甘肅省通渭縣2024屆數(shù)學高二年級上冊期末統(tǒng)考試題含解析

甘肅省通渭縣2024屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在一次體檢中，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩個單位的職工中體重超過75依的人員的體重如下（單位：依）.若規(guī)定超過80版為

顯著超重，從甲、乙兩個單位中體重超過75依的職工中各抽取1人，則這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為（）

甲乙

879

883

32922

13

A.-B.-

48

15

C.一D.-

28

,,1

2.在數(shù)列｛4｝中，a=l,a“+i=1+—，則％=（）

an

3

A.2B.-

2

58

c.一D.-

35

3.正三棱柱A3C-4用G各棱長均為LP為棱CG的中點，則點A到平面D45的距離為（）

AA.?1BU?-V--2---

22

C.—D.l

2

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S=8,則輸入的％可能為。

5.已知m,〃表示兩條不同直線，％，表示兩個不同平面.設有兩個命題：Pi：若加〃則〃_La；P2：

若則加，小則下列命題中為真命題的是（）

A.P1Ap2

C.RV(f)D.「(pi")

6.在空間四邊形（M8C中，。4=。，OB=b>0C=c，點M在線段。4上，且OM=2MA,N為BC中點,

則MN等于（）

12,1B.3+L+L

A.一a——b+—c

232322

irn2r2r21lr

C.—CLH—b—cD.一a+一?！猚

223332

7.已知函數(shù)/（九）一九2+匕九（〃,0且〃工匕>0）的一個極值點為2,則工+工的最小值為。

2ab

79

A.一B.一

44

8

c.一D.7

5

8.數(shù)列｛4｝滿足％=2,a)

2

9.圓心為(2,—1)的圓，在直線工-y-1=0上截得的弦長為20，那么，這個圓的方程為。

A.(x-2)2+(y+l)2=4B.(x-2)2+(y+l)2=2

C.(x+2)2+(y-l)2=4D.(X+2)2+(J；-1)2=2

10.已知數(shù)列｛4｝的前"項和為s,,=1,Sn=2an+l,則%=()

279

A.—B.一

44

.279

C.—D.一

88

11.已知點4(—2,0),3(2,0),。(4,3),動點尸滿足則的取值范圍為()

A.[2,5]B.[2,8]

C.[3,7]D.[4,6]

9

12.已知過拋物線產(chǎn)=4丫焦點R的直線/交拋物線于N兩點,則4|"F|一百尚的最小值為O

\NF\

A.-272B.2

C.2V2D.3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在下列所示電路圖中，下列說法正確的是―(填序號)

A

________I________________二：_

①②③④

(1)如圖①所示，開關A閉合是燈泡5亮的充分不必、要條件；

(2)如圖②所示，開關A閉合是燈泡3亮的必要不充；分條件；

(3)如圖③所示，開關A閉合是燈泡5亮的充要條件1.

（4）如圖④所示，開關A閉合是燈泡5亮的必要不充分條件

14.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，4〉0,公差d<0,S,為其前“項和，滿足4+5%=工，則當S”取得最大值時,

n=_____

15.某人實施一項投資計劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個項目.已知2020年他的工資

是10萬元，預計未來十年每年工資都會逐年增加1萬元；若投資年收益是10%,一年結算一次，當年的投資收益自

動轉入下一年的投資本金，若2031年1月1日結束投資計劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應有

萬元.（參考數(shù)據(jù)：1.嚴士2.59，1]”"2.85，1.產(chǎn)士3.14）

Y2y2Y2y2

16.已知命題方程:匚+二一=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題心方程」+」_=i表示雙曲線.若

m-26-mm+1m—3

（加入q為真,則實數(shù)m的取值范圍為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（無）=。

ex

（1）求函數(shù)/（%）的極值；

（2）若以21+（2x+l）e'+i—X20對VxeR恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

18.（12分）已知圓E:（尤-1）2+丁=4與x軸交于4,8兩點,尸是該圓上任意一點,42,「5的延長線分別交直線/?=4

于V,N兩點.

（1）若弦AP長為2,求直線P5的方程；

（2）以線段MN為直徑作圓C,當圓C面積最小時，求此時圓C的方程.

19.（12分）如圖，四棱錐P—A5CD中，上4,平面ABC。、底面ABC。為菱形，E為PD的中點.

（1）證明：P3//平面AEC；

（2）設PA=1,484。=120°,菱形ABC。的面積為2百，求二面角O—AE—C的余弦值.

20.（12分）已知一張紙上畫有半徑為4的圓O,在圓。內有一個定點A,且Q4=2,折疊紙片，使圓上某一點4剛

好與A點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當A取遍圓上所有點時，所有折痕與?！兜慕稽c形成的曲

線記為c.

(1)求曲線C的焦點在X軸上的標準方程;

(2)過曲線C的右焦點工(左焦點為耳)的直線/與曲線C交于不同的兩點“，N,記△EMN的面積為S,試求

S的取值范圍.

21.(12分)已知數(shù)列｛。“｝滿足q=:，a“+i?%=—

2幾+2

(1)求生,火，?！?；

(2)若包=師1—4,且數(shù)列｛々｝的前”項和為S,,求證：s“<；

22.(10分)某企業(yè)計劃新購買100臺設備，并將購買的設備分配給100名年齡不同(視為技術水平不同)的技工加工

一批模具，因技術水平不同而加工出的產(chǎn)品數(shù)量不同，故產(chǎn)生的經(jīng)濟效益也不同.若用變量1表示不同技工的年齡，變

量y為相應的效益值(元)，根據(jù)以往統(tǒng)計經(jīng)驗，他們的工作效益滿足最小二乘法，且y關于X的線性回歸方程為

y=l.2x+40.6

(1)試預測一名年齡為52歲的技工使用該設備所產(chǎn)生的經(jīng)濟效益；

(2)試根據(jù)廠的值判斷使用該批設備的技工人員所產(chǎn)生的的效益與技工年齡的相關性強弱(0.75引廠區(qū)1,則認為y與

X線性相關性很強；M<0.75,則認為y與X線性相關性不強)；

(3)若這批設備有A,3兩道獨立運行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02,0.03.若兩道工序都沒有

出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本不增加；若A工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加2萬元；若5工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加3萬

元；若A3兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元.求這批設備增加的生產(chǎn)成本的期望

100100

參考數(shù)據(jù)：￡(%-可=121,^(j,.-y)-=225

Z=1Z=1

n.

X%%一"^

參考公式：回歸直線y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估計分別為B=號----------=J-------------,

儲；—就2方(玉_可2

i=lz=l

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】列舉出所有選取的情況，再找出滿足題意的情況，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.

【詳解】不妨用（尤,y）表示每種抽取情況，

其中》是指甲單位抽取1人的體重，y代表從乙單位抽取1人的體重.

則所有的可能有16種，如下所示：

（78,79）,（78,83）,（78,92）,（78,92）,

（88,79）,（88,83）,（88,92）,（88,92）,

（92,79）,（92,83）,（92,92）,（92,92）,

（93,79）,（93,83）,（93,92）,（93,92）

其中滿足題意的有6種:（78,83）,（78,92）,（78,92）,（88,79）,（92,79）,（93,79）

故抽取的這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為：二=：.

168

故選：B.

2、D

【解析】根據(jù)遞推關系，代入數(shù)據(jù)，逐步計算，即可得答案.

I1C

【詳解】由題意得，令〃可得%=1+—=2,

113

令〃=2,可得%=1+—=1+-=-,

%22

11_5

令〃=3,可得"4=1+瑟=1+二§，

2

_1231_8

令〃=4,可得%=1+/=1+5=?.

3

故選：D

3、C

【解析】建立空間直角坐標系，利用點面距公式求得正確答案.

【詳解】設。口分別是AC,AG的中點，根據(jù)正三棱柱的性質可知0403,00］兩兩垂直,

以。為原點建立如圖所示空間直角坐標系，

A0,一1別,尸0,—,A0,一1別,5

,0,0,

227

1

,M=(o,o,i).

22J

設平面PAB的法向量為n=(%,y,z),

nPA=-y--z=0

2

則,故可設〃=(6,-3,6b

n-PB=—x--y--z=0

222

ri'A\6673

所以點A到平面PAB的距離為

g+9+36—2

【解析】根據(jù)輸出結果可得輸出時左=24,結合執(zhí)行邏輯確定輸入"的可能值，即可知答案.

【詳解】由S"=8,得左=24,則輸人的左可能為12,6,3,.

二結合選項知：D符合要求.

故選:D.

5、B

【解析】利用直線與平面，平面與平面的位置關系判斷2個命題的真假，再利用復合命題的真值表判斷選項的正誤即

可

【詳解】m,〃表示兩條不同直線，a,￡表示兩個不同平面

Pi：若mlla,mLn,則〃J_a也可能〃//a,也可能“與a相交，所以p1是假命題，「Pi為真命題；

P2：令直線加的方向向量為加，直線〃的方向向量為“，若a_L^,加_La,n_L〃，

則力?方=0,貝！J〃z_L〃，所以是真命題，所以「外為假命題；

所以。1人。2為假命題，(「四)八,2是真命題，"1V(「02)為假命題，RVP2是真命題，所以一!(PiV/?2)為假命題

故選：B

6,B

【解析】由題意結合圖形，直接利用MN=ON+MO，求出ON,然后即可解答.

【詳解】解：因為空間四邊形。45c如圖，OA=a>OB=b，OC=c，

點M在線段Q4上，且OM=2MA,N為5c的中點，

所以。N=L+L.

22

所以政V=ON+MO=-2a+L+4.

322

故選：B.

7、B

【解析】求出函數(shù)/(%)的導數(shù)，由給定極值點可得a與方的關系，再借助“1”的妙用求解即得.

【詳解】對〃力=3以3_f+法求導得：f\x)=a^-2x+b,因函數(shù)的一個極值點為2,

貝！|f'(2)=4a-4+b=0,

2

此時9b——4-ci+4,/'(%)=—2x—4a+4=a(x—2)(%+2)—2(x—2)=a(x—2)(x+2—),

a

i9

因。彳3,即2/2,因此，在2左右兩側鄰近的區(qū)域f(x)值一正一負，2是函數(shù)/(九)的一個極值點，則有

4〃+匕=4,又a>0,b>0,

十日,曰111..7-I1、I”b4〃、、1/廠lb4a9也口m止人4〃4

于是得—I—=—(4〃+/?)(—I—)=_(5H--1----)2—(5+2(-----)x=一,當且僅當一二-―，即b=2a=7時取

ab4ab4ab4AVab4ab3

一,

119

所以_L+上的最小值為一.

ab4

故選：B

8、C

【解析】根據(jù)已知分析數(shù)列周期性，可得答案

【詳解】解：???數(shù)列｛&｝滿足q=2,4+1=口上，

工一a”

故數(shù)列｛??｝以4為周期呈現(xiàn)周期性變化,

由2019+4=504LL3,

故a2019=%=一］，

故選C

【點睛】本題考查的知識點是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的周期性，難度中檔

9、A

【解析】由垂徑定理，根據(jù)弦長的一半及圓心到直線的距離求出圓半徑，即可寫出圓的標準方程.

【詳解】圓心(2,—1)到直線x-y-l=O的距離［=

弦長20，設圓半徑為r,

+/=4故r=2

則圓的標準方程為(％—2『+(y+=4

故選：A

【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系和圓的標準方程，屬于基礎題.

10、D

【解析】根據(jù)給定遞推公式求出。2，%即可計算作答.

【詳解】因數(shù)列｛??｝的前n項和為Sn,q=l,Sn=2an+l,則/=gH=gq=g,

11113111139

。3=；S2==（4+%）==（1+彳）=彳,a=-S=-（6^+a+tz）=

ZZZZ44Z3Z23ZZ4o

9

所以。4=G.

8

故選：D

11、C

【解析】由題設分析知P的軌跡為/+>2=4（P不與A,3重合），要求|PC|的取值范圍，只需求出。（4,3）到圓

/+/=4上點的距離范圍即可.

【詳解】由題設，P在以|AB|為直徑的圓上，令P（x,y）,則好+丁=4（尸不與A,3重合），

所以|PC|的取值范圍，即為。（4,3）到圓Y+/=4上點的距離范圍，

又圓心（0,0）到C的距離d=7（4-0）2+（3-0）2=5，圓的半徑為2,

所以|PC|的取值范圍為［dfS+打，即［3,7］.

故選：C

12、D

【解析】設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達定理，求得丁“以，利用拋物線定義，將目標式轉化為關于>“加

的代數(shù)式，消元后，利用基本不等式即可求得結果.

【詳解】因為拋物線好=4〉的焦點R的坐標為（0,1）,

顯然要滿足題意，直線/的斜率存在，設直線/的方程為y=Ax+l

聯(lián)立爐=4>可得％2_血_4=0,其?=16左2+16>0，

設M,N坐標為（%顯然％>0,%>0，

則石+々=-4,%%=1，

根據(jù)拋物線定義'WF|=v；+1.||JVF|=心+15

故41s一工=45+1）_2=4X%+45+%）-5=45+%）-1

\NF\I"）%+1%+1%+1

5T=4+^^=4+

令必+1=々＞1),

故二.?八，

△

4+4nr=4+-----e----=4t+-￡-9N2<4tX-e-9=3

93

當且僅當射=—,即/=一時取得最小值3.

t2

故選：D.

【點睛】本題考察拋物線中的最值問題，涉及到韋達定理的使用，基本不等式的使用；其中利用%%的關系，以及拋

物線的定義轉化目標式，是解決問題的關鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(1)(2)(3)

【解析】充分不必要條件是該條件成立時，可推出結果，但結果不一定需要該條件成立；必要條件是有結果必須有這

一條件，但是有這一條件還不夠；充要條件是條件和結果可以互推；條件和結果沒有互推關系的是既不充分也不必要

條件

【詳解】(1)開關A閉合，燈泡3亮；而燈泡8亮時，開關A不一定閉合，所以開關A閉合是燈泡3亮的充分不必

要條件，選項(1)正確.

(2)開關A閉合，燈泡3不一定亮；而燈泡3亮時，開關A必須閉合，所以開關A閉合是燈泡3亮的必要不充分條

件，選項(2)正確.

(3)開關A閉合，燈泡8亮；而燈泡3亮時，開關A必須閉合，所以開關A閉合是燈泡3亮的充要條件，選項(3)

正確.

(4)開關A閉合，燈泡3不一定亮；而燈泡3亮時，開關A不一定閉合，所以開關A閉合是燈泡3亮的既不充分也

不必要條件，選項(4)錯誤.

故答案為(1)(2)(3).

14、9或10

【解析】等差數(shù)列通項公式的使用.

【詳解】數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且囚+5%=&，得4+5(%+2d)=8%+28。，得q=-9d,則有須=0,又因

為4>0,公差d<0,所以〃=9或10時，S.取得最大值

故答案為：9或10

15、24

【解析】根據(jù)條件求得每一年投入在最終結算時的總收入，利用錯位相減法求得總收入.

【詳解】由題知，2021年的投入在結算時的收入為10x10%x(l+10%)i°,

2022年的投入在結算時的收入為llxl0%x(l+10%)9,

L,

2030年的投入在結算時的收入為19x10%x(l+IO%)]，

則結算時的總投資及收益為：

S=lOxlO%xl.llo+llxlO%xl.l9++19xl0%xl.l1@,

貝！ll.lS=10xl0%xl.Ti+llxlO%xl.llo++19xl0%xl.l2@,

由①-②得，

-O.15=-lOxlO%xl.l11-lxlO%xl.llo-lO%xl.l9--10%xl.l2+19xl0%xl.l1,

ll2-]I11

則S=10xl.l11+l.l10+l.l9++l.l2-19xl.l1=10x1.1H+------——20.9

1-1.1

=20x1.111-12.1-20.9^20x2.85-33=24,

故答案為：24

16、(-1,2]

【解析】既然T7八4為真，那么就是F?為真，即P是假，并且夕是真，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義即可解出。

【詳解】???▼人4為真，...p為假，q為真；

m—2>0

考慮P為真的情況：6-m>0解得2<加<4……①；

6—m>m—2

由于〃為假，，機24或加工2；

由于4為真，3)<0,即于V*3……②；

由①和②得：—IV加<2；

故答案為：(—1,2].

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)極大值為,，無極小值

e

(2)[0,+oo)

【解析】(1)求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的正負判斷極值點，代入原函數(shù)計算即可；

(2)將以2e'+(2x+l)e*+i—xNO變形，即a2々一‘(2；+1)對y%(—8,0)(0,+<?)恒成立,然后構造函數(shù),

利用求導判定函數(shù)的單調性，進而確定實數(shù)a的取值范圍“

【小問1詳解】

對函數(shù)了。)求導可得：/'(x)=T,

可知當xe(—a?,l)時，/'(x)>0,xe(L+8)時，f'(x)<0,

即可知f(x)在(-91)上單調遞增,在(1,+8)上單調遞減

由上可知，/(x)的極大值為了⑴=工，無極小值

【小問2詳解】

由ax2el'+(2x+1)6川—xNO對VxeH恒成立，

當％=0時，e?0恒成立；

當xW0時，ax2cx+(2x+1)6川一x20對Vxe(-oo,0)l_(0,+(?)恒成立,

可變形為：a?』一0(2'+1)對(—8,0)「(0,也)恒成立，

令g(x)=々-e(2;+D,%e0)l,_(0,+oo),

貝!]a2g(x)max?”G(-co,0)(0,+oo)；

2e(x+l)

求導可得：g'(x)=-

(2ev+1-x)(x+l)2e-(x+1)

XX

由(1)知2e>—2—即2e——>0恒成立,

當xe(0,+s)時，g'(x)>0,則g(x)在(0,+s)上單調遞增;

又g(—=

xexxe

因xe(0,+s),故1—2e'+i<0，x(l-2e?:+1)-ex+1<0,

所以g(x)<0在(0,+s)上恒成立，

當xe(—oo,0)時，令g'(x)=O,得九=—1,

當xe(—吟-1)時，8'(%)>0超(%)在(-/,—1)上單調遞增，

當xe(—1,0)時，g'(?<0,g(x)在(-1,0)上單調遞減，

從而可知g(x)的最大值為g(-1)=0,即g(x)<0，

因此，對尤€(-00,0)5。,+8)都有8(幻<0恒成立，

所以。之0,實數(shù)。的取值范圍是［0,+8).

18、(1)氐+3y-3百=0或百x-3y-3百=0；

(2)(x-4)2+y2=5.

【解析】(1)根據(jù)圓的直徑的性質，結合銳角三角函數(shù)定義進行求解即可；

(2)根據(jù)題意，結合基本不等式和圓的標準方程進行求解即可.

【小問1詳解】

在方程(x—1)2+丁=4中，令y=0,解得％=—1,或％=3,

因為AP,網(wǎng)的延長線分別交直線/:x=4于M,N兩點，所以

4-1,0),5(3,0),圓心(1,0)在x軸上，所以m_LP5,

因為|PA|=2,|AB|=4,所以有sin/P3A=—=—=>NPBA=%,

1111AB26

當P在x軸上方時，直線尸5的斜率為：tan(?-工)=-且，所以直線尸5的方程為:

63

y=-^-(x-3)=>百x+3y—36=0，

當尸在x軸下方時，直線尸3的斜率為：tan￡=走，所以直線的方程為：

63

y=^-(x-3)^y/3x-3y-3s/3=0,

因此直線尸8的方程為石x+3y—6=0或由x—3y—石=0；

【小問2詳解】

由⑴知：A(-l,0),B(3,0),PALPB,

所以設直線的斜率為左，因此直線PB的斜率為-工,

k

于是直線24的方程為：，=左(％+1),令x=4,y=5k,即M(4,5公

直線網(wǎng)的方程為：y=—工?！?),令x=4,y=--,即N(4,—工)，

kkk

因為5k!同號,

k

所以I肱v|=54+工2下,當且僅當網(wǎng)=6時取等號,

k

即當左=±且時取等號,

5

于是有以線段MN為直徑作圓G當圓C面積最小時，此時最小,

當上=半時，M(4,0)和N(4,-J?),中點坐標為：(4,0),半徑為

所以圓的方程為：(x-4)2+/=5,

同理當上=-g時，M(4,-J?)和N(4,J?),中點坐標為：(4,0),半徑為石,

所以圓的方程為：(x—4)2+/=5,

綜上所述：圓C的方程為(x-4)2+/=5.

19、(1)證明見解析；(2)

【解析】(1)連接班>交AC于點。，連接OE,則尸2〃OE,利用線面平行的判定定理，即可得證；

(2)根據(jù)題意，求得菱形ABCD的邊長，取中點“，可證如圖建系，求得點坐標及AE,AC坐標,

即可求得平面ACE的法向量，根據(jù)AM,平面出。，可求得面ADE的法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求

得答案.

【詳解】(1)連接3。交AC于點。，連接OE,

則。、E分別為AB=AC4M，P4￡>AE,AC、PZ)的中點，所以PB//OE,

又QEu平面ACE,PB<Z平面ACE

所以「3//平面ACE

E

(2)由菱形ABC。的面積為2百，/BAD=120°,易得菱形邊長為2,

取BC中點“，連接A",因為AB=AC,所以

以點A為原點，以AM方向為x軸，AD方向為》軸，AP方向為z軸，建立如圖所示坐標系.

BM

則。(0,2,0),A(0,0,0),目0/，7

所以AE=

設平面4?！甑姆ㄏ蛄可?(x,y,z),由_LAE,〃i_LAC

yH—z=0

得J2,令x=6,則y=—3,z=6

y/3x+y=0

所以一個法向量々=(6,—3,6),

因為AMLAD,AM±PA,所以AM,平面必O,

uu

所以平面ADE的一個法向量々=(1,0,0)

所以cos<>=

‘3+9+36―W

又二面角D-AE-C為銳二面角，所以二面角D-AE-C的余弦值為J

【點睛】解題的關鍵是熟練掌握證明平行的定理，證明線面平行時，常用中位線法和平行四邊形法來證明；利用空間

向量求解二面角為?？碱}型，步驟為建系、求點坐標、求所需向量坐標、求法向量、利用夾角公式求解，屬基礎題.

22

20、(1)—+^=1；

43

⑵(0,3].

【解析】⑴根據(jù)題意，作出圖像，可得|腦9|+|惆=4,由此可知M的軌跡C為以0、A為焦點的橢圓；

⑵分為/斜率存在和不存在時討論，斜率存在時，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，用韋達定理表示△耳的面積，根據(jù)

變量范圍可求面積的最大值.

【小問1詳解】

以。4中點G坐標原點，04所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖：

可知。(-1,0)，41,0),設折痕與和AA分別交于跖N兩點，

則MN垂直平分A4，，.-.|W|=|M4|,又,

22

的軌跡是以。，A為焦點，4為長軸的橢圓.r.M的軌跡方程C為上+上=1；

43

【小問2詳解】

設M&,%),則△耳MN的周長為4。=8

當軸時，/的方程為x=l,|MV|=3,5=曰加叫><|耳后|=3,

當/與x軸不垂直時，設=—D(左「0),

由7爐y2得(4左2+3)V+66—9左2=o,

一+—=1,

[43

6k9k2

VA>0,%+%=-

4/+3%%=一K

SF]MN-SF/M+SF、F?N=~I與gHxI+gi片￡M%i=J4研x-%I

二"閩,"心…十"登：―41白

,世歸+i)

'■+3)2

令4r+3=/,貝！h>3,

t2-2t-3

S=3.=3j-3+1=3,—31+

,2r

,:t>3,A0<-<-,A0<5<3.

t3

綜上可知，S的取值范圍是（0,3]

/、23n

21、(1)tz——,a——,a--

2334n+1

(2)證明見解析

H

【解析】（1）先求得出,生，猜想4=——，然后利用數(shù)學歸納法進行證明.

'n+1

（2）利用放縮法證得結論成立.

【小問1詳解】

1n

a=9

依題意=大,4+l.nT%W0，

2n+2

12

“2?—>Cl?—，

2_j