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文檔簡介

2024年合肥市高三第二次教學質(zhì)量檢測

數(shù)學試卷

(考試時間:120分鐘滿分:150分)

注意事項:

1.答卷前,務必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡和試卷上.

2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動,務必擦凈后再選涂其它答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項

是符合題目要求的.

1,設全集U=R,集合A={小2_2>0},B={gl},則()

A.1x|1<%<2}B.1x|l<x<2}C.{乂x>2}D.1x|l<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式得到A,進而根據(jù)補集和交集求出答案.

【詳解】A=X?—X—2>0}={小>2或X<—1},

^A=1x|-l<x<2},故(eA)c_B={X—lW2}c{X%?l}=1x|l<x<21

故選:A

7—i*I

2.已知----=2+i,則|z|二()

z

A.JB.—C.1D.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】由復數(shù)的運算和模長計算求出即可.

z—iii

【詳解】——=1——=2+inz=-------,

zz-1-i

3.設名廠是兩個平面,a/是兩條直線,則&〃4的一個充分條件是()

A.a//a,b///3,a//bB.aLa,bL/3,aLb

C.aLa,bA-/3,a//bD.a〃與6相交

【答案】C

【解析】

【分析】通過舉反例可判定ABD,利用線面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定C.

【詳解】選項A:當滿足a〃l力〃1,a〃b時,名尸可能相交,如圖:用四邊形A6CD代表平面

用四邊形AEED代表平面尸,故A錯誤;

選項B:當滿足人時,戊,尸可能相交,如圖:用四邊形ABCD代表平面

a,用四邊形AEED代表平面夕,故B錯誤;

選項C:因為a_La,a〃bnZ?_La,又所以a〃1,

〃/?是a〃1的一個充分條件,故C正確;

當滿足?!?力〃1,a與b相交時,%尸可能相交,如圖:用四邊形A6CD代表平面

a,用四邊形AEED代表平面尸,故D錯誤;

故選:c.

4.甲、乙兩名乒乓球運動員進行一場比賽,采用7局4勝制(先勝4局者勝,比賽結束).已知每局比賽

甲獲勝的概率均為則甲以4比2獲勝的概率為()

13515

A.—B.—C.—D.—

64323264

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意只需前5場甲贏3場,再利用獨立事件的乘法公式求解.

【詳解】根據(jù)題意,甲運動員前5場內(nèi)需要贏3場,第6場甲勝,

則甲以4比2獲勝的概率為C;-(1)3-(1)2=

故選:C.

5.常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況,這個時間被稱做半衰期,記為T(單位:

天).鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì),其半衰期分別為入《.開始記錄時,這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等,

512天后測量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的;’則工,丁2滿足的關系式為()

C512512c512512

B.2+十

A-2+丁可F

一512?512512?512

C.-2+log^=log^D.2+log

222T=10g2^T

【答案】B

【解析】

【分析】設開始記錄時,甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1,可得512天后甲,乙的質(zhì)量,根據(jù)題意列出等式即

可得答案.

【詳解】設開始記錄時,甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1,

512512

則512天后,甲的質(zhì)量為:d)丁,乙的質(zhì)量為:(3百,

22

當x23時,f(x)=4-x,令4—x=—1,解得x=5,

又因為—所以1—形<1—。<5,解得一4<。<后.

故選:D.

7.記的內(nèi)角A,5c的對邊分別為a,4c,已知c=2,'+—+—1—=1.則JWC面

tanAtaaBtanAtaaB

積的最大值為()

A.1+6B.1+V3C.2A/2D.273

【答案】A

【解析】

【分析】由題意及正切與正弦與余弦的關系,兩角和的正弦公式及余弦公式可得角C的大小,再由余弦定

理及基本不等式可得ab的最大值,進而求出該三角形的面積的最大值.

【詳解】因為一-—+—-—+---------=1,可得tanA+tanB+lutanAtanB,

tanAtanBtanAtanB

sinAsinB,sinAsinB

即nn----+-----+1=---------,

cosAcosBcosAcosB

整理可得sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=sinAsinB,

即sin(A+B)=—cos(A+B),

在三角形中sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,

即sinC=cosC,Ce(O,兀),可得C=[;

由余弦定理可得c?=b~+a2-2abcos—>lab-\[2ab,當且僅當a=Z?時取等號,

4

而c=2,

所以aZ?V----廣—2(2+A/2),

2-V2

所以sABC=gabsinC<gx2(2+夜)X等=1+收?

即該三角形的面積的最大值為1+0.

故選:A.

22

8.已知雙曲線c:--提=i(a>o,6>o)的左、右焦點分別為耳心,點尸在雙曲線左支上,線段尸6交y

ab

軸于點E,B.PF2=3PE.設。為坐標原點,點G滿足:PO=3GO,GF2PFl=0,則雙曲線C的離心

率為()

A.B.1+72C.1+75D.2+0

【答案】D

【解析】

【分析】設P(x0,%)(Xo<O),根據(jù)題設條件得到%=-|,4=于,再利用P(x。,為)橢圓上,得

至Ue,—12a2c2+4/=。,即可求出結果.

【詳解】如圖,設尸(%,%)(/<0),罵(―c,0),弱(c,0),則直線PR的方程為y=-^(x—c),

xo~c

令x=0,得到>=二也,所以E(O,Wd),

Xc

Xo-C0~

尸乙=(c-%,一%),「£=(一/,一-%),因為=3PE,

一x0-c-

所以c—x0=-3xo,得到/=—1,故尸(—2%),

又P0=3G0,所以G(-,^),得到Gg=(一,一?),「片=(一"1?,一%),

o3632

又GE?/¥;=(),所以—臺+々=0,得到>;=?①,

cU

又因為P(-不為)在雙曲線上,所以4_芯_=[②,又〃=°2—/③,

2a2b2-

由①②③得到o4—12a2c2+4/=0,所以e4—12e2+4=0,

解得e?=6+4A歷或e?=6—4A歷,又e>l,所以e?=6+40=(2+0了,得到e=2+a,

故選:D.

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題

目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.已知圓。:必+V=1,圓+(丁一1)2=4,。eR,則()

A.兩圓的圓心距|0C|的最小值為1

B.若圓。與圓C相切,則:二土2丁^

C.若圓。與圓。恰有兩條公切線,則-2&<a<2后

D.若圓。與圓C相交,則公共弦長的最大值為2

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)兩點的距離公式,算出兩圓的圓心距221,從而判斷出A項的正誤;根據(jù)兩圓相切、相交

的性質(zhì),列式算出。的取值范圍,判斷出B,C兩項的正誤;當圓。的圓心在兩圓的公共弦上時,公共弦長

有最大值,從而判斷出D項的正誤.

【詳解】根據(jù)題意,可得圓。:必+;/=1的圓心為。(0,0),半徑廠=1,

圓C:(x—。P+⑷―1)2=4的圓心為。(?!唬?,半徑R=2.

對于A,因為兩圓的圓心距d=+1,所以A項正確;

對于B,兩圓內(nèi)切時,圓心距d"OC|=R-r=l,即=解得a=0.

兩圓外切時,圓心距d=|OC|=R+r=3,即疝2'=3,解得a=±2夜.

綜上所述,若兩圓相切,則。=0或。=±20',故B項不正確;

對于C,若圓。與圓C恰有兩條公切線,則兩圓相交,d=\OC\^(R-r,R+r),

即1片+1€(1,3),可得1<5+1<3,解得一20<。<2&且。/0,故C項不正確;

對于D,若圓。與圓C相交,則當圓+的圓心。在公共弦上時,公共弦長等于2r=2,達到

最大值,

因此,兩圓相交時,公共弦長的最大值為2,故D項正確.

故選:AD.

10.己知等比數(shù)列{4}的公比為4,前〃項和為S“,貝U()

A.S"+i='+處

B.對任意"eN,S",S2n-Sn,S3"-S2n成等比數(shù)列

C.對任意“eN*,都存在4,使得2s2”3s3“成等差數(shù)列

D.若囚<0,則數(shù)列{S2“_J遞增的充要條件是-l<q<0

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A:分q=l,4W1兩種情況計算可判斷A;對于B:q=-1可說明不成立判斷B;,分

q=l,<7*1兩種情況計算可判斷C;根據(jù)S2n+l-=q(l+q)q2J,若{S2,-}是遞增數(shù)列,可求《判

斷D.

【詳解】對于A:當q=l時,+Sl+qSn=a1+na1=(n+1)^,故成立,

q(l_q"+i)

當qw1時,S"+]Sl+qSn=q+qx"i,4)=叫4_);所以s/[成

i—q1-q1-q

立,故A正確;

對于B:當q=—1時,S2=0,所以S..S?”—S,,S3,—S?"不成等比數(shù)列,故B錯誤;

對于C:當4=1時,S"=”,2s2.=4”,3s3"=9〃%,故S”,2s2”,3s3,不成等差數(shù)列,

當qwl時,若存在《,使S”,2s2",3s3〃成等差數(shù)列,

貝!IZXZSR=S”+3M”,則4x_——=—————+3x———■—,

1-q1-q1-q

整理得4(1+4")=1+3(1+/〃+/),所以3d"—q"=0,所以/=;,

所以對任意“eN*,都存在任使得S”,2s2”,3s3“成等差數(shù)列,故C正確;

對于D:邑―一邑“-="+%+1=%(i+qW"T,若是遞增數(shù)列,

則可得q(l+q)q2"T>0,因為Q<0,所以(l+q)/"T<0,可解得—l<q<0,

所以若。1<0,則數(shù)列{S2,-}遞增的充要條件是-l<q<0,故D正確.

故選:ACD.

11.已知函數(shù)/(x)=sin|x+2卜sin%—sin/,則()

jr

A.函數(shù)/(%)在-,7l上單調(diào)遞減

B.函數(shù)y=+1■為奇函數(shù)

C.當xe—時,函數(shù)y=4/(%)+1恰有兩個零點

20242027

D.設數(shù)列{4}是首項為:,公差為二的等差數(shù)列,則Z=/(4)=--二

66,=12

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用三角恒等變換化簡/(力,再利用正弦函數(shù)單調(diào)性奇偶性判斷ABC,利用裂項相消及累加求

和判斷D.

r年的1目如-7兀?/兀,兀)卡)叵、1歷46+42

【詳解】易知sin——=sin—+—=------------1----------------=---------------------,

12[3422224

7兀A/6-A/2

同理sin』-=cos一=-----

12124

..71

-sin%-sm—

6

6-2.11sinx+無£

--------sinxH—cosx—

222I122

7t/7t137t

對A,xe-,7i,x+--G—,/(x)先減后增,故A錯誤;

1迷一后sinx為奇函數(shù),故B正確;

對B,y=x+—|+-=

(12J22

71717兀7113K,_7171

對C,xe2,-2t—X~\-------G石-,則sin/在單調(diào)遞增,

121212?2

7113兀單調(diào)遞減,即〃力在[w71)(71711

在2,~17,一不單調(diào)遞增,在一不,不單調(diào)遞減,

J1.乙2J\JL乙乙J

兀)V6-V2.兀1V6-V2A/6-V21V31

f——=--------sin------=----------------------=-----<——,

\2)412244244

故函數(shù)y=4/(%)+1恰有兩個零點,故C正確;

rI?4.幾貝U/(x)=g(x)—;,

對D,易知二:兀令g(x)=sinx+--sinx,

6

.兀.兀

g(q)=sm---sin—,

36

.兀.兀

g(“2)=sm---sin—,

23

.(2024兀兀、.(2023兀兀)

S(。2024)二sm------+--sin-------+—,

I66)I66/

H/\.(2024兀兀).7t.(兀)1

則nl工門(a;)=sin|-------1——sin——sin3377cH——

2024sv(66J6I2)2

<=i<=ii2027

故E=/(a,)=Eg(a,)-2024x-=-^—,故D正確.

2024202422

故選:BCD.

【點睛】關鍵點點睛:本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)列求和應用,關鍵是利用利用裂項相消及累加求和

判斷D.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.

r1丫

12.在卜一W的展開式中,/的系數(shù)為

【答案】15

【解析】

【分析】利用--j=的通項公式,+]=2(0<r<6,reN),即可求出結果.

IyxJr+16

【詳解】因為1X—十]

的展開式的通項公為Tr+l=C"6f(—;):=(_iyc"6-E(o<r<6,reN),

由6—]r=3,得到廠=2,所以V的系數(shù)為(―iyc;=15,

故答案為:15.

13.拋物線C:V=4x的焦點為/,準線為/,A為C上一點,以點尸為圓心,以|A同為半徑的圓與/交于

點、B,D,與x軸交于點M,N,若AB=K0,則,“卜.

【答案】473

【解析】

【分析】首先得到拋物線焦點坐標與準線方程,設準線與x軸交于點石,根據(jù)圓的性質(zhì)及拋物線的定義

可得△ABE為等邊三角形,即可求出忸同,再在A47的中利用余弦定理計算可得.

【詳解】拋物線C:V=4》的焦點為b(1,0),準線/:x=—1,設準線與x軸交于點E,貝"£(—1,0),

依題意3、。均在y軸的左側,又AB=FM,所以用也在y軸的左側且B點在x軸上方,

又AD為圓產(chǎn)的直徑,所以NABO=—,即

2

由拋物線的定義可知|人耳=|人耳,又忸典=|入同,

7171

所以為等邊三角形,所以NB4B=NAE5=—,則N3M0=NAFN=—,

33

所以山閭二一因一二4,

11cosZBFM

27r

所以忸耳=|AF|=|MF|=4,ZAW=y,

在AAFM中|=JAF|2+|MF|2-2\AF\\MF\COSZAFM

=(42+42-2X4X4X^-1^=4相.

故答案為:473.

14.已知實數(shù)/y,Z,滿足y+z-2=0,則

yjx2+y2+z2+^/(x-2)2+y2+z2+-^(x-1)2+y2+(z-2)2+^/(x-1)2+(y-2)2+z2的最小值為

【答案】2拒+2叵

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系,將所求轉化為距離和的最小值,利用幾何關系求得最值.

【詳解】如圖,設正方體的邊長為2,建立如圖所示的空間直角坐標系,

設P(x,y,z)為空間任意一點,因為y+z—2=0,則P在平面430。所在的平面內(nèi)運動,

JV+y+z?+4―2)2+/+Z2表示p與點4(0,0,0)和點4(2,0,0)的距離之和,

因為A關于平面ABC^的對稱點為D,故/弭+尸42DB1=2G,

當且僅當尸中點即P為正方體中心時等號成立;

_1尸+丁+(z-2)-+J(x-1)-+(y_2)~+w

表示P與點M(1,0,2)和點N。,2,0)的距離之和,則PM+PN>MN=141,

當且僅當P在MV所在直線上時等號成立,

故y]x2+y2+z2+^(x-2)2+y2+z2+^/(x-1)2+y2+(z-2)2+^/(x-1)2+(y-2)2+z2

的最小值為2百+20,當且僅當尸為正方體中心時等號成立

故答案為:2也+2母

【點睛】關鍵點點睛:本題考查空間中距離最值問題,關鍵是利用空間坐標系將所求轉化為距離和,并

注意等號成立條件.

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖,在四棱錐F—ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,NBA。=60°,M是側棱PC的中點,

側面QAD為正三角形,側面底面ABCD.

p

(1)求三棱錐M—ABC的體積;

(2)求40與平面尸所成角的正弦值.

【答案】(1)|

【解析】

【分析】(1)作出輔助線,得到線線垂直,進而得到線面垂直,由中位線得到/到平面ABCD的距離為

也,進而由錐體體積公式求出答案;

2

(2)證明出建立空間直角坐標系,求出平面的法向量,進而由法向量的夾角余弦值的絕對值

求出線面角的正弦值.

【小問1詳解】

如圖所示,取A。的中點。,連接P0.

因為Bl。是正三角形,所以POLAD.

又因為平面上40,底面ABCD,POu平面。A。,平面平面ABCD=AD,

所以平面A6CD,且20=6.

又因為/是PC的中點,M到平面ABCD的距離為也,

2

5AABC=1x2x2xsiny=^/3,

所以三棱錐〃—ABC的體積為且=4

322

【小問2詳解】

(2)證明見解析.

【解析】

3

【分析】(1)由題意得6=石,將點(1,萬)代入橢圓的方程可求得小的值,進而可得橢圓的方程;

(2)設/:x=9+l,尸(%,/),。(%,%),聯(lián)立直線/和橢圓的方程,可得%+方=—^^,

%%=——提一,直線P4的方程為y=—(X+2),令x=4,得"(4,同理N(4,‘力。),

3?2+4為+2拓+2%+2

由斜率公式計算即可.

【小問1詳解】

221

因為26=26,所以b=g,再將點11,|代入Ff+=1,

a1

22

解得/=4,故橢圓C的方程為土+二=1;

43

【小問2詳解】

由題意可設/:X=)+1,。(%,%),。(%2,%),

x=ty+l

由<22可得(3/+4b2+6—9=0,

x+丁-i

[--4-----1----3---——1

6t9

易知A>0恒成立,所以%+%=-3產(chǎn)+4'3V2--3入4

又因為4(—2,0),

所以直線己4的方程為了=』7(x+2),令》=4,則>=」、,故”4,

國+2再+2I

同理

、x2+2?

從而=石+2=6yl=6%

'—不?一西而'2-3(例+3)

36

4yM3產(chǎn)+4

故匕匕=1----------------------------7=-1為定值.

9/18/八

-9(電+3)(仇+3)t~y1y2+3t(y1+y2)+9

3『+43r+4

17.樹人中學高三(1)班某次數(shù)學質(zhì)量檢測(滿分150分)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:

性參加考試人平均成標準

別數(shù)績差

男3010016

女209019

在按比例分配分層隨機抽樣中,已知總體劃分為2層,把第一層樣本記為石,馬,退,?,%,其平均數(shù)記為

X,方差記為S:;把第二層樣本記為%,%,為,?,%,其平均數(shù)記為7,方差記為S;;把總樣本數(shù)據(jù)的

平均數(shù)記為方差記為

(2)求該班參加考試學生成績的平均數(shù)和標準差(精確到1);

(3)假設全年級學生的考試成績服從正態(tài)分布N(〃,b2),以該班參加考試學生成績的平均數(shù)和標準差

分別作為〃和b的估計值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例將考試成績從高分到低分依次劃分為

AB,。,。四個等級,試確定各等級的分數(shù)線(精確到1).

附:cr<X<//+cr)?0.68,7302?17,7322?18,7352?19.

【答案】(1)證明見解析;

(2)平均數(shù)為96分,標準差為18分;

(3)將X2114定為A等級,96<X<H4定為B等級,78<X<96定為C等級,X<78定為D等

級.

【解析】

【分析】(1)利用平均數(shù)及方差公式即可求解;

(2)利用平均數(shù)及方差公式,結合標準差公式即可求解;

(3)根據(jù)(2)的結論及正態(tài)分布的特點即可求解.

【小問1詳解】

=--------%)2+(x-z)2+2(%,.-%)(%-z)+Z(y,-J)2+(J-2)2+2(X--y)(j-z)>

機+〃〔i=lL」,=1L」

/n

Z[2(K-x)(x-z)^|=2(x-z)y^(x7--x)=2(元一N)(/+x2+x3++xn-nx)=0,

f=li=\

同理£[2(%一歹)(歹一列=0.

i=l

1

所以§?2=——+機區(qū)+(歹一切[}

m+n

【小問2詳解】

將該班參加考試學生成績的平均數(shù)記為』,方差記為$2,

_1

貝^=^(30x100+20x90)=96,

2

所以d=[{30[256+(100—96產(chǎn)]+20[361+(90—96)]}=322

又所以5引8.

即該班參加考試學生成績的平均數(shù)為96分,標準差約為18分.

【小問3詳解】

由⑵知〃=96,。=18,所以全年級學生的考試成績X服從正態(tài)分布必96,W),

所以P(96-18<X<96+18)?0.68,P[X>96)=0.5.

P(78<X<96)=P(96<X<114)-0.34,尸(X>114)=P(X<78)?0.16.

故可將X2H4定為A等級,96<X<114定為B等級,78<X<96定為C等級,X<78定為D等

級.

18.已知曲線C:/(x)=er-xel在點A(L/(1))處的切線為I.

(1)求直線/的方程;

(2)證明:除點A外,曲線C在直線/的下方;

(3)設,求證:x+x<2t---l.

''ei2

【答案】(1)y=-ex+e;

(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)求導,得到/(l)=o,/'(l)=—e,利用導數(shù)的幾何意義寫出切線方程;

(2)令g(x)=-ex+e-e'+xe',二次求導得到函數(shù)單調(diào)性,結合特殊點函數(shù)值,得到所以

g(x)>g(l)=O,當且僅當x=l等號成立,得到證明;

(3)求導得到/(x)的單調(diào)性,結合函數(shù)圖象得到。</<1,不妨令占<0,0<々<1,結合曲線C在(1,0)

點的切線方程為0(x)=—ex+e,得到%<退=」+1,轉化為證明石<2/—2,又/=e』—邛*,只要

e

證再<29—2再/'—2,4F(x)=2ev-2xex-%-2,x<0,求導得到函數(shù)單調(diào)性,結合特殊點函數(shù)值

得到答案.

【小問1詳解】

因為/(x)=e*-xex,

所以/⑴=0J'(x)=—*⑴=—e,

所以直線/的方程為:y=-e(x-l),即>=—ex+e

小問2詳解】

令g(%)=-ex+e-e*+xex,則g'(x)=-e-eA+eA+xex=-e+xex,

令/z(x)=g,(x),則〃(x)=(%+l)e",

由〃(x)>0,解得1>—1,由“(x)<0,解得x<—1,

所以h(x)在—1)上單調(diào)遞減,在(—1,+“)上單調(diào)遞增,

當x-—8時,-—e,/z⑴=0,

所以g(x)在1)上單調(diào)遞減,在(1,+。)上單調(diào)遞增,

所以g(x)2g(l)=0,當且僅當X=1等號成立,

所以除切點(1,0)之外,曲線C在直線/的下方.

【小問3詳解】

由/'(%)=一>。,解得x<0,/'(%)=—xe*<0,解得無>。,

所以/⑺在(-8,0)上單調(diào)遞增,在(0,+“)上單調(diào)遞減,

/⑴1mx=/(O)=lJ⑴=0,

當Xf-8時,/(%

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