2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019單元復(fù)習(xí)試題單元復(fù)習(xí)09平面向量提高題

單元復(fù)習(xí)09平面向量一、單選題1．下列命題中正確的個數(shù)是（

）①起點相同的單位向量，終點必相同；②已知向量，則四點必在一直線上；③若，則；④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由平面向量的概念對選項逐一判斷，【解析】對于A，單位向量的方向不確定，故起點相同的單位向量，終點不一定相同，故A錯誤，對于B，向量，則四點共線或，故B錯誤，對于C，若，當時，不一定平行，故C錯誤，對于D，若三點共線，則，此時起點不同，終點相同，故D錯誤，故選：A2．如圖所示，已知在中，是邊上的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意得，再由，即可得到答案.【解析】由于是邊上的中點，則..故選：B.3．關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的相關(guān)定義，判斷選項.【解析】A.由平面向量的定義可知，向量的模相等，向量不一定相等，故A錯誤；B.兩個向量是相反向量，則兩個向量平行，故B正確；C.向量不能比較大小，故C錯誤；D.當向量時，與不一定平行，故D錯誤；故選：B4．若平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．已知，與的夾角為，則力的大小為（

）．A．7 B． C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)三力平衡得到，然后通過平方將向量式數(shù)量化得到，代入數(shù)據(jù)即可得到答案.【解析】根據(jù)三力平衡得，即，兩邊同平方得，即即,解得故選：D.5．設(shè)向量均為單位向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】將兩邊平方轉(zhuǎn)化為，從而得到與之間的關(guān)系.【解析】若，則，所以，，所以，滿足充分性；若，兩邊平方得，所以，滿足必要性．故選：B．6．在平行四邊形中，，，.對角線AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.設(shè)，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可證明，則，根據(jù)向量的分解、模長和數(shù)量積的運算，即可判斷正誤.【解析】解：對于A，取OB的中點G，連接CG，則且，即，則，A選項正確；對于B，，則，B選項正確；對于C，，則，C選項錯誤；對于D，，D選項正確；故選：C.7．已知向量，，若與的夾角是銳角，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積為正數(shù)且兩向量不同向即可根據(jù)坐標運算求解.【解析】由題意得，，若與的夾角是銳角，則與不共線，且它們數(shù)量積為正值，即，且，解得，且，所以實數(shù)的取值范圍為．故選:A8．設(shè)是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若，，且，則稱調(diào)和分割.已知點，調(diào)和分割點，，則下面說法正確的是（

）A．可能是線段的中點B．可能是線段的中點C．可能同時在線段上D．不可能同時在線段上【答案】D【分析】先根據(jù)題目定義，向量的坐標運算，推出之間的關(guān)系，然后四個選項每個代入驗證，用排除法解決.【解析】根據(jù)題意可知，，即，，得，，即，得，根據(jù)，得.線段的方程是，.若C是線段的中點，則，代入，得，此等式不可能成立，故選項A的說法不成立；同理選項B的說法也不成立；若同時在線段上，則，，此時，，，與矛盾，故選項C錯誤；當同時不在線段上時，若，，則，與矛盾，若，，則是負值，與矛盾，若，，則，，此時，與矛盾，若，，則，，此時，與矛盾，故選項D的說法成立.故選：D.二、多選題9．下列說法中正確的是（

）A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個非零向量不一定共線C．零向量的長度為0 D．方向相反的兩個非零向量必不相等【答案】ACD【分析】利用零向量的定義及性質(zhì)判斷選項A和選項C，利用共線向量的定義判斷選項B，利用相等向量的定義判斷選項D.【解析】解：零向量與任一向量平行，零向量的方向不確定，但模確定為0，故A與C都是正確的；根據(jù)共線向量的定義，方向相反的兩個非零向量一定共線，故B錯誤；對于D，因為向量相等的定義是長度相等且方向相同的向量，所以方向相反的兩個非零向量必不相等，故D正確．故選：ACD．10．已知平面向量，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．向量與的夾角為 D．向量在上的投影向量為【答案】BD【分析】根據(jù)向量模長的坐標計算即可判斷A，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算可判斷B,由夾角公式可判斷C，由投影向量的求解公式可判斷D.【解析】，所以，故A錯誤；，故B正確；，，，，故C錯誤；向量在上的投影向量為，故D正確．故選：BD11．在△ABC中，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．若，則是等腰三角形D．若則是銳角三角形【答案】ABD【分析】由向量減法法判斷A項錯誤；利用數(shù)量積公式判斷B項錯誤；將已知化簡利用三線合一得到是等腰三角形判斷C項正確；D項得到是銳角，不能得到是銳角三角形，判斷D項正確.【解析】由向量減法法則可得，故A項錯誤；，故B項錯誤；設(shè)中點為，，則，因為,所以由三線合一得，所以是等腰三角形，故C項正確；可以得到是銳角，不能得到是銳角三角形，故D項錯誤；故選：ABD.12．已知向量，則下列說法正確的是（

）A．若，則的值為B．若則的值為C．若，則與的夾角為銳角D．若，則【答案】AB【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積、向量的模的坐標表示及向量共線的坐標表示一一判斷即可；【解析】解：對于A：若，則，解得，故A正確；對于B：若，則，解得，故B正確；對于C：當時與同向，此時與的夾角為，故C錯誤；對于D：若，則，即，即，解得，當時，，，顯然，當時，，，此時，故D錯誤；故選：AB三、填空題13．已知，，，則與的夾角是___________.【答案】【分析】根據(jù)平面向量的模和數(shù)量積計算，即可直接得出結(jié)果.【解析】，因為，所以，與的夾角是.故答案為：.14．若平面向量?滿足條件：?，則向量在向量的方向上的數(shù)量投影為___________.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量投影的知識求得正確答案.【解析】向量在向量的方向上的數(shù)量投影為.故答案為：15．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東2.一艘小貨船準備從河南岸的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250的碼頭C處卸貨.若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6，則當小貨船的航程最短時，小貨船航行的速度大小是___________.【答案】【分析】由已知條件求解直角三角形，根據(jù)向量的平行四邊形法則，結(jié)合向量的模長公式，即可求解小貨船航行速度的大小.【解析】由題意，當小貨船的航程最短時，航線路線為線段，設(shè)小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：因為一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東，，在中，有，所以，所以，所以，所以小貨船航行速度的大小為．故答案為：16．在中，，分別是邊，上的點，且，，點是線段上異于端點的一點，且滿足，則_________．【答案】8【分析】用、表示出、，從而得到，再根據(jù)，，三點共線，得到，解得即可.【解析】解：因為，，所以，，即，，因為，所以，即，即，因為，，三點共線，故，解得．故答案為：四、解答題17．已知與的夾角為．(1)求的值；(2)設(shè)，求的夾角．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)可以得到答案；（2）計算即可.【解析】（1）由已知，得：，∴，∴；（2）∵，，∴，由（1）得：，∴，∵，∴.18．已知D為等邊所在平面內(nèi)的一點，，且線段BC上存在點E，使得．(1)試確定點E的位置，并說明理由；(2)求的值．【答案】(1)E為靠近點B的一個三等分點，理由見解析(2)【分析】（1）用平面向量的線性關(guān)系找出點所在的位置；（2）用向量分別表示出向量利用向量數(shù)量積公式計算.【解析】（1）因為，所以，所以，從而，故點E為靠近點B的一個三等分點．（2）因為，所以，，．19．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量，，．(1)若，且，求向量的坐標；(2)若，且，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)共線的坐標表示可得，又根據(jù)得，解方程組即可求出答案；（2）由（1）得，由此得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．(1)解：（1）∵，又，∴，∴，①又∵，∴，②由①②得，解得，當t＝1時，（舍去），當t＝－1時，，∴，∴．(2)解：（2）由（1）可知，，，∵，∴，∴當時，．20．某公園有三個警衛(wèi)室A?B?C，互相之間均有直道相連，千米，千米，千米，保安甲沿CB從警衛(wèi)室C出發(fā)前往警衛(wèi)室B，同時保安乙沿BA從警衛(wèi)室B出發(fā)前往警衛(wèi)室A，甲的速度為2千米/小時，乙的速度為1千米/小時.(1)保安甲從C出發(fā)1.5小時后達點D，若，求實數(shù)x?y的值；(2)若甲乙兩人通過對講機聯(lián)系，對講機在公園內(nèi)的最大通話距離不超過2千米，試問有多長時間兩人不能通話？【答案】(1)(2)兩人約有小時不能通話【分析】（1）先根據(jù)勾股定理確定這是一個直角三角形，然后可以建立平面直角坐標系，寫出各點的坐標，根據(jù)坐標運算可以計算出實數(shù)x?y的值；（2）表示出點的坐標之后可以把坐標表示，立出不等式解不等式即可.【解析】（1）因為，所以，因此建立如圖所示的平面直角坐標系，，設(shè)保安甲從C出發(fā)小時后達點D，所以有，設(shè)，由，即，當時，，由；（2）設(shè)保安乙從B出發(fā)小時后達點E，所以點E的坐標為，于是有，因為對講機在公園內(nèi)的最大通話距離超過2千米，兩人不能通話，所以有，所以解之：或，又所以兩人約有小時不能通話.一、單選題1．若為任一非零向量，的模為1，給出下列各式：①；②﹔③；④.其中正確的是（

）A．①④ B．③ C．①②③ D．②③【答案】B【分析】根據(jù)向量的定義、向量的模、平行向量的定義判斷．【解析】對于①，的大小不能確定；對于②，兩個非零向量的方向不確定；對于④，向量的模是一個非負實數(shù)，只有③正確．故選：B．2．如圖，在平行四邊形中，點在線段上，且（），若（，）且，則（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】方法1：由可得，由代入可反解得，最后根據(jù)且即可求得的值.方法2：建立平面直角坐標系，表示出點的坐標轉(zhuǎn)化為坐標運算可求得結(jié)果.【解析】方法1：在平行四邊形中，因為，所以，所以，又∵，∴，∴，又∵，∴，，（平面向量基本定理的應(yīng)用）又∵，∴，解得，故選：B.方法2：如圖，以A為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，則，設(shè)，，∵則，又∵，設(shè)，則即：∴，，，又∵，∴∴∴由②得，將其代入①得，故選：B.3．已知三角形外接圓的半徑為1為圓心，且，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得三角形是以角為直角的直角三角形，解直角三角形求出相應(yīng)的邊，利用數(shù)量積幾何意義計算得答案．【解析】因為三角形外接圓的半徑為1為圓心，為的中點，故是直角三角形，為直角．又，,,故選:A.4．已知O為坐標原點，，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為1 D．的最大值為2【答案】D【分析】首先根據(jù)向量的幾何意義判斷點的軌跡，再利用數(shù)形結(jié)合，以及向量數(shù)量積的幾何意義，判斷選項.【解析】由，可得點A的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓，根據(jù)向量減法的幾何意義，由，可得點B的軌跡是以A為圓心，1為半徑的圓，如圖所示．當點B在坐標原點位置時，取最小值0，A選項錯誤；當點B在直線與圓A的交點位置且不是原點時，取最大值2，B選項錯誤；根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，當點B在坐標原點位置時，在方向上的投影取最小值0，此時取最小值0，C選項錯誤，當點B在直線與圓A的交點位置且不是原點時，在方向上的投影取最大值2，此時取最大值2，D選項正確．故選:D5．如圖，在中，O為線段BC上一點，且，G為線段AO的中點，過點G的直線分別交直線AB，AC于D，E兩點，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運算的幾何表示及向量共線可得，然后利用基本不等式即得.【解析】因為，所以，即，又因為G為線段AO的中點，所以，因為，，所以，因為D、G、E三點共線，所以，即，所以，當且僅當，即時取等號．故選：C.6．八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2中的正八邊形，其中，給出下列結(jié)論：①與的夾角為；②；③；④向量在向量上的投影向量為（其中是與同向的單位向量）.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用正八邊形的特征，結(jié)合向量的線性運算及投影向量的定義逐一分析各個命題即可求解.【解析】對于①，因為八邊形為正八邊形，所以，所以與的夾角為，①錯誤；對于②，，顯然不成立，②錯誤；對于③，，所以，，所以，③正確；對于④，，向量在向量上的投影向量為，④正確，故選：B.7．已知是單位向量，向量滿足，且，其中x、，且，則下列結(jié)論中，①；②；③存在x、y，使得；④當取最小值時，.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積運算可判斷①；由題可得，進而得可判斷②；結(jié)合基本不等式求得可判斷③；結(jié)合條件可得到，同時平方即得可判斷④.【解析】由可得，即，①正確；又且，則，即，所以，又，則，同理，則，即，②錯誤；由知至少一正，若一正一負，則，顯然不滿足，故均為正，則，當且僅當時等號成立，則，當且僅當時等號成立，則存在x，y，使得，③正確；當取最小值2時，，由可得，則，即，則，④正確.所以正確結(jié)論的個數(shù)為3.故選：C.【點睛】本題關(guān)鍵點在于由結(jié)合得到，進而得，再結(jié)合基本不等式求得，最后由平方即可求解.8．點O是平面α上一定點，A，B，C是平面α上的三個頂點，，分別是邊，的對角.有以下五個命題：①動點P滿足，則的外心一定在滿足條件的P點集合中；②動點P滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的P點集合中；③動點P滿足，則的重心一定在滿足條件的P點集合中；④動點P滿足，則，的垂心一定在滿足條件的P點集合中.其中正確命題的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)的外心、內(nèi)心、重心、垂心分別是三邊中垂線的交點、角平分線的交點、中線的交點、高的交點，這些幾何特征與向量建立聯(lián)系，進而判斷每個命題的正誤．【解析】①當動點P滿足時，則點P是的重心，所以①不正確；②顯然在的角平分線上，而與的平分線所在向量共線，所以的內(nèi)心一定在滿足條件的點P集合中，因此②正確；③變形為，而，表示點A到邊的距離，設(shè)為，所以，而表示邊的中線向量，所以表示邊的中線向量，因此的重心一定在滿足條件的P點集合中，所以③正確；④當時，的垂心與點A重合，但顯然此時垂心點P不滿足公式，所以④不正確；正確答案序號為②③．故選：C二、多選題9．下列敘述中錯誤的是（

）A．若，則B．若，則與的方向相同或相反C．若，，則D．對任一非零向量，是一個單位向量【答案】ABC【分析】根據(jù)向量不能比較大小可判斷A；根據(jù)共線向量的定義可判斷B；當時可判斷C；根據(jù)單位向量的定義可判斷D，進而可得答案.【解析】對于A，因為向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比較大小，故A錯誤；對于B，零向量與任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，則對于非零向量，必有，但與的方向不一定相同或相反，故B錯誤；對于C，若，則零向量與任意向量平行，所以對任意向量與，均有，，故此時與不一定平行，故C錯誤；對于D，由單位向量的定義可得，對任一非零向量，其單位向量為，故D正確.故選：ABC.10．已知向量，，則（

）A．與的夾角余弦值為B．C．向量在向量上的投影向量的模為D．若，則【答案】ACD【分析】對于A：由已知得，根據(jù)向量夾角的計算公式計算可判斷；對于B：由已知得，由此可判斷；對于C：由已知得向量在向量上的投影，從而可判斷；對于D：由，可判斷.【解析】解：對于A：因為向量，，所以，所以與的夾角余弦值為，故A正確；對于B：因為，所以，所以，故B不正確；對于C：向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量的模為，故C正確；對于D：因為，所以，所以，故D正確，故選：ACD.11．設(shè)均為單位向量，對任意的實數(shù)有恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BD【分析】根據(jù)已知條件求得的夾角以及數(shù)量積，對每個選項進行逐一分析即可判斷和選擇.【解析】對：設(shè)的夾角為，，兩邊平方可得：，即對任意的恒成立，故可得：，即，則，又，故，故錯誤；對：，故正確；對：，當且僅當時取得等號，故錯誤；對：，對，當且僅當時取得最小值，故的最小值為，故正確.故選：.12．對于，其外心為O，內(nèi)心為P，垂心為H，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．向量與共線 D．【答案】BC【分析】由為外心，則，僅當時，可判定A錯誤；根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，可得判定B正確；由，得到與垂直，再由，可判定C正確；連接，設(shè)分別是的中點，連接，分別證得和，，得到P是的垂心，可判定D錯誤.故選：BC.【解析】對于A中，因為為外心，則，僅當時，才有，所以A錯誤；對于B中，由，又由，所以，所以B正確；對于C中，由，即與垂直，又由，所以與共線，所以C正確；對于D中，如圖所示，為的外接圓，連接，設(shè)分別是的中點，連接，則，又由，所以，即，所以與共線，因為為的外接圓的圓心，所以，所以，同理得，所以P是的垂心，所以D錯誤.故選：BC.13．如圖，延長正方形ABCD的邊CD至點E，使得DE=CD，動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周后回到點A，若，則下列判斷正確的是（

）A．滿足λ+μ=2的點P必為BC的中點B．滿足λ+μ=1的點P有且只有一個C．滿足λ+μ=3的點P有且只有一個D．λ+μ=的的點P有且只有一個【答案】C【分析】建立坐標系，討論，，，四種情況，依次求出的范圍，再判斷每個選項的正誤，即可得出結(jié)果.【解析】如圖建系，取，∵，∴，動點從點出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到點，當時，有且，∴，∴，當時，有且，則，∴，∴，當時，有且，則，∴，∴，當時，有且，則，∴，∴，綜上，，選項A，取，滿足，此時，因此點不一定是的中點，故A錯誤；選項B，當點取點或的中點時，均滿足，此時點有兩個，故B錯誤；選項C，當點取點時，且，解得，為，故C正確；選項D，當點在上時，均可能滿足，此時點有三個，故D錯誤；故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)題中所給條件，利用建系的方法，討論的位置，根據(jù)，確定的范圍，即可求解.（向量用坐標表示后，向量的計算和證明都歸結(jié)為數(shù)的運算，這使問題大大簡化）14．已知O，N，P，I在△ABC所在的平面內(nèi)，則下列說法正確的是（

）A．若，則O是△ABC的外心B．若，則P是△ABC的垂心C．若，則N是△ABC的重心D．若，則I是△ABC的垂心【答案】ABCD【分析】根據(jù)三角形外心、垂心、重心和內(nèi)心的定義，結(jié)合平面向量的運算即可求得答案.【解析】對A，根據(jù)外心的定義，易知A正確；對B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正確；對C，記AB、BC、CA的中點為D、E、F，由題意，則，同理可得：，則N是重心，故C正確；對D，由題意，，則I是垂心，故D正確故選：ABCD.三、填空題15．在三角形ABC中，若，且，則_______【答案】1【分析】根據(jù)，即可得出，從而可求出x，y，進而得出【解析】，又，，故答案為：1．16．如圖，在矩形中，，分別為線段，的中點，若，，則的值為___________.【答案】##【分析】利用向量的線性運算及平面向量基本定理即可求解.【解析】因為，分別為線段，的中點，所以,,,所以,所以，解得，所以，所以的值為.故答案為：.四、解答題17．設(shè)，是兩個不共線的向量，如果，，.(1)求證：A，B，D三點共線；(2)試確定的值，使和共線；(3)若與不共線，試求的取值范圍.【答案】(1)證明過程見解析(2)(3)【分析】（1）要證明A，B，D三點共線，只需證明向量與共線；（2）兩向量與（）共線，所以存在唯一實數(shù)實數(shù)，使.由此列方程組可解；（3）知兩向量不共線，求參數(shù).可先求兩向量共線時的參數(shù)值，實數(shù)集中去除這些值，即為不共線的參數(shù)值或范圍.（1）證明：因為，所以與共線.因為與有公共點B，所以A，B，D三點共線.（2）因為與共線，所以存在實數(shù)，使.因為，不共線，所以所以.（3）假設(shè)與共線，則存在實數(shù)m，使.因為，不共線，所以所以.因為與不共線，所以.18．已知向量.(1)求與平行的單位向量；(2)設(shè)，若存在，使得成立，求k的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）待定系數(shù)法設(shè)坐標后列方程組求解（2）由數(shù)量積的坐標運算化簡，轉(zhuǎn)化為方程有解問題（1）設(shè)，根據(jù)題意得解得或或.（2）..，.問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次方程在內(nèi)有解.令，①當，即時，在內(nèi)為增函數(shù)，方程在內(nèi)無解.②當，即時，由，解得或.③當，即時，在內(nèi)為減函數(shù)，由得.解得.綜上，實數(shù)k的取值范圍為.19．如圖，在中，為線段上的一個動點（不含端點），且滿足.(1)若，用向量表示；(2)若，且，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的線性運算即可求解；（2）利用數(shù)量積的運算律求解即可.【解析】（1）因為，所以，所以，當時，.（2）由（1）可知，所以因為，，所以，因為，所以，所以，即的取值范圍為.20．在梯形中，，，P，Q分別為線段BC和CD上的動點．(1)求與的數(shù)量積；(2)若，求；(3)若，求的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運算求得與的數(shù)量積.（2）利用平方的方法求得.（3）求得的表達式，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值.（1）.（2），，所以.（3）,.，設(shè)，，所以遞減；遞增，，所以在上的最大值為.即的最大值為.21．已知平面直角坐標系中，點，點（其中a，b為常數(shù)，且），點O為坐標原點.如圖所示，設(shè)點是線段的n等分點，其中，(1)當時，求的值（用含a，b的式子表示）；(2)當時，求的最小值.（說明：可能用到的計算公式：.）【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，進而推出，代入題中的等式即可；（2）當a=b=1，n=10時，，，進而得到，從而得，列出i的取值即可得到對應(yīng)的函數(shù)值.(1)由題意得，，所以，事實上，對任意正整數(shù)m，n，且m+n=2022，有，，所以所以當時，.(2)當a=b=1，n=10時，，同理當i=6，7，8，9時，，當i=7時，上式有最小值當i=5時，當i=1，2，3，4時，，當i=3時，上式有最小值綜上，的最小值是.一、單選題1．（2021·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量，為非零向量，則“向量，的夾角為180°”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】判斷命題“若向量，的夾角為180°，則”和命題“若，則向量，的夾角為180°”的真假即可得解.【解析】因向量，為非零向量，則當向量，的夾角為180°時，與方向相反，即成立，當時，與方向相同或者方向相反，即向量，的夾角為0°或者180°，可以不為180°，所以“向量，的夾角為180°”是“”的充分不必要條件.故選：A2．（2021·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列有關(guān)四邊形的形狀判斷錯誤的是（

）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為梯形C．若，且，則四邊形為菱形D．若，且，則四邊形為正方形【答案】D【分析】根據(jù)向量共線、相等的知識確定正確答案.【解析】A選項，，則，所以四邊形為平行四邊形，A正確.B選項，，則，所以四邊形為梯形，B正確.C選項，，則，四邊形是平行四邊形；由于，所以四邊形是菱形，C正確.D選項，，則，所以四邊形為平行四邊形；由于，所以四邊形為菱形，D選項錯誤.故選：D3．（2022·上海普陀·統(tǒng)考一模）設(shè)，若向量、、滿足，且，則滿足條件的k的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，利用平面向量的數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的性質(zhì)可得，進而，結(jié)合選項即可求解.【解析】由，得，所以，又，所以，即，得，又，所以，所以k的取值可以是2.故選：B.4．（2022·陜西安康·統(tǒng)考一模）已知O是內(nèi)一點，，若與的面積之比為，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由確定點的位置，再利用與的面積之比列方程來求得的值.【解析】由得，設(shè)，則.由于，所以A，B，D三點共線，如圖所示，∵與反向共線，，∴，∴，∴.故選：D5．（2021·浙江金華·統(tǒng)考三模）半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C為弧上的動點，已知，記，則（

）A．若m+n=3，則M的最小值為3B．若m+n=3，則有唯一C點使M取最小值C．若m·n=3，則M的最小值為3D．若m·n=3，則有唯一C點使M取最小值【答案】A【分析】設(shè)，以為原點，以、與所在直線垂直的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達式，可解決此題．【解析】：設(shè)，如圖：以為原點，以、與所在直線垂直的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，則，，，，，，．①若，取，，則，，，，，,，此時，、兩點重合，所以正確；取，，則，當時取最小值，此時、兩點重合，所以點不唯一，故B錯誤；②若，取，則，當時，，故C錯誤；取，時，則，當時，取最小值，點不唯一，故D錯誤.故選：A．【點睛】本題考查平面向量的線性運算的意義和模的意義，涉及與圓有關(guān)的最值問題，關(guān)鍵是題目中的參數(shù)較多，故而應(yīng)當想到直接解決困難較大，應(yīng)用特值排除的方法解決較為方便，這是在解決一些選擇題是常常需要用到的思想方法.二、多選題6．（2022·浙江嘉興·?？寄M預(yù)測）設(shè)是兩個非零向量，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．在方向上的投影向量為 D．【答案】ABC【分析】利用平面向量的垂直關(guān)系，然后對選項一一驗證即可.【解析】因為，所以，所以，所以選項A正確；因為，所以，即有，所以，所以選項B正確；因為，所以在方向上的投影向量為，所以選項C正確；由向量數(shù)量積的定義可知，，所以，所以選項D錯誤.故選：ABC.7．（2021·全國·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．若為平面向量，，則B．若為平面向量，，則C．若，，則在方向上的投影為D．在中，M是AB的中點，＝3，BN與CM交于點P，＝+，則λ＝2μ【答案】CD【分析】利用向量共線的概念判斷A、B，；利用向量數(shù)量積的定義可判斷C；利用向量共線的推論即可判斷D.【解析】A，若，則與任意向量共線，所以與不一定平行，故A錯誤；B，若，則，，當共面時，，若不共面時，與不平行，故B錯誤；C，若，則，所以，在方向上的投影為，故C正確；D，，設(shè),則，設(shè)，則，即，①