廣東省茂名市高2024屆高三年級(jí)下冊(cè)高考模擬數(shù)學(xué)試題及其詳細(xì)解析

茂名市高2024屆高三下學(xué)期高考模擬試卷

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若集合4=｛目2加一3>0,機(jī)€尺｝,其中2eA且則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

1?

_

、_

33_-33）33

-||_||

>_

-_B.C.D.

-_

42工司42

(1_(14)?

2.若z-(2+i)=3-i?°27,則z的虛部為（）

71.1

A.-1B.一C.——1D.

555

3.已知直角A8C斜邊的中點(diǎn)為。,且04=A3,則向量C4在向量CB上的投影向量為（）

1313

A.-CBB.-CBC.——CBD.——CB

4444

4.直線右的傾斜角分別為々，0，則"a=夕'是"tana=tan尸”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.如圖，在三棱柱ABC—A31cl中，」E,F,G,H分別為BBI,CQ,，AG的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法

錯(cuò)誤的是（）

B

小H

A.E,F,G,H四點(diǎn)共面B.EF//GH

C.EG,FH,AA]三線共點(diǎn)D.NEGB]=NFHCi

16.已知拋物線C：y2^2px（p>0）的焦點(diǎn)為RC的準(zhǔn)線與無(wú)軸的交點(diǎn)為M,點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，且

點(diǎn)尸在第一象限，設(shè)NPMF=a,NPFM=0,貝|（）

A.tancif=sin/?B.tancr=-cos/?C.tan^=-sincrD.tan/?=-cos6Z

7.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前見項(xiàng)和為S“，且滿足&，3%，-%成等差數(shù)列，則9=（）

$2

A.3B.9C.10D.13

8.已知m,neR,m2+n20,記直線+-〃=0與直線一-〃=0的交點(diǎn)為尸，點(diǎn)Q是圓C：

（%+2）2+（丁—2）2=4上的一點(diǎn)，若PQ與C相切，則|PQ|的取值范圍是（）

A.[272,714]B.[2也26]C.[2,退]D.〔2,26]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知i為虛數(shù)單位，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若復(fù)數(shù)z=±匕，則/°=一1

1-i

B.若㈤>閡，則z；>Z；

C.若Z2/0,則五=共

Z2

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,若|z+i|+|z—i|=2,則點(diǎn)Z的軌跡是一個(gè)橢圓

10.質(zhì)地均勻的正四面體模型四個(gè)表面分別標(biāo)有2,5,7,70四個(gè)數(shù)字，拋擲一次并記錄與地面接觸面上的

數(shù)字，記事件”數(shù)字為2的倍數(shù)”為事件A,“數(shù)字是5的倍數(shù)”為事件B,“數(shù)字是7的倍數(shù)”為事件

C,則下列選項(xiàng)不正確的是（）

A.事件A、B、C兩兩互斥B.事件A.5與事件5,C對(duì)立

C.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）D.事件A、B、C兩兩獨(dú)立

11.已知函數(shù)y（x）的定義域?yàn)镽,且y）=/（力-尸3,/⑴=2,/（尤+1）為偶函

數(shù)，則（）

2024

A./（3）=2B./（x）為奇函數(shù)C./（2）=0D.2/（%）=°

k二l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(必+1,2X—的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

3

13.在公差為正數(shù)的等差數(shù)列｛4｝中，若q=3,a.,a6,5小成等比數(shù)列，則數(shù)列｛%｝的前1。項(xiàng)和

為.

14.已知拋物線C：x2=4y,定點(diǎn)T(1,O),M為直線y=gx—1上一點(diǎn)，過(guò)M作拋物線C的兩條切線

MA,MB,A,2是切點(diǎn)，則△TAB面積的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)

已知函數(shù)/(x)=ln2x+(e+a)x—1,g(x)=(2a+e)x+l.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)/(x)的最小值；

(2)若/z(x)=/(x)_g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.

16.(15分)

如圖，已知四邊形A8CO為等腰梯形，E為以8C為直徑的半圓弧上一點(diǎn)，平面平面8CE,。為

BC的中點(diǎn)，M為CE的中點(diǎn)，BE=AB=AD=DC=2,BC=4.

(1)求證：DM〃平面ABE；

(2)求平面ABE與平面?！钡膴A角的余弦值.

17.(15分)

設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,記S“是數(shù)列｛4｝的前力項(xiàng)和，若工=%+20，

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

4s1

(2)若d>0,bn=一」(neN*),數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為7；,求證：Tn<n+-.

2

18.(17分)

2024年初，多地文旅部門用各種形式展現(xiàn)祖國(guó)大美河山，掀起了一波旅游熱潮.某地游樂(lè)園一迷宮票價(jià)為

8元，游客從4處進(jìn)入，沿圖中實(shí)線游玩且只能向北或向東走，當(dāng)路口走向不確定時(shí)，用拋硬幣的方法選

擇，硬幣正面朝上向北走，否則向東走(每次拋擲硬幣等可能出現(xiàn)正反兩個(gè)結(jié)果)直到從X(X=1,2,

（1）隨機(jī)調(diào)查了進(jìn)游樂(lè)園的50名游客，統(tǒng)計(jì)出喜歡走迷宮的人數(shù)如表:

男性女性總計(jì)

喜歡走迷宮121830

不喜歡走迷宮13720

總計(jì)252550

判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為喜歡走迷宮與性別有關(guān)?

n^ad-bc^

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P（K2三人0）0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

（2）走迷宮“路過(guò)路口8”記為事件B,從“X號(hào)走出”記為事件A*，求尸（4忸）和P（同4）值；

（3）設(shè)每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項(xiàng)目每天收入約為多少？

19.（17分）

曲線的曲率是描述幾何彎曲程度的量，曲率越大，曲線的彎曲程度越大.曲線在點(diǎn)M處的曲率

|y"|

K=UI3（其中/表示函數(shù)y=/（X）在點(diǎn)〃處的導(dǎo)數(shù),V'表示導(dǎo)函數(shù)/'（%）在點(diǎn)M處的導(dǎo)數(shù)）.在

曲線y=/（x）上點(diǎn)M處的法線（過(guò)該點(diǎn)且垂直于該點(diǎn)處的切線的直線為曲線在此處的法線）指向曲線凹的

一側(cè)上取一點(diǎn)D使得|加。|=工=0,則稱以。為圓心，以p為半徑的圓為曲線在M處的曲率圓，因?yàn)?/p>

K

此曲率圓與曲線弧度密切程度非常好，且再?zèng)]有圓能介于此圓與曲線之間而與曲線相切，所以又稱此圓為曲

線在此處的密切圓.

y

----x

(1)求出曲線G：%2=2在點(diǎn)M(0,J可處的曲率，并在曲線。2：肛=1的圖象上找一個(gè)點(diǎn)E,使

曲線c2在點(diǎn)E處的曲率與曲線。在點(diǎn)M(O,J5)處的曲率相同；

(2)若要在曲線G：丁―妙=2上支凹側(cè)放置圓03使其能在M僅,0)處與曲線。相切且半徑最大，求

圓。3的方程；

(3)在(2)的條件下，在圓C3上任取一點(diǎn)P，曲線G上任取關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)4B,求PA-P6的最

大值.

數(shù)學(xué)參考答案

1.A2.D3.B4.B5.D6.A7.C8.C

9.AC10.ABC11.BCD

12.1613.16514.A/3

15.(1)因?yàn)閛=e,

所以=1R2x+2ex—l^

可得/-(X)=+2e=21rlx+2ex,

XX

令q(x)=21nx+2ex,顯然q(x)在(0,+8)上單調(diào)逆增且=0

因此當(dāng)0<x<:時(shí)，則有q(無(wú))<0,當(dāng)時(shí)，則q(尤)>0,

于是有當(dāng)0<x<：時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增,

所以"x)mm=djTn2「+2eT-1=2.

21nx

(2)化簡(jiǎn)得/z(x)=1R2%—依一2,即/z1x)=------a,

x

因?yàn)镸無(wú))在(o,+8)上單調(diào)遞減，

21nx

所以"(x)=—oWO在(0,+8)上恒成立，

X

,21nx7門、21nx

由-------ClW0CL三-----,

XX

、門/、21nx.,z、2(l-lnx)

設(shè)O(X)=----,則nI有夕(?￥)=△~

XX

當(dāng)%>6時(shí)，0(x)單調(diào)逆減，

當(dāng)Ovxve時(shí)，o(x)單調(diào)逆增，

./x2Ine2

所以0(x)=-----=一,

T\/max八八

要想(%)=------QWO在(0,+oo)上恒成立,

X

22

只需。N一,經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)。二一符合題意，

ee

因此。的取值范圍為

16.(1)證明：取BE的中點(diǎn)N,連接AN,MN,

則上W〃5C且A/N=,

2

又AD〃5c且所以兒W〃AD且兒W=AD,

2

所以四邊形AMWD為平行四邊形，所以。欣〃AN.

又DM仁平面ABE,AMu平面ABE,

所以DM〃平面ABE.

(2)解：取A。的中點(diǎn)R連接OR

因?yàn)樗倪呅?8。為等腰梯形，所以O(shè)尸，5C,

又平面ABCDL平面8CE,平面ABCD平面3(五=5。，C*u平面A8CD,

所以O(shè)F_L平面BCE.

過(guò)點(diǎn)0作直線BC的垂線交BC于點(diǎn)G,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)G,0C,。尸所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)锽C為直徑，所以=

2

所以/5?！?30。，ZBOE=60°,ZEOG=30°.

在等腰梯形A8C￡>中，AB=AD=DC=2,BC=4,

所以0歹=/22—=6，

所以石（6,—1,0）,C（0,2,0）,D（0,l,73）,5（0,—2,0）,A（0,-1,^/3）,

所以CE=（百3,0）,CD=（0,-1,A/3）,BE=（6,1,0）,BA=（0,1,^/3）

mCE=0

設(shè)平面DCE的法向量為m=(x,y,z)則《

m-CD-0

y/3x-3y=0

所以＜

—y+y/3z=0

令y=A/3,則x=3,z=1,

所以a=(3,百,1).

n,BE—+/?=0

設(shè)平面ABE的法向量為〃=(a,b,c),則<

n-BA=yj3c+/?=0

J65

設(shè)平面ABE與平面DCE的夾角為a,則cosa=1J=——,

m-n65

所以平面ABE與平面DCE的夾角的余弦值為^—.

65

17.⑴gj+2。，S5=%^=5%，得見=%+2。，解得%=5,

=aaaS--（4+&）

由九----L4-OVl-Q,e=15/，

所以15%=5a2a8,

所以/=0或。2=3，

當(dāng)。8=。時(shí)d=―—―=一1,止匕時(shí)為=%+（〃-3）d=8—〃；

8—3

當(dāng)。2=3時(shí)d=%—4=2，此時(shí)c1n=4+（〃-3）d=2n—1；

綜上可得數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為4=8—〃或4=2〃-1；

（l+2n-l）n

（2）因?yàn)閐>0,所以q=2〃—1,貝!——廣一二〃29,

i4S“4n241—1+1

則b=-----=-------------=--------------

n%y〃+i（2ZZ-1）（2M+1）（2H-1）（2ZZ+1）

1+7------77------7=1-\-------------------

（2n-l）（2n+l）2（2〃-12n+l

11

+1+-

2y2n—l2n+l

111

=n+—\1-----n--\-------------------<〃+—.

2n+l22（2n+l）2

18.

2

（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得K=5°。2X7-13）<：18）=3<3.841,

30x20x25x25

所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為喜歡走迷宮與性別有關(guān).

（2）依題意當(dāng)路口走向不確定時(shí)，用拋硬幣的方法選擇，所以向北與向東走的概率均為由A到路口B

2

需向北走2個(gè)，向東走3個(gè)路口，則不同路線有條,

所以P（B）=C；x?4

事件&B表示從A出發(fā)經(jīng)過(guò)路口B最后從5號(hào)路口走出,

則P（&B）=C；

15

所以p（A忸）=尸（&⑻=胃=3,

'''P（B）5_8

16

P（冏表示從A出發(fā)最后從4號(hào)路口走出的條件下經(jīng)過(guò)路口8的概率,

又尸⑷=戢

15

所以P（叫=噌=5

128

（3）依題意從X（X=l,2,3,4,5,6,7）號(hào)出口走出，返現(xiàn)金X元,

所以每名游客游玩一次游樂(lè)園收入可能取值為y=8-X,

所以p(y=7)=c；

p(y=6)=c；

p(y=5)=。，P[Y=

p(y=3)=c；，")=或

p(y=l)=&

所以每名游客游玩一次游樂(lè)園收入的期望為:

r9,28U56,70°56c28I9,

7x----i-6x----F5X----b4x----F3X---F2X----Fix---=4，

256256256256256256256

每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項(xiàng)目每天收入約為500x4=2000元.

19.

(1)曲線G：產(chǎn)―必=2在點(diǎn)v

X2+2-X-

X

進(jìn)一步有y'=I---------=,y

f+2

2