四川省成都市彭州中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

四川省成都市彭州中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列四個(gè)函數(shù)中，與函數(shù)完全相同的是（）A． B．C． D．2．設(shè)，則下列不等式中正確的是()A． B．C． D．3．在中，為的三等分點(diǎn)，則()A． B． C． D．4．如圖，若長(zhǎng)方體的六個(gè)面中存在三個(gè)面的面積分別是2,3,6，則該長(zhǎng)方體中線段的長(zhǎng)是（）A． B． C．28 D．5．已知圓與交于兩點(diǎn)，其中一交點(diǎn)的坐標(biāo)為，兩圓的半徑之積為9，軸與直線都與兩圓相切，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．6．函數(shù)()的部分圖象如圖所示，若，且，則（）A．1 B． C． D．7．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且=．則A． B． C． D．8．已知平面向量，，，，且，則向量與向量的夾角為（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則()A． B． C． D．10．已知直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，則的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且，，則{an}的首項(xiàng)的所有可能值為______12．已知向量，，則的最大值為_______.13．?dāng)?shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________．14．在高一某班的元旦文藝晚會(huì)中，有這么一個(gè)游戲：一盒子內(nèi)裝有6張大小和形狀完全相同的卡片，每張卡片上寫有一個(gè)成語(yǔ)，它們分別為意氣風(fēng)發(fā)、風(fēng)平浪靜、心猿意馬、信馬由韁、氣壯山河、信口開河，從盒內(nèi)隨機(jī)抽取2張卡片，若這2張卡片上的2個(gè)成語(yǔ)有相同的字就中獎(jiǎng)，則該游戲的中獎(jiǎng)率為________.15．不等式的解集是．16．設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知是等差數(shù)列，滿足，，且數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證:.18．已知數(shù)列滿足，且（，且）.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.19．已知：的頂點(diǎn)，，．（1）求AB邊上的中線CD所在直線的方程；（2）求的面積．20．中，角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值.21．已知函數(shù)，，（,為常數(shù)）.（1）若方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若的圖像與軸有3個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）記，若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

先判斷函數(shù)的定義域是否相同，再通過化簡(jiǎn)判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，從而判斷出與相同的函數(shù).【詳解】的定義域?yàn)椋珹.，因?yàn)?，所以，定義域?yàn)榛?，與定義域不相同；B.，因?yàn)?，所以，所以定義域?yàn)?，與定義域不相同；C.，因?yàn)?，所以定義域?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以與相同；D.，因?yàn)?，所以，定義域?yàn)?，與定義域不相同.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的相同函數(shù)的判斷，難度一般.判斷相同函數(shù)時(shí)，首先判斷定義域是否相同，定義域相同時(shí)再去判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同（函數(shù)化簡(jiǎn)），結(jié)合定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系即可判斷出是否是相同函數(shù).2、B【解析】

取，則，，只有B符合．故選B．考點(diǎn)：基本不等式．3、B【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，又為的三等分點(diǎn)所以，，所以，故選B.考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積.【一題多解】若，則，即有，為邊的三等分點(diǎn)，則,故選B．4、A【解析】

由長(zhǎng)方體的三個(gè)面對(duì)面積先求出同一點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)分別為，且，，，則，，，所以長(zhǎng)方體中線段的長(zhǎng)等于.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題型.5、A【解析】

根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知連心線過原點(diǎn),故設(shè)連心線,再代入,根據(jù)方程的表達(dá)式分析出是方程的兩根,再根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合兩圓的半徑之積為9求解即可.【詳解】因?yàn)閮汕芯€均過原點(diǎn),有對(duì)稱性可知連心線所在的直線經(jīng)過原點(diǎn),設(shè)該直線為,設(shè)兩圓與軸的切點(diǎn)分別為,則兩圓方程為：,因?yàn)閳A與交于兩點(diǎn),其中一交點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以①,②.又兩圓半徑之積為9,所以③聯(lián)立①②可知是方程的兩根,化簡(jiǎn)得,即.代入③可得,由題意可知,故.因?yàn)榈膬A斜角是連心線所在的直線的傾斜角的兩倍.故,故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的方程的綜合運(yùn)用,需要根據(jù)題意列出對(duì)應(yīng)的方程,結(jié)合韋達(dá)定理以及直線的斜率關(guān)系求解.屬于難題.6、D【解析】

由三角函數(shù)的圖象求得，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】由圖象可知，，即，所以，即，又因?yàn)?，則，解得，又由，所以，所以，又因?yàn)?，所以圖中的最高點(diǎn)坐標(biāo)為.結(jié)合圖象和已知條件可知，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的部分圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】試題分析：由正弦定理得，，由于，，，故答案為C.考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用.8、B【解析】

根據(jù)可得到：，由此求得；利用向量夾角的求解方法可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，則設(shè)向量與向量的夾角為則本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的求解，關(guān)鍵是能夠通過平方運(yùn)算將模長(zhǎng)轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄康臄?shù)量積，從而得到向量的位置關(guān)系.9、D【解析】

通過和關(guān)系，計(jì)算通項(xiàng)公式，再計(jì)算，代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】，取，兩式相減得：是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前N項(xiàng)和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、B【解析】

利用周期公式計(jì)算出周期，根據(jù)對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的是最值，然后分析單調(diào)減區(qū)間.【詳解】因?yàn)椋羧〉阶畲笾?，則，即，此時(shí)處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，故B符合；若取到最小值，則，即，此時(shí)處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，此時(shí)無符合答案；故選：B.【點(diǎn)睛】對(duì)于正弦型函數(shù)，對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的是函數(shù)的最值，這一點(diǎn)值得注意.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得，利用式相加，得到，進(jìn)而得到，即可求解結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，將以上各式相加，得，又，所以，解得?【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式應(yīng)用，其中解答中利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，得到關(guān)于數(shù)列首項(xiàng)的方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.12、.【解析】

計(jì)算出，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，并求出的最大值，可得出的最大值.【詳解】，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)，等號(hào)成立，因此，的最大值為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量模的最值的計(jì)算，涉及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角恒等變換思想的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.13、【解析】

先利用裂項(xiàng)求和法將數(shù)列的通項(xiàng)化簡(jiǎn)，并求出，由此可得出的值.【詳解】，.，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查裂項(xiàng)法求和，要理解裂項(xiàng)求和法對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)的要求，并熟悉裂項(xiàng)法求和的基本步驟，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14、【解析】

先列舉出總的基本事件，在找出其中有2個(gè)成語(yǔ)有相同的字的基本事件個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得中獎(jiǎng)率.【詳解】解：先觀察成語(yǔ)中的相同的字，用字母來代替這些字，氣—A，風(fēng)—B，馬—C，信—D，河—E，意—F，用ABF，B，CF，CD，AE，DE分別表示成語(yǔ)意氣風(fēng)發(fā)、風(fēng)平浪靜、心猿意馬、信馬由韁、氣壯山河、信口開河，則從盒內(nèi)隨機(jī)抽取2張卡片有共15個(gè)基本事件，其中有相同字的有共6個(gè)基本事件，該游戲的中獎(jiǎng)率為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率問題，關(guān)鍵是要將符合條件的基本事件列出，是基礎(chǔ)題.15、【解析】

因?yàn)?且拋物線開口方向向上，所以，不等式的解集是.16、【解析】試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，，解得.所以，于是當(dāng)或時(shí)，取得最大值.考點(diǎn)：等比數(shù)列及其應(yīng)用三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）證明見解析【解析】

（1）計(jì)算，得到，再計(jì)算的通項(xiàng)公式得到答案.（2），利用裂項(xiàng)求和得到得到證明.【詳解】（1），，.，.是等差數(shù)列，所以，所以.當(dāng)時(shí)，，又，所以，當(dāng)時(shí)，，符合，所以的通項(xiàng)公式是.（2）.所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.18、（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.【解析】

（1）用定義證明得到答案.（2）推出（3）利用錯(cuò)位相減法和分組求和法得到，再證明不等式.【詳解】解：（1）由，得，即.∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）∵數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴.（3）.∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的證明，分組求和法，錯(cuò)位相減法，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.19、（1）；（2）11.【解析】

（1）直接利用已知條件求出AB邊上的中點(diǎn)，即可求直線的方程．（2）利用所求出的直線方程利用分割法求出三角形的面積，或者求出及直線AB的方程，可得點(diǎn)C到直線AB的距離，求出三角形的面積.【詳解】（1）∵線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，所以，由兩點(diǎn)式方程可得，AB邊上的中線CD所在直線的方程為，即．（2）法1：因?yàn)?，點(diǎn)A到直線CD的距離是，所以的面積是．法2：因?yàn)?，由兩點(diǎn)式得直線AB的方程為：，點(diǎn)C到直線AB的距離是，所以的面積是．【點(diǎn)睛】本題考查直線方程求法與點(diǎn)到直線距離公式應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）．【解析】

（1）由正弦定理化邊為角，再由同角間的三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)可求得；（2）利用余弦定理得出的等式，由基本不等式求得的最大值，可得面積最大值．【詳解】（1）∵，∴，又，∴，即，∴；（2）由（1），∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∴，，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查基本不等式求最值．本題主要是考查的公式較多，掌握所有公式才能正確解題．本題屬于中檔題．21、(1)(2)(3)或【解析】

（1）由題意，可知只要，即可使得方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)