河南省TOP二十2024屆高三年級下冊5月沖刺（一） 數(shù)學(xué) 含答案

2024屆高三年級TOP二十名校沖刺一

數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時間120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)Z滿足（1+1"=T+1,貝|Z=（）

A2-iB.2+iC.iD.-i

,1

2.已知集合人={犬￡49％2<9},3={_1,0,5,2,3},則中元素的個數(shù)為（）

A.9B.8C.5D.4

3.若a,beR,則是"3"—3&>2&-2"”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.函數(shù)與直線x+y=0相切于點A,則點A的橫坐標(biāo)為（）

1

A.-B.1C.2D.e

e

5.設(shè)〃=10832,/?=108336,。=1。822血,1=2°49,則（）

A.a<b=c<dB.d<c—b<a

C.a<d<b=cD.c<a<d<b

6.在,ABC中，<2-ccosB=b-ccosA,則cABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

7.如圖是某質(zhì)點作簡諧運(yùn)動的部分圖象，位移>（單位：cm）與時間才（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式是

/

y=Kcos（0/+o）[K>O,0>O,0e[—],]]J,其中4（0,1）,5（4,1）,振幅為2,則前3秒該質(zhì)點走過

A.-百cmB.6cmC.(5-石卜111D.(7-后卜111

8.已知點P在水平面a內(nèi)，從P出發(fā)的三條兩兩垂直的線段P。,PR,PS位于a的同側(cè)，若Q,R,S到a的

_149

距禺分別為1,2,3,則而y+菽y+萬科的值為()

A.1B.72C.73D.2

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某研究機(jī)構(gòu)為了探究過量飲酒與患疾病A真否有關(guān)，調(diào)查了400人，得到如圖所示的2x2列聯(lián)表，其中

0=12。，則()

患疾病A不患疾病A合計

過量飲酒3ab

不過量飲酒a2b

合計400

參考公式與臨界值表：上加記加+9

a0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

Xa

A.任意一人不患疾病A的概率為0.9

3

B.任意一人不過量飲酒的概率為?

8

C.任意一人在不過量飲酒條件下不患疾病A的概率為一

25

D.依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗，認(rèn)為過量飲酒與患疾病A有關(guān)

22

10.己知橢圓F]:=+'=1（?！等恕?）的左，右焦點分別為耳，鳥，將心上所有點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別

ab

伸長到原來的左（左＞。,左W1）倍得到橢圓心，則下列說法正確的是（）

bh+t

A.若%＞0,則一＜——

aa+t

B.若r\,「2的離心率分別為G?，則c=e2

C.若的周長分別為￡，。2,則02=￡

k

D.若乙的四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為區(qū)黃，則八的離心率為2（、回-1）

11.將圓柱aa的下底面圓a置于球。的一個水平截面內(nèi)，恰好使得a與水平截面圓的圓心重合，圓柱

OQ的上底面圓°2的圓周始終與球。的內(nèi)壁相接（球心。在圓柱O1Q內(nèi)部）.已知球。的半徑為3,

3

OOX=-.若7?為上底面圓。2的圓周上任意一點，設(shè)RO與圓柱O1Q的下底面所成的角為a,圓柱。。2

的體積為￡,則（）

A.a可以取到卜弓）中的任意一個值

2771

B.V=cos2?(l+2sin?)

C.丫的值可以是任意小的正數(shù)

8171

D匕ax

三、填空題：本題共3小題；每小題5分，共15分.

12.若a=(—5,12)1=(3,4),則cos(a,b)的值為

13.如圖是一個水平放置在某地的三棱臺型集雨器，已知上、下底的面積分別為4cm2和9cm2,高為3cm.現(xiàn)

在搜集到的雨水平面與上、下底面的距離相等，則該地的降雨量為mm,（降雨量等于集雨器中積水體

積除以集雨器口的面積）

iIACI2

14.若點A在拋物線E:/=4x上運(yùn)動，點B在圓（x—1）2+丁=—上運(yùn)動，C（2,0）,則——的最小值

''4|AB|

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.在直四棱柱ABC?！狝4G。中，底面為矩形，AB^^3AD=^3a,AAl=h,QE分別為底面的中

心和CD的中點，連接?！?，4。，4￡,。民。1。.

（1）求證：平面AOE,平面CDRG；

（2）若2=邁，求平面4。石與平面D15C所成角余弦值.

a2

16.某公司擬從水平相當(dāng)?shù)钠胀ǔ绦騿T中籃選出若干高級程序員，方法如下：首輪每位普通程序員被要求設(shè)

計難度相同的甲、乙、丙、丁四種程序，假設(shè)每位普通程序員每種設(shè)計合格的概率都為:，其中四種設(shè)計全部

合格直接晉升為高級程序員；至少有兩種（包括兩種）“不合格”的直接被淘汰，否則被要求進(jìn)行二輪設(shè)計:

在A5c三種難度不同的程序中隨機(jī)抽取兩種進(jìn)行設(shè)計，且抽取的兩種設(shè)計都合格方可晉升為高級程序

員.已知每位普通程序員設(shè)計A5C合格的概率分別為1,工,工，同一普通程序員不同的設(shè)計相互不影響.

24

（1）已知A,5c設(shè)計合格的得分分別為80,90,100,不合格得。分，若二輪設(shè)計中隨機(jī)抽取到3,C的得

分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）求每位普通程序員晉升為高級程序員的概率.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，點產(chǎn)、E的坐標(biāo)分別為卜2立,0）,（2夜,0）,以尸為圓心作一個半徑為4的圓,

點〃是圓上一動點，線段的重直平分線與直線板相交于點P.

（1）求P的軌跡「的方程；

(2)已知4(—2,0)，點。是軌跡r在第一象限內(nèi)的一點，A為QA的中點，若直線OR的斜率為石,

求點。的坐標(biāo).

18.已知函數(shù)〃x)=(x+A)ln缶1)一依,讓［2,+動.

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)〃cN*時，求證：+

19.在等差數(shù)列｛?！埃校阎?。3=7,。4，。5,4。2成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)數(shù)列｛2""｝是否為等比數(shù)列？若是求其前九項和，若不是，請說明理由；

(3)設(shè)1卜(0<4<口,且X/keN*月"eN*,dit—Z=4+J+Z+2,所有取值.

2024屆高三年級TOP二十名校沖刺一

數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時間120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)Z滿足（1+1"=T+1,貝|Z=（）

A.2-iB.2+iC.iD.-i

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則計算出答案.

【詳解】因為（l+i）z=—1+i,所以z=*i=T±D=i.

'71+i1+i

故選：C.

2.已知集合4={%62|必<9},3={—1,0,5,2,3},則中元素的個數(shù)為（）

A.9B.8C.5D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用列舉法表示出集合A,再求出并集即可得解.

【詳解】依題意，解不等式V<9,得—3MxM3,A={XGZ|-3<X<3}={-3,-2,-1,0,1,2,3），

而5={—1,0,g,2,3},因此A,B={-3,-2,-l,0,l,2,3,1}）

所以AuB中元素的個數(shù)為8.

故選：B

3.若a,beR,貝是“30-3”>2)—2"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(4)=3*+2*,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到30+2°>3"+2J故”〉兒

【詳解】構(gòu)造函數(shù)〃x)=3*+2"則〃%)在R上單調(diào)遞增，

所以30—3&>2〃—2"03"+2“>36+2〃o/(a)>〃。)oa>Z?.

故選：C.

4.函數(shù)/(x)=lnjr—x2與直線x+y=O相切于點A,則點A的橫坐標(biāo)為()

1

A.-B.1C.2D.e

e

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)出4(%，%)，求導(dǎo)，直線x+y=。的斜率為-1,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程，求出橫坐標(biāo)

詳解】設(shè)函數(shù)/(%)=1!^—%2與直線工+丁=0相切于點4(%,%),

直線x+y=O的斜率為-1,

f'(x)=--2x,所以'--2%=-1,所以%=1.

故選：B.

5.設(shè)〃=108321=108336,。=1。822直,4=2()49,則()

A.a<b=c<dB.d<c—b<a

C.a<d<b=cD.c<a<d<b

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)塞與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，分別求得的取值范圍，即可求解.

詳解】由a=log32<log33=l/=log33g=|,c=log22四=|,l=2°<d<2°-5=后，

即1<〃<忘<3,所以a<d<Z?=c.

2

故選：C.

6.在二ABC中，a-ccosB=b-ccosA,則_ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

2,r2_22,72_2

【分析】利用余弦定理將a—ccos3=3—ccosA化簡為"'一',從而可求解.

ab

22_A2i22_2

【詳角星】由Q-CCOS3=/?-CCOSA,得a-cx@——-----=b-cx------———,

lac2bc

當(dāng)〃+〃—/=0時，即4+/?2=o2,則直角三角形;

當(dāng)片十^—02wo時，得a=b,則_A5C為等腰三角形;

綜上：ABC為等腰或直角三角形，故D正確.

故選：D.

7.如圖是某質(zhì)點作簡諧運(yùn)動的部分圖象，位移>（單位：cm）與時間，（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式是

y=Kcos（o/+0）K>O,0>O,°e[—其中4（0,1）,5（4,1）,振幅為2,則前3秒該質(zhì)點走過

C.(5-白卜mD.^7-^^cm

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得y=2cos[_|/-]J,分別令。=：、/=：和f=3,求得相應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)而求得

前3秒該質(zhì)點走過的路程，得到答案.

【詳解】由函數(shù)y=Kcos(a+。)的圖象，可得K=2,周期為T=4，

27r71I711

可得口=一=一，所以y=2cos|uf+O|，

42U)

因為A(0,l)在函數(shù)圖象上，可得2cos。=1,即cos°=g,

又因為。e[一5,')，所以夕=土§,

7T(7171)

因為￡=一1時，y<0,所以9=-耳，所以〉=2851萬/一§),

717r2

令一%---=hi.keZ,貝"％=2k+—,keZ,

233

2Q

故函數(shù)圖像在y軸右側(cè)第一條對稱軸和第二條對稱軸分別為t=-,t=~,

33

令t=(,則y=2cos['xg_]]=2；令/=|，則y=2cos〔5x|一1]=_2；

令r=3,則y=2cos[5x3-]]=-6,

所以質(zhì)點在0,g],|,|1,jj]的路程分別2—1=1,2—(—2)=4,—6—(—2)=2—百，

所以前3秒該質(zhì)點走過的路程為(7-班卜111.

故選：D

8.已知點P在水平面&內(nèi)，從尸出發(fā)的三條兩兩垂直的線段P。,PR,PS位于c的同側(cè)，若Q,R,S到a的

149

距禺分別為1,2,3,則^八2的值為()

r\JrKrd

A.1B.y/2c.73D.2

【答案】A

【解析】

【分析】以｛P。,刊?,PS｝為空間的一個基底，由此表示出平面a的單位法向量，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求

解即得.

【詳解】由P。,PR,PS兩兩垂直，取空間的一個基底仍。,PR,閭，

設(shè)〃是平面a的一個單位法向量，依題意，可使〃與PQ、PR、PS的夾角都是銳角,

則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得”=xPQ+yPR+zPS,

顯然PQ,PR,PM在〃方向上的投影向量的長度分別為1,2,3,

21

于是〃PQ=1,即(xPQ+yPR+z尸S>PQ=1,貝小，。=1，

23123

同理y=------7,z=---,---因止匕〃=----7-PQ+——丁PR+——丁PS,

|P7?|2\PS\2\PQ\2?PR?一?PSr

\2

3

而同=1,所以F=?PR+-------,PS

[1尸。/\PS\2

=19

149

所以----7----------7---------7

\PQ\-\PS\-

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立

體幾何問題的關(guān)鍵，解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向

量.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某研究機(jī)構(gòu)為了探究過量飲酒與患疾病A真否有關(guān)，調(diào)查了400人，得到如圖所示的2x2列聯(lián)表，其中

b=12a,貝I()

患疾病A不患疾病A合計

過量飲酒3ab

不過量飲酒a2b

合計400

參考公式與臨界值表：/=即即即…

a0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

%

A.任意一人不患疾病A的概率為0.9

3

B.任意一人不過量飲酒的概率為g

O

24

C.任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病A的概率為一

25

D.依據(jù)小概率值￡=0.001獨(dú)立性檢驗，認(rèn)為過量飲酒與患疾病A有關(guān)

【答案】ACD

【解析】

【分析】先求出。=108=120,利用古典概型概率公式求解判斷AB,利用條件概率概念求解判斷C,求

出％2的觀測值，即可判斷D.

【詳解】由已知得4a+36=400,又b=12a,所以a=10力=120.

3b

任意一人不患疾病A的概率為——=0.9,所以A正確；

400

任意一人不過量飲酒的概率為^——=-,所以B錯誤；

4008

任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病A的概率為二^=竺，所以C正確;

a+2b25

對于D,2x2歹!J聯(lián)表如下:

患疾病A不患疾病A合計

過量飲酒30120150

不過量飲酒10240250

合計40360400

則/的觀測值/=400X(30X240-120X10)2

=辿22667，由于26.67>10.828,

40x360x150x2503

依據(jù)小概率值1=0.001的獨(dú)立性檢驗，認(rèn)為過量飲酒與患疾病A有關(guān)，所以D正確.

故選：ACD

22

10.已知橢圓［：=+三=1（?！等恕?）的左，右焦點分別為々，工，將心上所有點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別

ab

伸長到原來的左（左＞0#wl）倍得到橢圓的，則下列說法正確的是（）

,,八bb+t

A.右，＞0,則一＜----

aa+t

B.若「2的離心率分別為96,則6=4

C.若的周長分別為￡，02,則

k

D.若乙的四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為嗎則二的離心率為2（、歷-1）

【答案】AB

【解析】

【分析】利用糖水不等式判斷選項A；根據(jù)橢圓離心率的定義式判斷選項B；利用相似圖形的相似比即可判

斷出選項C；綜合運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)和四邊形的面積公式判斷選項D即可.

Y=kxk―%

【詳解】設(shè)點（］'?）為橢圓心上任意一點，則由題意知，7，即，，代入橢圓乙的方程得

一=kyz=y

［k-

=1.所以橢圓「2的方程為（c!=1(a>b>0).

kak^b

hh

因為a>Z?>0/>0,所以一<----,所以A正確;

aa+t

由已知得,---所以B正確;

ka

C1

由已知得,『J其相似比為I-所以百7,所以。2=2,因為八。,人1,所以C錯誤;

設(shè)。=《2因為乙的四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為畫工，所以L2a二方二生產(chǎn)，所以

Y424

2ab=c1，所以2ad/=/，所以e,+4/—4=0，所以e?=4+"—=2（0—1）（負(fù)

舍），所以D錯誤.

故選：AB.

u.將圓柱OR的下底面圓Oi置于球。的一個水平截面內(nèi)，恰好使得。與水平截面圓的圓心重合，圓柱

aa的上底面圓。2的圓周始終與球。的內(nèi)壁相接（球心。在圓柱aa內(nèi)部）.已知球。的半徑為3,

3

00,=-.若A為上底面圓a的圓周上任意一點，設(shè)RO與圓柱的下底面所成的角為&,圓柱aa

的體積為K,則（）

a可以取到卜福）中的任意一個值

A.

B.cos2a(l+2sina)

2

C.V的值可以是任意小的正數(shù)

81兀

D.Lx

4

【答案】BCD

【解析】

3

【分析】先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑廠=3costz,高為3sina+—,代入圓柱體積公式求解，再

2

過R作圓柱口。2的軸截面尸。KS,過。作“NLQQ交圓柱軸截面的邊于M，N,

由RO與圓柱的下底面所成的角為a,則OA/=3cose,MR=3sina,所以

27jr

222

V=TIOM-QR=7i?(3coscr)(OO1+3sincif)=coscif(l+2sincr),

即V=~2~cos2a(1+2sina)=(l-sin2(z)-(l+2sin?),故B正確;

3兀

當(dāng)點尸，。均在球面上時，角。取得最小值，止匕時。。1=。。2=—,所以。二一,

26

兀兀、

所以H故A錯誤；

L62)

0r7

所以V'=2(―6產(chǎn)一2,+2),另—6/—2%+2=0，

存力4曰加士曰—1-A/13—1+A/13

解得兩根%=——『一/:——Y—，

所以V，=T(_6f2_2f+2)〈言x_6x[g]-2x|+2=_?<0,

所以V=———(―2/—/+2/+1)在，e5」]時單調(diào)遞減，

所以嗑*=等義-一出+2義出+1=當(dāng)，0<VW牛，故CD正確；

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值的方法，難度較大，解決問題的關(guān)鍵在于先畫出平面

3

圖，得到圓柱的底面半徑r=3costz,高為3sina+—,代入圓柱體積公式求解，再令/=sine,利用導(dǎo)

2

數(shù)求最值.

三、填空題：本題共3小題；每小題5分，共15分.

12.若a=(—5,12)1=(3,4),則cos(a,b)的值為.

33

【答案】57

【解析】

【分析】利用向量夾角余弦公式進(jìn)行求解.

【詳解】麗飛5+144xj9+16="=臥

33

故答案為：——

65

13.如圖是一個水平放置在某地的三棱臺型集雨器，已知上、下底的面積分別為4cm2和9cm2,高為3cm.現(xiàn)

在搜集到的雨水平面與上、下底面的距離相等，則該地的降雨量為mm.(降雨量等于集雨器中積水體

積除以集雨器口的面積)

【分析】將三棱臺補(bǔ)成三棱錐0-A31G，求得三棱錐O—ASC的體積為8cm3,再設(shè)耳G和

(\3

o-A4G的體積分別為％,乂，結(jié)合則?=，求得匕和K，根據(jù)乜戶，即可求解.

匕/7+-4

I2J

【詳解】如圖所示，將三棱臺補(bǔ)成三棱錐。-4四￡,設(shè)三棱錐o-ASC的高為力，

則“一=、+,解得〃=6,所以三棱錐O—A5c的體積為』X4x6=8cm3,

/i+3V93

再設(shè)?！狝BoCpO—AgG的體積分別為％,K,

/\3/\3

h86~1253

則一,所以——，所以?二——cm,

匕/7+-匕6+38

12y12)

同理,=［乙］,所以乂=(9、,義8=27cm3,

455

所以該地的降雨量為匕二%=^cm=----mm.

43216

455

故答案為：.

16

O

A

小食夢G

Bi

iIACF

14.若點A在拋物線E:9=4x上運(yùn)動，點B在圓(x—1)2+丁=—上運(yùn)動，C(2,0),則——^的最小值

'-4|AB|

為.

【答案】2

【解析】

【分析】設(shè)A(5,Z),根據(jù)拋物線焦半徑得至同=s+l,利用兩點間距離公式得到

1|AC|\?+4?+4_25

|AC|2=(s-2)2+/=1+4,根據(jù)|@14刊+,得到,變形得到—互

一S+25+2

利用基本不等式求出最小值.

【詳解】拋物線V=4x的焦點E的坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=—1,

(1,0)為圓(x—I)?+V=；的圓心，圓的半徑為:，

設(shè)點A(sj),則由拋物線的定義得|AF|=s+"=4s,

|AC『=(s—2)2+/=S2—4S+4+4S=/+4,

由三角形三邊關(guān)系得到用+j當(dāng)且僅當(dāng)All共線時，等號成立，

|AC|2|AC|2?+4

------>---------------

13

所以M-|AF|+\+'

1122

333

令5+二=彳2巳，則s=X—巳，

222

2553IAC\

當(dāng)且僅當(dāng)彳=二，即4=士2三時等號成立，故」f卜的最小值為2.

4222\AB\

故答案為：2

【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；

(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)

的最值或范圍.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.在直四棱柱ABC。—A4CR中，底面為矩形，AB^j3AD=y/3a,AAl^h,QE分別為底面的中

心和CD的中點，連接OE,AQ,$E,，5,2C.

(1)求證：平面AOEL平面C￡>〃G；

(2)若2="，求平面AOE與平面QBC所成角的余弦值.

a2

【答案】(1)證明見解析

⑵述

3

【解析】

【分析】(1)由線面垂直得到線線垂直，即。2,OE,進(jìn)而得到OEL平面CDRG，證明出面面垂直；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量4=(n,0,6),“2=］乎，0,6，利用法向量的夾角

余弦公式求出答案.

【小問1詳解】

因為。E分別為底面的中心和CD的中點，

所以O(shè)E_LCD,

因為">1，平面ABC。，OEu平面A3CD,所以。

又因為DDjCD=D,D2，CDu平面CZ)2G，所以O(shè)EL平面CDDG，

因為OEu平面4。石，所以平面AOE，平面CDQG.

【小問2詳解】

以A為空間坐標(biāo)原點，AB,AD,A4,所在直線分別為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

「竺￡o：，c

由已知得（九）,。（兄丸）,。a,a,Q\

40,0,10,22J

所以4。=，會一h,D、C=16。,0,一葉,

又3C=AD=(0,a,0),OE=o，W，o，

2J

設(shè)平面AOE與平面ABC的法向量分別為%=（%,x,4）,為=（%2，%，Z2），

6a,a

三王+,弘一姐=o,

解得X=o,令Z[=G，則％=三,

所以《

a

/a=。n，

(2h八

故々=—,0,

Va

<3ax)_hz)=4,八人/znlh

所以《22,解得%=。，令Z2=j3,則F=—

a

ay2=0,

故%=一,0,

\a

,0,6,

)

設(shè)平面A0￡與平面。出C所成角的大小為a,

（而0,可格0,1

所以85。=第=^-----------J」3+3_272

同㈤師xJ|+3

16.某公司擬從水平相當(dāng)?shù)钠胀ǔ绦騿T中籃選出若干高級程序員，方法如下：首輪每位普通程序員被要求設(shè)

計難度相同的甲、乙、丙、丁四種程序，假設(shè)每位普通程序員每種設(shè)計合格的概率都為其中四種設(shè)計全部

合格直接晉升為高級程序員；至少有兩種（包括兩種）“不合格”的直接被淘汰，否則被要求進(jìn)行二輪設(shè)計:

在A5C三種難度不同的程序中隨機(jī)抽取兩種進(jìn)行設(shè)計，且抽取的兩種設(shè)計都合格方可晉升為高級程序

員.已知每位普通程序員設(shè)計A,5c合格的概率分別為1,工,工，同一普通程序員不同的設(shè)計相互不影響.

24

（1）已知A,民C設(shè)計合格的得分分別為80,90,100,不合格得。分，若二輪設(shè)計中隨機(jī)抽取到反C的得

分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）求每位普通程序員晉升為高級程序員的概率.

【答案】（1）分布列見解析；期望為70

96

【解析】

【分析】（1）X的可能取值為0,90,100,190,分別求出對應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可；

（2）綜合運(yùn)用互斥事件的概率加法公式和獨(dú)立事件的概率乘法公式求解即可.

【小問1詳解】

X的可能取值為0,90,100,190,

由題意知,P（X=0）=1Jx『瀉J（X=90）］x『撲|’

P（X=100）=（l—；￡=/P（X=190）=；X冷,

X的分布列為

X090100190

3311

P

8888

311

E（X）=90X8+100X8+190X8=70.

【小問2詳解】

因為同一普通程序員不同的設(shè)計相互不影響，所以每位普通程序員晉升為高級程序員的概率為

lxllxllxl13

P=++

242496

17.在平面直角坐標(biāo)系中，點R、E的坐標(biāo)分別為卜20,0）,（20,0）,以口為圓心作一個半徑為4的圓,

點H是圓上一動點，線段EH的重直平分線與直線彼相交于點P.

(1)求尸的軌跡「的方程；

(2)已知4(—2,0),點。是軌跡「在第一象限內(nèi)的一點，R為QA的中點，若直線OR的斜率為J5,

求點。的坐標(biāo).

22

【答案】(1)土_Z_=i

44

⑵(3,國

【解析】

【分析】(1)利用垂直平分線的性質(zhì)及雙曲線的定義可得答案；

(2)利用中點公式和的斜率為建立方程組，求解方程組可得答案.

【小問1詳解】

由題意可知，點P在線段EH的垂直平分線上，所以閭=|尸耳，

又點〃是圓尸上一動點，所以恒川=4.

①當(dāng)|尸叫>歸同時，|咫—|PF|=|PH|—?dú)w耳==4；

②當(dāng)1PHl<|尸同時，|PF|—|PE|=|PF|—|PW|=|M|=4,

所以P的軌跡r滿足忸目―忸劇=4<I即=4夜,

根據(jù)雙曲線定義可知，P點的軌跡「是以亂后為左、右焦點，實軸長為2。=4的雙曲線,

22

可得c=2ji,a=2,b=^-cr=2，所以尸的軌跡「的方程為三—二=1.

44

【小問2詳解】

設(shè)。(%%)，/>2,%>。，所以氏廣—，今］，焉一尤=4,

因為直線OR的斜率為迅，所以=岔，即%=石(%-2),

與焉一￥=4聯(lián)立解得飛=2(舍去)或3.

(x+k)ln(x+l)-依左

18.已知函數(shù)/（力=

x+kL

⑴討論函數(shù)/（%）的單調(diào)性;

3A2

（2）當(dāng)zzwN*時，求證：+

【答案】（1）答案見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)左=2和左＞2分類討論，解導(dǎo)函數(shù)不等式即可求得單調(diào)區(qū)間;

⑵根據(jù)⑴的結(jié)論知g