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文檔簡介

廣東省汕尾陸豐市林啟恩紀念中學新高考數(shù)學倒計時模擬卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首,它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認識,是中華人文文化的基礎,它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法.我們用近代術語解釋為:把陽爻“-”當作數(shù)字“1”,把陰爻“--”當作數(shù)字“0”,則八卦所代表的數(shù)表示如下:卦名符號表示的二進制數(shù)表示的十進制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類推,則六十四卦中的“屯”卦,符號“”表示的十進制數(shù)是()A.18 B.17 C.16 D.152.記遞增數(shù)列的前項和為.若,,且對中的任意兩項與(),其和,或其積,或其商仍是該數(shù)列中的項,則()A. B.C. D.3.在平面直角坐標系中,經(jīng)過點,漸近線方程為的雙曲線的標準方程為()A. B. C. D.4.在中,角的對邊分別為,,若,,且,則的面積為()A. B. C. D.5.已知復數(shù),若,則的值為()A.1 B. C. D.6.已知條件,條件直線與直線平行,則是的()A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知集合A={x|x<1},B={x|},則A. B.C. D.8.若雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.9.如圖,圓是邊長為的等邊三角形的內切圓,其與邊相切于點,點為圓上任意一點,,則的最大值為()A. B. C.2 D.10.已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A. B. C.4 D.11.若復數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,是的共軛復數(shù),則復數(shù)()A. B. C.4 D.512.若,則“”的一個充分不必要條件是A. B.C.且 D.或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),則關于的不等式的解集為_______.14.數(shù)列滿足遞推公式,且,則___________.15.若曲線(其中常數(shù))在點處的切線的斜率為1,則________.16.已知函數(shù),若函數(shù)有6個零點,則實數(shù)的取值范圍是_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且點在函數(shù)的圖像上;(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列滿足:,,求的通項公式;(3)在第(2)問的條件下,若對于任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;18.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),為上的動點,點滿足,點的軌跡為曲線.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與的異于極點的交點為,與的異于極點的交點為,求.19.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為,直線交曲線于兩點,為中點.(1)求曲線的直角坐標方程和點的軌跡的極坐標方程;(2)若,求的值.20.(12分)如圖,在四棱錐中,是等邊三角形,,,.(1)若,求證:平面;(2)若,求二面角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù).(1)求的極值;(2)若,且,證明:.22.(10分)如圖,三棱錐中,(1)證明:面面;(2)求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意可知“屯”卦符號“”表示二進制數(shù)字010001,將其轉化為十進制數(shù)即可.【詳解】由題意類推,可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進制數(shù)字010001,轉化為十進制數(shù)的計算為1×20+1×24=1.故選:B.【點睛】本題主要考查數(shù)制是轉化,新定義知識的應用等,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2、D【解析】

由題意可得,從而得到,再由就可以得出其它各項的值,進而判斷出的范圍.【詳解】解:,或其積,或其商仍是該數(shù)列中的項,或者或者是該數(shù)列中的項,又數(shù)列是遞增數(shù)列,,,,只有是該數(shù)列中的項,同理可以得到,,,也是該數(shù)列中的項,且有,,或(舍,,根據(jù),,,同理易得,,,,,,,故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列的新定義的理解和運用,以及運算能力和推理能力,屬于中檔題.3、B【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為,可設所求雙曲線的標準方程為k.再把點代入,求得k的值,可得要求的雙曲線的方程.【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設所求雙曲線的標準方程為k.又在雙曲線上,則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標準方程為故選:B【點睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程,雙曲線的定義和標準方程,以及雙曲線的簡單性質的應用,屬于基礎題.4、C【解析】

由,可得,化簡利用余弦定理可得,解得.即可得出三角形面積.【詳解】解:,,且,,化為:.,解得..故選:.【點睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.5、D【解析】由復數(shù)模的定義可得:,求解關于實數(shù)的方程可得:.本題選擇D選項.6、C【解析】

先根據(jù)直線與直線平行確定的值,進而即可確定結果.【詳解】因為直線與直線平行,所以,解得或;即或;所以由能推出;不能推出;即是的充分不必要條件.故選C【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定,熟記概念即可,屬于基礎題型.7、A【解析】∵集合∴∵集合∴,故選A8、C【解析】

利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關系.【詳解】由已知,雙曲線的漸近線方程為,故圓心到漸近線的距離等于1,即,所以,.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求法,求雙曲線離心率問題,關鍵是建立三者間的方程或不等關系,本題是一道基礎題.9、C【解析】

建立坐標系,寫出相應的點坐標,得到的表達式,進而得到最大值.【詳解】以D點為原點,BC所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立坐標系,設內切圓的半徑為1,以(0,1)為圓心,1為半徑的圓;根據(jù)三角形面積公式得到,可得到內切圓的半徑為可得到點的坐標為:故得到故得到,故最大值為:2.故答案為C.【點睛】這個題目考查了向量標化的應用,以及參數(shù)方程的應用,以向量為載體求相關變量的取值范圍,是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結合的一類綜合問題.通過向量的運算,將問題轉化為解不等式或求函數(shù)值域,是解決這類問題的一般方法.10、B【解析】由,可得,所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以,則,則,故選B.點睛:本題考查了等比數(shù)列的概念,等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質的應用,試題有一定的技巧,屬于中檔試題,解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關公式并能靈活運用,尤其需要注意的是,等比數(shù)列的性質和在使用等比數(shù)列的前n項和公式時,應該要分類討論,有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.11、D【解析】

根據(jù)復數(shù)的四則運算法則先求出復數(shù)z,再計算它的模長.【詳解】解:復數(shù)z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故選D.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的計算問題,要求熟練掌握復數(shù)的四則運算以及復數(shù)長度的計算公式,是基礎題.12、C【解析】,∴,當且僅當時取等號.故“且”是“”的充分不必要條件.選C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

判斷的奇偶性和單調性,原不等式轉化為,運用單調性,可得到所求解集.【詳解】令,易知函數(shù)為奇函數(shù),在R上單調遞增,,即,∴∴,即x>故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的運用:解不等式,考查轉化思想和運算能力,屬于中檔題.14、2020【解析】

可對左右兩端同乘以得,依次寫出,,,,累加可得,再由得,代入即可求解【詳解】左右兩端同乘以有,從而,,,,將以上式子累加得.由得.令,有.故答案為:2020【點睛】本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應用,屬于基礎題15、【解析】

利用導數(shù)的幾何意義,由解方程即可.【詳解】由已知,,所以,解得.故答案為:.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,考查學生的基本運算能力,是一道基礎題.16、【解析】

由題意首先研究函數(shù)的性質,然后結合函數(shù)的性質數(shù)形結合得到關于a的不等式,求解不等式即可確定實數(shù)a的取值范圍.【詳解】當時,函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,很明顯,且存在唯一的實數(shù)滿足,當時,由對勾函數(shù)的性質可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,結合復合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,且當時,,考查函數(shù)在區(qū)間上的性質,由二次函數(shù)的性質可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,函數(shù)有6個零點,即方程有6個根,也就是有6個根,即與有6個不同交點,注意到函數(shù)關于直線對稱,則函數(shù)關于直線對稱,繪制函數(shù)的圖像如圖所示,觀察可得:,即.綜上可得,實數(shù)的取值范圍是.故答案為.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的應用,復合函數(shù)的單調性,數(shù)形結合的數(shù)學思想,等價轉化的數(shù)學思想等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)當n為偶數(shù)時,;當n為奇數(shù)時,.(3)【解析】

(1)根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)利用遞推公式及累加法,即可求得當n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項公式.也可利用數(shù)學歸納法,先猜想出通項公式,再用數(shù)學歸納法證明.(3)分類討論,當n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意可知,.當時,,當時,也滿足上式.所以.(2)解法一:由(1)可知,即.當時,,①當時,,所以,②當時,,③當時,,所以,④……當時,n為偶數(shù)當時,n為偶數(shù)所以以上個式子相加,得.又,所以當n為偶數(shù)時,.同理,當n為奇數(shù)時,,所以,當n為奇數(shù)時,.解法二:猜測:當n為奇數(shù)時,.猜測:當n為偶數(shù)時,.以下用數(shù)學歸納法證明:,命題成立;假設當時,命題成立;當n為奇數(shù)時,,當時,n為偶數(shù),由得故,時,命題也成立.綜上可知,當n為奇數(shù)時同理,當n為偶數(shù)時,命題仍成立.(3)由(2)可知.①當n為偶數(shù)時,,所以隨n的增大而減小從而當n為偶數(shù)時,的最大值是.②當n為奇數(shù)時,,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項公式的應用,分類討論奇偶項的通項公式及求和方法,數(shù)學歸納法證明數(shù)列的應用,數(shù)列的單調性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.18、(Ⅰ)(為參數(shù));(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)設點,,則,代入化簡得到答案.(Ⅱ)分別計算,的極坐標方程為,,取代入計算得到答案.【詳解】(Ⅰ)設點,,,故,故的參數(shù)方程為:(為參數(shù)).(Ⅱ),故,極坐標方程為:;,故,極坐標方程為:.,故,,故.【點睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標方程,弦長,意在考查學生的計算能力和轉化能力.19、(1),;(2)或【解析】

(1)根據(jù)曲線的參數(shù)方程消去參數(shù),可得曲線的直角坐標方程,再由,,可得點的軌跡的極坐標方程;(2)將曲線極坐標方程求,與直線極坐標方程聯(lián)立,消去,得到關于的二次方程,由的幾何意義可求出,而(1)可知,然后列方程可求出的值.【詳解】(1)曲線的直角坐標方程為,圓的圓心為,設,所以,則由,即為點軌跡的極坐標方程.(2)曲線的極坐標方程為,將與曲線的極坐標方程聯(lián)立得,,設,所以,,由,即,令,上述方程可化為,解得.由,所以,即或.【點睛】此題考查參數(shù)方程與普通方程的互化,極坐標方程與直角坐標方程的互化,利用極坐標求點的軌跡方程,考查運算求解能力,考查數(shù)形結合思想,屬于中檔題.20、(1)詳見解析(2)【解析】

(1)如圖,作,交于,連接.因為,所以是的三等分點,可得.因為,,,所以,因為,所以,因為,所以,所以,因為,所以,所以,因為平面,平面,所以平面.又,平面,平面,所以平面.因為,、平面,所以平面平面,所以平面.(2)因為是等邊三角形,,所以.又因為,,所以,所以.又,平面,,所以平面.因為平面,所以平面平面.在平面內作平面.以B點為坐標原點,分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,所以,,,.設為平面的法向量,則,即,令,可得.設為平面的法向量,則,即,令,可得.所以,則,所以二面角的正弦值為.21、(1)極大值為;極小值為;(2)見解析【解析】

(1)對函數(shù)求導,進而可求出單調性,從而可求出函數(shù)的極值;(2)構造函數(shù),求導并判斷單調性可得,從而在上恒成立,再結合,,可得到,即可證明結論成立.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,,所以當時,;當時,,則的單調遞增區(qū)間為和,單調遞減區(qū)間為.故的極大值為;的極小值為.(2)證明:由(1)知,設函數(shù),則,,則在上恒成立,即在上單調遞增,故,又,則,即在上恒成立.因為,所以,又,則,因

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