“神舟”五號飛船返回艙的溫度為21七±4C.該返回艙的最

高溫度為℃.

15.如圖，在矩形ABCD中，順次連接矩形四邊的中點得到四邊形EFGH.若AB=8,AD=6,則四邊形EFGH的周

長等于__________

16.如圖，將邊長為3的正六邊形鐵絲框ABCDEF變形為以點A為圓心，AB為半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細）.則

所得扇形AFB（陰影部分）的面積為.

17.(8分)已知：關(guān)于x的一元二次方程kx?-(4k+l)x+3k+3=0(k是整數(shù)).

(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求k的值.

18.(8分)已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線、=。/+初(；+3的圖像與x軸交于點A(3,0),與y軸

交于點B,頂點C在直線％=2上，將拋物線沿射線AC的方向平移，

當頂點C恰好落在y軸上的點D處時，點B落在點E處.

(1)求這個拋物線的解析式；

(2)求平移過程中線段BC所掃過的面積；

(3)已知點F在x軸上，點G在坐標平面內(nèi)，且以點C、E、F、G為頂點的四邊形是矩形，求點F的坐標.

19.(8分)已知：如圖，拋物線y=ax?+bx+c與坐標軸分別交于點A(0,6),B(6,0),C(-2,0),點P是線段

AB上方拋物線上的一個動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點P運動到什么位置時，APAB的面積有最大值？

(3)過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D,再過點P做PE〃x軸交拋物線于點E,連結(jié)DE,請問是否存在點P

使APDE為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

20.(8分)孔明同學(xué)對本校學(xué)生會組織的“為貧困山區(qū)獻愛心”自愿捐款活動進行抽樣調(diào)查，得到了一組學(xué)生捐款情況

的數(shù)據(jù).如圖是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖，圖中從左到右各長方形的高度之比為3：4：5：10：8,又知此次調(diào)查中

捐款30元的學(xué)生一共16人.孔明同學(xué)調(diào)查的這組學(xué)生共有______人；這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是元，中位數(shù)是

元；若該校有2000名學(xué)生，都進行了捐款，估計全校學(xué)生共捐款多少元?

4人數(shù)

10152030捐款數(shù)元

21.（8分）如圖，在銳角AABC中，小明進行了如下的尺規(guī)作圖:

①分別以點A、B為圓心，以大于叢3的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點尸、Q；

②作直線PQ分別交邊AB.BC于點E、D.小明所求作的直線DE是線段AB的；聯(lián)結(jié)AD,AD=1,sinZDAC

=1，BC=9,求AC的長.

22.（10分）已知AABC內(nèi)接于OO,AD平分/BAC.

（1）如圖1，求證：BD=CD；

（2）如圖2,當BC為直徑時，作BELAD于點E,CFLAD于點F,求證：DE=AF；

（3）如圖3,在（2）的條件下，延長BE交。O于點G,連接OE,若EF=2EG,AC=2,求OE的長.

DD

圖2圖3

23.（12分）平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y=ax?+bx+3與y軸相交于點C,與x軸正半軸相交于點A,

OA=OC,與x軸的另一個交點為B,對稱軸是」直線x=L頂點為P.

（1）求這條拋物線的表達式和頂點P的坐標；

（2）拋物線的對稱軸與x軸相交于點M,求NPMC的正切值“；

（3）點Q在y軸上，且ABCQ與△CMP相似，求點Q的坐標.

-3-2-101234x

-1-

-2，r

-3，

24.閱讀下列材料：

題目：如圖，在△ABC中，已知NA(ZA<45°),ZC=90°,AB=1,請用sinA、cosA表示sin2A.

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、B

【解題分析】

.,,._,,CDOC1.81

【分析】由已知可證△ABOsCDO,故一=—，即一=-.

ABOAAB3

【題目詳解】由已知可得，ZkABOsCDO,

CDOC

所以，

~AB~~OA

1.8_1

所以，

~AB~3,

所以，AB=5.4

故選B

【題目點撥】本題考核知識點：相似三角形.解題關(guān)鍵點：熟記相似三角形的判定和性質(zhì).

2、D

【解題分析】

根據(jù)邊長確定三角形為直角三角形，斜邊即為外切圓直徑,內(nèi)切圓半徑為一--

【題目詳解】

解：如下圖，

ABC的三條邊長分別是5,13,12,且52+122=132,

/.△ABC是直角三角形，

其斜邊為外切圓直徑，

13

二外切圓半徑=工=6.5,

內(nèi)切圓半徑=5+t—13

2

故選D.

【題目點撥】

本題考查了直角三角形內(nèi)切圓和外切圓的半徑，屬于簡單題，熟悉概念是解題關(guān)鍵.

3、D

【解題分析】

直接利用眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的求法分別分析得出答案.

【題目詳解】

解：A、該班一共有2+5+6+6+8+7+6=40名同學(xué)，故此選項正確，不合題意；

B、該班考試成績的眾數(shù)是28分，此選項正確，不合題意；

C、該班考試成績的中位數(shù)是：第20和21個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，為28分，此選項正確，不合題

忌；

D、該班考試成績的平均數(shù)是：(24x2+25x5+26x6+27x6+28x8+29x7+30x6)+40=27.45(分),

故選項D錯誤，符合題意.

故選D.

【題目點撥】

此題主要考查了眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的求法，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

4、C

【解題分析】

連接BC,根據(jù)題意PA,PB是圓的切線以及4=40?？傻?AOB的度數(shù)，然后根據(jù)OA=OB,可得/CAB的度

數(shù)，因為AC是圓的直徑，所以ZABC=90°,根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出/ACB的度數(shù)。

【題目詳解】

連接BC.

VPA,PB是圓的切線

.../OAP=/OBP=90°

在四邊形OAPB中，

ZOAP+NOBP+4+NAOB=360°

,??4=40°

.../AOB=140。

VOA=OB

所以/OAB=LT］。。=20°

2

；AC是直徑

???/ABC=90°

/ACB=180°-ZOAB-/ABC=70°

故答案選c.

【題目點撥】

本題主要考察切線的性質(zhì)，四邊形和三角形的內(nèi)角和以及圓周角定理。

5、C

【解題分析】

根據(jù)“上加下減”的原則求解即可.

【題目詳解】

將函數(shù)y=2x-2的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是y=2x.

故選：C.

【題目點撥】

本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象變換的法則是解答此題的關(guān)鍵.

6、C

【解題分析】

解：..N、5是反比函數(shù)y=」上的點，.??SAOBD=SA°AC=L故①正確;

無2

當尸的橫縱坐標相等時9=尸5,故②錯誤；

?；尸是V=—的圖象上一動點，矩形PDOC=4,Swb?PAOB=S^PDOC-SAODB~-SAOAC=4-------=3,故③正確;

■X22

qPC9

=—=—13PA1

連接OP，SAC1=4,：.AC=-PC,PA=-PC,A—=3,：.AC=-AP；故④正確；

As0nACr-44AC3

綜上所述，正確的結(jié)論有①③④.故選C.

點睛：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)中系數(shù)兀的幾何意義是解答此題的關(guān)鍵.

7、C

【解題分析】

分析：根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是圖形沿對

稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.因此，

A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項正確；

D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選C.

8、C

【解題分析】

???平行四邊形ABCD,

：.AD//BC,AD=BC,AO=CO,

NEAO=NFCO,

?在△4七0和4CFO中,

ZAEO=ZCFO

＜AO=CO,

ZAOE=ZCOF

:.△AEO也△CFO,

：.AE=CF,EO=FO=1.5,

C四邊形ABCZ）=18,:.CD+AD=9,

：.C四娜CDEF=CD+DE+EF+FC=CD+DE+EF+AE=CD+AD+EF=9+3=12.

故選c.

【題目點撥】

本題關(guān)鍵在于利用三角形全等，解題關(guān)鍵是將四邊形CDEF的周長進行轉(zhuǎn)化.

9、C

【解題分析】

試題分析：設(shè)它是n邊形，根據(jù)題意得，（n-2）?180。=140。，解得n=L故選C.

考點：多邊形內(nèi)角與外角.

10、C

【解題分析】

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移

動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負

數(shù).

【題目詳解】

解：將17200用科學(xué)記數(shù)法表示為1.72x1.

故選C.

【題目點撥】

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中10a|VlO,n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要

正確確定a的值以及n的值.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11、1.

【解題分析】

易得：AABMs^OCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影長.

【題目詳解】

4

解：根據(jù)題意，易得△MBAsaMCO,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知

AB_AM

OC-OA+AM'

.1.5AM

即——=---------,

615+AM

解得AM=lm.則小明的影長為1米.

故答案是：L

【題目點撥】

本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影長.

12、—

5

【解題分析】

由勾股定理可先求得AM,利用條件可證得△ABMsaEMA,則可求得AE的長，進一步可求得。E.

【題目詳解】

詳解：?.?正方形ABC。,

.ZB=90°.

'AB=12,BM=5,

.AM=1.

"MEYAM,

.ZAME^90°=ZB.

'ZBAE=9Q°,

.ZBAM+ZMAE^ZMAE+ZE,

.ZBAM=ZE,

./XABM^/XEMA,

BMAM513

——，即an——=——,

AMAE13AE

169

?AE=----,

5

169109

.DE=AE-AO=--------12=—.

55

故答案為.

【題目點撥】

本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，利用條件證得△ABM^AEMA是解題的關(guān)鍵.

13、1.

【解題分析】

試題分析：,??四邊形OABC為平行四邊形，.*.ZAOC=ZB,ZOAB=ZOCB,NOAB+NB=180。.1?四邊形ABCD

,

是圓的內(nèi)接四邊形，.,.ND+NB=180°.又ND=，NAOC,..3ZD=180°,解得

一2

ZD=1°./.ZOAB=ZOCB=180°-ZB=10./.ZOAD+ZOCD=31°-(ZD+ZB+ZOAB+ZOCB)=31°-(l°+120o+lo+l0)

=1°.故答案為1。.

考點：①平行四邊形的性質(zhì)；②圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

14、17℃.

【解題分析】

根據(jù)返回艙的溫度為21℃±4℃,可知最高溫度為21℃+4℃；最低溫度為21℃-4℃.

【題目詳解】

解：返回艙的最高溫度為：21+4=25℃；

返回艙的最低溫度為：21-4=17℃；

故答案為：17℃.

【題目點撥】

本題考查正數(shù)和負數(shù)的意義.±4℃指的是比21℃高于4c或低于4C.

15、20.

【解題分析】

分析：連接AC,BD,根據(jù)勾股定理求出BD,根據(jù)三角形中位線定理，菱形的判定定理得到四邊形EHGF為菱形，根據(jù)

菱形的性質(zhì)計算.

解答:連接AC,BD在RtAABD中，BD=7AB2+AD2=10,；四邊形ABCD是矩形，.?.AC=BD=10,，.飛、H分別是

AB、AD的中點，...EH〃BD,EF=；BD=5,同理，F(xiàn)G/7BD,

FG=；BD=5,GH〃AC,GH=：AC=5,.?.四邊形EHGF為菱形，二四邊形EFGH的周長=5x4=20,故答案為20.

點睛：本題考查了中點四邊形，掌握三角形的中位線定理、菱形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵.

16、1

【解題分析】

解：?.?正六邊形ABCDEF的邊長為3,

/.AB=BC=CD=DE=EF=FA=3,

...弧BAF的長=3x6-3-3=12,

二扇形AFB(陰影部分)的面積=LX12X3=L

2

故答案為1.

【題目點撥】

本題考查正多邊形和圓；扇形面積的計算.

三、解答題(共8題，共72分)

17、(3)證明見解析(3)3或-3

【解題分析】

⑶根據(jù)一元二次方程的定義得分2,再計算判別式得到△=(3?-3R然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，即化的取值得到A>2,

則可根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；(3)根據(jù)求根公式求出方程的根，方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求出左的值.

【題目詳解】

證明：(3)△=[-(4k+3)]3-4k(3k+3)=(3k-3)3.

為整數(shù)，

:.(3k-3)3>2,即丁>2.

.?.方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(3)解：?方程kx3-(4k+3)x+3k+3=2為一元二次方程，

；.后2.

kx3-(4k+3)x+3k+3=2,即[kx-(k+3)](x-3)=2,

?ek+l,1

??X3=3f%2——1H.

kk

方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且k為整數(shù)，

；.k=3或-3.

【題目點撥】

本題主要考查了根的判別式的知識，熟知一元二次方程的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

18、⑴拋物線的解析式為y=4x+3;(2)12;⑴滿足條件的點有Fi(；,0),F2(-1,0),Fi(6,0),F〃—

0).

【解題分析】

分析：(1)根據(jù)對稱軸方程求得，=-4a,將點A的坐標代入函數(shù)解析式求得9a+l"l=0,聯(lián)立方程組，求得系數(shù)的值

即可;

(2)拋物線在平移的過程中，線段8c所掃過的面積為平行四邊形3CDE的面積，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標

平行四邊形

特征和三角形的面積得到：SBCDE=2SBCD=2X^XBD-CN=6x2=12.

(1)聯(lián)結(jié)CE.分類討論：⑴當CE為矩形的一邊時，過點C作CFiLCE,交x軸于點尸1,設(shè)點尸i(a,0).在

RtAOC尸i中，利用勾股定理求得a的值；

(?)當CE為矩形的對角線時，以點。為圓心，OC長為半徑畫弧分別交x軸于點尸1、尸4,利用圓的性質(zhì)解答.

b

詳解：(1),頂點C在直線x=2上，x=----=2,.,.b=-4a.

2a

將A(1,0)代入產(chǎn)0好+加+1,得：9a+lZ>+l=0,解得：a=l,b=-4,

二拋物線的解析式為產(chǎn)產(chǎn)-4x+l.

(2)過點C作CMLx軸，CNLy軸，垂足分別為M、N.

y=x2-4x+l=(x-2)2-1,C(2,-1).

'：CM=MA=1,：.ZMAC=45°,：.ZODA=45°,：.OD=OA=1.

???拋物線了=*2-4*+1與y軸交于點3,(0,D,：,BD^2.

???拋物線在平移的過程中，線段3c所掃過的面積為平行四邊形5C0E的面積，

?*,S平行四邊形BCOE=2sBCD=2x-xBD-CN=6x2=12.

(1)聯(lián)結(jié)CE.

???四邊形5CZ>E是平行四邊形，.?.點。是對角線CE與5。的交點，即OE=OC=布.

(0當CE為矩形的一邊時，過點C作CELCE,交x軸于點尸1,設(shè)點尸1(a,0).在RtAOCH中，

OF^=OC2+CF^,即a2=(a-2)2+5,解得：a=g,.?.點4(g,0).

同理，得點心(-二0)；

2

(?)當CE為矩形的對角線時，以點。為圓心，OC長為半徑畫弧分別交x軸于點為、居，可得：

OF3=OF4=OC=y[5,得點罵(五,0)、工(―6,0).

綜上所述：滿足條件的點有「(：0),耳(一3,0)，舄(、6,0)),胤(—6,0).

點睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行四邊形的面積公式，正確的

理解題意是解題的關(guān)鍵.

19、(1)拋物線解析式為丫=-；x?+2x+6；(2)當t=3時，APAB的面積有最大值；(3)點P(4,6).

【解題分析】

(1)利用待定系數(shù)法進行求解即可得；

(2)作PMLOB與點M,交AB于點N,作AGLPM,先求出直線AB解析式為y=-x+6,設(shè)P(t,-yt2+2t+6),

則N(t,-t+6),由SAPAB=SAPAN+SAPBN=LPN?AG+LPN?BM='PN?OB列出關(guān)于t的函數(shù)表達式，利用二次函數(shù)

222

的性質(zhì)求解可得；

(3)由PH_LOB知DH〃AO,據(jù)此由OA=OB=6得NBDH=NBAO=45。，結(jié)合NDPE=90。知若△PDE為等腰直角三

角形，則NEDP=45。，從而得出點E與點A重合，求出y=6時x的值即可得出答案.

【題目詳解】

(1)???拋物線過點B(6,0)、C(-2,0),

二設(shè)拋物線解析式為y=a(x-6)(x+2),

將點A(0,6)代入,得：-12a=6,

解得：a="-,

2

所以拋物線解析式為y=--4-(x-6)(x+2)=--X2+2X+6；

222

(2)如圖1,過點P作PMJ_OB與點M,交AB于點N,作AG^PM于點G,

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,

將點A(0,6)、B(6,0)代入，得:

b=6

6k+b=0'

k=-l

解得：＜

b=6

則直線AB解析式為y=-x+6,

設(shè)P(t,--t2+2t+6)其中0Vt<6,

2

則N(t,-t+6),

,\PN=PM-MN=--t2+2t+6-(-t+6)=--t2+2t+6+t-6=--t2+3t,

222

SAPAB=SAPAN+SAPBN

11

=-PN?AG+-PN?BM

22

=-PN?(AG+BM)

2

1

=-PN?OB

2

=-x(--t2+3t)x6

22

3,

=--t2+9t

2

327

=--(t-3)2H------,

22

...當t=3時，ZkPAB的面積有最大值；

(3)△PDE為等腰直角三角形，

則PE=PD,

點P(m,--m2+2m+6),

2

函數(shù)的對稱軸為：x=2,則點E的橫坐標為：4-m,

貝！IPE=|2m-4|,

1,

即nn--m2+2m+6+m-6=|2m-4|,

2

解得：m=4或-2或5+舊或5-折(舍去-2和5+歷)

故點P的坐標為：(4,6)或(5-JI7,3^/17-5).

【題目點撥】

本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握

和靈活運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵.

20、(1)60；(2)20,20；(3)38000

【解題分析】

(1)利用從左到右各長方形高度之比為3：4：5：10：8,可設(shè)捐5元、10元、15元、20元和30元的人數(shù)分別為3小

4x、5尤、10x>8x,則根據(jù)題意得8x=L解得x=2,然后計算3x+4x+5x++10x+8x即可;

(2)先確定各組的人數(shù)，然后根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解；

(3)先計算出樣本的加權(quán)平均數(shù)，然后利用樣本平均數(shù)估計總體，用2000乘以樣本平均數(shù)即可.

【題目詳解】

(1)設(shè)捐5元、10元、15元、20元和30元的人數(shù)分別為3x、4x、5x、10x、8x,則8x=L解得：x=2,

:.3x+4x+5x+10x+8x=30x=30x2=60(人)；

(2)捐5元、10元、15元、20元和30元的人數(shù)分別為6,8,10,20,1.

V20出現(xiàn)次數(shù)最多，，眾數(shù)為20元;

???共有60個數(shù)據(jù)，第30個和第31個數(shù)據(jù)落在第四組內(nèi)，.?.中位數(shù)為20元;

5x6+10x8+15x：10+20><20+30x16

(3)x2000=38000(元)，J.估算全校學(xué)生共捐款38000元.

60

【題目點撥】

本題考查了條形統(tǒng)計圖：條形統(tǒng)計圖是用線段長度表示數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的矩形直條，然后按順序

把這些直條排列起來.也考查了樣本估計總體、中位數(shù)與眾數(shù).

21、(1)線段A3的垂直平分線(或中垂線)；(2)AC=5出.

【解題分析】

(1)垂直平分線：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線

(2)根據(jù)題意垂直平分線定理可得AD=BD,得到CD=2,又因為已知sin/DAC=,，故可過點D作AC垂線，求得

7

DF=1,利用勾股定理可求得AF,CF,即可求出AC長.

【題目詳解】

(1)小明所求作的直線DE是線段AB的垂直平分線(或中垂線)；

故答案為線段AB的垂直平分線(或中垂線)；

(2)過點D作DFLAC,垂足為點F,如圖，

VDE是線段AB的垂直平分線，

.*.AD=BD=7

,\CD=BC-BD=2,

在RtAADF中，?.,sinZDAC=^=Z，

AD~7

，DF=1,

在RtAADF中，AF="_j2=

在RtACDF中，CF=gT7=3,

??.AC=AF+CF=4/+-5有

【題目點撥】

本題考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖方法，三角函數(shù)和勾股定理求線段長度，解本題的關(guān)鍵是充分利用中垂線，將已知

條件與未知條件結(jié)合起來解題.

22、(1)證明見解析；(1)證明見解析；(3)1.

【解題分析】

(1)連接OB、OC、OD,根據(jù)圓心角與圓周角的性質(zhì)得NBOD=1NBAD,ZCOD=1ZCAD,又AD平分NBAC,

得NBOD=NCOD,再根據(jù)圓周角相等所對的弧相等得出結(jié)論.

(1)過點O作OMLAD于點M,又一組角相等，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例，進而得出結(jié)論；

(3)延長EO交AB于點H,連接CG,連接OA,BC為。O直徑，則NG=NCFE=NFEG=90。，四邊形CFEG是

矩形，得EG=CF,又AD平分NBAC,再根據(jù)鄰補角與余角的性質(zhì)可得NBAF=NABE,ZACF=ZCAF,AE=BE,

AF=CF,再根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)計算出邊的長，根據(jù)“角角邊”證明出AHBOS/^ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

得出對應(yīng)邊成比例，進而得出結(jié)論.

【題目詳解】

(1)如圖1,連接OB、OC、OD,

VZBAD和NBOD是所對的圓周角和圓心角,

ZCAD和NCOD是所對的圓周角和圓心角,

.\ZBOD=1ZBAD,ZCOD=IZCAD,

VAD平分NBAC,

:.ZBAD=ZCAD,

/.ZBOD=ZCOD,

?*-BD=CD；

(1)如圖1,過點。作OMLAD于點M,

D

圖2

.,.ZOMA=90°,AM=DM,

?.，BE_LAD于點E,CF_LAD于點F,

...NCFM=90°,NMEB=90°,

/.ZOMA=ZMEB,ZCFM=ZOMA,

...OM〃BE,OM/7CF,

/.BE/7OM/7CF,

.PC_FM

；OB=OC,

OCFM

???____-_--_---_---_----_---1JL,

OBEM

/.FM=EM,

AAM-FM=DM-EM,

.\DE=AF；

(3)延長EO交AB于點H,連接CG,連接OA.

D

圖3

TBC為。O直徑,

.\ZBAC=90°,ZG=90°,

:.ZG=ZCFE=ZFEG=90°,

???四邊形CFEG是矩形，

AEG=CF,

VAD平分NBAC