上海市黃浦區(qū)金陵中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題含解析

上海市黃浦區(qū)金陵中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（）A．8 B．2 C．4 D．62．在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．給出下列四個(gè)命題：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③若直線滿足，則；④若直線，是異面直線，則與，都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．44．三棱錐中，互相垂直，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（）A． B． C． D．5．已知向量滿足：，，，則（）A． B． C． D．6．化簡的結(jié)果是()A． B．C． D．7．某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為（）A．588 B．480 C．450 D．1208．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著，在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的.“九兒問甲歌”就是其中一首:一個(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問小兒多少歲，各兒歲數(shù)要誰推，這位公公年齡最小的兒子年齡為（）A．8歲 B．11歲 C．20歲 D．35歲9．某學(xué)校高一、高二年級共有1800人，現(xiàn)按照分層抽樣的方法，抽取90人作為樣本進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查.若樣本中高一年級學(xué)生有42人，則該校高一年級學(xué)生共有（）A．420人 B．480人 C．840人 D．960人10．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則A．140 B．70 C．154 D．77二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知是邊長為的等邊三角形，為邊上（含端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_______.12．直線與圓交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則______．13．在數(shù)列中，若，（），則________14．已知直線l與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，，則滿足條件的一條直線l的方程為______.15．在邊長為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1的概率是________．16．三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，記三棱錐的體積為，的體積為，則____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.18．已知函數(shù).(1)求的最小正周期和最大值；(2)求在上的單調(diào)區(qū)間19．設(shè)是一個(gè)公比為q的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求q；（2）若數(shù)列前4項(xiàng)的和，令（），求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．(1)已知，且為第三象限角，求的值(2)已知，計(jì)算的值.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

設(shè)點(diǎn)，根據(jù)條件知點(diǎn)均在單位圓上，由向量數(shù)量積或斜率知識，可發(fā)現(xiàn)，對目標(biāo)式子進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其幾何意義為兩點(diǎn)到直線的距離之和有關(guān).【詳解】設(shè)，，均在圓上，且，設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，點(diǎn)在圓上，設(shè)到直線的距離分別為，，，.【點(diǎn)睛】利用數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的幾何意義，即構(gòu)造系數(shù)，才能看出目標(biāo)式子的幾何意義為兩點(diǎn)到直線距離之和的倍.2、D【解析】

取AB中點(diǎn)F,SC中點(diǎn)E，設(shè)的外心為，外接圓半徑為三棱錐的外接球球心為，由，在四邊形中，設(shè)，外接球半徑為，則則可求，表面積可求【詳解】取AB中點(diǎn)F,SC中點(diǎn)E,連接SF,CF,因?yàn)閯t為二面角的平面角，即又設(shè)的外心為，外接圓半徑為三棱錐的外接球球心為則面，由在四邊形中，設(shè)，外接球半徑為，則則三棱錐的外接球的表面積為故選D【點(diǎn)睛】本題考查二面角，三棱錐的外接球，考查空間想象能力，考查正弦定理及運(yùn)算求解能力，是中檔題3、B【解析】

利用空間直線的位置關(guān)系逐一分析判斷得解.【詳解】①為假命題.可舉反例，如a，b，c三條直線兩兩垂直；②平行于同一條直線的兩條直線平行,是真命題；③若直線滿足，則，是真命題；④是假命題，如圖甲所示，c，d與異面直線，交于四個(gè)點(diǎn)，此時(shí)c，d異面，一定不會(huì)平行；當(dāng)點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)（其余三點(diǎn)不動(dòng)），會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合的情形，如圖乙所示，此時(shí)c，d共面且相交.故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.4、B【解析】是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，∵互相垂直，∴就是直線與平面所成角，當(dāng)最短時(shí)，即時(shí)直線與平面所成角的正切的最大．此時(shí)，，在直角△中，．三棱錐擴(kuò)充為長方體，則長方體的對角線長為，∴三棱錐的外接球的半徑為，∴三棱錐的外接球的表面積為．選B.點(diǎn)睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點(diǎn)構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，且，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，利用求解．5、D【解析】

首先根據(jù)題中條件求出與的數(shù)量積，然后求解即可.【詳解】由題有，即，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的模，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

確定角的象限，結(jié)合三角恒等式，然后確定的符號，即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，象限三角函數(shù)的符號，考查計(jì)算能力，?？碱}型．7、B【解析】試題分析：根據(jù)頻率分布直方圖，得；該模塊測試成績不少于60分的頻率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)是600×0.8=480考點(diǎn)：頻率分布直方圖8、B【解析】

九個(gè)兒子的年齡成等差數(shù)列，公差為1．【詳解】由題意九個(gè)兒子的年齡成等差數(shù)列，公差為1．記最小的兒子年齡為a1，則S9=9故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵正確理解題意，能用數(shù)列表示題意并求解．9、C【解析】

先由樣本容量和總體容量確定抽樣比，用高一年級抽取的人數(shù)除以抽樣比即可求出結(jié)果.【詳解】由題意需要從1800人中抽取90人，所以抽樣比為，又樣本中高一年級學(xué)生有42人，所以該校高一年級學(xué)生共有人.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣，先確定抽樣比，即可確定每層的個(gè)體數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.10、D【解析】

利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為有關(guān)的一次函數(shù)的值域問題，可得出的取值范圍.【詳解】如下圖所示：取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、，設(shè)點(diǎn)，其中，，，，因此，的取值范圍是，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的取值范圍，可以利用基底向量法以及坐標(biāo)法求解，在建系時(shí)應(yīng)充分利用對稱性來建系，另外就是注意將動(dòng)點(diǎn)所在的直線變?yōu)樽鴺?biāo)軸，可簡化運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.12、或【解析】

根據(jù)題意可得圓心到直線的距離為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程解出即可.【詳解】圓，即，圓的圓心為，半徑為，∵直線與圓交于兩點(diǎn)且為等邊三角形，∴，故圓心到直線的距離為，即，解得或，故答案為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和圓相交的弦長公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．13、【解析】

由題意，得到數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列中，滿足，（），即（），所以數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義，合理利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、（答案不唯一）【解析】

確定圓心到直線的距離，即可求直線的方程.【詳解】由題意得圓心坐標(biāo)，半徑，，∴圓心到直線的距離為，∴滿足條件的一條直線的方程為.故答案為：（答案不唯一）.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.15、【解析】以A,B,C為圓心,以1為半徑作圓,與△ABC交出三個(gè)扇形,當(dāng)P落在其內(nèi)時(shí)符合要求,∴P==.16、【解析】

由已知設(shè)點(diǎn)到平面距離為，則點(diǎn)到平面距離為，所以，考點(diǎn)：幾何體的體積.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

分析：（1）由，利用正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式可得；從而可得結(jié)果；（2）由余弦定理可得可得，所以.詳解：(1)∵∴∴（2）∵∴∴點(diǎn)睛：解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．18、（1）f(x)的最小正周期為π，最大值為；（2）f(x)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．【解析】

（1）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和最值求得的最小正周期和最大值．（2）根據(jù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得在上的單調(diào)區(qū)間．【詳解】解：（1）函數(shù)，即故函數(shù)的周期為，最大值為．（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，為減函數(shù)；即函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和最值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．19、（1），（2）或【解析】

（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列，得到，解得答案.（2）討論和兩種情況，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到答案.【詳解】（1）因?yàn)槭且粋€(gè)公比為q的等比數(shù)列，所以.因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以即.解得，.（2）①若，又它的前4和，得，解得所以，因?yàn)?，（），∴，，∴，∴②若，又它的?和，即，因?yàn)?，（），所?【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的計(jì)算，錯(cuò)位相減法，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.20、（1）；（2）【解析】

（1）由，結(jié)合為第三象限角，即可得解；（2）由，代入求解即可.【詳解】（1）,∴,又∵是第三象限.∴（2）.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）見證明