安徽省合肥市2024屆高三年級下冊二模數(shù)學(xué)含解析

2024年合肥市高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷

(考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡和試卷上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動(dòng)，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,設(shè)全集U=R,集合A={小2_2>0},B={gl},則()

A.1x|1<%<2}B.1x|l<x<2}C.{乂x>2}D.1x|l<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式得到A,進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)集和交集求出答案.

【詳解】A=X?—X—2>0}={小>2或X<—1},

^A=1x|-l<x<2},故(eA)c_B={X—lW2}c{X%?l}=1x|l<x<21

故選：A

7—i*I

2.已知----=2+i,則|z|二()

z

A.JB.—C.1D.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模長計(jì)算求出即可.

z—iii

【詳解】——=1——=2+inz=-------,

zz-1-i

3.設(shè)名廠是兩個(gè)平面，a/是兩條直線，則&〃4的一個(gè)充分條件是（）

A.a//a,b///3,a//bB.aLa,bL/3,aLb

C.aLa,bA-/3,a//bD.a〃與6相交

【答案】C

【解析】

【分析】通過舉反例可判定ABD,利用線面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定C.

【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)滿足a〃l力〃1,a〃b時(shí)，名尸可能相交，如圖：用四邊形A6CD代表平面

用四邊形AEED代表平面尸，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：當(dāng)滿足人時(shí)，戊,尸可能相交，如圖：用四邊形ABCD代表平面

a,用四邊形AEED代表平面夕，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：因?yàn)閍_La,a〃bnZ?_La,又所以a〃1，

〃/?是a〃1的一個(gè)充分條件，故C正確；

當(dāng)滿足?！?力〃1,a與b相交時(shí)，％尸可能相交，如圖：用四邊形A6CD代表平面

a,用四邊形AEED代表平面尸，故D錯(cuò)誤;

故選：c.

4.甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一場比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束）.已知每局比賽

甲獲勝的概率均為則甲以4比2獲勝的概率為（）

13515

A.—B.—C.—D.—

64323264

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意只需前5場甲贏3場，再利用獨(dú)立事件的乘法公式求解.

【詳解】根據(jù)題意，甲運(yùn)動(dòng)員前5場內(nèi)需要贏3場，第6場甲勝，

則甲以4比2獲勝的概率為C；-（1）3-（1）2=

故選：C.

5.常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來描述其衰減情況，這個(gè)時(shí)間被稱做半衰期，記為T（單位:

天）.鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為入《.開始記錄時(shí)，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等,

512天后測量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的;’則工,丁2滿足的關(guān)系式為（）

C512512c512512

B.2+十

A-2+丁可F

一512?512512?512

C.-2+log^=log^D.2+log

222T=10g2^T

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)開始記錄時(shí)，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1,可得512天后甲，乙的質(zhì)量，根據(jù)題意列出等式即

可得答案.

【詳解】設(shè)開始記錄時(shí)，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1,

512512

則512天后，甲的質(zhì)量為：d）丁，乙的質(zhì)量為：（3百，

22

當(dāng)x23時(shí)，f(x)=4-x,令4—x=—1,解得x=5,

又因?yàn)椤?—形＜1—。＜5,解得一4＜。＜后.

故選:D.

7.記的內(nèi)角A,5c的對邊分別為a,4c,已知c=2,'+—+—1—=1.則JWC面

tanAtaaBtanAtaaB

積的最大值為()

A.1+6B.1+V3C.2A/2D.273

【答案】A

【解析】

【分析】由題意及正切與正弦與余弦的關(guān)系，兩角和的正弦公式及余弦公式可得角C的大小，再由余弦定

理及基本不等式可得ab的最大值，進(jìn)而求出該三角形的面積的最大值.

【詳解】因?yàn)橐?—+—-—+---------=1,可得tanA+tanB+lutanAtanB,

tanAtanBtanAtanB

sinAsinB,sinAsinB

即nn----+-----+1=---------,

cosAcosBcosAcosB

整理可得sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=sinAsinB,

即sin(A+B)=—cos(A+B),

在三角形中sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,

即sinC=cosC,Ce(O,兀)，可得C=[；

由余弦定理可得c?=b~+a2-2abcos—>lab-\[2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時(shí)取等號，

4

而c=2,

所以aZ?V----廣—2(2+A/2),

2-V2

所以sABC=gabsinC<gx2(2+夜)X等=1+收?

即該三角形的面積的最大值為1+0.

故選：A.

22

8.已知雙曲線c：--提=i(a＞o,6＞o)的左、右焦點(diǎn)分別為耳心，點(diǎn)尸在雙曲線左支上，線段尸6交y

ab

軸于點(diǎn)E,B.PF2=3PE.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)G滿足：PO=3GO,GF2PFl=0,則雙曲線C的離心

率為()

A.B.1+72C.1+75D.2+0

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)P(x0,%)(Xo<O)，根據(jù)題設(shè)條件得到％=-|,4=于，再利用P(x。，為)橢圓上，得

至Ue,—12a2c2+4/=。，即可求出結(jié)果.

【詳解】如圖，設(shè)尸(%,%)(/<0),罵(―c,0),弱(c,0),則直線PR的方程為y=-^(x—c),

xo~c

令x=0,得到>=二也，所以E(O,Wd),

Xc

Xo-C0~

尸乙=(c-%,一%),「￡=(一/,一-%),因?yàn)?3PE,

一x0-c-

所以c—x0=-3xo,得到/=—1,故尸(—2%),

又P0=3G0，所以G(-，^),得到Gg=(一，一?),「片=(一"1?，一%),

o3632

又GE?/￥；=(),所以—臺+々=0,得到>；=?①，

cU

又因?yàn)镻(-不為)在雙曲線上，所以4_芯_=[②，又〃=°2—/③，

2a2b2-

由①②③得到o4—12a2c2+4/=0，所以e4—12e2+4=0，

解得e?=6+4A歷或e?=6—4A歷，又e>l,所以e?=6+40=(2+0了，得到e=2+a，

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知圓。：必+V=1,圓+（丁一1）2=4,。eR,則（）

A.兩圓的圓心距|0C|的最小值為1

B.若圓。與圓C相切，則：二土2丁^

C.若圓。與圓。恰有兩條公切線，則-2&<a<2后

D.若圓。與圓C相交，則公共弦長的最大值為2

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式，算出兩圓的圓心距221,從而判斷出A項(xiàng)的正誤；根據(jù)兩圓相切、相交

的性質(zhì)，列式算出。的取值范圍，判斷出B,C兩項(xiàng)的正誤；當(dāng)圓。的圓心在兩圓的公共弦上時(shí)，公共弦長

有最大值，從而判斷出D項(xiàng)的正誤.

【詳解】根據(jù)題意，可得圓。：必+;/=1的圓心為。（0,0）,半徑廠=1，

圓C:（x—。P+⑷―1）2=4的圓心為。（?！唬霃絉=2.

對于A,因?yàn)閮蓤A的圓心距d=+1,所以A項(xiàng)正確；

對于B,兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距d"OC|=R-r=l,即=解得a=0.

兩圓外切時(shí)，圓心距d=|OC|=R+r=3,即疝2'=3,解得a=±2夜.

綜上所述，若兩圓相切，則。=0或。=±20'，故B項(xiàng)不正確；

對于C,若圓。與圓C恰有兩條公切線，則兩圓相交，d=\OC\^（R-r,R+r）,

即1片+1€（1,3）,可得1<5+1<3,解得一20<。<2&且。/0，故C項(xiàng)不正確；

對于D,若圓。與圓C相交，則當(dāng)圓+的圓心。在公共弦上時(shí)，公共弦長等于2r=2,達(dá)到

最大值，

因此，兩圓相交時(shí)，公共弦長的最大值為2,故D項(xiàng)正確.

故選：AD.

10.己知等比數(shù)列｛4｝的公比為4,前〃項(xiàng)和為S“，貝U（）

A.S"+i='+處

B.對任意"eN,S",S2n-Sn,S3"-S2n成等比數(shù)列

C.對任意“eN*，都存在4,使得2s2”3s3“成等差數(shù)列

D.若囚<0,則數(shù)列｛S2“_J遞增的充要條件是-l<q<0

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A：分q=l,4W1兩種情況計(jì)算可判斷A；對于B：q=-1可說明不成立判斷B；,分

q=l，<7*1兩種情況計(jì)算可判斷C；根據(jù)S2n+l-=q(l+q)q2J,若｛S2,-｝是遞增數(shù)列，可求《判

斷D.

【詳解】對于A：當(dāng)q=l時(shí)，+Sl+qSn=a1+na1=(n+1)^,故成立,

q(l_q"+i)

當(dāng)qw1時(shí),S"+]Sl+qSn=q+qx"i,4)=叫4_)；所以s/[成

i—q1-q1-q

立，故A正確;

對于B：當(dāng)q=—1時(shí)，S2=0,所以S..S?”—S,,S3,—S?"不成等比數(shù)列,故B錯(cuò)誤;

對于C：當(dāng)4=1時(shí)，S"=”,2s2.=4”,3s3"=9〃％,故S”,2s2”,3s3,不成等差數(shù)列,

當(dāng)qwl時(shí)，若存在《，使S”,2s2",3s3〃成等差數(shù)列，

貝！IZXZSR=S”+3M”,則4x_——=—————+3x———■—,

1-q1-q1-q

整理得4(1+4")=1+3(1+/〃+/),所以3d"—q"=0,所以/=；,

所以對任意“eN*,都存在任使得S”,2s2”,3s3“成等差數(shù)列，故C正確；

對于D：邑―一邑“-="+%+1=%(i+qW"T，若是遞增數(shù)列，

則可得q(l+q)q2"T>0,因?yàn)镼<0,所以(l+q)/"T<0,可解得—l<q<0,

所以若。1<0,則數(shù)列｛S2,-｝遞增的充要條件是-l<q<0,故D正確.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)/(x)=sin|x+2卜sin%—sin/,則()

jr

A.函數(shù)/(%)在-,7l上單調(diào)遞減

B.函數(shù)y=+1■為奇函數(shù)

C.當(dāng)xe—時(shí)，函數(shù)y=4/(%)+1恰有兩個(gè)零點(diǎn)

20242027

D.設(shè)數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為:，公差為二的等差數(shù)列，則Z=/(4)=--二

66,=12

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用三角恒等變換化簡/(力，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性奇偶性判斷ABC,利用裂項(xiàng)相消及累加求

和判斷D.

r年的1目如-7兀?/兀，兀)卡)叵、1歷46+42

【詳解】易知sin——=sin—+—=------------1----------------=---------------------，

12[3422224

7兀A/6-A/2

同理sin』-=cos一=-----

12124

..71

-sin%-sm—

6

6-2.11sinx+無￡

--------sinxH—cosx—

222I122

7t/7t137t

對A,xe-,7i,x+--G—,/(x)先減后增，故A錯(cuò)誤;

1迷一后sinx為奇函數(shù),故B正確;

對B,y=x+—|+-=

(12J22

71717兀7113K,_7171

對C,xe2，-2t—X~\-------G石-，則sin/在單調(diào)遞增,

121212?2

7113兀單調(diào)遞減，即〃力在[w71)(71711

在2，~17，一不單調(diào)遞增,在一不，不單調(diào)遞減,

J1.乙2J\JL乙乙J

兀)V6-V2.兀1V6-V2A/6-V21V31

f——=--------sin------=----------------------=-----<——，

\2)412244244

故函數(shù)y=4/(%)+1恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確；

rI?4.幾貝U/(x)=g(x)—；，

對D,易知二:兀令g(x)=sinx+--sinx,

6

.兀.兀

g(q)=sm---sin—,

36

.兀.兀

g(“2)=sm---sin—,

23

.(2024兀兀、.(2023兀兀)

S(。2024)二sm------+--sin-------+—,

I66)I66/

H/\.(2024兀兀).7t.(兀)1

則nl工門(a；)=sin|-------1——sin——sin3377cH——

2024sv(66J6I2)2

<=i<=ii2027

故E=/(a,)=Eg(a,)-2024x-=-^—,故D正確.

2024202422

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)列求和應(yīng)用，關(guān)鍵是利用利用裂項(xiàng)相消及累加求和

判斷D.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

r1丫

12.在卜一W的展開式中,/的系數(shù)為

【答案】15

【解析】

【分析】利用--j=的通項(xiàng)公式,+]=2(0<r<6,reN),即可求出結(jié)果.

IyxJr+16

【詳解】因?yàn)?X—十]

的展開式的通項(xiàng)公為Tr+l=C"6f(—；):=(_iyc"6-E(o<r<6,reN),

由6—]r=3,得到廠=2,所以V的系數(shù)為(―iyc；=15,

故答案為：15.

13.拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,A為C上一點(diǎn)，以點(diǎn)尸為圓心，以|A同為半徑的圓與/交于

點(diǎn)、B,D,與x軸交于點(diǎn)M,N,若AB=K0,則，“卜.

【答案】473

【解析】

【分析】首先得到拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)石，根據(jù)圓的性質(zhì)及拋物線的定義

可得△ABE為等邊三角形，即可求出忸同，再在A47的中利用余弦定理計(jì)算可得.

【詳解】拋物線C：V=4》的焦點(diǎn)為b(1,0),準(zhǔn)線/：x=—1,設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)E,貝"￡(—1,0),

依題意3、。均在y軸的左側(cè)，又AB=FM，所以用也在y軸的左側(cè)且B點(diǎn)在x軸上方，

兀

又AD為圓產(chǎn)的直徑，所以NABO=—,即

2

由拋物線的定義可知|人耳=|人耳，又忸典=|入同，

7171

所以為等邊三角形，所以NB4B=NAE5=—,則N3M0=NAFN=—,

33

所以山閭二一因一二4,

11cosZBFM

27r

所以忸耳=|AF|=|MF|=4,ZAW=y,

在AAFM中|=JAF|2+|MF|2-2\AF\\MF\COSZAFM

=(42+42-2X4X4X^-1^=4相.

故答案為：473.

14.已知實(shí)數(shù)/y，Z,滿足y+z-2=0,則

yjx2+y2+z2+^/(x-2)2+y2+z2+-^(x-1)2+y2+(z-2)2+^/(x-1)2+(y-2)2+z2的最小值為

【答案】2拒+2叵

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，將所求轉(zhuǎn)化為距離和的最小值，利用幾何關(guān)系求得最值.

【詳解】如圖，設(shè)正方體的邊長為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(x,y,z)為空間任意一點(diǎn)，因?yàn)閥+z—2=0,則P在平面430。所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，

JV+y+z?+4―2)2+/+Z2表示p與點(diǎn)4(0,0,0)和點(diǎn)4(2,0,0)的距離之和，

因?yàn)锳關(guān)于平面ABC^的對稱點(diǎn)為D,故/弭+尸42DB1=2G,

當(dāng)且僅當(dāng)尸中點(diǎn)即P為正方體中心時(shí)等號成立；

_1尸+丁+(z-2)-+J(x-1)-+(y_2)~+w

表示P與點(diǎn)M(1,0,2)和點(diǎn)N。,2,0)的距離之和，則PM+PN>MN=141，

當(dāng)且僅當(dāng)P在MV所在直線上時(shí)等號成立，

故y]x2+y2+z2+^(x-2)2+y2+z2+^/(x-1)2+y2+(z-2)2+^/(x-1)2+(y-2)2+z2

的最小值為2百+20，當(dāng)且僅當(dāng)尸為正方體中心時(shí)等號成立

故答案為：2也+2母

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間中距離最值問題，關(guān)鍵是利用空間坐標(biāo)系將所求轉(zhuǎn)化為距離和，并

注意等號成立條件.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在四棱錐F—ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，NBA。=60°,M是側(cè)棱PC的中點(diǎn),

側(cè)面QAD為正三角形，側(cè)面底面ABCD.

p

（1）求三棱錐M—ABC的體積；

（2）求40與平面尸所成角的正弦值.

【答案】（1）|

【解析】

【分析】（1）作出輔助線，得到線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直，由中位線得到/到平面ABCD的距離為

也，進(jìn)而由錐體體積公式求出答案；

2

（2）證明出建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)而由法向量的夾角余弦值的絕對值

求出線面角的正弦值.

【小問1詳解】

如圖所示，取A。的中點(diǎn)。，連接P0.

因?yàn)锽l。是正三角形，所以POLAD.

又因?yàn)槠矫嫔?0,底面ABCD,POu平面。A。，平面平面ABCD=AD,

所以平面A6CD,且20=6.

又因?yàn)?是PC的中點(diǎn)，M到平面ABCD的距離為也,

2

5AABC=1x2x2xsiny=^/3，

所以三棱錐〃—ABC的體積為且=4

322

【小問2詳解】

（2）證明見解析.

【解析】

3

【分析】（1）由題意得6=石，將點(diǎn)（1,萬）代入橢圓的方程可求得小的值，進(jìn)而可得橢圓的方程；

（2）設(shè)/:x=9+l,尸（%，/）,。（%,%）,聯(lián)立直線/和橢圓的方程，可得%+方=—^^，

%%=——提一，直線P4的方程為y=—（X+2）,令x=4,得"（4,同理N（4,‘力。）,

3?2+4為+2拓+2%+2

由斜率公式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

221

因?yàn)?6=26，所以b=g，再將點(diǎn)11,|代入Ff+=1,

a1

22

解得/=4,故橢圓C的方程為土+二=1；

43

【小問2詳解】

由題意可設(shè)/：X=）+1,。（%,%）,。（％2，%），

x=ty+l

由<22可得（3/+4b2+6—9=0,

x+丁-i

[--4-----1----3---——1

6t9

易知A>0恒成立，所以％+%=-3產(chǎn)+4'3V2--3入4

又因?yàn)?（—2,0）,

所以直線己4的方程為了=』7（x+2）,令》=4,則>=」、，故”4,

國+2再+2I

同理

、x2+2?

從而=石+2=6yl=6%

'—不?一西而'2-3（例+3）

36

4yM3產(chǎn)+4

故匕匕=1----------------------------7=-1為定值.

9/18/八

-9（電+3）（仇+3）t~y1y2+3t（y1+y2）+9

3『+43r+4

17.樹人中學(xué)高三（1）班某次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測（滿分150分）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

性參加考試人平均成標(biāo)準(zhǔn)

別數(shù)績差

男3010016

女209019

在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，已知總體劃分為2層，把第一層樣本記為石,馬，退,?，%，其平均數(shù)記為

X，方差記為S：；把第二層樣本記為%,%，為，?，％，其平均數(shù)記為7,方差記為S；；把總樣本數(shù)據(jù)的

平均數(shù)記為方差記為

（2）求該班參加考試學(xué)生成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到1）；

（3）假設(shè)全年級學(xué)生的考試成績服從正態(tài)分布N（〃,b2）,以該班參加考試學(xué)生成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差

分別作為〃和b的估計(jì)值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例將考試成績從高分到低分依次劃分為

AB,。,。四個(gè)等級，試確定各等級的分?jǐn)?shù)線（精確到1）.

附：cr<X<//+cr）?0.68,7302?17,7322?18,7352?19.

【答案】（1）證明見解析；

（2）平均數(shù)為96分，標(biāo)準(zhǔn)差為18分；

（3）將X2114定為A等級，96<X<H4定為B等級，78<X<96定為C等級，X<78定為D等

級.

【解析】

【分析】（1）利用平均數(shù)及方差公式即可求解；

(2)利用平均數(shù)及方差公式，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差公式即可求解;

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論及正態(tài)分布的特點(diǎn)即可求解.

【小問1詳解】

=--------%)2+(x-z)2+2(%,.-%)(%-z)+Z(y,-J)2+(J-2)2+2(X--y)(j-z)>

機(jī)+〃〔i=lL」，=1L」

/n

Z[2(K-x)(x-z)^|=2(x-z)y^(x7--x)=2(元一N)(/+x2+x3++xn-nx)=0,

f=li=\

同理￡[2(%一歹)(歹一列=0.

i=l

1

所以§?2=——+機(jī)區(qū)+(歹一切[}

m+n

【小問2詳解】

將該班參加考試學(xué)生成績的平均數(shù)記為』，方差記為$2,

_1

貝^=^(30x100+20x90)=96,

2

所以d=[{30[256+(100—96產(chǎn)]+20[361+(90—96)]}=322

又所以5引8.

即該班參加考試學(xué)生成績的平均數(shù)為96分，標(biāo)準(zhǔn)差約為18分.

【小問3詳解】

由⑵知〃=96,。=18,所以全年級學(xué)生的考試成績X服從正態(tài)分布必96,W),

所以P(96-18<X<96+18)?0.68,P[X>96)=0.5.

P(78<X<96)=P(96<X<114)-0.34,尸(X>114)=P(X<78)?0.16.

故可將X2H4定為A等級，96<X<114定為B等級，78<X<96定為C等級，X<78定為D等

級.

18.已知曲線C:/(x)=er-xel在點(diǎn)A(L/(1))處的切線為I.

(1)求直線/的方程；

(2)證明：除點(diǎn)A外，曲線C在直線/的下方；

(3)設(shè)，求證：x+x<2t---l.

''ei2

【答案】(1)y=-ex+e；

(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，得到/(l)=o,/'(l)=—e,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程；

(2)令g(x)=-ex+e-e'+xe',二次求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值，得到所以

g(x)>g(l)=O,當(dāng)且僅當(dāng)x=l等號成立，得到證明；

(3)求導(dǎo)得到/(x)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象得到。</<1,不妨令占<0,0<々<1,結(jié)合曲線C在(1,0)

點(diǎn)的切線方程為0(x)=—ex+e,得到％<退=」+1,轉(zhuǎn)化為證明石<2/—2,又/=e』—邛*，只要

e

證再<29—2再/'—2,4F(x)=2ev-2xex-%-2,x<0,求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值

得到答案.

【小問1詳解】

因?yàn)?(x)=e*-xex,

所以/⑴=0J'(x)=—*⑴=—e,

所以直線/的方程為：y=-e(x-l),即>=—ex+e

小問2詳解】

令g(%)=-ex+e-e*+xex,則g'(x)=-e-eA+eA+xex=-e+xex,

令/z(x)=g，(x),則〃(x)=(%+l)e",

由〃(x)>0,解得1>—1,由“(x)<0,解得x<—1,

所以h(x)在—1)上單調(diào)遞減，在(—1,+“)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x-—8時(shí)，-—e,/z⑴=0,

所以g(x)在1)上單調(diào)遞減，在(1,+。)上單調(diào)遞增，

所以g(x)2g(l)=0,當(dāng)且僅當(dāng)X=1等號成立，

所以除切點(diǎn)(1,0)之外，曲線C在直線/的下方.

【小問3詳解】

由/'(%)=一>。,解得x<0,/'(%)=—xe*<0,解得無>。,

所以/⑺在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+“)上單調(diào)遞減，

/⑴1mx=/(O)=lJ⑴=0，

當(dāng)Xf-8時(shí)，/(%