2025年中考數(shù)學(xué)專題41 單中點(diǎn)、雙中點(diǎn)專題（原卷版）

模型介紹模型介紹有關(guān)中點(diǎn)的知識點(diǎn)歸納：①三角形中線平分三角形面積；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；③等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)；④三角形中位線平行且等于第三邊的一半.在題干中，出現(xiàn)一個(gè)中點(diǎn)時(shí)，我們通常想到中線；兩個(gè)中點(diǎn)時(shí)，想到中位線。模型一、雙中點(diǎn)-中位線模型如圖，D、E、F分別為△ABC三邊中點(diǎn)，連接DE、DF、EF，則，，.模型二、單中點(diǎn)-倍長中線模型模型二、單中點(diǎn)-“三線合一”模型如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，連接AD，則AD平分∠BAC，AD是邊BC上的高，AD是BC邊上的中線（AD是角平分線、中線、垂線）.例題精講例題精講考點(diǎn)一：單中點(diǎn)-倍長中線模型【例1】．如圖，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則AE的長為（）A．6 B． C．5 D．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EP⊥CD于點(diǎn)P，則∠FPC＝（）A．35° B．45° C．50° D．55°【變式1-2】．如圖，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC邊上中線AD的范圍為．考點(diǎn)二：雙中點(diǎn)中位線模型【例2】．如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，若BD＝16，則EF的長為．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)F，使CF＝BC，連接DF、EF，則EF的長為．【變式2-2】．如圖，在△ABC中，BE、CF分別為邊AC、AB上的高，D為BC的中點(diǎn)，DM⊥EF于M．求證：FM＝EM．考點(diǎn)三：單中點(diǎn)三線合一模型【例3】．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，交BC于D，M為BC的中點(diǎn)，AB＝10，求DM的長．變式訓(xùn)練【變式3-1】．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M是BC的中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，則MN＝（）A． B． C．6 D．11【變式3-2】．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D為邊AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥DF，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接EF，若AE＝4，F(xiàn)C＝3，求EF的長．【變式3-3】．已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于點(diǎn)D．求證：∠BAC＝2∠DCB．1．如圖，在平行四邊形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于點(diǎn)E，F(xiàn)為DC中點(diǎn)，連接EF、BF，下列結(jié)論：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四邊形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正確的有（）A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②④2．如圖，已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M，O為BD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AM＝MF．其中正確結(jié)論的是（）A．①③④ B．②④⑤ C．①③④⑤ D．①③⑤3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，若CD＝5，則AE＝．4．如圖在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE垂直AB交BC的延長線于點(diǎn)E，則CE的長是．5．如圖．AB是半圓O的直徑．點(diǎn)C、D在上．且AD平分∠CAB．已知AB＝10，AC＝6，則AD＝．6．如圖，四邊形ABCD中，AB＝8，CD＝6，∠ADB＝∠BCA＝90°，以AD，AC為邊作平行四邊形DACE，連接BE，則BE的長為．7．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE與對角線BD交于點(diǎn)G，連接CG并延長，交AB于點(diǎn)F，連接DE交CF于點(diǎn)H，連接AH．以下結(jié)論：①CF⊥DE；②GH＝；③AD＝AH；④＝，其中正確結(jié)論的序號是．8．如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)F在BE上，延長AF交BC于點(diǎn)D．若BF＝3EF，求的值．9．如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F，AF＝EF，求證：AC＝BE．10．已知線段AB＝8（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．（1）若在直線AB上取一點(diǎn)C，使得AC＝3CB，點(diǎn)D是CB的中點(diǎn)，求AD的長；（2）若M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB延長線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BP的中點(diǎn)，求的值．11．如圖所示，在△ABC中，AD是邊BC上的高線，CE是邊AB上的中線，DG⊥CE于點(diǎn)G，CD＝AE（1）證明：CG＝EG；（2）若AD＝6，BD＝8，求CE的長．12．如圖1，直線AB上有一點(diǎn)P，點(diǎn)M、N分別為線段PA、PB的中點(diǎn)，AB＝14．（1）若點(diǎn)P在線段AB上，且AP＝8，求線段MN的長度；（2）若點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動，試說明線段MN的長度與點(diǎn)P在直線AB上的位置無關(guān)；（3）如圖2，若點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB的延長線上，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變，請選擇一個(gè)正確的結(jié)論并求其值．13．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BO的長．14．在菱形ABCD和等邊△BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)G在BC邊上時(shí)，①判斷△BDF的形狀，并證明；②請連接PB，若AB＝10，BG＝4，求PB的長；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí)，連接PG、PC．試判斷PC、PG有怎樣的關(guān)系，并給予證明．15．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF＝90°，∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F．（1）如圖1，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(shí)，易證S△DEF+S△CEF與S△ABC的數(shù)量關(guān)系為S△DEF+S△CEF＝S△ABC；（2）如圖2，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；（3）如圖3，這種情況下，請猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的數(shù)量關(guān)系，不需證明．16．【問題情境】課外興趣小組活動時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE．請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據(jù)是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【初步運(yùn)用】如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求線段BF的長．【靈活運(yùn)用】如圖3，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，試猜想線段BE、CF、EF三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．17．（1）【提出問題】在一次思維訓(xùn)練營上老師給同學(xué)們出了這樣一個(gè)問題：如圖①在△ABC中，AD為BC邊上的中線，延長AD與AC的平行線BE交于點(diǎn)E．如果AD＝5，那么AE長為多少？小凱同學(xué)立刻利用全等三角形解決了老師的問題．請你直接寫出AE的長．解：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，又∵AC∥BE，∴∠CAD＝∠E．在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（AAS）．∴AD＝DE．又∵AD＝5，∴AE＝．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試猜想線段AB，AD，DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）【拓展延伸】如圖