北師大版新教材高中數學必修第一冊第一章預備知識1集合教學設計

1集合

1.1集合的概念與表示....................................................1

1.2集合的基本關系......................................................6

1.3集合的基本運算.....................................................10

1.1集合的概念與表示

【教學分析】

集合知識是整個高中學習的基礎，本節(jié)主要讓學生理解集合的含義，了解常

用數集，掌握集合與集合中元素的相關概念，集合的元素特征，及集合的表示方

法等。通過學習集合知識，可以使學生更好的理解數學中的集合語言，可以使學

生逐步運用集合的觀點和思想分析數學問題。

【教學目標】

理解集合定義，了解元素特性及元素與集合的關系，熟記不同數集的符號，

掌握集合的表示方法。

【核心素養(yǎng)】

數學抽象：集合含義。

邏輯推理：選擇集合不同語言形式描述具體問題。

數學運算：根據集合與元素之間的關系求值。

直觀想象：在理解集合含義及特征的過程中，運用元素分析集合問題，提高

學生分析問題和解決的能力。

數學建模：從實例理解集合的含義過程中，提高語言轉換和抽象概括能力，

樹立用集合語言表示數學內容的意識。

【教學重點】

集合的含義與表示方法。

【教學難點】

運用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示一些簡單集合。

【課前準備】

PPT

【教學過程】

一、新課引入

軍訓前學校通知：9月1日8點，高一年級在操場集合進行軍訓，試問這個

通知的對象是全體的高一學生還是個別學生？

在這里，集合是我們常用的一個詞語，我們感興趣的是問題中某些特定（是

高一而不是高二、高三）對象的總體，而不是個別的對象，為此，我們將學習一

個新的概念——集合，即是一些研究對象的總體。

二、創(chuàng)設問題

我們高一5班一共60人，其中體育委員王肖，現有以下問題：

1.我班的60人能否組成一個整體？

2.王肖和60人所組成的班集體是什么關系？

3.假設劉鵬飛是相鄰班的學生，問他與我班是什么關系？

4.學生活動：學生回答：

（1）60個人能成為一個集體。

（2）王肖屬于這個班集體。

（3）劉鵬飛不屬于這個班集體。

三、集合的有關概念

1.集合的概念：一般地，我們把指定對象的全體稱為集合，通常用大寫的

拉丁字母A,B,C…表示，集合中的每個對象叫作這個集合的元素，通常用小

寫英文字母”,b,c,…表示.

2.集合與元素的關系

（1）如果。是集合A的元素，就說。屬于A,記作：awA；

（2）如果a不是集合A的元素，就說〃不屬于A,記作：aeA,

【課堂練習】

用符號或"”填空：

(1)-3一一N,0.5_____N,3_____N?.

(2)1.5―__Z,-5______Z,3_____Z,.

(3)-0.2Q,兀Q,7.21Q.

（4）1.5R,-1,2R,nR

3.元素的特征

探究1.指出下列對象是否構成集合，如果是，指出該集合的元素。

（1）我班全體學生；

（2）我國的直轄市；

（3）我們班高個子男生；

（4）大于200的數。

4.學生活動：學生回答：

（1）可以，全體學生

（2）可以構成集合，元素是直轄市；

（3）有的說可以，有的說不可以；

（4）可以，大于200的數。

5.教師總結

（1）確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A

的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立.

（2）互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體

（對象），因此，同一集合中不應重復出現同一元素.

（3）無序性：給定一個集合與集合里面元素的順序無關.

四、集合的分類

由有限個元素組成的集合叫做有限集.由無限個元素組成的集合叫做無限集.

由數組成的集合叫做數集.所有自然數組成的集合叫做自然數集，記作N.

所有正整數組成的集合叫做正整數集，記作N+或N*.

所有整數組成的集合叫做整數集，記作Z.

所有有理數組成的集合叫做有理數集，記作Q.

所有實數組成的集合叫做實數集，記作R.

不含任何元素的集合叫做空集，記作。

五、集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列舉法和描述法

（1）列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來，一

般可將集合表示為{a,0,c,……}

例如：20以內的所有素數組成的集合C用列舉法可表示為

C={2,3,5,7,11,13,17,19）

注：用列舉法表示集合時，元素排列的順序可以不同，例如：{1,2,3},{2,1,3}

{3,2,1}這些都是同一集合

例1：用列舉法表示下列集合

（1）由大于3且小于10的所有整數組成的集合

（2）方程f-9=0的所有實數解組成的集合

答案：（1）A={4,5,6,7,8,9}

（2）B={-3,3}

課堂練習1.用列舉法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然數組成的集合；

（2）方程犬2=》的所有實數根組成的集合；

（3）由1?20以內的所有質數組成的集合。

解答：（1）設小于10的所有自然數組成的集合為A,那么A={0,123,4,5,6,7,8,9}.

由于元素完全相同的兩個集合相等，而與列舉的順序無關，因此集合A可

以有不同的列舉法.例如:A={9,8,7,6,5,4,321,0}。

（2）設方程x2=x的所有實數根組成的集合為B,那么8={0,1}.

（3）設由1?20以內的所有質數組成的集合為C,那么

C={2,3,5,7,11,13,17,19}。

（2）描述法：通過描述元素滿足的條件表示集合的方法稱為描述法。具體

方法是：{x及x的范圍|x滿足的條件}

例2：用描述法表示下列集合

（1）小于10的所有有理數組成集合A

（2）所有奇數組成集合B

（3）平面a內，到定點。的距離等于定長r的所有點組成集合C

答案：A={xeQ|x<10}

B=[x\x=2n-l,neN}

C={M^a\\MO\=r]

課堂練習2.用描述法表示下列集合:

①{1,4,7,10,13}；②{—2,-4,—6,—8,70}

答案：①{x|x=l+3Z,女=1,2,3,4}②{x|尤=-24,左=1,2,3,4,5}

六、集合與區(qū)間的關系

集合名稱區(qū)間數軸表示

Wa<x<l)開區(qū)間(%b)

{Mcz<x<M閉區(qū)間&b]

{x[G<X<B}半開半閉區(qū)間[?,b)

{x[a<x<f^半開半閉區(qū)間(a,b]

【教學反思】

“問題是數學的心臟”。一個概念的形成是螺旋式上升的，一般要經過具體

到抽象，感性到理性的過程。本節(jié)教案通過一個現實生活中的具體實例引入集合,

進而又通過若干集合進一步加以誘導剖析，最終形成概念。

集合的表示法教學中的難點，為此，我們以實例出發(fā)引起學生的注意。再由

特殊到一般，由師生一起討論出如何更適當的表示出集合。著重培養(yǎng)學生的思維

能力，學習數學概念和數學性質的方法和能力，提高學生學習數學的興趣，養(yǎng)成

良好的學習習慣，形成積極進取、勇于探索、不斷創(chuàng)新的品格，提高學生的綜合

素質。讓學生親身經歷這兩個過程是教師主導作用的體現，也是實現上述設計意

圖的根本保證。于是，本課的教學方法主要以探索發(fā)現法為主，教師努力創(chuàng)造平

等、民主、熱烈、務實、高效的氛圍，實現教學目標。

1.2集合的基本關系

【教材分析】

集合的基本關系是繼上一節(jié)集合的基本概念之后的又一個基本知識，集合之

間的關系是包含與被包含的包含關系，元素與集合是屬于與不屬于的從屬關系，

在言語表達和符號書寫時，要求要準確、簡潔，它是高中數學的基本符號語言，

為下一節(jié)集合的運算奠定基礎，同時對于學生養(yǎng)成簡潔、準確的數學語言，良好

的思維習慣和規(guī)范的書寫習慣等都非常重要。

【教學目標】

1.知識目標：

掌握子集、真子集的含義及其符號表示，準確使用“包含”“包含于”等語

言表述和“1、&、&、方、=”等符號表示；掌握集合相等的含義；能使用Venn

圖表示集合間的包含關系，熟練寫出一個集合的子集和真子集。

2.核心素養(yǎng)目標：

靈活運用集合的符號語言表示有關數學對象，讀懂、會用抽象的數學符號（數

學語言）進行數學表達，提升學生的數學抽象能力和概括能力，同時培養(yǎng)學生良

好的思維習慣和規(guī)范的書寫習慣。

【教學重難點】

1.集合與集合的關系，子集、真子集的概念；

2.熟練使用“=、？、《、乃、=”等符號表示集合間的關系，以及用Venn

圖表示集合間的關系；掌握空集是任何集合的子集，熟練寫出一個集合的所有子

集，了解一個集合的子集個數的計算；

3.數學語言和符號表示的規(guī)范性和準確性。

【課前準備】

多媒體課件

【教學過程】

一、知識的引入

1.思考討論：

問題1：某學校高一（1）班全體35位同學組成集合P,其中女同學組成集

合M：

若aeM,則a與集合P是什么關系？

問題2：用/表示所有矩形組成的集合，B表示所有平行四邊形組成的集合:

若aeA,則a與集合8是什么關系？

問題3：所有有理數都是實數，則有：

若ae。，則aeR

試問以上問題所涉及到的兩個集合之間有什么關系？

二、新知識

1.子集的概念

一般地，對于兩個集合A與8,如果集合/中的任何一個元素都屬于集合B,

即若aeA,則aeB,那么稱集合A是集合8的子集。

符號表示：AqB（或

讀作：集合A包含于集合B（或集合B包含集合A）

如上面問題1"女生集合M包含于班級集合P”，記作〃=尸。

注意：①概念中的關鍵詞“任何一個元素”，相當于“所有元素”；

②元素與集合的關系是“屬于”或“不屬于”的從屬關系，集合與集合的關

系是“包含”或“不包含”的包含關系；

③符號“U”的開口方向的集合要“大”一些。

2.子集的相關結論

（1）任何一個集合都是它本身的子集，即A=A；

（2）空集是任何集合的子集，即0uA；

（3）集合A是集合5的子集，即A=可以用Venn圖表示，如圖:

3.集合的相等

對于兩個集合A與5,如果集合A是集合8的子集，并且集合8是集合A的

子集，那么稱集合A與集合3相等。

記作：A=B

注意：①兩個集合A、B,如果AqB,且BqA,則4=8,

類比:兩個實數“、b,如果a上力，且62a,則〃=人；

②兩個集合相等，則兩個集合所含的元素完全相同。

4.真子集的概念

對于兩個集合A與3,如果A=并且ARB,那么稱集合A是集合8的真

子集。記作：AczB（或8NA）

讀作：集合4真包含于集合B（或集合B真包含集合4）

注意：①集合4是集合B的真子集，說明集合4中的元素都屬于B,但集合B中

存在元素不屬于集合4

②空集。是任何非空集合的真子集；

③任何一個集合至少有兩個子集：空集白和它本身。如：

-2-10123456x

{x|x>3},{x|x>-2}

常見的幾個數集N、aNaZaQaR

例3：某造紙廠生產練習本用紙，在紙的密度和厚度都合格時，該產品才合

格，若用A表示練習本用紙合格的產品組成的集合，B表示紙的密度合格的產品

組成的集合，C表示紙的厚度合格的產品組成的集合，則下列包含關系哪些成

立？

AcB,BoA,A^C9CoA

試用Venn圖表示這三個集合的關系。

解：由題意知，A^B,AqC成立，它們的關系可用Venn圖表示如下：

例4：寫出集合｛0,1,2｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。

解：由子集的定義知，集合｛0,1,2｝的子集的元素個數最少為0個，最多為3

個，由少到多依次寫出它的子集，得

?，｛0｝，｛1｝，｛2｝,｛0,1｝,｛0,2｝,｛1,2｝,｛0,1,2｝

上述8個子集，其中除了｛0,1,2｝以外，其余7個都是它的真子集。

如果集合A含有〃個元素，那么它的子集個數為2"個。

思考討論：

（1）你能說出集合4=｛刈％=24—1,%￡2｝與集合3=｛》|%=4加土1,加￡2｝的

關系嗎？

（2）集合A=｛0,1,2,3,4｝,非空集合B滿足：B^A,并且任意都有

4-x^B,這樣的集合8有多少個，請寫出來？

提不：（1）A—B

（2）滿足條件的非空集合B有7個，依次為｛2｝、｛0,4｝、｛1,3｝、｛0,2,4｝、

｛1,2,3｝、｛0,1,3,4｝、｛0,1,2,3,4｝°

三、課題練習

教材P7,練習1、2,3、4o

四、作業(yè)布置

教材P12,習題1-1,5o

補充作業(yè)：已知集合4滿足：｛0,l｝aAa｛0,l,2,3,4｝,寫出所有滿足條件的集

合4。

解析：集合/至少含有元素。和1,另外不能同時含有元素2,3,4,所以滿足

條件的集合A依次為｛0,1｝、｛0,1,2｝、｛0,1,3｝、｛0,1,4｝、｛0,1,2,3｝,｛0,1,2,4｝｛0,1,3,4｝、

共7個。

【教學反思】

本節(jié)課內容不多，難度也不大，教學中務必提高學生數學語言的準確性和書

寫的規(guī)范性要求，比如元素與集合之間在敘述時只能是“屬于”或“不屬于”，

而集合之間只能是“包含”或“不包含”等，同時注意培養(yǎng)思考的周密性和運算

的準確性。

1.3集合的基本運算

【教學分析】

本節(jié)內容從學生熟悉的集合出發(fā)，結合實例，通過類比的方法，引入集合間

交并運算，同時，結合相關內容介紹子集，引入全集，補集等概念.本節(jié)內容重

點體現了知識間的邏輯思考的方法，如類比等.以及如何利用圖形（Venn圖）

的直觀作用，幫助學生理解補集的概念，并能夠用直觀圖進行求補集的運算.

【教學目標】

1.理解兩個集合并集與交集的含義，會求兩個簡單集合并集與交集.

2.能用Venn圖表示集合間的運算，體會直觀圖對理解抽象概念的作用.

3.理解全集，補集的概念，掌握求某集合補集的方法.

【核心素養(yǎng)】

1.數學抽象：集合交集，并集的概念.

2.邏輯推理：本節(jié)內容依照集合前兩節(jié)的內容，引出本節(jié)知識點，不僅體

現的數學知識點的連貫性，也體現數學知識的邏輯性.

3.數學運算：會求兩集合的交集，并集，補集.

4.直觀想象：在理解集合的基本運算過程中，培養(yǎng)學生邏輯思維，以及了

解類比方法；通過利用直觀圖示對理解抽象概念的作用，培養(yǎng)學生數形結合的思

想.

5.數學建模：在集合的基本運算的學習過程中，體驗數學的類比思想和應

用價值，培養(yǎng)學生善于觀察、勇于探索的良好習慣和嚴謹的科學態(tài)度.

【教學重難點】

教學重點：讓學生掌握求集合間的并集、交集、補集以及利用韋恩圖與數軸

進行交并的運算.

教學難點：弄清并集、交集，補集的概念，符號之間的區(qū)別與聯系.

【課前準備】

PPT

【教學過程】

一、關于交集的理解

實例分析：

1.設集合A={x|是6的因數},8={x|是8的因數},C={x|是6和8的公因數},

則集合C是由集合A與3集合的所有公共元素組成的.

2.設集合。={刈-1WxV2},￡={x|x>0},F={x|0<x<2},則集合

F是由集合D與集合E的所有公共元素組成的（如圖1-7）.

￡______________

D，

F

JJ,一

-1012x

圖1-7

交集的概念：

一般地由既屬于集合A又屬于集合B的所有元素組成的集合叫作集合A

與6的交集，記作AAB,讀作“A交B”，即Ac3={x|eA,且xv3}

可用Venn圖（如圖1-8）表示.

A{AHB]B

根據交集的定義，對于任何集合A,B,有

AryB-BoA,AoBQA,AcBqB,Ac4=A,AAO=<t>

例1求下列每一組中兩個集合的交集：

（1）A={x|x是不大于10的正奇數},3={X|X是12的正因數};

（2）C={x|x是等腰三角形},D={x|x是直角三角形}.

解：（1）因為A={x|是不大于10的正奇數}={1,3,5,7,9},B={x|是12的

正因數）={1,2,3,4,6,12）,所以Ac3={1,3,5,7,9}n{1,2,3,4,6,12}={1,3}；

（2）依題意知Cc。={x|x是等腰三角形}n{x|x是直角三角形}={x|x

是等腰直角三角形}.

二、關于并集的理解

實例分析

1.設集合4={*|%-2=0},B={x|x+2=0},C={x|（x-2）（%+2）=0},

則集合C是由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的.

2.設集合D={（|-14x42},E={x|x>0},F={x|x>-1},則集合F是

由所有屬于集合D或屬于集合E的元素組成的.

并集的概念：

一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，叫作集合A

與B的并集，記作AB,讀作“A并B”，即

=A,^xeB]

可用Venn圖（如圖1-9）表示.

B

AUE

根據并集的定義對于任何集合A,B,有AuB=3uA,AQAUB,BqAuB,

AuA=A,AuO=A,

例2已知集合4={》|一1<%<2},3={x|0WxM3},求4c3,A\JB.

解在數軸上表示出集合A,B（如圖1-10）,則

Ac3={x|-1W2}c{x|04xV3}={x|0MxV2}

=1<%<2}k_j{x|0<x<3}={x|—l<x<3}

全集與補集概念

在研究某些集合的時候，它們往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合

叫作全集，常用符號U表示.全集包含所要研究的這些集合.

設U是全集，A是U的一個子集（即A=U）,則由U中所有不屬于A的

元素組成的集合，叫作U中子集A的補集（或余集），記作，CuA即

C^JA={X\X&U^JC^A},可用Venn圖（如圖1-11）表示.

例如，設全（U為R,則無理數集是有理數（Q的補集，可以表示為2廠。.

由補集的定義，對任何集合A,有aD（CDA）=〃，AC（CDA）=O>,

Ckj(CkjA)=a.

例3設全集u={x|x是小于10的正整數},A={2,4,6,8},3={2,3,5,7},

求CuA,CuB.

解依題意知3={1,2,3,4,5,6,7,8,9},因為A={2,4,6知},B={2,3,5,7),

所以CuA={1,3,5,7,9},CuB={1,4,6,8,9}.

例4設全(U=R,A={x|V5},3={x|x>3},求：

(1)CR(AC8)；(2)CR(AJB)；

(3)(CRA)C(CRB)；(4)(CRA)U(CRB).

解：(1)在數軸上表示出集合A,B(如圖1-12),則

Ac3={x|V5}c{x|x>3}={x|3Vx<5},所以

CR(Ac3)={x|xW3或x>5}

----------''1&

AC\B

—J-------LiL-J.▲一

-10123456”

IS1-12

(2)由圖1-12可知AD8={X[<5}U{X|X>3}=A,所以CR(ADB)=①，

10I234S6

(3)在數軸上表示出集合CRA,CRB(如圖1-13),即CRA={X|XN5},

CRB={xIx<3},所以(CRA)C(CRB)={x|xN5}c{x|x<