經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分 第4版 課件 3-1 不定積分的概念與性質(zhì)

一、原函數(shù)與不定積分的概念二、不定積分的性質(zhì)三、不定積分基本公式四、小結(jié)3.1不定積分的概念與性質(zhì)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分1、已知曲線y=x2+1，求該曲線在任一點(diǎn)x處切線的斜率，即y'=2x．反過(guò)來(lái)，如果已知某曲線在任一點(diǎn)處的切線斜率為2x,求該曲線的方程.2、已知某產(chǎn)品的總成本TC是其產(chǎn)量Q的函數(shù)TC=TC(Q),求該產(chǎn)品成本關(guān)于產(chǎn)量的變化率（邊際成本）TC'(Q)．反過(guò)來(lái),如果已知成本的變化率TC'(Q),求該產(chǎn)品的成本函數(shù)TC(Q).問(wèn)題定義一、原函數(shù)與不定積分的概念

設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間I上,如果存在一個(gè)函數(shù)F(x)，對(duì)任意的x∈I,都有

F'(x)=f(x)

或dF(x)=f(x)dx那么稱F(x)為f(x)在I上的一個(gè)原函數(shù)．定理

一個(gè)函數(shù)具備什么條件，其原函數(shù)一定存在？

（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),那么在區(qū)間I上f(x)一定存在原函數(shù)．即：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).(1)一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)是否唯一？例(2)若不唯一，它們之間有什么聯(lián)系？問(wèn)題（C為任意常數(shù)）(sinx)'=cosx,(sinx+C)'=cosx關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：（1）若F'(x)=f(x)，則對(duì)于任意常數(shù)C，F(xiàn)(x)+C都是f(x)的原函數(shù)——原函數(shù)族.（2）若F(x)和G(x)都是f(x)的原函數(shù)，則F(x)-G(x)=C(C為任意常數(shù)）.任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量定義原函數(shù)

函數(shù)f(x)在區(qū)間上I上的全體原函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)）稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為∫f(x)dx，即不定積分的幾何意義:oxy

函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)的圖形稱為f(x)的積分曲線.F(x)+C的圖形稱為f(x)的積分曲線簇,在同一坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)x=x0處的任一積分曲線的切線有相同的斜率.例1求解：解:例2求例3求解：∵當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)，即例4求在平面上經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）,且在任一點(diǎn)處的斜率為其橫坐標(biāo)的三倍的曲線方程．解：設(shè)曲線方程為y=f(x),在任一點(diǎn)(x,y)處的切線斜率為y',則有y'=3x又由于曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),得C=1例5某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品,每日生產(chǎn)的總成本y的變化率（邊際成本）是

已知固定成本為10000元,求總成本y．解:由由x=0時(shí)，y=10000，得C=10000得二、不定積分的性質(zhì)設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)是F(x)或或證（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）∴等式成立是常數(shù));三、不定積分的基本積分公式例6求積分解：例7求積分解：例8求解：例9求解：例10

求解