福建省龍巖市2024屆高中畢業(yè)班五月教學(xué)質(zhì)量檢測（三模）數(shù)學(xué)試題

福建省龍巖市2024屆高中畢業(yè)班五月教學(xué)質(zhì)量檢測(三模)數(shù)學(xué)試題

(滿分：150分考試時間:120分鐘)

注意事項：

1.考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號及所有的答案均填寫在答題卡上.

2.答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.若全集。=R,集合/={乂歹=君F，B={x\2x<8卜則Ac(CuB)=

A.(0,3)B.(3,+OO)C.[3,+00)D.[0,3]

2.若復(fù)數(shù)z滿足z=(2+z).，，則復(fù)平面內(nèi)F對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知?！?,則“a〉3”是“a">/”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知向量1=(1,1),3=(2,-1),2eR.若B在G上的投影向量為，則A=

A.2B.3C.4D.5

32

5.已知球的體積為一〃，且該球的表面積與底面半徑為2的圓錐的側(cè)面積相等，則該圓錐的體積為

3

A.空心_兀Q8A/L5C.4y/157TD.8A/L5^

33

6.聲音的等級/(x)(單位:游)與聲音強度武單位:①/m2)滿足/⑴=10x1g.噴氣式飛機起飛時，聲音

的等級約為140灑.若噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的倍，則一般說話時聲音的等

級約為

AA20dBBAOOdBC.SOdBD.60dB

7.已知曲線G：+y2—[0y+]6=0與曲線+y2一2Q%+/_g=0(。>0)相交于A,B兩點，直線

AB交x軸于點P，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍為

&已知函數(shù)/(x)=sm(°x+0)。>。,即喘,戶得為/⑴的零點,為/(x)圖象的對稱軸，且

/(x)在上有且僅有1個零點，則0的最大值為

A.llB.9C.7D.5

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=(x-l)lnx,則

人./(用在(0,+8)單調(diào)遞增13j=1是/(均的零點

C./(x)的極小值為0D./(x)是奇函數(shù)

10.在A48C中，內(nèi)角48C所對的邊分別為“c,且/--C?+秘=0,則

A.A=—B.若a=V^,cosB=3,則c=~—

355

C.若a=2,則△NBC面積的最大值為百D.若6sinC=sinC+VicosC,則c=2

11.已知拋物線C:y2=2px(p〉0)與圓O:/+/=20交于4,B兩點，且14sl=8.過焦點F的直線I與拋

物線C交于M,N兩點，點P是拋物線C上異于頂點的任意一點，點。是拋物線C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點，則

A.若MF=3FN，則直線I的斜率為土理B.|"F|+4]NF|的最小值為18

C.NM0N為鈍角D.點尸與點尸的橫坐標(biāo)相同時——\PF^I最小

1^21

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.在(1-x)(l+x)6的展開式中,d的系數(shù)為.

13.互不相等的4個正整數(shù)從小到大排序為外,出,%，%，若它們的平均數(shù)為4,且這4個數(shù)據(jù)的極差是中位數(shù)的

2倍，則這4個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.

a

14.已知函數(shù)/(x)=x-\ogbx(a>l,b>1)有且只有一個零點，則ab的取值范圍為.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本題滿分13分)

若數(shù)列｛an｝是公差為1的等差數(shù)歹U,且的=2，點(a“也)在函數(shù)/(x)=3工的圖象上(〃eN*)，記數(shù)列也｝的

前〃項和為5“.

(1)求數(shù)列｛%｝,｛"｝的通項公式；

⑵設(shè)c?="，記數(shù)列｛cn｝的前〃項和為&證明:7；<—.

4S.S〃+i12

16.(本題滿分15分)

如圖，在四棱臺ABCD-481GA中，底面四邊形ABCD為菱形，44BC=60°,^5=2AA,=I

平面ABCD.

⑴證明:8￡>，CG；

⑵若M是棱3c上的點，且滿足口=-，求二面角M-AD.-D的余弦值.

BC3

17.(本題滿分15分)

某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級,分別對應(yīng)如下五組質(zhì)

量指標(biāo)值:[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正

態(tài)分布"(〃,4),并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為/等品,其它產(chǎn)品稱為3等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生

產(chǎn)線中隨機抽取100件作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)長期檢測結(jié)果,該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11,用樣本平均數(shù)元作為〃的近似值,用樣本

標(biāo)準(zhǔn)差s作為b的估計值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計該芯片為A等品的概率(保留小數(shù)點后面兩位

有效數(shù)字)；

(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表;②參考數(shù)據(jù):若隨機變量《服從正態(tài)分布N(〃,b?),則

P(/j—cr<J<〃+cr)Q0.6827,一2cr<J<〃+2cr)~0.9545,P(以一3cr<J<〃+3cr)~0.9973.)

(2)⑴從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在[45,55)和[85,95]的芯片中隨機抽取3件,記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85,95]的芯片件

數(shù)為〃，求〃的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(ii)該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件/等品芯片的利

潤是加(1<m<24)元，一件8等品芯片的利潤是ln(25-加)元,根據(jù)⑴的計算結(jié)果,試求加的值，使得每箱產(chǎn)

品的利潤最大.

18.(本題滿分17分)

動圓/與圓G：(x+l)2+y2=49和圓。2：(工一1>+/=1都內(nèi)切，記動圓圓心/的軌跡為「

(1)求r的方程；

(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，則曲線上一

點(飛,%)處的切線方程為:/項)%+8(工0了+yox)+CyQy+D^XQ+x)+￡(為+y)+尸=0.試運用該性質(zhì)

解決以下問題:點尸為直線x=9上一點(「不在x軸上)，過點尸作「的兩條切線PAl,PA2，切點分別為

4,4.

⑴證明：44±PC2;

(ii)點4關(guān)于x軸的對稱點為4，直線44交x軸于點N，直線尸G交曲線「于G,H兩點.記

AGC2N,MIC2N的面積分別為，,星，求E-s2的取值范圍.

19.(本題滿分17分)

若函數(shù)/(%)的定義域為/,有/e/，使/'(%)=0且/(%)=0，則對任意實數(shù)發(fā)力，曲線y=/(x)+kx+b

與直線y=Ax+6總相切，稱函數(shù)y=/(x)為恒切函數(shù).

(1)判斷函數(shù)/(x)=x-sinx是否為恒切函數(shù),并說明理由；

dex一

(2)若函數(shù)g(x)=；-—x-2。為恒切函數(shù)(。,夕eR).

⑴求實數(shù)p的取值范圍；

(ii)當(dāng)夕取最大值時,若函數(shù)/z(x)=g(x)-eH+2加為恒切函數(shù)，記/=(-陰,0，證明:加eZ.

(注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).參考數(shù)據(jù)：e3-20)

龍巖市2024年高中畢業(yè)班五月教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

題號12345678

選項BCACBDDB

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

題號91011

選項BCACDBCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

7I

12.513—-14.(ee,+oo)

8.［解析］

/(x)=sin(<z)x+9)(0>0,［同<事)

?.?x=—二77為/(x)的零點

4

TT

X=生為/(x)圖象的對稱軸

4

也占=也上四,：.①=2k+l,kwZ,

~444co

a>>Q:.co==2k+l,k&Z+

兀27r

又——0<T=——，，刃<12

6CD

當(dāng)G=n時，f(X)=sin(llx+(P)

1171977"

71(p——+K77T(p———7T+K71€X

II7171

，：?=一4

7T

f(x)=sin(llx--)

jryrjrIQ

當(dāng)xe(0二)時，llx—2e(—J上萬)，故/(x)有2個零點，不符合，舍去.

64412

當(dāng)3=9時，f(x)=sin(9x+(p)

9n.7,,?

—X+^9——+k/C(p———7T+/C7T,k￡Z

II7171

；同<5

.,./(x)=sin(9x+?7T

TTJT7T7

當(dāng)xe(O,')時，9x+-e(-,-^-),此時/(x)有且僅有1個零點，

6444

符合，，選B.

11.［解析］

因為拋物線C：必=2/5>0)與圓。：/+/=20交于48兩點，且|AB|=8,

則第一象限內(nèi)的交點N的縱坐標(biāo)為4,代入圓方程得橫坐標(biāo)為2,即/(2,4),

所以42=40,。=4,即拋物線方程為「=8x,焦點為尸(2,0).

設(shè)初(再,%)w(％,%)，對選項A,由赤=3兩得(2-再，一M)=3(%-2,%)，

2

x_|_3x—8

則「；，又因為了；=8再,只=89,解得<

〔必=一3外,4也

%=±-

±電0

所以直線/的斜率為T——=±百，故A選項錯誤;

“2

3

1121

對選項B,由拋物線定義得商+衍=7=5,

所以

4|所

\MF\+4|而=2(|A/F|+4|A^F|)>10+8=18,

\MF\

MF\4即|

當(dāng)且僅當(dāng)而■=、可，即|MF|=2|N同時等號成立,

因止匕|MF|+4|NF|的最小值為18,3正確;

對選項C,如圖，不妨設(shè)A/■在第一象限，

設(shè)蟲匹,必),加2，%)

設(shè)直線/：》=即+2,聯(lián)立拋物線的方程消一

得,2_Smy-16=0,

又△=(-8m)2+4x16>0，

22(-16)2

所以必％==與一%==4,

OO64

/入2+%)2=4—16=—12<0

cos<OM,ON><0,AMON為鈍角.

故C選項正確；

對選項D,

2(-2,0),b(2,0),設(shè)尸(X。,%),貝1］訴=8%/20,

由拋物線的定義可得|尸尸|=%+2,

|尸°|=+2『+(%-0)=個*+4%+4+8%T1+12尤0+4

又飛〉0,

忸尸x0+2=/焉+4%+4=I8x0-

|尸。一也;+12/+4-廿*+12壬+4［*+12%+4'

當(dāng)且僅當(dāng)％=2時取等號，所以玩PF的最小值為、餐5,

故D選項正確.

故選：BCD.

14.［解析］依題意得g(x)=與h(x)=log,x只有一個交點，即兩曲線相切,

則g'(x)=h\x)只有一個解，

111

,化簡得X=(，尸，將其代入/(X),

xlnbalnb

得一--+—logfe(olnZ>)=0，

a\nba

logbe+log^(alnb)=0,gpea\nb=l,/.a=——.

einb

1i

a>L:.------->L:.l<b<ee,

elnb

則ab=?,,設(shè)Q(b)=—-—(l<b<e?),

elnbe\nb

lnb-1

則。3）=

e(lnZ?)2

Q3）在（1,靛）單調(diào)遞減，QS）>2（e；）=yab>e。

1

ab的取值范圍是（"+oo）.

四、解答題：本題共5小題，共77分.

15.（本題滿分13分）

解：（1）由的=2得%=0,:.an=al+（n-l）xd=n-l,............3分

???點（%,4）在函數(shù)/（x）=3工的圖象上（"eN*）,

：.bn=3%=3"」........5分

顯然數(shù)列h｝為等比數(shù)列，首項為1,公比為3,則S“=y/，............................7分

-(□________L_)

10分

4S"S“+i(3n-l)(3"+1-l)63"-13n+1-l

7；=C1+c2+c3+

_i_j____i_11

-6(2-8+8_26+26-80+)

3"-13),+1-l

=_1/A_______1____、___1_______1_____<_1_

623"+i—1126(3n+1-l)12

T<—...............13分

〃12

16.(本題滿分15分)

解：（1）在四棱臺MCD-44GA中，N4，cq延長后必交于一點,

故4C，G，4四點共面，......................................1分

因為_L平面48cD,ADu平面48co，故44]_LAD,.....................2分

連接NC，4G，因為底面四邊形/BCD為菱形，故.................3分

AAlC\AC=A,AAl,ACc平面ACC.A,,

故8。，平面/CG4,....................................................5分

因為CQU平面NCG4，所以BD，CC1....................................6分

（2）過點/作8c的垂線，交BC與點、N,以/N,AD,44所在直線分別為無軸，y軸，z軸建立空間直

角坐標(biāo)系N-孫z（如圖），

設(shè)44=1,則/2=24月=2,

由于NABC=60。，故BN=\,.......................................................................9分

則/(0,0,0),R(0,1,1),。(0,2,0),“(省,；,0),

則疝=(0,1,1),而=(百,;,0),而=(0,2,0),

記平面4M2的法向量為〃=（〃,b,c）,

6+c=0

ADn=0

則c即，廠1令6=3,

~AMn=0J3a+—b=0

I3

則Q=-

平面ADD1的法向量可取為冽=（1,0,0）,

14分

15分

17.（本題滿分15分）

解：（1）由題意，估計從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機抽取100件的平均數(shù)為:

x=10x(0.01x50+0.025x60+0.04x70+0.015x80+0.01x90)=6<.

即〃hx=69.........................................................................................................2分

bBsell,所以X?N(69,112),

因為質(zhì)量指標(biāo)值X近似服從正態(tài)分布N(69,112),

訴wOF〉父m1-P(69-11<X<69+11)1—尸(〃—b<X<〃+b)

J7T以-r(A>oU)=-----------------------------------=-------------------------------

1—0.6827?care(\1/八

x-------------=0.15865?0.16,...........................................................................4分

所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為Z等品的概率約為0.16.

..........................................................5分

(2)(i)(0.01+0.01)x10x100-20,所以所取樣本的個數(shù)為20件，質(zhì)量指標(biāo)值在［85,95］的芯片件數(shù)

為10件，故〃可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為：

尸(〃=0)=尸仞=1)=

以38

尸(〃=2)=,=[(門_3)—G。。1。-2

尸p…一丁-石

C2Q30

隨機變量〃的分布列為:

0123

215152

P

19383819

所以〃的數(shù)學(xué)期望E(1)=0x—2+lx1°5+2x1°5+3x—2=巳3...................10分

193838192

(ii)設(shè)每箱產(chǎn)品中N等品有y件，則每箱產(chǎn)品中8等品有(100-V)件,

設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤為Z元，

由^^知：Z=mY+(100-K)ln(25-m)=(m-ln(25-m))K+100ln(25-m),

由(1)知：每箱零件中/等品的概率為0.16,

所以y?5(100,0.16),所以E(Y)=100x0.16=16,

所以￡(Z)=E[(m-ln(25-m))r+100ln(25-m)]

=(m-ln(25-m))EY+100ln(25-m)

=16(m-ln(25-w))+100ln(25-m)

=16m+84ln(25-m).......................................................................................12分

令/(x)=16x+84ln(25-x)(l<x<24)

8479

r(x)=16----=0得，x=—,

25-x4

7970

Xxe(l,—),/(x)>0J(x)遞增xe(—,24)，r(x)<0,/(x)遞減，

44

所以當(dāng)x=△e(l,24)時，/(x)取得最大值............................14分

4

79

所以當(dāng)加=一時，每箱產(chǎn)品利潤最大..................................15分

4

18.(本題滿分17分)

(1)設(shè)動圓”的半徑為廠，由題意得圓G和圓C2的半徑分別為7,1,

因為/與q,c?都內(nèi)切，所以MG|=7—r,MG|="1，

所以阿G|+|MG|=7-廠+-1=6,...................................2分

又q（—1,0）,C2（l,0）,故|G￡|=2<6,

所以圓心弦的軌跡是以￡,C?為焦點的橢圓,

22

設(shè)廠的方程為：=+3=1（。＞6＞0）,則2a=6,2c=2,

ab

即a=3,c=1所以力2=/—，=8，

22

故廠的方程為：土+匕=1.............................................4分

98

（2）（i）證明：設(shè)4（再,乂），4（X2，%），尸（9"）（，。0）,

由題意中的性質(zhì)可得，切線尸4方程為其+2=1,

98

切線尸應(yīng)方程為出+望=1，..............5分

98

因為兩條切線都經(jīng)過點P（9/）,所以芭+等=1,%+器=1，

88

故直線44的方程為：x+里=1,......................................7分

8

Q

所以，

又⑥GQ溝=一；《=—1’所以直線...........9分

（ii）由（i）知直線44的方程為：x+里=1,過定點（1,0）,

8

設(shè)直線44的方程為：x=mj；+l（m^0）,

聯(lián)立，整理得（8加2+9）/+16叼—64=0,

16m

%+為=一

8m2+9

由韋達定理得＜...................................11分

64

%必--8m2+9

又4,（網(wǎng),-弘），所以直線的方程為了+M=:[?（工_.）,..............12分

令y=0得，

必（毛一再），、,_必馬%（加為+（優(yōu)必+1）

I]

2M64

2叩M+必+為_j2陽M_1,研8m2+9_

Q14分

--一16掰一,

8m2+9

16m

所以N(9,0),C,(l,0),設(shè)6(七,匕),笈(》4，/)洞理得%+匕=———

8掰-+9

不妨設(shè)為<0<8?

所以Sifl=5|。2切岡-同|=4上+匕I

4|16掰|_64<64_8^/2

=彳才=8同+“而二亍，

\m\

所以昌-$2匚=孚，當(dāng)且僅當(dāng)8加|=總時，即加=±苧時取等號.

...........................................