2025年中考數(shù)學(xué)專題09 逆等線最值專題（解析版）

逆等線最值模型大招逆等線最值模型大招模型介紹模型介紹兩線段和的最值問題,大家首先想到的都是“將軍飲馬”問題，即要求的兩條線段有公共端點(diǎn),或者平移后有公共端點(diǎn).除了將軍飲馬問題外，還有一類兩線段和的最值問題，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,兩條動(dòng)線段始終保持著相等,我們可以在等線段處構(gòu)造全等,從而將要求的兩條線段拼接到一起，這就是今天咱們要說的逆等線最值問題.講逆等線模型之前我們先來一波回憶：下圖大家應(yīng)該很熟：D為動(dòng)點(diǎn)！特殊化證明：DE+DF的和為定值.一般化證明：DE+DF的和為定值只要保證DE，DF與腰的夾角相等，總會(huì)有：DE+DF的和為定值的結(jié)論！證明思路：作AG∥FD，HD∥BC易得紅藍(lán)全等，黃色平四∴DE＋DF＝AH＋HG＝AG（定長(zhǎng)）另證易得：△DEA∽△DFB∵AD＋BD為定值∴DE＋DF為定值引申：D在線段AB外時(shí)差為定值（證明同理）然后將這個(gè)角一路的改變也相當(dāng)于做腰的平行線！此圖即產(chǎn)生了逆等線，所謂逆等線，逆向也相等！例題精講例題精講考點(diǎn)一:等腰三角形中的逆等線模型【例1】．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點(diǎn)D、E分別是AB、AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且AD＝CE，連接CD、BE，CD+BE最小值為．解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，作AM∥BC且AM＝BC，延長(zhǎng)CB并過點(diǎn)M作MN⊥BC于N，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝CH＝BC＝3，∴AH＝＝4，∵AM∥BC且AM＝BC，AH⊥BC，∴四邊形AMNH是矩形，∴NH＝AM＝BC＝6，NC＝NH+CH＝6+3＝9，MN＝AH＝4，∵AM∥BC，∴∠MAD＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠MAD，在△ADM和△CEB中，，∴△ADM≌△CEB（SAS），∴BE＝MD，∴CD+BE＝MD+CD≥CM，∴當(dāng)C、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，CD+BE取最小值，CM＝＝．故答案為：．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是線段AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AF＝CE，則BE+CF的最小值是．解：過A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝4，連接BF、FG、BG，∵AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵BA⊥AG，∴∠BAG＝90°，∴∠BAD+∠GAF＝90°，∴∠GAF＝∠ABD，∴∠GAF＝∠BCE，又∵AF＝CE，AG＝CB，∴△AGF≌△CBE（SAS），∴GF＝BE，∵FB＝FC，∴BE+CF＝GF+BF，∵當(dāng)點(diǎn)B、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，GF+BF最小，∴GF+BF的最小值時(shí)線段BG的長(zhǎng)，∵∠BAG＝90°，AB＝8，AG＝4，∴BG＝＝4即BE+CF的最小值為4，故答案為：4．【變式1-2】．如圖，已知直線AB：y＝分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、A兩點(diǎn)，C（3，0），D、E分別為線段AO和線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，BE交y軸于點(diǎn)H，且AD＝CE．當(dāng)BD+BE的值最小時(shí)，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（0，4） B．（0，5） C． D．解：由題意A（0，），B（﹣3，0），C（3，0），∴AB＝AC＝8，取點(diǎn)F（3，8），連接CF，EF，BF．∵C（3，0），∴CF∥OA，∴∠ECF＝∠CAO，∵AB＝AC，AO⊥BC，∴∠CAO＝∠BAD，∴∠BAD＝∠ECF，∵CF＝AB＝8，AD＝EC，∴△ECF≌△DAB（SAS），∴BD＝EF，∴BD+BE＝BE+EF，∵BE+EF≥BF，∴BD+BE的最小值為線段BF的長(zhǎng)，∴當(dāng)B，E，F(xiàn)共線時(shí)，BD+BE的值最小，∵直線BF的解析式為：y＝x+4，∴H（0，4），∴當(dāng)BD+BE的值最小時(shí)，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），故選：A．考點(diǎn)二:等邊三角形中的逆等線模型【例2】.如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF+CE取得最小值時(shí)，∠AFB＝°．解：如圖1，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH，連接FH，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH（SAS），∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴當(dāng)F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，如圖2，BF+CE的值最小，此時(shí)∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故答案為：105．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，AH是正三角形ABC中BC邊上的高，在點(diǎn)A，C處各有一只電子烏龜P和Q同時(shí)起步以相同的速度分別沿AH，CA向前勻速爬動(dòng)．確定當(dāng)兩只電子烏龜?shù)紹點(diǎn)距離之和PB+QB最小時(shí)，∠PBQ的度數(shù)為．解：過點(diǎn)C作CD⊥BC，取CD＝AB，連接BD，∵△ABC是等邊三角形，AH是BC邊上的高，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠BAH＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠BAH＝∠ACD，在△ABP和△CDQ中，，∴△ABP≌△CDQ（SAS），∴BP＝DQ，∠CQD＝∠APB，∴當(dāng)B、Q、D共線時(shí)，PB+QB最小，連接BD交AC于Q，∴∠APB＝∠AQB，∴∠PBQ＝∠QAH＝30°，故答案為：30°．【變式2-2】．在等邊△ABC中，AB＝4，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在∠ACB的角平分線CD上，CE＝CF，則AE+AF的最小值為．解：過點(diǎn)C作CG⊥AC，并截取CG＝AC，連接EG，如圖所示：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵CD平分∠ACB．∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝30°，∵∠ACG＝90°，∴BCG＝∠ACG﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∴∠ACD＝∠BCG，∴△GCE≌△ACF（SAS），∴AF＝GE，∴AF+AE＝GE+AE，當(dāng)A、G、E三個(gè)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，GE+AE的和最小，即AF+AE最?。郃F+AE的值最小為：＝＝4．故答案為：考點(diǎn)三：直角三角形中逆等線模型【例3】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AD＝BE，連結(jié)BD，CE，則BD+CE的最小值為．解：過B作BF∥AC，在平行線上取BF＝AB，連接EF，如上圖：∴∠EBF＝∠A，∵BF＝AB，BE＝AD，∴△BEF≌△ADB（SAS），∴EF＝BD，∴BD+CE＝EF+CE，當(dāng)C，E，F(xiàn)共線時(shí)，EF+CE最小，即BD+CE最小，最小值即為CF的長(zhǎng)度，∵BF∥AC，∠ACB＝90°，∴∠FBC＝90°，∴CF＝＝＝2，∴BD+CE最小為2，故答案為：2．變式訓(xùn)練【變式3-1】．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E為AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD＝BE，連接CD，CE，若AC＝2，則CD+CE的最小值為．解：如圖：構(gòu)造矩形ACBF，連接DF，EF，CF交AB于點(diǎn)O，則OF＝OC，OA＝OB，AB＝CF，∵AD＝BF，∴OD＝OE，∴四邊形CEFD為平行四邊形，∴DF＝CE，∴CD+CE＝CD+DF≥CF，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，∴CD+CE≥4，故答案為：4．【變式3-2】．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)M，N分別為BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AN＝CM，AB＝．當(dāng)AM+BN的值最小時(shí)，CM的長(zhǎng)為．解：過點(diǎn)C作CE⊥CB，使得CE＝AC，連接EM，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，∴△BAN≌△ECM（SAS），∴BN＝EM，∴AM+BN＝AM+ME，∴當(dāng)A，M，E共線時(shí)，AM+BN的值最小，∵AD∥EC，∴＝＝，∴CM＝×1＝2﹣．故答案為：2﹣．考點(diǎn)四：一般三角形中逆等線模型【例4】．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，點(diǎn)D、E在AB、AC邊上，且AD＝CE，則CD+BE的最小值．解：如圖作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延長(zhǎng)線于G．∵CK∥AB，∴∠KCE＝∠A，∵CK＝CA，CE＝AD，∴△CKE≌△CAD，∴CD＝KE，∵CD+BE＝EK+EB≥BK，∴CD+BE的最小值為BK的長(zhǎng)，在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8，∴CG＝BC＝4，BG＝4，在Rt△KBG中，BK＝＝＝2．故答案為2．變式訓(xùn)練【問題背景】（1）如圖（1），E為△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，AE＝BC，過點(diǎn)A作AD∥BC，且AD＝AB，連接DE，求證：△ADE≌△BAC；【變式遷移】（2）如圖（2），在△ABC中，AC＝BC，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在AB上，且AE＝CD，若點(diǎn)C分別到AB，BD的距離之比為m，求證：；【拓展創(chuàng)新】（3）如圖（3），在△ABC中，∠ABC＝45°，，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且AE＝CD，直接寫出CE+BD的最小值.（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠B，在△ADE和△BAC中，，∴△ADE≌△BAC（SAS）；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)C作CG∥AB交BD的延長(zhǎng)線于G，過點(diǎn)C作CT⊥BG于點(diǎn)T，CH⊥AB于點(diǎn)H，連接GH．∴∠DAG＝∠A，∵AC＝BC，AE＝CD，∴△CDG≌△AEC（SAS），∴DG＝CE，CG＝AC，∴CE+BD＝DG+BD＝BG，∵CA＝CB，∴CG＝CB，∵CG∥AB，∴S△CGB＝S△CGH，∴BG?CT＝?CG?CH，∴BG?CT＝BC?CH，∴＝＝m；（3）解：如圖3中，作CG∥AB，使得CG＝AC，連接DG，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)G作GT⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，連接BG．∵BC＝3，∠CBH＝45°，∠CHB＝90°，∴CH＝BH＝3，∵四邊形CGTH是矩形，∴GT＝CH＝3，CG＝AC＝HT＝6，∴BT＝9，∴BG＝＝＝3，由（2）可知，△CDG≌△AEC，∴DG＝EC，∴CE+BD＝DG+DB≥BG＝3，∴CE+BD的最小值為3．考點(diǎn)五：正方形中逆等線模型【例5】.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，且AE＝BF，CE與DF交于點(diǎn)P，連接BP，求BP的最小值．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∵AE＝BF，∴BE＝CF，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠ECB＝∠FDC，∵∠ECB+∠ECD＝90°，∴∠FDC+∠ECD＝90°，∴∠DPC＝90°，∴點(diǎn)P在以CD為直徑的圓上，如圖，以CD為直徑作⊙O，連接OP，OB，∴OP＝OC＝OD＝3，在△OPB中，BP＞BO﹣OP，∴當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，BP的最小值為BO﹣OP，∵BO＝＝＝3，∴BP的最小值為3﹣3．變式訓(xùn)練【5-1】．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足BE＝CF，連接AE，AF，則AE+AF的最小值為．解：連接DE，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′、EA′，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵BE＝CF，∴DF＝CE，∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE＝AF，∴AE+AF＝AE+DE，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′、EA′，則AE＝A′E，即AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，當(dāng)D、E、A′在同一直線時(shí)，AE+AF最小，AA′＝2AB＝2，此時(shí)，在Rt△ADA′中，由勾股定理得：DA′＝，故AE+AF的最小值為．故答案為：．考點(diǎn)六：矩形中逆等線模型【例6】.如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點(diǎn)E、F分別為邊AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，則BF+CE的最小值為．解：連接DE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴DE＝BF，要求BF+CE的最小值，即求DE+CE的最小值，作D點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′C交AB于E，則DE+CE＝D′E+CE＝CD′的值最小，∵AB＝2，AD＝3，∴CD＝AB＝2，DD′＝2AD＝6，∴CD′＝＝＝2，即BF+CE的最小值為2，故答案為：2．變式訓(xùn)練【6-1】如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是邊BC和對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝DF，則AE+AF的最小值是．解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接BG，在BG上截取BH，使得BH＝AD，連接AH．作HM⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于M．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DBC，∵DC＝CG，BC⊥DG，∴BD＝BG，∴∠DBC＝∠CBG，∴∠ADF＝∠HBE，∵DA＝BH，DF＝BE，∴△ADF≌△HBE（SAS），∴AF＝EH，∴AE+AF＝AE+EH≥AH，在Rt△BCD中，BD＝＝5，由△BHM∽△DBC，可得＝＝，∴＝＝，∴BM＝，MH＝，∴AM＝3+＝，在Rt△AMH中，AH＝＝，∴AE+AF≥，∴AE+AF的最小值為．故答案為【6-2】.如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F(xiàn)分別是BD，BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且BF＝2DE，則AF+2AE的最小值是．解：連接DF，延長(zhǎng)AB到T，使得BT＝AB，連接DT．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC∥AD，∴tan∠DBA＝＝，∠ADE＝∠DBF，∴∠DBA＝30°，∴BD＝2AD，∵BF＝2DE，∴＝＝2，∴△DBF∽△ADE，∴＝＝2，∴DF＝2AE，∴AF+2AE＝AF+DF，∵FB⊥AT，BA＝BT，∴FA＝FT，∴AF+2AE＝DF+FT≥DT，∵DT＝＝＝4，∴AF+2AE≥4，∴AF+2AE的最小值為4，故答案為：4．考點(diǎn)七：菱形中逆等線模型【例7】.如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分別是邊BC和對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝DF，則AE+AF的最小值為．解：如圖，BC的下方作∠CBT＝30°，在BT上截取BT，使得BT＝AD，連接ET，AT．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ADC＝30°，∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE，∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF＝ET，∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2，∴AT＝＝＝2，∴AE+AF＝AE+ET，∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥2，∴AE+AF的最小值為2，故答案為2．變式訓(xùn)練【7-1】.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分別是邊AB，AD的動(dòng)點(diǎn)，滿足AM＝DN，連接CM、CN，E是邊CM上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是CM上靠近C的四等分點(diǎn)，連接AE、BE、NF，當(dāng)△CFN面積最小時(shí)，BE+AE的最小值為．解：如圖，連接MN、AC，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝AD＝CD，∠BAC＝∠DAC＝∠ADC＝60°，∴△ADC和△ABC為等邊三角形，∴AC＝DC，∠ACD＝60°，∵AM＝DN，∴△AMC≌△DNC（SAS），∴CM＝CN，∠DCN＝∠ACM，∴∠MCN＝∠MCA+∠ACN＝∠DCN+∠ACN＝∠ACD＝60°，∴△CMN為等邊三角形，∵點(diǎn)F是CM上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，∴S△CFN＝S△CMN，∴△CMN的面積最小時(shí)，△CFN的面積也最小，∵S△CMN＝，∴當(dāng)CN和CM長(zhǎng)度最短時(shí)，S△CMN的面積最小，即CN⊥AD，CM⊥AB時(shí)△CFN的面積最小，取BE的中點(diǎn)為點(diǎn)G，連接MG，∵△ABC為等邊三角形，CM⊥AB，∴點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∴MG＝AE＝BE，∴BE+AE＝AE+AE＝AE，∵點(diǎn)E是CM上的動(dòng)點(diǎn)，∠AME＝90°，∴AE的最小值即為AM的長(zhǎng)度，∵CD＝4，∴AM＝AB＝2，∴（BE+AE）最小值＝×2＝3，故答案為：3．【7-2】.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，連接BD．（1）求BD的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE＝DF．①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說明理由．解：（1）過點(diǎn)D作DH⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于H，如圖：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝6，∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°，在Rt△ADH中，DH＝AD?sin∠DAH＝6×＝3，AH＝AD?cos∠DAH＝6×＝3，∴BD＝＝＝6；（2）①設(shè)CE⊥AB交AB于M點(diǎn)，過點(diǎn)F作FN⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于N，如圖：菱形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，在Rt△BCM中，BM＝BC?cos∠ABC＝6×＝3，∵BD是菱形ABCD的對(duì)角線，∴∠DBA＝ABC＝30°，在Rt△BEM中，ME＝BM?tan∠DBM＝3×＝，BE＝＝＝2，∵BE＝DF，∴DF＝2，∴AF＝AD﹣DF＝4，在Rt△AFN中，∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，∴FN＝AF?sin∠FAN＝4×＝2，AN＝AF?cos∠FAN＝4×＝2，∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，∴S四邊形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN＝EM?BM+（EM+FN）?MN﹣AN?FN＝3+（+2）×5﹣2×2＝+﹣2＝7；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取最小值時(shí)，CE+CF的值是最小，理由：設(shè)DF＝x，則BE＝DF＝x，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥CH于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EY⊥CH于點(diǎn)Y，作EM⊥AB于M點(diǎn)，過點(diǎn)F作FN⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于N，如圖：∴EY∥FG∥AB，F(xiàn)N∥CH，∴四邊形EMHY、FNHG是矩形，∴FN＝GH，F(xiàn)G＝NH，EY＝MH，EM＝Y(jié)H，由①可知：ME＝BE＝x，BM＝BE＝x，AN＝AF＝（AD﹣DF）＝3﹣x，F(xiàn)N＝AF＝，CH＝BC＝3，BH＝BC＝3，∴AM＝AB﹣BM＝6﹣x，AH＝AB﹣BH＝3，YH＝ME＝x，GH＝FN＝，EY＝MH＝BM﹣BH＝x﹣3，∴CY＝CH﹣YH＝3﹣x，F(xiàn)G＝NH＝AN+AH＝6﹣，CG＝CH﹣GH＝3﹣＝x，∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣x﹣x＝9﹣2x，∴S四邊形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN＝EM?BM+（EM+FN）?MN﹣AN?FN＝x×x+（x+）?（9﹣2x）﹣（3﹣x）?＝x2﹣x+9＝（x﹣3）2+，∵＞0，∴當(dāng)x＝3時(shí)，四邊形ABEF的面積取得最小值，方法一：CE+CF＝+?＝+＝+×＝+×＝+，∵（x﹣3）2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)，（x﹣3）2＝0，∴CE+CF＝+≥12，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)，CE+CF＝12，即當(dāng)x＝3時(shí)，CE+CF的最小值為12，∴當(dāng)四邊形ABEF的面積取最小值時(shí)，CE+CF的值也最小，最小值為12．方法二：如圖：將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△BAG，連接CG，在Rt△BCG中，CG＝2BC＝12，∵＝＝，∠CDF＝∠GBE＝60°，∴△BEG∽△DFC，∴＝＝＝，即GE＝CF，∴CE+CF＝CE+GE≥CG＝12，即當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，CE+CF的值最小，此時(shí)點(diǎn)E為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，BD中點(diǎn)，BE＝3，DF＝3，∴當(dāng)四邊形ABEF的面積取最小值時(shí)，CE+CF的值也最小，最小值為12．解法二：如圖，在BD上截取DM，使得DM＝2，在DA上取點(diǎn)F，連接DF，使得△DFM∽△BEC．則有CE＝FM，作點(diǎn)M關(guān)于AD阿德對(duì)稱點(diǎn)M′，∴CE+CF＝FM+CF＝（CF+FM）＝（CF+FM′），∴C，F(xiàn)，M′共線時(shí)，最小，此時(shí)DF＝3，可得CE+CF的值也最小，最小值為12．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊△ABC中，動(dòng)點(diǎn)D，E分別在BC，AC邊上，且保持AE＝CD，連接BE，AD，相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為．解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵AE＝CD∴BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠BAD+∠ABE，∴∠APE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠APE＝60°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖，連接OC交⊙O于N，則OC⊥AB，根據(jù)圓周角定理可得∠AOB＝120°，∠OAF＝30°，AF＝AB＝，∴OA＝＝2，∴OC＝2OA＝4，當(dāng)點(diǎn)P與N重合時(shí)，CP的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，故答案為：2．2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，動(dòng)點(diǎn)D，E分別在AB，CB邊上，且BE＝AD．連接CD，AE相交于點(diǎn)P，連接BP，則△CAD∽△，BP的最小值為．解：如圖，過點(diǎn)E作EK⊥AB于K，取AE的中點(diǎn)J，連接CJ，JK，CK．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵∠EKB＝90°，∴∠KEB＝∠KBE＝45°，∴EK＝EK，∴BE＝BK，∵BE＝AD，∴AD＝BK，在△CAD和△CBK中，，∴△CAD≌△CBK（SAS），∴∠ACD＝∠BCK，∵∠ACE＝∠AKE＝90°，AJ＝JE，∴CJ＝JA＝JE＝JK，∴A，C，E，K四點(diǎn)共圓，∴∠EAK＝∠ECK，∴∠DAP＝∠ACD，∵∠ADP＝∠ADC，∴△CAD∽△APD，∵∠CPE＝∠ACP+∠CAP＝∠EAB+∠CAE＝45°，∴∠APC＝135°，在AC的右左側(cè)作等腰直角三角形ACO，∠AOC＝90°，OA＝OC，連接OP，OB，過點(diǎn)O作OH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H．則點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由題意OA＝OC＝AC＝2，OH＝CH＝OC＝2，BH＝CH+BC＝6，∴OB＝＝＝2，∵OP＝OA＝2，PB≥OB﹣OP，∴BP≥2﹣2，∴BP的最小值為2﹣2．故答案為：APD，2﹣2．3.如圖，AD為等腰△ABC的高，AB＝AC＝5，BC＝3，E、F分別為線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，則BF+CE的最小值為． 解：作CG⊥BC于C，取CG＝AC，∵AD是高，∴∠ADC＝∠GCD＝90°，∴AD∥CG，∴∠CAE＝∠ACG，∵AE＝CF，AC＝CG，∴△AEC≌△CFG（SAS），∴CE＝FG，∴BF+CE＝BF+FG，∴點(diǎn)B、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，BF+FG的最小值為BG，∵BC＝3，CG＝5，由勾股定理得，BG＝，故答案為：．4．如圖，ABCD是⊙O內(nèi)接矩形，半徑r＝2，AB＝2，E，F(xiàn)分別是AC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，則BE+BF的最小值是（）A． B．2 C．3 D．4解：作O關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)H，連接OH，交CD于G，過H作直線BC的垂線，垂足為M，連接BH交CD于F，連接OF，此時(shí)BF+OF為最小，∴∠ABC＝90°，∴AC為⊙O的直徑，∵半徑r＝2，AB＝2，∴OC＝AB＝OA＝OB＝2，∴△OAB是等邊三角形，∵ABCD是⊙O內(nèi)接矩形，∴AB∥CD，∴∠OCD＝∠BAO，∵AB＝2，AC＝4，由勾股定理得：BC＝＝2，∵AE＝CF，∴△ABE≌△COF，∴BE＝OF，∴BE+BF＝OF+BF，由對(duì)稱性得：OF＝FH，OG＝GH，∴BE+BF＝BF+FH＝BH，∵OC＝OD，OH⊥CD，∴CG＝DG＝CD＝AB＝1，∵∠CGH＝∠GCM＝∠M＝90°，∴四邊形GCMH是矩形，∴CM＝GH＝BC＝×＝，HM＝CG＝1，在Rt△BHM中，由勾股定理得：BH＝＝＝2，即BF+BE的最小值為2；故選：B．5.如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分別是邊BC和對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝DF，則AE+AF的最小值為．解：如圖，在BC的下方作∠CBT＝30°，使得BT＝AD，連接ET，AT，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝，在△ADF與△TBE中，，∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF＝ET，∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝3，∴AT＝，∴AE+AF＝AE+ET，∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥3，∴AE+AF的最小值為3，故答案為：36．如圖（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，邊AB上的點(diǎn)D從頂點(diǎn)A出發(fā)，向頂點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，邊BC上的點(diǎn)E從頂點(diǎn)B出發(fā)，向頂點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，D，E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小相等，設(shè)x＝AD，y＝AE+CD，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖（2），圖象過點(diǎn)（0，2），則圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．解：∵圖象過點(diǎn)（0，2），即當(dāng)x＝AD＝BE＝0時(shí)，點(diǎn)D與A重合，點(diǎn)E與B重合，此時(shí)y＝AE+CD＝AB+AC＝2，∵△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如圖所示：∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，∴△NBE≌△CAD（SAS），∴NE＝CD，又∵y＝AE+CD，∴y＝AE+CD＝AE+NE，當(dāng)A、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，y取得最小值，如圖所示，此時(shí)：AD＝BE＝x，AC＝BN＝1，∴AF＝AC?sin45°＝，\又∵∠BEN＝∠FEA，∠NBE＝∠AFE∴△NBE∽△AFE∴，即，解得：x＝，∴圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：﹣1．故答案為：．7.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別是線段AB、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝AF，則BF+CE的最小值為．解：過點(diǎn)B作BG⊥BC，使BG＝AB，連接GE，GC，∵AD⊥BC∴BG∥AD，∴∠GBA＝∠