四川省德陽(yáng)市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)“三診”考試（理科）數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

德陽(yáng)市高中2024屆高三下學(xué)期“三診”考試

數(shù)學(xué)

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合"={*"<%<2024},3={用<力，若化8,則實(shí)數(shù)°的取值范圍是（）

A.(2024,+co)B.[2024,+oo)C.(-oo,2024]D.(-oo,2024)

2.歐拉公式e"=cosd+isin9把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e,虛數(shù)單位i,cosd和sin。聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)

學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，若復(fù)數(shù)z滿足K玩+。/=1+乙則正確的是（）

A.z的共朝復(fù)數(shù)為_(kāi)iB.z的實(shí)部為1

C.z的虛部為iD.z的模為1

3.在（2+九）（1+x）6的展開(kāi)式中*3的系數(shù)是（）

A.30B.35C.55D.60

4.已知函數(shù)/（%）=sinx+cosx,且/XxJ=^-/（x0）,則tan2%的值是（）

5.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的s=（）

25

B.

24

1

D.

6

Q<OPOA<1

6.已知向量QA=（l,0）,O3=（l,l）,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P?y）滿足約束條件＜則

0<OPOB<2

z=x—2y的最大值為（）

A.-2B.2C.-3D.3

7.2023年7月28日至8月8日，第31屆世界夏季大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都市舉行，組委會(huì)將5名大學(xué)生分配

到A,B,C三個(gè)路口進(jìn)行引導(dǎo)工作，每個(gè)路口至少分配一人，每人只能去一個(gè)路口.若甲、乙要求去同一

個(gè)路口，則不同的分配方案共有（）

A.18種B.24種C.36種D.48種

8.a,0,平為不同的平面，m,n,1為不同的直線，則m_L0的一個(gè)充分條件是

A.n.\_a.nA./3,mLaB.ar\y-m.aVy

C.aA.Y./3A.y.mLaD.aL/3.ary/3=l.mLl

9.如今我國(guó)物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合.已知某類果蔬的保鮮時(shí)間y（單位:

小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度其單位：。C）滿足函數(shù)關(guān)系.y=cax+\a,b.為常數(shù)），若該果蔬在7℃的保鮮時(shí)間為288

小時(shí)，在21℃的保鮮時(shí)間為32小時(shí)，且該果蔬所需物流時(shí)間為4天，則物流過(guò)程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度（假設(shè)

物流過(guò)程中恒溫）最高不能超過(guò)（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

10.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱

美.如圖是以正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的

阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為0,則該多面體外接球的表面積為（）

B.4兀

4

C.2兀D.一兀

3

r2y2

11.設(shè)耳,工是雙曲線C:二=1（。＞0/＞0）的左、右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸是。上異于實(shí)軸

a一手

端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若IP片IIPEJ-|OP|2=2〃，則c的離心率為（）

A.73B.72C.3D.2

12.已知函數(shù)/（%）及其導(dǎo)函數(shù)/'（九）的定義域均為R,且（％—2）［/'⑴—〃切＞0,

/（4-%）=/（%）e4-2\則不等式03/（山￡）＜4（3）的解集是（）

A.（0,e3）B.（l,e3）C.（e,e3）D,（e3,+oo）

第II卷（非選擇題共90分）

本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡上.

13.已知函數(shù)加）=cos（x+e）是奇函數(shù)，則e的最小正值為.

JT

14.在中，角C的對(duì)邊分別為a,4c；已知,若向量〃z=（c—4,a—Z?）,〃=（a-Z?,c+4）

滿足力/；?，則-ABC的面積為.

15.己知兩點(diǎn)M（—l,0）,N（L0）,若直線X—y+根=0上存在唯一點(diǎn)尸滿足PMPN=0,則實(shí)數(shù)相的

值為.

16.已知尸為拋物線。：爐=4丁焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線/與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A、B,若拋物線C

在A、B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P,則怛司2+吃的最小值為

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知｛4｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，且也｝的前w項(xiàng)和為S“,2q=4=2,%=5（a4—g），在①

々=4（d一4）,②2+i=S〃+2這兩個(gè)條件中任選其中一個(gè)，完成下面問(wèn)題的解答.

（1）求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列3的前〃項(xiàng)和為7；,是否存在加,〃eN*,使得q=（若存在，求出所有滿足題意的

他J

以〃；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.某公司為了確定下季度的前期廣告投入計(jì)劃，收集并整理了近6個(gè)月廣告投入量x（單位：萬(wàn)元）和收益

M單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如表（其中有些數(shù)據(jù)污損不清）：

月份123456

廣告投入量27810

收益20303437

他們分別用兩種模型①丁二法+即②了=恁麻進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖

所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？

（2）殘差絕對(duì)值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除.

（i）剔除異常數(shù)據(jù)后，求出（1）中所選模型的回歸方程；

（ii）若廣告投入量x=19,則（1）中所選模型收益的預(yù)報(bào)值是多少萬(wàn)元?（精確到0.01）

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（西3），（9，%），，（土,”），其回歸直線夕=晟+&的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別

n__〃__

,2（x,.-x）（y,-y）Y.x^-nxy__

為：5=歸一^------------=號(hào)---------a=y-bx.

X（x,-x）2^%,2-nx

i=li=l

19.如圖，在三棱柱ABC-4與G中，底面ABC是等邊三角形，ZA.AB=ZAXAC,D為BC中點(diǎn)，過(guò)

8c的平面交棱AB于E,交AC于足

(1)求證:平面\AD，平面EBgF；

(2)若是等邊三角形，A5=4,求二面角。―A4J—C正弦值.

20.已知橢圓：三+與=1(。〉5〉0)的離心率為立，其左右焦點(diǎn)分別為%、尸2,下頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)

?2b22一

為B,鉆的的面積為1+*1.

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)。的直線交C于M、N兩點(diǎn)，且直線OM,MN,ON的斜率依次成等比數(shù)列，求

△MON面積的取值范圍.

21.設(shè)函數(shù)/(x)=6盂+cosx,g(x)=sinx+2.

(1)試研究尸(x)=，/—x+g(x)在區(qū)間(0,+oo)上的極值點(diǎn)；

(2)當(dāng)尤20時(shí)，/(%)>.?(%),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

請(qǐng)考生在22、23二題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第

一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.

［選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

2t

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為<,。為參數(shù))，直線/的方程為x-y-1=0.以

1-r

坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線c的普通方程和直線/的極坐標(biāo)方程；

3兀

(2)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(1,萬(wàn))，設(shè)直線/與曲線C的交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為。，求線段

PD的長(zhǎng).

［選修4--5:不等式選講］

23.已知a、b、c、［均為正數(shù)，且以/=Z?c.

(1)證明:若a+d>〃+c,則Ia-d|>|b-c|;

(2)若W/+/2q+/=+揚(yáng)+/,求實(shí)數(shù)t取值范圍―

參考答案

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合人=卜"<*<2024},3={用<4，若化8,則實(shí)數(shù)0的取值范圍是()

A.(2024,+oo)B,［2024,+oo)C.(—8,2024］D.(—8,2024)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用集合的包含關(guān)系求解即得.

【詳解】集合A={x［l<x<2024},B={x\x<a},又AaB,貝UaN2024,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是［2024,+s).

故選：B

2.歐拉公式y(tǒng)=cose+isin6把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。，虛數(shù)單位i,cos。和sin。聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)

學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，若復(fù)數(shù)Z滿足卜配+。/=1+乙則正確的是()

A.z的共朝復(fù)數(shù)為_(kāi)iB.z的實(shí)部為1

C.z的虛部為iD.z的模為1

【答案】D

【解析】

【分析】由歐拉公式計(jì)算可得z=-i，再根據(jù)共輾復(fù)數(shù)、實(shí)部、虛部定義以及模長(zhǎng)公式可得結(jié)果.

【詳解】由e"=cos0+isin6（era=cos兀+isin兀=-1，

可彳日z=1+i=(1+D(T—D=T-"2i

所以(e'"+i)-z=(-l+i)-z=l+i“侍-一1+「(_L+i)(T—i)-l-P

所以z的共軌復(fù)數(shù)為i,即A錯(cuò)誤;

z的實(shí)部為0,即B錯(cuò)誤；

z的虛部為-1,所以C錯(cuò)誤；

z的模為1,可知D正確.

故選：D

3.在（2+耳（1+尤）6的展開(kāi)式中d的系數(shù)是（）

A.30B.35C.55D.60

【答案】C

【解析】

【分析】利用二項(xiàng)式定理求出所有含丁的項(xiàng)，計(jì)算可得系數(shù).

【詳解】由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)可得展開(kāi)式中含/的項(xiàng)包括兩項(xiàng)，

即2C：?『?/+V：.一.爐=Re：+C：）d=55%3,

所以展開(kāi)式中V的系數(shù)是55.

故選：C

r

4.已知函數(shù)/（%）=sinx+cosx,且/（x0）=-1/（x0）,貝（JtanZ/的值是（）

232

A.--B.-C.-D.

343

【答案】B

【解析】

【分析】求出函數(shù)"X）的導(dǎo)函數(shù)，利用給定等式求出tan%,再利用二倍角的正切計(jì)算即得.

【詳解】函數(shù)/(%)=5111%+(：05%,求導(dǎo)得/(x)=cosx—sinx,

x=cosxsnx

由/'(毛)cosx0-sino~(o+io))解得tanx()=g,

2xl

故選：B

5.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的s=()

1125

A.—B.

1224

3

C.一D.

46

【答案】A

【解析】

【分析】由程序框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)，代入計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)流程框圖可知，第一次計(jì)算結(jié)果為5=0+工=」,"=4<8；

22

113

第二次循環(huán)計(jì)算可得s=—+—=—,〃=6<8；

244

3111

第三次循環(huán)計(jì)算可得s=—+—=—,72=8=8,不滿足〃<8,循環(huán)結(jié)束,

4612

此時(shí)輸出s=一

12

故選：A

Q<OPOA<1

6.已知向量QA=(l,0),O3=(l,l)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)？(龍廣)滿足約束條件,則

Q<OPOB<2

z=x—2y的最大值為()

A.-2B.2-3D.3

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出約束條件，畫出可行域并利用直線的截距的幾何意義求得結(jié)果.

【詳解】易知OP=（x,y）,

Q<OPOA<10<%<1

所以約束條件〈即為《

0<OPOB<20<x+y<2

畫出可行域如下圖陰影部分所示:

將目標(biāo)函數(shù)z=x—2y變形可得,=gx—；z,

當(dāng)其在>軸上的截距最小時(shí)，z的取值最大；

對(duì)直線y=—%,令x=l,則y=—1,則A（1，T，

顯然當(dāng)直線y=gx平移到過(guò)點(diǎn)A（l,-1）時(shí)，Z取最大值3.

故選：D

7.2023年7月28日至8月8日，第31屆世界夏季大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都市舉行，組委會(huì)將5名大學(xué)生分配

到A,B,C三個(gè)路口進(jìn)行引導(dǎo)工作，每個(gè)路口至少分配一人，每人只能去一個(gè)路口.若甲、乙要求去同一

個(gè)路口，則不同的分配方案共有（）

A.18種B.24種C.36種D.48種

【答案】C

【解析】

【分析】按照分組分配問(wèn)題先將5人分情況討論并分成三組，再分配到三個(gè)路口進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】第一步：先將5名大學(xué)生分成三組，每組人數(shù)為1,1,3或1,2,2；

當(dāng)分為1,1,3時(shí)，且甲、乙要求去同一個(gè)路口，則甲、乙必須在3人組，

因此只需從剩下的3人中任選一人，其余兩人各自一組，共有C；種分法；

當(dāng)分為1,2,2時(shí)，且甲、乙要求去同一個(gè)路口，則將剩下的3人分成兩組即可，共有C；C；種分法；

第二步：再將分好的三組人員分配到三個(gè)路口，共有A；種分配方案；

因此共（（4+（2￡；卜；=36種.

故選：C

8.a,P，丫為不同的平面，m,n,1為不同的直線，則m_L|3的一個(gè)充分條件是

A.n-La,n-Lj3,mB.ar\y=m,aVy,pVy

C.a-Ly,m±aD.aL/3,aC\/3—l,mLI

【答案】A

【解析】

【詳解】解:因?yàn)閍，B，y為不同的平面,m,n,l為不同的直線，則m_L|3的一個(gè)充分條件是〃_Ltz,"_L_L。,

選A

9.如今我國(guó)物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合.已知某類果蔬的保鮮時(shí)間y（單位：

小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：。C）滿足函數(shù)關(guān)系.y=cax+b{a,b.為常數(shù)），若該果蔬在7℃的保鮮時(shí)間為288

小時(shí)，在21℃的保鮮時(shí)間為32小時(shí)，且該果蔬所需物流時(shí)間為4天，則物流過(guò)程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度（假設(shè)

物流過(guò)程中恒溫）最高不能超過(guò)（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型建立方程組，再列出不等式即可求解.

7fl+fo

e=288M171

【詳解】依題意，\?+,,則,即e70=—,顯然a<0,

e21a+b=3293

ar+b2la+b14fl+6

設(shè)物流過(guò)程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度為t℃,于是e>96=3.e2i“+&=『Je=e，

解得因此/W14,

所以物流過(guò)程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度最高不能超過(guò)14℃.

故選：A

10.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱

美.如圖是以正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的

阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為0,則該多面體外接球的表面積為（）

A.8兀B.4兀

4

C.2兀D.一兀

3

【答案】A

【解析】

【分析】將該多面體補(bǔ)全為正方體，得出該多面體的外接球即為正方體ABC。-44GR的棱切球，求出

該正方體的棱長(zhǎng)得出棱切球半徑，計(jì)算得到表面積.

【詳解】將“阿基米德多面體”補(bǔ)全為正方體，如下圖所示:

不妨取兩棱中點(diǎn)為及尸，由題知=

易知BE上BF,BE=BF,可得BE=BF=1,

所以正方體的棱長(zhǎng)為2,該多面體的外接球即為正方體ABCD-4耳。10的棱切球,

所以棱切球的直徑為該正方體的面對(duì)角線，長(zhǎng)度為2&，

因此該多面體的外接球的半徑為四，所以其表面積為S=4兀（、歷了=8兀.

故選：A

22

11.設(shè)片是雙曲線c：\y=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸是。上異于實(shí)軸

a

端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若IPEIIPKI-1"『=2〃，則c的離心率為（）

A.73B.72C.3D.2

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合點(diǎn)尸在雙曲線上及給定等式化簡(jiǎn)計(jì)算即得.

2,2

【詳解】令雙曲線。:三—―二1的焦點(diǎn)耳（一。,0）,8（C,O），設(shè)尸（%,%）,%*0,

ab

-.212

2

|Pf；|=7(x0+c)+

auava

=J，■片+2/+/=1(X。+a1，同理IPF?1=1?x?！猘|,

2

而故焉一。22c2一。2〉O,

a

2J2

因此2(r=|P4||Pg|-1OP『=—7片-a~-x；-y；=—7x；-%-cj2=b"-a2,

a'a"

即b~=3a2，所以雙曲線C的禺心率6=g=Jl+%■=2.

a)la

故選：D

12.己知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)fr(x)的定義域均為R,且(%-2)[r(%)-"%)]>。，

/(4-x)=/(x)e4-2\則不等式e3〃lnx)<4(3)的解集是()

A.(0,e3)B.(l,e3)C.(e,e3)D.(e)+oo)

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)題意可構(gòu)造函數(shù)?（尤）=與，求得/（X）的單調(diào)性，再利用函數(shù)對(duì)稱性解不等式即可求得結(jié)

果.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)尸（0=竽，則盧;

因?yàn)椤Ｒ?）［/（同一〃切>。

所以當(dāng)x>2時(shí)，/'（%）—/（X）>0,即尸（%）>0,此時(shí)方（％）在（2,+s）上單調(diào)遞增；

當(dāng)x<2時(shí)，/,（x）-/（x）<0,即〃（x）<0,此時(shí)方（%）在（—,2）上單調(diào)遞減；

又/（"無(wú)""刀爛""所以/（：_同=小1,即網(wǎng)4一力=網(wǎng)力；

所以函數(shù)尸（九）圖象上的點(diǎn)（x,尸（x））關(guān)于x=2的對(duì)稱點(diǎn)（4—乂/（司）也在函數(shù)圖象上，

即函數(shù)/（九）圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

不等式e7（lnx）<V（3）變形為"In：<,即</（3）；

xeee

可得E（lnx）<E（3）=E（l）,

又廠（左）在（2,+8）上單調(diào)遞增,在（-8,2）上單調(diào)遞減，

所以l<lnx<3,解得e<x<et

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)——/（%）］>0的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)

判斷出其單調(diào)性，再由"4—x）=/（x）e4-2,得出其對(duì)稱性解不等式即可.

第II卷（非選擇題共90分）

本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡上.

13.已知函數(shù)y（x）=cos（x+e）是奇函數(shù)，則e的最小正值為.

JT

【答案】-

2

【解析】

JT

【分析】根據(jù)題意可得8=—+E,keZ,可求。的最小正值.

2

JT

【詳解】由函數(shù)y=cos(x+，)為奇函數(shù)，可得8=—+E,左eZ,

2

TT

則6的最小正值為一.

2

TT

故答案為：—.

2

JT

14.在ABC中，角A5C的對(duì)邊分別為a,4c；已知,若向量〃z=(c—4,a—Z?),〃=(a-Z?,c+4)

滿足力/；?，則-ABC的面積為.

【答案】4月

【解析】

【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示可得/+^-^=2^-16，再由余弦定理解得"=16,利用面積公式

可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意由為友可得(c—4)(c+4)—(a—萬(wàn))(a—9=0,

整理可得a?+。2_。2=2ab—16;

又。=/可知/+。2一=2而85c，即可得2"—16=ab,解得而=16；

33

所以ABC的面積為5=工。65山。=4百.

2

故答案為：

15.已知兩點(diǎn)M(—l,0),N(l,0),若直線x—y+機(jī)=0上存在唯一點(diǎn)尸滿足PM-PN=4，則實(shí)數(shù)機(jī)的

值為.

【答案】土行

【解析】

【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出點(diǎn)P的軌跡，再根據(jù)直線與圓相切求出機(jī)的值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)P(x,y),則PM=(—l—x,—y),PN=(l—x,—y),由PM.PN=0，得d+y'l，

因此點(diǎn)尸在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，顯然直線x-y+%=。與此圓相切,

\m\

則E?—1，解得m=土J5,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的值為土0.

故答案為：土虛

16.已知尸為拋物線。：爐=4y的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線/與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A、B,若拋物線C

在A、8兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P,則|PB『+向的最小值為.

【答案】5

【解析】

【分析】設(shè)出直線方程并于拋物線聯(lián)立，利用焦點(diǎn)弦公式求得|/回=|”|+忸盟的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)求

得切線方程得出P點(diǎn)坐標(biāo)，可得「目2+告=442+4+"7彳，再由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)即可得出其最小值.

An4/c+4

【詳解】由拋物線。：f=4丁可知/（0,1）,

顯然直線/的斜率一定存在，可設(shè)直線/的方程為丁=米+1,A（%,％）,6（%2，%）；

如下圖所示：

X2=4y八

聯(lián)立拋物線和直線/的方程〈，消去y可得12—4西—4=0；

y=kx+\

由韋達(dá)定理可得X+%2=4左，王%2=-4；

利用焦點(diǎn)弦公式可得I=IAF|+1跳1=乂+1+%+1=y1+y2+2=左a+%）+4=4〃+4；

由爐=4丁可得p=亍，求導(dǎo)可得y=］，

所以拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為y—%=」（x—斗），由片=4打,

整理可得丁=4-]

同理可得點(diǎn)8處的切線方程為y=￡x-十；

聯(lián)立解得P12產(chǎn)，個(gè);即。（2人1）；

可得忸葉=（2左）2+（―1—1）2=4左2+4;

,944

所以|尸尸|+-：---：=4k2+4H----------------

切力?\AB\4r+4'

44

令4%2+4=/?4,+8）,貝?。﹟尸典2+\AB\=t+l：

利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)y=f+；在[4,+“）上單調(diào)遞增，

所以怛司+\AB\=t+7~4+4=5,當(dāng)且僅當(dāng)后二°時(shí)，等號(hào)成立；

24

即|尸盟+畫的最小值為5.

故答案為：5

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在求解拋物線在某點(diǎn)處的切線方程時(shí)，經(jīng)常利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程表達(dá)

式即可解得交點(diǎn)坐標(biāo)，再由焦點(diǎn)弦公式得出+向的表達(dá)式可求得最小值.

三、解答博：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知｛4｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，且也｝的前w項(xiàng)和為邑,24=4=2,%=5（%—生），在①

4=4（d—4），②%+i=S〃+2這兩個(gè)條件中任選其中一個(gè)，完成下面問(wèn)題的解答.

（1）求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列》的前”項(xiàng)和為7"，是否存在相,“eN*,使得<=冊(cè)若存在，求出所有滿足題意的

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)a,="(〃eN*),2=2",(〃wN*)

(2)m—l,n—2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列定義可求得4=〃，利用等比數(shù)列定義根據(jù)條件①②列方程組解得公比可得

%=2";

〃+2

(2)利用錯(cuò)位相減法求出7；=2———,易知%,=根，又見(jiàn)"eN*可得機(jī)=1,"=2.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

由2al=2,%=5(%―%)可得4+4d=5(q+31—%—2d),解得弓=d=l-

所以4=%+(〃_l)d=〃，

即數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為凡="("cN*)

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為《，

若選擇條件①，佐=4(%-4)，

由偽=2且&=4僅4一83)，可得加4=4僅1/一如2),

即4“+4=0,解得q=2,

所以｛勿｝是以偽=2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，可得々=2x2"T=2"("eN*)；

即數(shù)列｛0｝的通項(xiàng)公式為2=2"eN*)；

若選擇條件②，bn+i=Sn+2,

令〃=1,則"=H+2=4,所以公比4=3=2,此時(shí)S“=2"i—2,經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，

一4

即他“｝是以偽=2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，

所以々=2"(〃eN*)

【小問(wèn)2詳解】

假設(shè)滿足題意得私〃存在,

■+“之+-.+。2

匕i1燈123n-1n

所以/=尹+聲+及+…+下+尸'

兩式相減可得!

因?yàn)闅q〉0,所以4=2—5」＜2；

乙乙

〃+2

所以由北二冊(cè)可得2—二1二加，即機(jī)＜2,又加wN*，

2

〃+2

所以m=1,即2—亍=1,解得〃=2,

因此滿足題意的私〃存在，且m=1,"=2.

18.某公司為了確定下季度的前期廣告投入計(jì)劃，收集并整理了近6個(gè)月廣告投入量x（單位：萬(wàn)元）和收益

M單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如表（其中有些數(shù)據(jù)污損不清）：

月份123456

廣告投入量27810

收益20303437

他們分別用兩種模型①丁二法+即②丁二痣麻進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖

所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？

(2)殘差絕對(duì)值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除.

(i)剔除異常數(shù)據(jù)后，求出(1)中所選模型的回歸方程；

(ii)若廣告投入量產(chǎn)19,則(1)中所選模型收益的預(yù)報(bào)值是多少萬(wàn)元?(精確到0.01)

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(七，(X"，K)，其回歸直線夕=良+&的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別

n__〃__

,Y.x^-nxy__

為：5=歸一^------------=號(hào)-------1a=y-bx.

-nx

i=li=l

【答案】(1)模型①；

、105405

(2)(i)2一x+—；(ii)63.16.

3838

【解析】

【分析】(1)觀察殘差圖，利用殘差波動(dòng)大小選擇.

(2)(i)利用給定數(shù)據(jù)，計(jì)算最小二乘法公式中相關(guān)量，求出回歸直線方程；(ii)利用求得的回歸方程進(jìn)

行數(shù)據(jù)估計(jì).

【小問(wèn)1詳解】

由于模型①殘差波動(dòng)小，應(yīng)該選擇模型①.

【小問(wèn)2詳解】

-1

(i)剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x=gx(7x6-7)=7,

_155一

y=-x(30x6-30)=30,=1470-210=1260,-5xy=210,

5i=ii=i

55_9

Ex；=370-49=321,5必=76,

i=li=l

；105、-廠。八105r405

b=---,a=y-bx=30-----x7=---,

383838

所以所選模型的回歸方程為亍=粵工+要.

3838

(ii)若廣告投入量x=19,

1054051200

則該模型收益的預(yù)報(bào)值是X19+=?63.16（萬(wàn)元）.

383819

19.如圖，在三棱柱ABC-AAG中，底面ABC是等邊三角形，Z^AB^Z^AC,D為的中點(diǎn)，過(guò)

瓦G的平面交棱AB于E,交AC于足

(1)求證:平面平面后5。/；

(2)若.4A。是等邊三角形，AB=4,求二面角。一相―C的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵亞

13

【解析】

【分析】(1)先證明3C_Z平面AA。，再證明面面垂直即可得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.

【小問(wèn)1詳解】

連接

因?yàn)?耳AB=AAiAC,AB=AC,=AA^,

所以△4A3注△AAC,所以A5=AC.

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，所以

因?yàn)锳5=AC,。為BC的中點(diǎn)，所以6CJ.AD

因?yàn)?。4。=。，4。,4。<=平面44。，

所以平面44。，

又B'CJIBC,所以Bg±平面AXAD,

又4clu平面E3jC/,

所以平面AA。，平面EBXCXF.

【小問(wèn)2詳解】

取AD的中點(diǎn)。，連接A。，

因?yàn)锳A。是等邊三角形，所以A。LAD,

由(1)可知平面則3C,AD，A。兩兩垂直,

故以。為原點(diǎn)，Q4所在直線為無(wú)軸，過(guò)。

作的平行線為y軸，。4所在直線為z

軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,如圖，

因?yàn)榈酌鍭BC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以4￡>=2力，

因?yàn)?A。是等邊三角形，所以4。=3,

所以A(后0,0),A(o,0,3)，網(wǎng)―后2,0),。卜后—2,0)

則A4,=(-AO,3),AC=(-2A-2,0),

設(shè)平面AAXC的法向量為〃=(%,y,z),

n-AAi=—y/3x+3z=0

由<令Z=l，得〃=（后

ri-AC=-2y/3x-2y-0

易知平面441c的一個(gè)法向量為BC=（0,-4,0）,

記二面角D-A^-C的大小為0,

…\n-BC\123

則nll|cos0\='-----=-7=—=—j=，

\n\\BC\y/13x4V13

故二面角D-A4-C正弦值為sin0=Vl-cos20=.

13

20.已知橢圓：三+1=1（?！?〉0）的離心率為且，其左右焦點(diǎn)分別為%、&,下頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)

ab2

為B,筋片的面積為1+3.

2

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)。的直線交C于M、N兩點(diǎn)，且直線的斜率依次成等比數(shù)列，求

^MON面積的取值范圍.

尤2

【答案】（1）土+丁=1

4-

（2）（0,1）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率及，A3K的面積列式可得結(jié)果；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理及條件得到相與左的關(guān)系，由點(diǎn)到直線的距離公

式、弦長(zhǎng)公式表示面積，構(gòu)造函數(shù)可得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

依題意e=-=—^>c=—a，又/+，=〃+—a2=>b=—a,

a2242

no1/A,if百）1a2Q01出

ABFl2\j222422

\J\J

所以〃2=4萬(wàn)=1,

所以橢圓C的方程為工+y2=l.

4-

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知，直線的斜率存在且不為0,故可設(shè)直線：丁=履+m（加/0）,

工+2=1

用■（石，聯(lián)立直線和橢圓<4+'一，

y=kx+m

化簡(jiǎn)得（1+4左之）d+Sknvc+4機(jī)2—4=0,

由題意可知A=（8Am）2—4（1+4左2）（4療—4）>0,即1+4左？>/，

口—8km4m*2-4

且

則=（何+間（辰2+根）二左2石％2+加（石+%2）+4

(%Y―m2-4k2

=k2

1+4左21+4F1+4左2

又直線OM,MN,ON的斜率依次成等比數(shù)列。即又?&=公，

石x2

則----二左2n4左2=1,所以0〈加2<2且加2w1，

4m—4

m2m

設(shè)點(diǎn)。到直線腦V的距離為2=萬(wàn)二+，

J1+左2V5

又IM=J（1+/）［（X］+X2）2—=J（l+F）］常^-4猾^

=J：x4(2—加2)={