浙江省A9協(xié)作體2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

浙江省A9協(xié)作體2022學(xué)年第二學(xué)期期中聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題

選擇題部分（共60分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=l+2i（i為虛數(shù)單位），則2的虛部為（）.

A.2B.-2C.2iD.-2i

2.平面向量a=(l,x),b=(-2,3)>若a與匕共線，那么X的值為（）

3232

A.——B.——C.一D.

2323

3.平面上四點(diǎn)。，A,B,C,滿足4c=2CB，那么下列關(guān)系成立的是()

2112

AOC=-OA+-OBB.OC=-OA+-OB

3333

211-2

C.OC=-OA——OBD.OC=-OA——OB

3333

4.若機(jī)，w是空間兩條不同的直線，a,￡是空間兩個(gè)不同的平面，那么下列命題成立的是（）

A.若a〃m,PIIm,那么a//尸B.若：m//a,wua,那么〃〃?〃

C.若mHn,nlla＞那么初/aD.若a//月，根ua,那么m//4

5.在；ABC中，角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c,A=60°，a=幣,c=2,那么》的大小是

（）

A.73B.4C.75D.3

6.己知平面向量：=（1,2）,人=（一3,4）,那么0在人上的投影向量的坐標(biāo)是（）

A.（-3,4）B.C,D.（后26）

271

7.如圖扇形AOB所在圓的圓心角大小為彳，P是扇形內(nèi)部（包括邊界）任意一點(diǎn)，若

OP=xOA+yOB那么2x+y的最大值是（）

P

B.3D.V7

A考

8.如圖從半徑為定值的圓形紙片。上，以。為圓心截取一個(gè)扇形40B卷成圓錐，若要使所得圓錐體積最

大，那么截取扇形的圓心角大小為（）

2小

C.6nD.兀

3

二、選擇題：本題共4題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，選錯(cuò)的得0分.

9.在一ABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)邊分別為“，b,c,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若4>B,一定有sinA>sinB

B.若"+/?2"2<0,那么一A5C一定是鈍角三角形

C.一定有反osC+ccos3=a成立

D.若acosA=Aos3,那么一定是等腰三角形

10.如圖正方體A8CD-ABCA,E、尸分別為CC1、AA,的中點(diǎn)，M是線段。E上的動(dòng)點(diǎn)（包括端

A.對(duì)于任意M點(diǎn)，與M與平面OEB平行

B.存在M點(diǎn)，使得4M與平面￡）尸3平行

C.存在M點(diǎn)，使得直線瓦M(jìn)與直線￡）廠平行

D.對(duì)于任意M點(diǎn)，直線4"與直線8F異面

11.已知a，A，c是平面上三個(gè)非零向量，下列說(shuō)法正確的是（）

A.一定存在實(shí)數(shù)x,y使得a=xb+yc成立

B.若a-b=ac那么一定有aJ?僅-c）

C.若那么,一。卜卜+萬(wàn)一2d

D.若a?僅?c）=（a-b）-c,那么“，b，"一定相互平行

12.圓錐內(nèi)半徑最大的球稱(chēng)為該圓錐的內(nèi)切球，若圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則稱(chēng)該球

為圓錐的外接球.如圖，圓錐P。的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐P。的底面直徑為2a,則（）

A.設(shè)內(nèi)切球的半徑為4,外接球的半徑為與，則與=2弓

B.設(shè)內(nèi)切球的表面積5,外接球的表面積為邑，則，=4§2

V.9

C.設(shè)圓錐的體積為匕，內(nèi)切球的體積為匕，則船=1

D.設(shè)S、T是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且ST=a,則平面尸ST截內(nèi)切球所得截面的面積為%-

15

非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本題共小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題卡的橫線上.

13.已知復(fù)數(shù)2=-那么忖=.

1-i

14.如圖等腰梯形A5C0,ABCD,Ab=l,AD=2,C0=3,那么該梯形直觀圖的面積是

15.平面上任何兩個(gè)不共線的向量都可以作為平面向量的一組基底，若作為基底的兩個(gè)向量相互垂直就稱(chēng)

該組基底是一組正交基底.施密特正交化法指出任何一組不共線的向量都可以轉(zhuǎn)化為一組正交基底，其方法

(1?h

是對(duì)于一組不共線的向量a，b，令c=b———a,那么c就是一個(gè)與a配對(duì)組成正交基底的向量.若

a

。=(1,2),人=(3,4),按照上述方法，可以得到的與a配對(duì)組成正交基底的向量是.

16.已知平面向量a，h>c，若忖=,一4=2,k一,=1,那么〃.c的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(1)己知1_"(i是虛數(shù)單位)是方程/+〃氏+〃=o(八〃eR)的一個(gè)復(fù)根,求實(shí)數(shù)加，〃的值；

(2)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：%2+%+1=0.

18.已知平面向量°,b>c滿足，忖=1，1|=2，c=ta+b(feR).

(1)若向量a，匕的夾角為三，且。Id，求。的值；

(2)若向最小值為由，求向量a，。的夾角大小.

19.如圖在一城市叉路口有一個(gè)三角形狀的口袋公園，已知公園一邊AB長(zhǎng)為18m,另一邊AC長(zhǎng)為

16m,/84C大小為60。，為方便人們通行，政府部門(mén)欲在AB，AC兩邊上分別找兩點(diǎn)O,E，修建

一條的電動(dòng)自行車(chē)道路。E，DE需要把公園分為面積相等的兩個(gè)部分，所建道路的寬度忽略不計(jì).

定

⑴若設(shè)AD=x,AE=y,求x,V滿足的關(guān)系式；

(2)如何選擇。，E可以使得所修道路最短？并求出最小值

20.如圖所求，四棱錐P—A3CZ)，底面A8CD為平行四邊形，F(xiàn)為P4的中點(diǎn)，E為PB中點(diǎn).

p

⑴求證：PC//平面BED；

PM

⑵已知M點(diǎn)在P。上滿足EC//平面BRW，求——的直

MD

21.在_ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊為“，b,c,已知cosC+cosAcosB=JIcosAsinB，。是邊

BC上的點(diǎn)，滿足CO=2D3，AD=2.

(1)求角A大??；

(2)求三角形面積S的最大值.

22.如圖一：球面上的任意兩個(gè)與球心不在同一條直線上的點(diǎn)和球心確定一個(gè)平面，該平面與球相交的圖

形稱(chēng)為球的大圓，任意兩點(diǎn)都可以用大圓上的劣弧進(jìn)行連接.過(guò)球面一點(diǎn)的兩個(gè)大圓弧，分別在弧所在的兩

個(gè)半圓內(nèi)作公共直徑的垂線，兩條垂線的夾角稱(chēng)為這兩個(gè)弧的夾角.如圖二：現(xiàn)給出球面上三個(gè)點(diǎn)，其任意

兩個(gè)不與球心共線，將它們兩兩用大圓上的劣弧連起來(lái)的封閉圖形稱(chēng)為球面三角形.兩點(diǎn)間的弧長(zhǎng)定義為球

面三角形的邊長(zhǎng)，兩個(gè)弧的夾角定義為球面三角形的角.現(xiàn)設(shè)圖二球面三角形ABC的三邊長(zhǎng)為“，b,

c,三個(gè)角大小為a,。，Y,球的半徑為R.

圖(一)圖(二)

⑴求證：a+h>c

(2)①求球面三角形ABC的面積S(用a,0,丫,R表示).

②證明：a+/3+y>n.

浙江省A9協(xié)作體2022學(xué)年第二學(xué)期期中聯(lián)考高一數(shù)

學(xué)試題

選擇題部分（共60分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=l+2i（i為虛數(shù)單位），則5的虛部為（）.

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】B

【解析】

【分析】由z=l+2i=N=l—2i,即可確定N的虛部

【詳解】z=l+2z=>z=l-2i,則彳的虛部為—2

故選：B

2.平面向量a=（l,x）,b=（—2,3）,若4與匕共線，那么》的值為（）

3232

A.----B.----C.-D.—

2323

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用向量共線的坐標(biāo)形式的充要條件求解.

3

【詳解】由題意，a=（l,x）,〃=（-2,3）共線，貝ijxx（-2）=1x3,解得x=—1

故選：A

3.平面上四點(diǎn)。，A,B,C,滿足AC=2C3,那么下列關(guān)系成立的是（）

A.OC=-OA+-OBB.OC=-OA+-OB

3333

..一7-1--1-2---

C.OC^-OA——OBD.OC^-OA——OB

3333

【答案】B

【解析】

［分析］根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)锳C=2C8,所以。C—Q4=2（QB—OC）,

即3OC=2O8+OA，所以。C=+

故選：B

4.若用，“是空間兩條不同的直線，a,￡是空間兩個(gè)不同的平面，那么下列命題成立

的是()

A.若。//〃？，pIIm,那么a//￡B.若m//a,〃ua,那么〃

C.若〃〃/〃，〃//a,那么/〃//aD.若。//￡,根ua,那么加//，

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)，線面平行的性質(zhì)和判定定理逐一判斷即可.

【詳解】當(dāng)￡//〃?，〃//根時(shí)，可以相交，故選項(xiàng)A不正確；

當(dāng)w//a,〃<=01時(shí)，團(tuán)，〃可以是異面直線，因此選項(xiàng)B不正確；

當(dāng)小〃〃，“//a時(shí)，存在機(jī)ua這一情況，所以選項(xiàng)C不正確；

根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知選項(xiàng)D正確，

故選：D

5.在中，角A，B,C所對(duì)的邊為。，b,c,A=60°，a=@，c=2,那么

力的大小是()

A.叢B.4C.y/5D.3

【答案】D

【解析】

【分析】運(yùn)用余弦定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)锳=60°,a=不，c=2,

所以有a1=h2+c2—2hccosA=>7=+4—2b=b=3,或b=-l舍去，

故選：D

6.已知平面向量:=(1,2),〃=(-3,4),

那么a在人上的投影向量的坐標(biāo)是()

A.(-3,4)B.(|,q]。,115)D-

(收2后)

【答案】C

【解析】

a'b

【分析】。在b上的投影向量為二匕，據(jù)此可得答案.

b

【詳解】與。方向相同的單位向量為：e=個(gè)b，則〃在。上的投影向量為

、\\

a-b,a-b

|?|cos（a,1,e=h=——

bMMw

故選：C

2兀

7.如圖扇形AOB所在圓的圓心角大小為尸是扇形內(nèi)部(包括邊界)任意一點(diǎn)，若

3

OP=xOA+yOB,那么2x+y的最大值是（)

A?孚

B.3C.迥D.近

3

【答案】C

【解析】

【分析】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

P(acos6?,tzsin6>)^0<a<r,O<0<,由OP=xQ4+yOB可得出2x+y關(guān)于。的

表達(dá)式，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得2x+y的最大值.

【詳解】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q4所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)扇形AQB的半徑為，則A（r,O）、B-fr

設(shè)點(diǎn)P（acos。,asin6）［0<?<r,0<0<—|,

(r]r上、

因?yàn)镺P=xOA+yO8=x(r,0)+y

—2，—2rxr--y,—r,

IJ乙乙)

yc2a

xr--r=acosO2x-y=—cos夕zi

2r

所以,,所以，〈

與yr=asin826a.a

y=-----sin，

3r

所以，2x+y=(2x-y)+2y=^cos，+sin9=2ysin(6+0)，

r3r3r

其中9為銳角，且tan°=三，

271271

因?yàn)椤?則+9

3

當(dāng)8+夕=1且。=一時(shí)，2x+y取得最大值季.

故選：C.

8.如圖從半徑為定值的圓形紙片。上，以。為圓心截取一個(gè)扇形AOB卷成圓錐，若要使

所得圓錐體積最大，那么截取扇形的圓心角大小為（）

D.兀

A?粵口.哼C缶

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)扇形Aos半徑為R,扇形的圓心角為e（o<e<2兀），設(shè)圓錐的底面半徑為

/，高為〃，求出廠、/?關(guān)于。的表達(dá)式，利用三元基本不等式可求得圓錐體積的最大值及其

對(duì)應(yīng)的。的值.

【詳解】設(shè)扇形AO8的半徑為R,扇形的圓心角為<9（0<6<2兀），則扇形的弧長(zhǎng)為

0R,

設(shè)圓錐的底面半徑為『，高為h,則2兀廠=6R,則r=—

2兀

當(dāng)且僅當(dāng)4Y—e2=2時(shí)，即當(dāng)。=也兀時(shí)、等號(hào)成立.

23

故選：A.

二、選擇題：本題共4題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，選錯(cuò)的得0分.

9.在一ABC中，內(nèi)角A，B,。所對(duì)邊分別為“，b,c,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若4>B,?—定有sinA>sinB

B.若/+從_C2<0,那么一定是鈍角三角形

C.一定有反osC+ccosB=a成立

D.若acosA=ZXXJSJB,那么-ABC一定是等腰三角形

【答案】ABC

【解析】

分析】對(duì)于A、B根據(jù)正、余弦定理對(duì)邊角進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，就可以判斷.對(duì)于C、D除了

根據(jù)正、余弦定理對(duì)邊角進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，還要結(jié)合兩角和差以及二倍角公式進(jìn)行驗(yàn)證.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：因?yàn)樵谌切沃?>B,所以“>〃，

根據(jù)正弦定理：—一=工=」不，所以sinA>sinB,所以A正確；

sinAsinBsinC

〃2+〃2_2

對(duì)于B項(xiàng)：因?yàn)?+〃一/<0,所以cosC=----------<0,90<C<180，

2ab

故一ABC是鈍角三角形，所以B正確；

對(duì)于C項(xiàng)：bcosC+ccosB=a,根據(jù)正弦定理sinBoosC+sinCcosB=sinA,

sinA=sin（B+C）,sinA=sin（180-A）=sinA,所以C正確；

對(duì)于D項(xiàng)：acosA=hcosBf即sinAcosA=sin3cos5,sin2A=sin2B,

兀

解得A=B或A+B=-,所以D錯(cuò)誤.

2

故選：ABC.

10.如圖正方體ABC。—4耳CD,E>/分別為Cq、A4的中點(diǎn)，M是線段上

的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），下列說(shuō)法正確的是（）

A.對(duì)于任意M點(diǎn)，片M與平面平行

B.存在M點(diǎn)，使得AM與平面。尸3平行

C.存在M點(diǎn)，使得直線與直線。尸平行

D.對(duì)于任意M點(diǎn)，直線A{M與直線BF異面

【答案】ACD

【解析】

【分析】取線段的中點(diǎn)G,連接AG、EG,證明出平面〃平面加"，利用面

面平行的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；取線段OQ的中點(diǎn)H,連接4〃、G”，證明出平面AG”〃

平面89E，利用面面平行的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；取點(diǎn)M與點(diǎn)E重合，可判斷C選項(xiàng)；利

用反證法可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取線段8g的中點(diǎn)G,連接AG、EG,如下圖所示：

在正方體ABC。一AAG。中，AA〃8片且4A=8用，

因?yàn)槭?、G分別為A4、8片的中點(diǎn)，所以，4/〃BG且

所以，四邊形A/BG為平行四邊形，所以，BF//AG，

同理可得〃E〃AG,故D\EHBF,

因?yàn)槠矫?，BFu平面BDF,所以，RE〃平面BDF,

同理可證B.EH平面BDF，

因?yàn)橛肊D、E=E,B】E、REu平面&。出,所以，平面BQ^E〃平面BDE,

因?yàn)榕cMu平面片RE,所以，鳥(niǎo)用〃平面BDF,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，取線段。，的中點(diǎn)“，連接4"、GH,

在正方體ABCD-AAGR中，M〃。。且A41=DD],

因?yàn)槭分別為A4、的中點(diǎn)，則A/〃?！扒?，

所以，四邊形4尸。〃為平行四邊形，所以，\HHDF,

平面BDE,DFu平面BDF，所以，A”〃平面BDF,

同理可證4G〃平面區(qū)"，

因?yàn)?"4G=4，A。、A"u平面AG",所以，平面AQ"〃平面BO尸，

對(duì)于任意過(guò)點(diǎn)A且在平面A,GH內(nèi)的直線I,貝IJ〃/平面BDF,

但4M后平面助開(kāi)，所以，4"與平面8DF不平行，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，連接CG、FG,

在正方體ABCD—AqCQi中，A4〃8瓦且A4,=84,

因?yàn)镻、G分別為人4、的中點(diǎn)，則AF7/BG且AF=3G,

所以，四邊形ABGE為平行四邊形，所以，F(xiàn)G//AB豆FG=AB,

因?yàn)锳8〃CO且AB=CD,所以，F(xiàn)GMCDRFG=CD,

所以，四邊形CDFG為平行四邊形，故。刊/CG,同理可證gE〃CG,則用E〃。尸，

故當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)，B.M//DF,c對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)使得直線AM與直線防共面，則4、B、F、M四點(diǎn)

共面，

即Me平面A//7,事實(shí)上，點(diǎn)平面同產(chǎn)尸，

假設(shè)不成立，故對(duì)任意的點(diǎn)直線A"與直線跖異面，D對(duì).

故選：ACD.

11.已知a，b，c是平面上三個(gè)非零向量，下列說(shuō)法正確的是（）

A.一定存在實(shí)數(shù)x,V使得a=xb+yc成立

B.若那么一定有僅一C)

C.若(a-c)l?伍-c),那么卜-彼卜卜+B-2d

D.若a?僅?c)=(a-b)-c,那么。，b，0一定相互平行

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】只有當(dāng)6，c不是共線向量時(shí)，一定存在實(shí)數(shù)x，，使得“=xb+yc成立，因此

選項(xiàng)A不正確；

由a.Z?=a.cna.小一a.<?=Ona?僅-c)=Ona_L(Z?-c),因此選項(xiàng)B正確；

由(a-c)_L(6-c)=>(a-c)-(b-c)=0=a-b-a.c-c-b+c-0,

_Z?|_+6_2cJ=(a—b)—[(〃一，')+(人-。)]一=一2(a,Z?—ci,c—c,Z?+c~)=0,

所以選項(xiàng)C正確；

當(dāng)=匕?，=()時(shí)，顯然。,伍,c)=(a2)?c成立，但是。，b，c不一定互相平行，

故選：BC

12.圓錐內(nèi)半徑最大的球稱(chēng)為該圓錐的內(nèi)切球，若圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球

面上，則稱(chēng)該球?yàn)閳A錐的外接球.如圖，圓錐P0的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐

P。的底面直徑為2a,則()

A.設(shè)內(nèi)切球的半徑為彳，外接球的半徑為外，則4=2乙

B.設(shè)內(nèi)切球的表面積5,外接球的表面積為邑，則H=4S2

V.9

C.設(shè)圓錐的體積為匕，內(nèi)切球的體積為匕，則才=1

D.設(shè)S、T是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且ST=a,則平面尸ST截內(nèi)切球所得截面的面積為

15

【答案】ACD

【解析】

【分析】作出圓錐的軸截面，依題意可得鉆為等邊三角形，設(shè)球心為G（即為,248的

重心），即可求出,一243的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，即可為圓錐的外接球、內(nèi)切球的半徑,

即可判斷A、B,由圓錐及球的體積公式判斷C,ST所對(duì)的圓心角為;（在圓。上），設(shè)ST

的中點(diǎn)為。，即可求出0。，不妨設(shè)。為。B上的點(diǎn)，連接PD，過(guò)點(diǎn)G作GE_LPO交PD

于點(diǎn)E，利用三角形相似求出GE,即可求出截面圓的半徑，從而判斷D.

【詳解】作出圓錐的軸截面如下：

因?yàn)閳A錐PO的內(nèi)切球和外接球的球心重合，所以aw為等邊三角形，

又PB=2a，所以O(shè)P=JPB2—0B?=島，

設(shè)球心為G（即為.R記的重心），所以PG=2po=2叵q,OG=-PO^—a，

即內(nèi)切球的半徑為A=0G=3a，外接球的半徑為弓=PG=2@a，所以4=24，

故A正確；

設(shè)內(nèi)切球表面積?，外接球的表面積為邑，則$2=4&,故B錯(cuò)誤;

設(shè)圓錐的體積為匕，貝11耳=，兀"*瓜=且兀/,

33

確；

設(shè)S、T是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且ST=。，則ST所對(duì)的圓心角為三（在圓。上），

設(shè)ST的中點(diǎn)為。，則。O=asinN=^a，不妨設(shè)。為08上的點(diǎn)，連接P。，則

32

PDS警

過(guò)點(diǎn)G作GE上PD交PD于點(diǎn)、E，則.PEGs.POD,所以三=生

ODPD

2#)

即等=3一，解得GE=3叵a，

,3VI5a15

——a-----

22

所以平面PST截內(nèi)切球截面圓的半徑r=-GE2

所以截面圓的面積為兀產(chǎn)=8匚，故D正確；

15

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是由題意得到圓錐的軸截面三角形為等邊三角形，從

而確定外接球、內(nèi)切球的半徑.

非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本題共小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題卡的橫線

上.

13.已知復(fù)數(shù)2=——那么|z|=.

1-i

【答案］也5

2

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,再計(jì)算其模.

2+3i(2+3i)(l+i)2+2i+3i+3i215.

【詳解】因?yàn)閦----------==——4—1

l-i(l-i)(l+i)222

故答案為：叵

2

14.如圖等腰梯形ABC。，ABCD,AB=\，AD=2,8=3,那么該梯形直觀圖

的面積是.

【答案】立

2

【解析】

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的性質(zhì)結(jié)合梯形面積公式即可求解.

【詳解】由題意可知等腰梯形ABC。的高

AE=dAD2-DE2=JAD2—(DC;AB)，

由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知：該梯形直觀圖中的高為」AEsin45=＞乂也乂旦旦,

2224

的長(zhǎng)度在直觀圖中與原圖保持一致，故直觀圖的面積為_(kāi)1(]+3)*如=必

2V742

故答案為：逅

15.平面上任何兩個(gè)不共線的向量都可以作為平面向量的一組基底，若作為基底的兩個(gè)向

量相互垂直就稱(chēng)該組基底是一組正交基底.施密特正交化法指出任何一組不共線的向量都可

a,b

以轉(zhuǎn)化為一組正交基底，其方法是對(duì)于一組不共線的向量a，b-令c=。-號(hào)a,那么

a

c就是一個(gè)與a配對(duì)組成正交基底的向量.若(1,2),人=(3,4),按照上述方法，可以

得到的與a配對(duì)組成正交基底的向量是.

4_2

【答案】

5，-5

【解析】

a.b

【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及向量運(yùn)算計(jì)算C=8—-彳。即可.

【詳解】因?yàn)?=(1,2),人=(3,4),所以〃m=lx3+2x4=ll；

=(3,4)-2(1,2)=(3,4)-(2,二)

根據(jù)題意，c=b

a333

就是一個(gè)與a配對(duì)組成正交基底的向量.

故答案為：仁,-5

16.已知平面向量a，b，c，若忖=,一可=2,|a-c|=l,那么"c的取值范圍是

【答案】-1,12

【解析】

【分析】令x=a-O，y=a-c,則卜|=2,忖=1,b=a-x，c=a-y,根據(jù)數(shù)量

積的運(yùn)算律得到"c=4+g［(x+y—a『-9,再求出k+y—4的取值范圍，即可得解.

［詳解］因?yàn)?。一N=2,卜一d=1,

令x=ci—b,y—a—c■,則卜卜2,卜卜1,

所以。=〃—%,c=a—yJ

所以〃?(?=(〃-(a=

+x-y-a-x-a-y

=4+；[(x+y_a)2_『

=4+北+…"心心陽(yáng)

=4+—^x+—91

又。<卜+丁一44卜|+忖+忖=5,所以04(*+)一<7]425,

所以4—244+LJ(x+y—a)?—9<4+-(25-9),即

22L_2

-g44+g[(x+y—Q)-9<12,

即-5,12.

故答案為：f2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

17.（1）已知11-（i是虛數(shù)單位）是方程￡+〃優(yōu)+〃=o（加,〃eR）一個(gè)復(fù)根,求實(shí)數(shù)

m,n的值;

（2）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：f+x+i=o.

【答案】Wm=-2,n=3

-1-V3i-1+V3i

⑵西

--------，x7=--------

2~2

【解析】

【分析】（1）將1-J5i代入方程,再根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程求解即可;

（2）利用配方法求解即可.

【詳解】（D根據(jù)題意得：（1一—&i）+〃=0,

所以(-1+m+〃)一(2夜+=0,

-l+m+/?=0

則＜

2V2+\[2m=0

解得:m=-2,n-3.

(2)因?yàn)?x2+x+；1[+1=0,

4

□ri—l—y/3i—1+V3i

即菁=-2----“2=-2—

18.已知平面向量a，b，c滿足，忖=1，忖=2,c=ta+bG

TT

（1）若向量Q,人的夾角為且〃1c，求r的值;

(2)若口的最小值為求向量°,。的夾角大小.

【答案】⑴T

無(wú)一2無(wú)

(2)一或一

33

【解析】

【分析】(1)根據(jù)b/c得6-c=0,展開(kāi)求解即可.

(2)對(duì)。=必+8兩邊平方，求出，『最小值即可求出向量a，匕的夾角大小.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)??_Zc,所以。,c=O.(ta+")=O,即〃?/?+//=0，所以4聞。卜051+忖=0,

代入忖=1,仰=2得.+4=0,故r=~4.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)Q，方夾角為由C=/Q+b得

\c\=?。+〃)2=t2a+2ta-b+b=t2+4cos^-f+4=(r+2cos^)2+4-4cos20,

故當(dāng)，=-2cos6時(shí)，卜|有最小值4一4cos加，

由題意4一4以)§2。=3，解得cos6=±!，

2

又。€[0,可，所以。=三或^.

19.如圖在一城市叉路口有一個(gè)三角形狀的口袋公園，已知公園一邊AB長(zhǎng)為18m,另一

邊AC長(zhǎng)為16m,NB4c大小為60。，為方便人們通行，政府部門(mén)欲在AB,AC兩邊

上分別找兩點(diǎn)。，E,修建一條的電動(dòng)自行車(chē)道路。E,OE需要把公園分為面積相等的

兩個(gè)部分，所建道路的寬度忽略不計(jì).

⑴若設(shè)4)=x,AE=y,求x,＞滿足的關(guān)系式；

(2)如何選擇。，E可以使得所修道路最短？并求出最小值.

【答案】(1)孫=144,xe[0,12],ye[0,12]

⑵取AD=A￡=12m時(shí)，OE最短為12m

【解析】

【分析】(1)先求出SA%，然后用％J7及三角形的面積公式表示出S八口￡，然后列方程求解;

(2)列出余弦定理方程，結(jié)合(1)中的結(jié)論與基本不等式求解.

【小問(wèn)1詳解】

可知襄從此=；xl6xl8xsin60°,

SAADE=1-^sin60°,根據(jù)S詆=2S叱，所以：孫=144,XG[0,12],ye[0,12]

【小問(wèn)2詳解】

可知：DE2=%2+/-2孫cos60°=/+丁_]4422個(gè)—144=144,

所以取AD=A￡=12m時(shí)，OE最短為12m.

20.如圖所求，四棱錐P-ABCD,底面ABC。為平行四邊形，尸為的中點(diǎn)，E為

PB中點(diǎn).

⑵已知“點(diǎn)在P￡＞上滿足EC//平面8fM,求也的值.

MD

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)2

【解析】

【分析】⑴連結(jié)AC交8。于0,連結(jié)OF,通過(guò)證明PC//0凡可證PC//平面BED;

(2)如圖連結(jié)交延長(zhǎng)線于G,連結(jié)3G交8于N,連結(jié)EE，F(xiàn)N,PG,EN.

由EC//平面5FM，可得N為C。中點(diǎn)，后通過(guò)證明EN//FO//BG,可得FMD.GMP,

繼而可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

證明：連結(jié)AC交B。于0,連結(jié)OF,

因在△24C中，E為PA中點(diǎn),。為AC中點(diǎn)，則PC//尸。.

又PCU平面BFD，R9u平面BED，故PC//平面BED；

【小問(wèn)2詳解】

如圖連結(jié)交A￡＞延長(zhǎng)線于G,連結(jié)8G交。。于N,

連結(jié)EE,FN,PG,EN.

因石尸//CN,則E,￡N,C四點(diǎn)共面.

又EC//平面BFM,平面BEMc平面E7WC=F7V,

貝IJEC//FN,四邊形EFNC為平行四邊形，可得EF=CN=^CDnN為CD中點(diǎn).

2

則.BCN三,GDN,N為BG中點(diǎn).

即EN為