湖北省武漢市5G聯(lián)合體2022-2023學年高一年級下冊期末聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）

2022-2023學年度下學期武漢市重點中學5G聯(lián)合體期末考試

高一數(shù)學試卷

命題學校：湖北省水果湖高級中學考試時間：2023年6月28日試卷滿分：150分

★?？荚図樌?/p>

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

3-i_

1復數(shù)1+i（）

A.-l+2iB.1-iC.l-2iD.-1+i

2.設加為直線，a,￡為兩個不同的平面，則下列結(jié)論中錯送的是（）

A.m//a,a〃?，且機根〃B.m//a^m//a//P

C.a//p,Amua=m〃0D.a〃尸，且加與a相交n機與夕相交

3.在正四面體ABC。中，點E，F(xiàn)，G分別為棱BC,CD,AC的中點，則異面直線AE，F(xiàn)G所成

角的余弦值為（）

D.如

3

4.某次投籃比賽中，甲、乙兩校都派出了10名運動員參加比賽，甲校運動員的得分分別為8,6,7,7,

8,10,9,8,7,8,這些成績可用下圖中的(1)所示，乙校運動員的得分可用下圖中的(2)所示.

678910678910

(1)(2)

則以下結(jié)論中，正確的是()

A.甲校運動員得分的中位數(shù)為7.5

B.乙校運動員得分的75%分位數(shù)為10

C.甲校運動員得分的平均數(shù)大于8

D.甲校運動員得分的標準差大于乙校運動員得分的標準差

5.在中，。、b、c分別是內(nèi)角A、B、。所對的邊，若a=6,b=瓜,A=30，則邊c=

()

A.V2B.,或瓜C.夜或2&D.2V2

6.如圖所示，三棱柱ABC-44G中，若E、尸分別為AB，AC靠近點A的三等分點，平面E4G/

將三棱柱分成左右兩部分體積為匕和匕，那么X：匕=()

A.7:5B.14:13C.5:7D.13:14

7.如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是4,過P。的中點。|作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一

個圓柱，則剩下幾何體的表面積為()

C.（9+4石）兀D.（6+4石）兀

兀兀

8.在中，A=—，B=—,BC=l,。為AC中點，若將△BCD沿著直線BO翻折至△8C'。,

62

使得四面體C'—A8D的外接球半徑為1，則直線3C'與平面43。所成角的正弦值是（）

A.—B,-C.—D.邁

3333

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知互不相同的9個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下的7個數(shù)據(jù)與原9個數(shù)據(jù)相比,

下列數(shù)字特征中不變的是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.第41百分位數(shù)D.方差

10.已知向量。=（1,G）,6=（cos仇sin8）（0W8三兀），則下列說法正確的是（）.

A.若aHb，則tan6=6B.若aJ_b,。的值為妥

6

C.ab取值范圍為[—6,2]D.存在6,使得卜一.=口+慟

11.在ABC中，內(nèi)角A、BC所對的邊分別〃、b、c,=2hcsinA，下列說法正確的是（）

A.若a=l,則S^ABC=；

B.ABC外接圓半徑為色

a

ch71

C.—+—取得最小值時，A=—

hc3

D.A=:時，值為2起

4bc

12.如圖，正四面體ABC。的棱長為1,E,尸分別是棱30,8上的點，且BE=DF=t,

/e（O,l）,則（）

A

A.不存在f,使得3c〃平面AEE

B.直線AC與直線EE異面

C.不存在f,使得平面的平面BCD

D.三棱錐A—DER體積的最大值為注

24

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.雙空題第一空2分，第二空3分.

13.已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于J5km，燈塔A在觀察站C的北偏東40。，燈塔8

在觀察站C的南偏東20°,則燈塔A與燈塔8的距離為km.

14.已知a=(2,2G),e為單位向量，向量.，e的夾角為:，則向量°在向量e上的投影向量為

TT

15.如圖，在。中，ZBAC=^,AD=2DB，P為CO上一點，且滿足

AP^mAC+^AB(meR),若AC=2,AB=4,則的值為.

16.已知正方體ABC。一A4G2的棱長為3,動點。在VABC內(nèi)，滿足°P=JiZ,則點P的軌跡長

度為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(1)設zwC,在復平面內(nèi)z對應的點為z，那么求滿足條件：2＜目＜3的點Z的集合的圖形面積；

⑵已知復數(shù)4=根+(4—M)i(meR),z2=x+(^,+2x)i(2,xeR),且Z|+Z2=0,求；l的范圍.

18.在.ABC中，角A,B,。所對邊分別為“，b,c,sin(A-B)=sinC-sinB.

(1)求角A；

(2)若_ABC外接圓的半徑為友，求二A8C面積的最大值.

3

19.如圖，在三棱柱ABC-%B|G中，面為正方形，面為菱形，^CAA,=60°,側(cè)面

AA}C}C1面A.

⑴求證：AC，面C4內(nèi);

(2)求二面角C-BB.-A的余弦值.

20.為了深入學習領會黨的二十大精神，某高級中學高一全體學生參加了《二十大知識競賽》.試卷滿分為

100分，所有學生成績均在區(qū)間［40,1()()］分內(nèi).已知該校高一選物理方向、歷史方向的學生人數(shù)分別為

180、120.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取了30名學生的答題成績，繪制了如下樣本頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，計算圖中。的值，并估計該校全體學生成績的平均數(shù)和第71百分位數(shù);

(2)已知所抽取選物理方向和歷史方向?qū)W生答題成績的平均數(shù)、方差的數(shù)據(jù)如下表，且根據(jù)頻率分布直方圖

估計出全體學生成績的方差為140,求高一年級選物理方向?qū)W生成績的平均數(shù)1和高一年級選歷史方向?qū)W

生成績的方差學.

選科方向樣本平均數(shù)樣本方差

物理方向陽75

歷史方向60

21.已知的面積為地，且AB.AC=-3且AB>AC.

2

(1)求角A的大小；

(2)設M為的中點，且AM=也，。的平分線交BC于N,求線段MN的長度.

2

22.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,ZADC=90，

AB=AD=2BC=2,NADQABAD.

(1)M為PC上一點，且當P4〃平面。MS時，求實數(shù)/l的值;

(2)設平面PAO與平面PBC的交線為/.證明〃/面ABCD；

(3)當平面PAO與平面PBC所成銳二面角的大小為45時，求PC與平面ABC。所成角的正弦值.

2022-2023學年度下學期武漢市重點中學5G聯(lián)合體期末考試

高一數(shù)學試卷

命題學校：湖北省水果湖高級中學考試時間：2023年6月28日試卷滿分：150分

★?？荚図樌?/p>

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

3-i

1.復數(shù)1+i()

A.-l+2iB.1-iC.l-2iD.-1+i

【答案】C

【解析】

【分析】利用復數(shù)的除法可化簡所求的復數(shù).

「至儼】3-i_（3-2-4i

【詳解】幣一萬麗F=1—2i.

2

故選：C.

2.設m為直線，a,/7為兩個不同的平面，則下列結(jié)論中鎮(zhèn)送的是（）

A.m//a,a//p,B=BB.m//a,m//p-=>a//P

C.a//p,且〃D.a〃/，且5與a相交=>加與/相交

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間中線面平行、面面平行關系逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A：若加〃a,a//P，則mu/?或加〃￡,

又因為ma/,所以/篦〃萬，故A正確；

對于選項B：若加〃a,m//P，則a〃夕或a與夕相交，

例如在正方體ABC。一A4Goi中，AB〃平面A百eq,AB〃平面CGA。，

顯然平面48cl9與平面CCRD相交，故B錯誤；

對于選項C：若a〃夕，且mua,由面面平行的性質(zhì)可得〃2〃2，故C正確；

對于選項D：若a〃萬，且加與。相交，由面面平行的性質(zhì)可得加與夕相交，故D正確；

故選：B.

3.在正四面體ABCD中，點￡,F,G分別為棱3C,CD,AC的中點，則異面直線AE，F(xiàn)G所成

角的余弦值為（）

A百R百V6D指

A.D,-Lcx.-------L/.

3333

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義結(jié)合余弦定理運算求解.

【詳解】連接。E，設正四面體ABCD的棱長為2,

因為G,E分別為AC,CD的中點，則GE〃A。，

所以異面直線AE,FG所成角為/ZME（或其補角）,

在VAZ）七中，則AE=OE=石,AO=2,

4。2+4爐-。爐_4+3-3

由余弦定理可得cosNZME

2ADAE~2x2x73

所以異面直線AE,FG所成角的余弦值為更.

故選：A.

4.某次投籃比賽中，甲、乙兩校都派出了10名運動員參加比賽，甲校運動員的得分分別為8,6,7,7,

8,10,9,8,7,8,這些成績可用下圖中的(1)所示，乙校運動員的得分可用下圖中的(2)所示.

678910678910

(1)(2)

則以下結(jié)論中，正確的是()

A.甲校運動員得分的中位數(shù)為7.5

B.乙校運動員得分的75%分位數(shù)為10

C.甲校運動員得分的平均數(shù)大于8

D.甲校運動員得分的標準差大于乙校運動員得分的標準差

【答案】B

【解析】

【分析】先計算出甲校派出的10名運動員參賽成績的中位數(shù)，平均數(shù)和標準差；再計算出乙校派出的10

名運動員參賽成績的75%分位數(shù)，平均數(shù)和標準差即可.

【詳解】甲校派出的10名運動員參賽成績從小到大為：6,7,7,7,8,8,8,8,9,10,

其中位數(shù)為：8,平均數(shù)為：6+7x3+8x4+9+10=7.8,故選項A、C錯誤；

10

其標準差為：-7.8)2+3x(7—7.8產(chǎn)+4x(8—7.8>+(9—7.8尸+(10—7.8)2]

乙校派出的10名運動員參賽成績分別為：6,7,8,9,9,9,9,10,10,10,

則其平均數(shù)為：6+7+8+^4+10><3=8.7,75%分位數(shù)為：10,

標準差為：—8.7)2+(7—8.7>+(8—8.7)2+4x(9—8.7)2+3x(10—8.7)2]

所以甲校運動員得分的標準差小于乙校運動員得分的標準差，故選項B正確，D錯誤.

故選：B

5.在ABC中，a、b、。分別是內(nèi)角A、B、C所對的邊，若a=6,b=R，A=30，則邊c=

()

A.V2B.26,或瓜C.夜或2及D.2A/2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)余弦定理可得出關于。的等式，解之即可.

【詳解】因為Q=>/2?b=瓜,A=30,由余弦定理可得"=Z?24-c2—2bccosA?

即6+。2一2"xcx#=2，即C2-3&C+4=0，解得c=&或2及.

故選：C.

6.如圖所示，三棱柱ABC-AgG中，若E、F分別為AB,AC靠近點A的三等分點，平面反。一

將三棱柱分成左右兩部分體積為匕和匕，那么匕：匕=()

A.7:5B.14:13C.5:7D.13:14

【答案】D

【解析】

【分析】利用棱臺體積公式求解體積即可得到體積比.

【詳解】設三棱柱的高為h,底面的面積為s,體積為v，則v=K+%=so,

因為E、尸分別為AB，AC靠近點A的三等分點，所以SA￡F=gs,

11I~i-1314

則K=g（s+；s+Jsts）/?=Ws/z,所以匕=v—x=^s〃，

所以K：匕=13:14.

故選：D.

7.如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是4,過P。的中點。?作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一

C,（9+4石）兀D.（6+4后）兀

【答案】B

【解析】

【分析】通過圓錐的底面半徑和高，可求出圓柱的高和底面半徑，再結(jié)合圓錐的表面積與圓柱的側(cè)面積可求

得剩下幾何體的表面積.

【詳解】設圓柱的高為人底面半徑為人可知〃=Lx4=2,r=Lx,x4=l,

222

則圓錐的母線長為@+42=2石，

所以剩下幾何體的表面積為兀x2?+271x1x2+71x2x26=（8+46）兀.

故選：B.

TT7T

8.在一ABC中，A=一,B=-,BC=\,。為AC中點，若將△BCD沿著直線3。翻折至△BC'D,

62

使得四面體C'-ABO的外接球半徑為1,則直線3C'與平面詼所成角的正弦值是（）

A.3B.2C.立D.也

3333

【答案】D

【解析】

【分析】由直角三角形性質(zhì)和翻折關系可確定△8C'。為等邊三角形，利用正弦定理可確定外接圓

半徑，由此可知△ABD外接圓圓心。即為四面體C'-ABD外接球球心，由球的性質(zhì)可知。G_L平面

BCD,利用匕38。=%￡知＞可求得點。'到平面/曲的距離，由此可求得線面角的正弦值.

7171

【詳解】A=—,B=—,BC=\,:.AC^2,又。為AC中點,

62

：.AD=CD=BD=L則BC'=CZ)=8D=1,即△BC'Q為等邊三角形,

設的外接圓圓心為G,△A3。的外接圓圓心為。，取BO中點H，連接

CH,OH,OG,OB,OC',OD,

711nr\

A=—,BD=1?*,*OB=———=1,即△A3。外接圓半徑為1，

62sinA

又四面體C-ABD的外接球半徑為1,??.O為四面體C-ABD外接球的球心,

由球的性質(zhì)可知：06_1_平面8。7),又CT/u平面BCD,.?.OG，C7f,

設點C到平面4?。的距離為",

OBD'd=^SCBD0G，

由Vc-OBD=V()-CBD得:

又,OBD與..C'BD均為邊長為1的等邊三角形，：.d=OG=亞，

3

直線BC'與平面9所成角的正弦值為，一=逅.

BC3

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛；本題考查幾何體的外接球、線面角問題的求解；本題求解線面角的關鍵是能夠確定

外接球球心的位置，結(jié)合球的性質(zhì)，利用體積橋的方式構(gòu)造方程求得點到面的距離，進而得到線面角的正

弦值.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知互不相同的9個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下的7個數(shù)據(jù)與原9個數(shù)據(jù)相比,

下列數(shù)字特征中不變的是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.第41百分位數(shù)D.方差

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)中位數(shù)，百分位數(shù)的計算即可判斷AC,舉例即可判斷BD.

【詳解】設這9個數(shù)分別為玉，x2,x3,x4,x5,x6,x7,/,

<x2<x3<x4<x5<x6<x7<xs<x9f

則中位數(shù)為七,

去掉最大和最小的數(shù)據(jù)，得巧，-%，不，/，X1'文，中位數(shù)為七，

故中位數(shù)一定不變；故A正確，

xX

由41%X9=3.69,得X],4，3>X”35，％6，1<>與的第41百分位數(shù)為X”

由41%x7=2.88,得演，毛，34，/，4，*7，4的第41百分位數(shù)為X”

故第41百分位數(shù)不變，故C正確，

設這9個數(shù)分別1,2,3,4,5,6,7,8,9,

nI-rrau.AL1+2+3+4+5+6+7+8+9.

則平均數(shù)為---------------------------=5,

9

方差為#(1-5)2+(2—5)2+(3—5)2+(4-5)2+(5-5)2+

20

(6-5)2+(7-5)2+(8-5)2+(9—5)2]=—，

3

去掉最大和最小的數(shù)據(jù)為2,3,4,5,6,7,8,

2+3+4+5+6+7+8

則平均數(shù)為=5

7

方差為3(2-5)2+(3_5)2+(4_5)2+(5_5)2+(6-5)2+(7-5)2+(8-5)2]=4,

所以此時方差改變了，故D錯，

設這9個數(shù)分別-1,2,3,4,5,6,7,9,10,

—1+2+3+4+5+6+7+9+10

則平均數(shù)為-----------------------------=5，

9

去掉最大和最小數(shù)據(jù)為2,3,4,5,6,7,9,

此時平均數(shù)為2+3+4+5+6+7+9=非,所以此時平均數(shù)改變了，故B錯.

77

故選：AC.

10.已知向量〃=Z?=(cos^sin0)(0<^<7r),則下列說法正確的是().

A.若allb?則tan0=\/3B.若儀,0的值為-一

6

C.人力的取值范圍為[-6,2]D.存在6,使得卜一0="+慟

【答案】AB

【解析】

【分析】由向量共線的坐標運算可判斷A；由向量的垂直的坐標運算可判斷B；由向量數(shù)量積的坐標運算

和6的范圍可判斷C；由|。-4=忖+帆得=3,求出6的范圍可判斷D.

【詳解】對于A,若〃///?,則Gcose=sin。，所以tan6=g，故A正確；

對于B,若則cos6+Gsine=0，所以tan6=-走，

3

5兀

因為04。4兀，所以6的值為一，故B正確;

6

對于C,a,0=〃=cose+6sine=2sin[t+。），因為0＜。＜兀，

LL…兀C兀7兀sinp+^js-g,l,所以的取值范圍為[T,2],故C錯誤;

所以一＜e+—＜一,

666

對于D,。一人二(1一cos。,百一sin。)，所以

3-sin。=2+1=3,

若卜_@=付+慟，則J5_4sin[e+^)=3,得sin(6+￡)=-1,

27r27rl5

解得夕=一三+2版(ZEZ),因為04。工兀，所以0＜—3-+2Ev兀，解得3＜女＜7,

因為攵eZ,所以無解，故D錯誤.

故選：AB.

2

11.在中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別。、b、c,a=2bcsinA下列說法正確的是（）

A.若。=1,則Sosc=；

B.二ABC外接圓的半徑為一

a

ch71

C,上+上取得最小值時，A=-

bc3

D.A=2?時，—+—值為2近

4bc

【答案】ABD

【解析】

【分析】對A,由正弦定理化簡a=?sinC可得sinC='-,再根據(jù)三角形面積公式判斷即可；對B,根

2b

據(jù)a=2Z?sinC結(jié)合正弦定理判斷即可；對C,根據(jù)正弦定理與余弦定理化簡sinA=2sinBsinC可得

27MA+：=*，再根據(jù)基本不等式與三角函數(shù)性質(zhì)判斷即可；對D,根據(jù)三角函數(shù)值域求解即

可.

【詳解】對A,因為/=2Z?csin4，由正弦定理可得asinA=2/?sinAsinC,

因為A￡(O,TI),則sinA>0,則a=2Z?sinC,

又因為。=1,故sinC='-,故三角形面積為5%叱=！。戾皿。=,*1、6*'-=！，故A正確;

2b222b4

對B,a-2/?sinC,則sinC---

2b

CR=_^="

設.ABC外接圓的半徑為R,則2R=「；，故八°a”，故B正確;

sinC^x-

2b

對C,因為/=2bcsinA，由余弦定理2Z?csinA=〃+c2—2hccosA，

即2〃c(sinA+cosA)=〃2+C2,化簡可得2&sin[z4+^-j=—+-1-,

由基本不等式得2+￡22、口.￡=2,當且僅當b=c時取等號,

chNeb

此時sin（A+=立，故當A=二，8=C=4時，2+￡取得最小值2,故C錯誤；

（41224cb

對D,由C,2V2sin|A+|=-+y,當A=；時，夕+色的值為2正，故D正確；

<4Jcb4cb

故選：ABD.

12.如圖，正四面體A8CD的棱長為1,E，尸分別是棱B￡>，8上的點，且BE=DF=Z,

?6（0,1）,則（）

A.不存在f,使得5C〃平面AER

B.直線AC與直線EE異面

C.不存在t，使得平面AST7_L平面BCD

D.三棱錐4一?！晔w積的最大值為巫

24

【答案】BC

【解析】

【分析】對于B,根據(jù)異面直線的定義即可判斷；對于A,當f=L時，E,尸分別是棱BQ,8的中點，

2

得到3C〃再根據(jù)線面平行的判定定理即可得解；對于C,根據(jù)題意得到當E,O,F三點共線時,

平面平面BC￡>,然后利用平面向量基本定理的推論判斷即可；對于D,先求出三棱錐A—

的高A0,然后利用基本不等式求出所面積的最大值，即可求出三棱錐A—￡>￡/體積的最大值.

【詳解】因為直線4C與平面BC。交于點C,放u平面BCD,且不經(jīng)過點C,所以直線4c與直線

EF異面,故B正確.

當/=4時，E，F(xiàn)分別是棱BO，CO的中點，此時3c〃比

2

因為￡Fu平面AEF，8cz平面AEE，所以3C〃平面AEF，故A錯誤.

設。為△BCD的中心，連接A。，因為經(jīng)過點A有且只有一條直線A。垂直于平面

BCD,所以經(jīng)過點A且垂直于平面BCD的平面一定經(jīng)過直線A0,

即當且僅當E,0,尸三點共線時，平面AEEJ_平面BCD,

因為。石=1一，DF=t,

1一一1一

所以。8=——DE,DC=-DF,設5c的中點為連接DM，

\-tt

則￡>0=？￡>用=:（08+0°）=：（；-￡>5+10/],因為E，0,尸三點共線,

33'，3（1—ft）

所以g(占+：)=1,整理得3/一3，+1=0,因為A=—3<0,所以此方程無解，

所以不存在re(0,1),使得平面AEF,平面BCD,故C正確.

易知AO=JA￡>2—￡)。2=]AD2_(：DM)=乎，在J)所中

DE=\-t,DF=t,所以J)EF的面積S=；?J(1—f+(~)二百

—一而

當且僅當，=，時等號成立，所以三棱推人一?！晔w積的最大值為_lx@x《5=也.

2316348

故D錯誤.

故選：BC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.雙空題第一空2分，第二空3分.

13.已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于gkm，燈塔A在觀察站C的北偏東40°,燈塔8

在觀察站C的南偏東20。，則燈塔A與燈塔B的距離為km.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，利用余弦定理運算求解.

【詳解】在中，由題意可知：AC=BC=73,ZACB=120°,

由余弦定理可得：AB，=AC~+BC2-2AC-BCcosZ.ACB=3+3—2x^/3x石x（一g）=9,

所以AB=3（km）

故答案為：3.

14.已知a=（2,26）,e為單位向量，向量e的夾角為g，則向量a在向量e上的投影向量為

【答案】2e

【解析】

【分析】先求出向量a的模，再根據(jù)投影向量的定義即得.

【詳解】因為同="2+（26）2=4,又向量e為單位向量，向量a，e的夾角為g，

所以向量。在向量;方向上的投影向量為：

,

Cl€C/\Illi71.1個

=。?ecos—=4x--e=2e

|^||e|v7111132

故答案為：2e

15.如圖，在一ABC中，ZMC=|,AD=2DB，P為CD上一煎,且滿足

AP=mAC+^AB（meR）,若AC=2,AB=4，則AP-C￡）的值為.

c

【答案】3

【解析】

【分析】利用CP//CD，結(jié)合已知條件可把m求出，由平面向量基本定理把AP、CD用已知向量他、

AC表示，再利用數(shù)量積的運算法則可求數(shù)量積.

2

【詳解】AD^2DB<-AD^-AB,

CP//CD-,存在實數(shù)左，使得=即AP-AC=Z(AO-AC),

則(/n_l)AC+gA8=&(|A8_AC),

又AP=mAC+—AB,

2

m-\=-k

?731

12.，,"=~7m-—,

一=—k44

123

貝!!AP.CZ)=AP-(A￡>—AC)=(；AC+；A8)(gAB-AC

2A4--AC2--A/?AC=—--X22--X4X2COS-=3,

3433433

故答案為：3.

16.已知正方體ABC。-AAG。的棱長為3,動點P在VAB。內(nèi)，滿足°p=JiZ,則點P的軌跡長

度為.

【答案】7271

【解析】

【分析】確定正方體ABC。一對角線5烏與VABC的交點E,求出EP確定軌跡形狀，再求出

軌跡長度作答.

【詳解】在正方體ABC。一中，如圖，

平面ABCO,ACu平面A8CO,則。A，AC,而8O_LAC,

DDJBD=D,DD、,BDu平面BDD_于是AC_L平面又BQu平面BOj,

則ACJ.62，同理A4J.8A，而ACcAB|=A,AC,A4u平面48C，

因此BR,平面AB。，令8。交平面AB/于點E，

VV

由B-AB,C=B,-ABC>得;5Asic?BE=gSABC,BB[,

即日?（&A8『.BE=gAB3,解得成=卡AB=5

而BDi=6AB=3y^,于是D、E=2網(wǎng),

因為點P在VAB|C內(nèi)，滿足￡）1P=J值，則EP=J.p2-〃爐=8,

因此點P的軌跡是以點E為圓心，V2為半徑的圓在VAB|C內(nèi)的圓弧，

而VABC為正三角形，則三棱錐8-A4c必為正三棱錐，E為正VABC的中心，

于是正VABC的內(nèi)切圓半徑E”=Agx迫x，=3x行x@x1="，

123232

則cosN〃EF=^，即NHEF=$,NFEGJ,

263

所以圓在VABC內(nèi)的圓弧為圓周長的g,

即點P的軌跡長度為工?2無?夜=也兀

2

故答案為：y/2.71

【點睛】方法點睛：涉及立體圖形中的軌跡問題，若動點在某個平面內(nèi)，利用給定條件，借助線面、面面

平行、垂直等性質(zhì)，確定動點與所在平面內(nèi)的定點或定直線關系，結(jié)合有關平面軌跡定義判斷求解.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(1)設zeC,在復平面內(nèi)z對應的點為z，那么求滿足條件：2Vzi<3的點Z的集合的圖形面積；

⑵已知復數(shù)4=m+(4-〃)i(meR),4=x+(2+2x)iR),且Z1+Z2=0,求；L的范圍.

【答案】⑴5兀；(2)[-5,4W).

【解析】

【分析】(1)利用復數(shù)的幾何意義，結(jié)合圓的面積公式即可得解；

(2)利用復數(shù)相等得到關于九蒼4的方程組，從而得到；I關于x的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】(1)由復數(shù)的幾何意義知：滿足條件2VM<3的點Z的集合的圖形為圓環(huán)，

其中大圓半徑為3,小圓半徑為2，

故所求面積為兀.？？-兀?22=5兀.

(2)因為馬=m+(4-n?)i(meR),z2=x+(A+2x)i(2,xeR),且Z|+Z2=0,

所以x+加+(4-??+4+2x)i=0,所以加=-x且4一機2+4+2X=O，

故4=加2-2x-4=x?-2x-4=(x-1)?-5.

因為機eR,xeR,

所以當x=l時，2有最小值為—5,

所以；l范圍為[—5,+8).

18.在中，角A,B,。所對邊分別為〃，b,c,sin(A-B)=sinC-sinB.

⑴求角A；

(2)若.ABC外接圓的半徑為垣，求jWC面積的最大值.

3

TT

【答案】(1)A=§

(2)273.

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)sin(A-B)=sinC-sin5展開，結(jié)合正弦和差化積公式進行化簡，可得出cos4=；,

進而得出角A的值.

(2)根據(jù)題意和正弦定理可得出邊長〃的值，再由第一問和余弦定理得出6和c的關系〃+c2=》c+8,結(jié)

合基本不等式即可求出—ABC面積的最大值.

【小問1詳解】

由sin（A-B）=sinC-sin5得，sin（A_8）=sin（A+B）-sinB,

所以5皿3=5山（4+3）-5111（4-8）=2?05AsinB,乂0<8<兀，所以sinB>0,

所以cosA=4，因為0<4<兀，所以A=烏；

23

【小問2詳解】

由,ABC外接圓的半徑為壁，則得a=勺尼sinA=2后，

33

*2_2

由余弦定理得，COSA=LY——,即〃+°2=力C+8,

2hc

所以〃2+。2=〃。+822bc，解得匕c68.

所以s4A8c=；besin4?2百，故JRC面積的最大值為26?

19.如圖，在三棱柱ABC-44和中，面山?44為正方形，面MCC為菱形，ZCA4,=60°,側(cè)面

44。。J■面AB8IA1.

（2）求二面角C-BB1-A的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵垃

7

【解析】

【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理即可得證.

（2）過C作C"_LAA于〃，過H作HKJ.BB］于K,連接CK,利用線面垂直的性質(zhì)定理得出NCKH

為二面角-A的平面角，在RtZJ?”K中直接求解即可.

【小問1詳解】

由菱形AAGC可得AG，AC，

面A4,GC，面A881A，面A41GC面4844=44,，

又正方形45gA中4月，A&,

.-.44，面AA^C,又AGu平面A4.C.C,.-.4A±AC,,

A5)4C=A，A4,ACu平面cqgAG_1_面。4片.

【小問2詳解】

過。作C”_LAA于〃，則C”J_面AB4A.

過H作HKLBBi于K，連接CK,

因BB,u平面ABB^,則CH±BB.,

又CH,HKu平面CHK,CHHK=H,故平面C”K,

又CKu平面CHK,所以BB]LCK,

故4CKH為二面角C-BB.-A的平面角,

在Rt^CUK中，設AC=a,AA]=AB=a,ZCAA,=60°,

22

,CH=V3a；HK=AB=a,CK=yJCH+HK=—

22

./s_a_277

..cos/CKH=-產(chǎn)-=----

ylla7?

F

即二面角c一-A的余弦值為短.

7

20.為了深入學習領會黨的二十大精神，某高級中學高一全體學生參加了《二十大知識競賽》.試卷滿分為

100分，所有學生成績均在區(qū)間［4()/()0］分內(nèi).已知該校高一選物理方向、歷史方向的學生人數(shù)分別為

180、120.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取了30名學生的答題成績，繪制了如下樣本頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，計算圖中。的值，并估計該校全體學生成績的平均數(shù)和第71百分位數(shù);

(2)已知所抽取選物理方向和歷史方向?qū)W生答題成績的平均數(shù)、方差的數(shù)據(jù)如下表，且根據(jù)頻率分布直方圖

估計出全體學生成績的方差為140,求高一年級選物理方向?qū)W生成績的平均數(shù)三和高一年級選歷史方向?qū)W

生成績的方差S；.

選科方向樣本平均數(shù)樣本方差

物理方向*75

歷史方向60￥

【答案】(1)a=0.04()，平均數(shù)69,第71百分位數(shù)75；

(2)%=75，s；=102.5

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定的頻率分布直方圖，求出。值，再求出學生成績的平均數(shù)和第71百分位數(shù)作答.

(2)由(1)結(jié)合平均數(shù)的意義求出三，再根據(jù)方差的定義求出s；作答.

【小問1詳解】

由頻率分布直方圖知，10(0.006+0.012+a+0.026+0.010+0.006)=1,解得a=0.()4(),

學生成績在區(qū)間［40,50),［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］內(nèi)的頻率依次為:

0.06,0.12,0.40,0.26,0.10,0.06,

樣本平均數(shù)1=45x0.06+55x0.12+65x0.4+75x0.26+85x0.1+95x0.06=69，

顯然學生成績在區(qū)間［40,70)內(nèi)的頻率為058,在區(qū)間［40,80)內(nèi)的頻率為0.84,因此第71百分位數(shù)

為e(70,80),

0.06+0.12+0.4+(x0-70)x0.26=71%,解得%=75,

所以a=0.040,估計該校全體學生成績的平均數(shù)為69,第71百分位數(shù)為75.

【小問2詳解】

?go

依題意，抽取的30名學生中，物理方向有——x30=18(人)，則歷史方向有12人,

300

由(1)知，---!---------=69，解得X.=75r

30

物