2025年中考數(shù)學(xué)專題16 胡不歸最值問題（解析版）

模型介紹模型介紹【模型總結(jié)】在求形如“PB+kPA”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPA相等的線段，將“PB+kPA”型問題轉(zhuǎn)化為“PB+PC”型．而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPA的等線段．【問題】如圖，點P為射線l上的一動點，A、B為定點，求PB+kPA的最小值.【問題解決】構(gòu)造射線AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP．lDD將問題轉(zhuǎn)化為求PB+PC最小值，過B點作BC⊥AD交l于點P，交AD于C點，此時PB+PC取到最小值，即PB+kPA最?。}精講例題精講【例1】．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+BD的最小值是4．解：如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tanA＝＝2，設(shè)AE＝a，BE＝2a，則有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍棄），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形兩腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值為4．故答案為4．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則AB＝2BC．請在這一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若AC＝2，點D是AB的中點，P為邊CD上一動點，則AP+CP的最小值為（）A．1 B． C． D．2解：過C作CE⊥AB于E，過點P作PF⊥EC于F，∵∠ACB＝90°，點D是AB的中點，∴CD＝AB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠B＝60°，∴△BCD為正三角形，∴∠DCE＝30°，∴PF＝CP，∴AP+CP＝AP+PF≥AE，∵∠CAB＝30°，AC＝2，∴CE＝AC＝1，∴AE＝＝，∴AP+CP的最小值為．故選：C．【變式1-2】．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于點D．點P為線段BD上的動點，則PC+PB的最小值為．解：過點P作PE⊥AB于點E，過點C作CH⊥AB于點H，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵sinA＝＝，AB＝5，∴BD＝4，由勾股定理得AD＝，∴sin∠ABD＝，∴EP＝，∴PC+PB＝PC+PE，即點C、P、E三點共線時，PC+PB最小，∴PC+PB的最小值為CH的長，∵S△ABC＝，∴4×4＝5×CH，∴CH＝．∴PC+PB的最小值為．故答案為：．【變式1-3】．如圖，△ABC在直角坐標(biāo)系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發(fā)，運動路徑為A→D→C，點P在AD上的運動速度是在CD上的3倍，要使整個運動時間最少，則點D的坐標(biāo)應(yīng)為________.解：假設(shè)P在AD的速度為3，在CD的速度為1，設(shè)D坐標(biāo)為（0，y），則AD＝2﹣y，CD＝＝，∴設(shè)t＝+，等式變形為：t+y﹣＝，則t的最小值時考慮y的取值即可，∴t2+（y﹣）t+（y﹣）2＝y(tǒng)2+1，∴y2+（﹣t）y﹣t2+t+1＝0，Δ＝（﹣t）2﹣4×（﹣t2+t+1）≥0，∴t的最小值為，∴y＝，∴點D的坐標(biāo)為（0，），解法二：假設(shè)P在AD的速度為3V，在CD的速度為V，總時間t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因為AB＝AC＝3，過點B作BH⊥AC交AC于點H，交OA于D，易證△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因為△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三點共線就行了．因為△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，所以O(shè)D＝，所以點D的坐標(biāo)應(yīng)為（0，），【例2】．如圖，?ABCD中∠A＝60°，AB＝6，AD＝2，P為邊CD上一點，則PD+2PB最小值為6．解：如圖，過點P作PH⊥AD，交AD的延長線于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠CDH＝60°，∵HP⊥AD，∴∠DPH＝30°，∴DH＝DP，HP＝DH＝DP，∵PD+2PB＝2（PD+PB）＝2（HP+PB），∴當(dāng)點H，點P，點H三點共線時，HP+PB有最小值，即PD+2PB有最小值，此時：BH⊥AH，∠A＝60°，∴∠ABP＝30°，∴AH＝AB＝3，BH＝AH＝3，則PD+2PB最小值為6，故答案為：6．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對角線AC、BD相交于點O，點M在線段AC上，且AM＝3，點P為線段BD上的一個動點，則MP+PB的最小值是．解：如圖，過點P作PE⊥BC于E，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠CBD＝30°，∵PE⊥BC，∴PE＝PB，∴MP+PB＝PM+PE，∴當(dāng)點M，點P，點E共線且ME⊥BC時，PM+PE有最小值為ME，∵AM＝3，∴MC＝7，∵sin∠ACB＝＝，∴ME＝，∴MP+PB的最小值為，故答案為．【變式2-2】．如圖，AC是⊙O直徑，AC＝4，∠BAC＝30°，點D是弦AB上的一個動點，那么DB+OD的最小值為．解：作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，連接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點E與M重合時，OD+BD的值最小，最小值為OM，∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB?sin60°＝，∴DB+OD的最小值為，故答案為【變式2-3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝的頂點為A點，且與x軸的正半軸交于點B，P點是該拋物線對稱軸上的一點，則OP+AP的最小值為（）A．3 B．2 C． D．解：連接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如圖，當(dāng)y＝0時，x2﹣2x＝0解得x1＝0，x2＝4，則B（4，0），y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，則A（2，2），∴OA＝＝4，∴AB＝AO＝OB＝4，∴△AOB為等邊三角形，∴∠OAP＝30°，∴PH＝AP，∵AP垂直平分OB，∴PO＝PB，∴OP+AP＝PB+PH，當(dāng)H、P、B共線時，PB+PH的值最小，最小值為BC的長，而BC＝AB＝×4＝2，∴OP+AP的最小值為2．故選：B．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值是（）A．2+6 B．6 C．+3 D．4解：過點C作射線CE，使∠BCE＝30°，再過動點D作DF⊥CE，垂足為點F，連接AD，如圖所示：在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴DF＝DC，∵2AD+DC＝2（AD+DC）＝2（AD+DF），∴當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即AF⊥CE時，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長，此時，∠B＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BC＝4，∴DC＝2，∴DF＝DC＝1，∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，∴2（AD+DF）＝2AF＝6，∴2AD+DC的最小值為6，故選：B．2．如圖，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P為AC邊上的一個動點（不與A、C重合），連接BP，則AP+PB的最小值是（）A． B． C． D．2解：以A為頂點，AC為一邊，在AC下方作∠CAM＝45°，過B作BD⊥AM于D，交AC于P，如圖：由作圖可知：△ADP是等腰直角三角形，∴AD＝PD＝AP，∴AP+PB＝PD+PB，∴AP+PB取最小值即是PD+PB取最小值，此時B、P、D共線，且BD⊥AD，AP+PB的最小值即是BD的長，∵∠BAC＝15°，∠CAM＝45°，∴∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝1，BD＝AD＝，∴AP+PB的最小值是．故選：B．3．在△ABC中，∠ACB＝90°，P為AC上一動點，若BC＝4，AC＝6，則BP+AP的最小值為（）A．5 B．10 C．5 D．10解：以A為頂點，AC為一邊在下方作∠CAM＝45°，過P作PF⊥AM于F，過B作BD⊥AM于D，交AC于E，如圖：BP+AP＝（BP+AP），要使BP+AP最小，只需BP+AP最小，∵∠CAM＝45°，PF⊥AM，∴△AFP是等腰直角三角形，∴FP＝AP，∴BP+AP最小即是BP+FP最小，此時P與E重合，F(xiàn)與D重合，即BP+AP最小值是線段BD的長度，∵∠CAM＝45°，BD⊥AM，∴∠AED＝∠BEC＝45°，∵∠ACB＝90°，∴sin∠BEC＝sin45°＝，tan∠BEC＝，又BC＝4，∴BE＝4，CE＝4，∵AC＝6，∴AE＝2，而sin∠CAM＝sin45°＝，∴DE＝，∴BD＝BE+DE＝5，∴BP+AP的最小值是BD＝10，故選：B．4．如圖所示，菱形ABCO的邊長為5，對角線OB的長為4，P為OB上一動點，則AP+OP的最小值為（）A．4 B．5 C．2 D．3解：如圖，過點A作AH⊥OC于點H，過點P作PF⊥OC于點F，連接AC交OB于點J．∵四邊形OABC是菱形，∴AC⊥OB，∴OJ＝JB＝2，CJ＝＝＝，∴AC＝2CJ＝2，∵AH⊥OC，∴OC?AH＝?OB?AC，∴AH＝×＝4，∴sin∠POF＝＝＝，∴PF＝OP，∴AP+OP＝AP+PF，∵AP+PF≥AH，∴AP+OP≥4，∴AP+OP的最小值為4，故選：A．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸交于A、C（3，0）兩點，若P是x軸上一動點，點D的坐標(biāo)為（0，﹣1），連接PD，則PD+PC的最小值是（）A．4 B．2+2 C．2 D．+解：連接BC，過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H，把C（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，解得b＝2，∴二次函數(shù)解析式為：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y＝﹣x2+2x+3＝3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，﹣1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∴DH＝BD?sin45°＝2，∵PJ⊥CB，∴∠PJC＝90°，∴PJ＝PC，∴PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），∵DP+PJ≥DH，∴DP+PJ≥2，∴DP+PJ的最小值為2，∴PD+PC的最小值為4．故選：A．6．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值為6．解：如圖所示，作點A關(guān)于BC的對稱點A'，連接AA'，A'D，過D作DE⊥AC于E，∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，AA'＝2，∠C＝30°，∴Rt△CDE中，DE＝CD，即2DE＝CD，∵A與A'關(guān)于BC對稱，∴AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，∴當(dāng)A'，D，E在同一直線上時，AD+DE的最小值等于A'E的長，此時，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'＝×2＝3，∴AD+DE的最小值為3，即2AD+CD的最小值為6，故答案為：6．7．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為4．解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2（）＝2（PF+PB）＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4×＝2，∴（PA+2PB）最?。?BF＝4，故答案為：4．8．如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝﹣．解：如圖將△ABP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG．連接PG，CM．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，∵PA＝PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB，∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等邊三角形，∴PA＝PG，∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，∴當(dāng)M，G，P，C共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長，∵AP+BP+CP的最小值為2，∴CM＝2，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，作BN⊥AC于N．則BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，∴BC＝＝＝﹣．故答案為﹣．9．等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GC到達C點，已知電子蟲在Y軸上運動的速度是在GC上運動速度的2倍，若電子蟲走完全程的時間最短，則點G的坐標(biāo)為（0，）．解：如圖作GM⊥AB于M，設(shè)電子蟲在CG上的速度為v，電子蟲走完全全程的時間t＝+＝（+CG），在Rt△AMG中，GM＝AG，∴電子蟲走完全全程的時間t＝（GM+CG），當(dāng)C、G、M共線時，且CM⊥AB時，GM+CG最短，此時CG＝AG＝2OG，易知OG＝?×6＝所以點G的坐標(biāo)為（0，﹣）．故答案為：（0，﹣）．10．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，M為AB上一點，且BM＝2，N為邊BC上一動點，連接MN，點B關(guān)于MN對稱，對應(yīng)點為P，連接PA，PC，則PA+2PC的最小值為6．解：∵B、P關(guān)于MN對稱，BM＝2，∴PM＝2，如圖所示，則點P在以M為圓心，BM為半徑的圓上，在線段MA上取一個點E，使得ME＝1，又∵MA＝6﹣2＝4，MP＝2，∴，，∴，又∵∠EMP＝∠PMA，∴△EMP∽△PMA，∴，∴，∴PA+2PC＝2（）＝2（PC+PE）≥2CE，如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)P、C、E三點共線時取得最小值2CE，∵CE＝，∴PA+2PC的最小值為6．11．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于點A（﹣3，0）、B（1，0），點M（﹣1，4）為拋物線的頂點，AM中點D坐標(biāo)為（﹣2，2）；如圖，Q點為y軸上一動點，直接寫出DQ+OQ的最小值為2．解：如圖，過點O作直線OK，使∠QOK＝45°，過點Q作QK⊥OK于點K，則QK＝OQ，DQ+OQ＝DQ+QK，連接OD，∵D坐標(biāo)為（﹣2，2），∴∠DOQ＝45°，∴DO⊥OK，∴DQ+OQ＝DQ+QK的最小值為OD的長，∵OD＝＝2，∴DQ+OQ的最小值為2．故答案為：2．12．在菱形ABCD中，∠DAB＝30°．（1）如圖1，過點B作BE⊥AD于點E，連接CE，點F是線段CE的中點，連接BF，若ED＝2-3，求線段BF（2）如圖2，過點B作BE⊥AD于點E，連接CE，過點D作DM⊥DC，連接MC，且∠MCE＝15°，連接ME，請?zhí)剿骶€段BE，DM，EM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，連接AC，點Q是對角線AC上的一個動點，若AB＝26，求QB+QC+QD的最小值．解：（1）設(shè)菱形ABCD的邊長為a，則AB＝AD＝a，AD∥BC，∴AE＝AD﹣DE＝a﹣（2-3∵BE⊥AD，∠DAB＝30°，∴BE=12AB=在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，∴[a﹣（2-3）]2+（12a）2＝a解得：a＝2或a＝14﹣83（舍去），∴BC＝2，BE＝1，在Rt△CBE中，CE=B∵點F是線段CE的中點，∴BF=12CE（2）BE＝DM+EM．證明：如圖2，在BE上截取BN＝DM，連接CN，∵四邊形ABCD是菱形，∴CB＝CD，∠BCD＝∠DAB＝30°，在△CBN和△CDM中，CB=CD∠CBN=∠CDM=90°∴△CBN≌△CDM（SAS），∴∠BCN＝∠DCM，CN＝CM，∵∠BCN+∠DCN＝30°，∴∠DCM+∠DCN＝30°，即∠MCN＝30°∵∠MCE＝15°，∴∠NCE＝∠MCN﹣∠MCE＝30°﹣15°＝15°，∴∠NCE＝∠MCE，在△CEN和△CEM中，CN=CM∠NCE=∠MCE∴△CEN≌△CEM（SAS），∴EN＝EM，∵BE＝BN+EN，∴BE＝DM+EM；（3）如圖3，過點C在直線AC的上方作∠ACK＝30°，分別過點B、Q作BH⊥CK于點H，QG⊥CK于點G，BH交AC于點Q′，連接BG，則QG=12∵B、D關(guān)于直線AC對稱，∴QB＝QD，∴QB+QC+QD＝QC+2QB＝2（12QC+QB）＝2（QG+QB當(dāng)點Q與Q′重合時，QG+QB的值最小，當(dāng)點Q與Q'重合時，QG+QB＝Q′H+BQ'＝BH．當(dāng)點Q與Q'不重合時，QG+BQ＞BG＞BH．∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD＝30°，∴∠BCA=12∠BCD＝又∵∠ACK＝30°，∴∠BCK＝∠BCA+∠ACK＝45°，∵∠BHC＝90°，BC＝AB＝26，∴BH=BC2=即QG+QB的最小值是23．∴QB+QC+QD的最小值是43．13．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中將y＝2x+1向下平移3個單位長度得到直線l1，直線l1與x軸交于點C；直線l2：y＝x+2與x軸、y軸交于A、B兩點，且與直線l1交于點D．（1）填空：點A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點B的坐標(biāo)為（0，2）；（2）直線l1的表達式為y＝2x﹣2；（3）在直線l1上是否存在點E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，則求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（4）如圖2，點P為線段AD上一點（不含端點），連接CP，一動點H從C出發(fā)，沿線段CP以每秒1個單位的速度運動到點P，再沿線段PD以每秒個單位的速度運動到點D后停止，求點H在整個運動過程中所用時間最少時點P的坐標(biāo)．解：（1）直線l2：y＝x+2，令y＝0，則x＝﹣2，令y＝0，則x＝2，故答案為（﹣2，0）、（0，2）；（2）y＝2x+1向下平移3個單位長度得到直線l1，則直線l1的表達式為：y＝2x﹣2，故：答案為：y＝2x﹣2；（3）∵S△AOE＝2S△ABO，∴yE＝2OB＝±4，將yE＝4代入l1的表達式得：±4＝2x﹣2，解得：x＝3或﹣1，則點E的坐標(biāo)為（3，4）或（﹣1，﹣4）；（4）過點P、C分別作y軸的平行線，分別交過點D作x軸平行線于點H、H′，H′C交BD于點P′，直線l2：y＝x+2，則∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，點H在整個運動過程中所用時間＝+＝PH+PC，當(dāng)C、P、H在一條直線上時，PH+PC最小，即為CH′＝6，點P坐標(biāo)（1，3），故：點H在整個運動過程中所用最少時間為6秒，此時點P的坐標(biāo)（1，3）．14．直線y＝與拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B兩點（其中點A在點B的左側(cè)），與拋物線的對稱軸交于點C，拋物線的頂點為D（點D在點C的下方），設(shè)點B的橫坐標(biāo)為t（1）求點C的坐標(biāo)及線段CD的長（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m與t之間的關(guān)系式（不需寫出t的取值范圍）；（3）若CD＝CB．①求點B的坐標(biāo)；②在拋物線的對稱軸上找一點F，使BF+CF的值最小，則滿足條件的點F的坐標(biāo)是（3，）．解：（1）拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3的對稱軸為直線x＝3，令x＝3，則有y＝×3＝4，即點C的坐標(biāo)為（3，4）．拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3的頂點D的坐標(biāo)為（3，﹣4m+3），∵點D在點C的下方，∴CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．（2）∵點B在直線y＝上，且其橫坐標(biāo)為t，則點B的坐標(biāo)為（t，t），將點B的坐標(biāo)代入拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．（3）①依照題意畫出圖形，如圖1所示．過點C作CE∥x軸，過點B作BE∥y軸交CE于點E．∵直線BC的解析式為y＝x，∴BE＝CE，由勾股定理得：BC＝＝CE．∵CD＝CB，∴有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），化簡，得：4m2﹣3m﹣1＝0，解得：m＝﹣，或m＝1．當(dāng)m＝﹣時，+﹣3＝＜3，不合適，∴m＝1，此時t＝+＝6，y＝×6＝8．故此時點B的坐標(biāo)為（6，8）．②作B點關(guān)于對稱軸的對稱點B′，過點F作FM⊥BC于點M，連接B′M、BB交拋物線對稱軸于點N，如圖2所示．∵直線BC的解析式為y＝x，F(xiàn)M⊥BC，∴tan∠FCM＝＝，∴sin∠FCM＝．∵B、B′關(guān)于對稱軸對稱，∴BF＝B′F，∴BF+CF＝B′F+FM．當(dāng)點B′、F、M三點共線時B′F+FM最小．∵B點坐標(biāo)為（6，8），拋物線對稱軸為直線x＝3，∴B′點的坐標(biāo)為（0，8）．又∵B′M⊥BC，∴tan∠NB′F＝，∴NF＝B′N?tan∠NB′F＝，∴點F的坐標(biāo)為（3，）．故答案為：（3，）．

15．已知拋物線y＝x2﹣bx+c（b，c為常數(shù)，b＞0）經(jīng)過點A（﹣1，0），點M（m，0）是x軸正半軸上的動點．（Ⅰ）當(dāng)b＝2時，求拋物線的頂點坐標(biāo)；（Ⅱ）點D（b，y0）在拋物線上，當(dāng)AM＝AD，m＝5時，求b的值；（Ⅲ）點Q（b+，yQ）在拋物線上，當(dāng)AM+2QM的最小值為時，求b的值．解：（Ⅰ）∵拋物線y＝x2﹣bx+c（b，c為常數(shù)，b＞0）經(jīng)過點A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，∴c＝﹣1﹣b．當(dāng)b＝2時，c＝﹣1﹣2＝﹣3，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線y＝x2﹣2x﹣3的頂點坐標(biāo)為（1，﹣4）．（Ⅱ）由（1）知：拋物線的解析式為y＝x2﹣bx﹣b﹣1．∵點D（b，y0）在該拋物線上，∴y0＝b2﹣b×b﹣b﹣1＝﹣b﹣1．∵b＞0，∴b＞＞0，﹣1﹣b＜0．∴D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在拋物線的對稱軸x＝的右側(cè)．如圖，過點D作DE⊥x軸于點E，則E（b，0）．∴OE＝b，DE＝1+b，∵A（﹣1，0），∴OA＝1．∴AE＝OA+OE＝1+b．∴AE＝DE．∴△ADE為等腰直角三角形．∴∠EAD＝∠EDA＝45°．∴AD＝AE．∵AM＝AD，m＝5，∴5﹣（﹣1）＝（b+1），∴b＝3﹣1．（Ⅲ）∵點Q（b+，yQ）在拋物線y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴yQ＝﹣b×（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，∴Q（b+，﹣）．∵b＞0，∴﹣＜0，b+＞b，∴點Q在第四象限，且在對稱軸x＝b的右側(cè)．∵AM+2QM＝（），∴取點N（0，1），如圖，過點Q作直線