2025屆北京市石景山區(qū)高一數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題含解析

2025屆北京市石景山區(qū)高一數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知兩點，，若點是圓上的動點，則△面積的最小值是A． B．6 C．8 D．3．直線被圓截得的弦長為（）A．4 B． C． D．4．當點到直線的距離最大時，m的值為（）A．3 B．0 C． D．15．設是數(shù)列的前項和，時點在拋物線上，且的首項是二次函數(shù)的最小值，則的值為（）A．45 B．54 C．36 D．－186．向量，，若，則實數(shù)的值為A． B． C． D．7．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）A． B．C． D．8．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比，若，，，數(shù)列的前項和為，則取最大值時，的值為（）A． B． C． D．或9．己知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x0134y1469則y與x的線性回歸直線y=A．(2,5) B．(5,9) C．(0,1) D．(1,4)10．已知圓和圓只有一條公切線，若，且，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，下列結(jié)論中：函數(shù)關(guān)于對稱；函數(shù)關(guān)于對稱；函數(shù)在是增函數(shù)，將的圖象向右平移可得到的圖象．其中正確的結(jié)論序號為______．12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是______.13．在中，若，則____；14．如圖中，，，，M為AB邊上的動點，，D為垂足，則的最小值為______；15．正六棱柱底面邊長為10,高為15,則這個正六棱柱的體積是_____．16．已知數(shù)列滿足：，，則_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（其中）.（1）當時，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.18．已知所在平面內(nèi)一點，滿足：的中點為，的中點為，的中點為.設，，如圖，試用，表示向量.19．如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，為的中點，且，，.（1）求證：平面；（2）若點為線段上一點，且，求四棱錐的體積.20．正四面體是側(cè)棱與底面邊長都相等的正三棱錐，它的對棱互相垂直.有一個如圖所示的正四面體，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，CD的中點.（1）求證：面EFG；（2）求異面直線EG與AC所成角的大小.21．如圖，函數(shù)，其中的圖象與y軸交于點．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求使的x的集合．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

利用余弦定理化簡后可得，再利用正弦定理把邊角關(guān)系化為角的三角函數(shù)的關(guān)系式，從而得到，因此，結(jié)合的范圍可得所求的取值范圍.【詳解】，因為為銳角三角形，所以，，，故,選B.【點睛】在解三角形中，如果題設條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件，如果題設條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件，如果題設條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.2、A【解析】

求得圓的方程和直線方程以及，利用三角換元假設，利用點到直線距離公式和三角函數(shù)知識可求得，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，圓的方程為：，直線方程為：，即設點到直線的距離：，其中當時，本題正確選項：【點睛】本題考查點到直線距離的最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用三角換元的方式將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值的求解問題.3、B【解析】

先由圓的一般方程寫出圓心坐標，再由點到直線的距離公式求出圓心到直線m的距離d，則弦長等于.【詳解】∵，∴，∴圓的圓心坐標為，半徑為，又點到直線的距離，∴直線被圓截得的弦長等于.【點睛】本題主要考查圓的弦長公式的求法，常用方法有代數(shù)法和幾何法；屬于基礎題型.4、C【解析】

求得直線所過的定點，當和直線垂直時，距離取得最大值，根據(jù)斜率乘積等于列方程，由此求得的值.【詳解】直線可化為，故直線過定點，當和直線垂直時，距離取得最大值，故，故選C.【點睛】本小題主要考查含有參數(shù)的直線過定點的問題，考查點到直線距離的最值問題，屬于基礎題.5、B【解析】

根據(jù)點在拋物線上證得數(shù)列是等差數(shù)列，由二次函數(shù)的最小值求得首項，進而求得的值.【詳解】由于時點在拋物線上，所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.二次函數(shù)，所以.所以.故選：B【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的證明，考查二次函數(shù)的最值的求法，考查等差數(shù)列前項和公式，屬于基礎題.6、C【解析】

利用向量平行的坐標表示，即可求出．【詳解】向量，，，即解得．故選．【點睛】本題主要考查向量平行的坐標表示．7、B【解析】

設圓心關(guān)于直線對稱的圓的圓心為，則由，求出的值，可得對稱圓的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑，則不妨設圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心為，半徑為，則由，解得，故所求圓的方程為.故選：B【點睛】本題考查了圓的標準方程、中點坐標公式，需熟記圓的標準形式，屬于基礎題.8、D【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出、的值，可求出和的值，利用等比數(shù)列的通項公式可求出，由此得出，并求出數(shù)列的前項和，然后求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出當取最大值時對應的值.【詳解】由題意可知，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，所以，解得，，，則數(shù)列為等差數(shù)列，，，，因此，當或時，取最大值，故選：D.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，同時也考查了等差數(shù)列求和以及等差數(shù)列前項和的最值，在求解時將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求解，考查方程與函數(shù)思想的應用，屬于中等題.9、A【解析】

分別求出x,y均值即得．【詳解】x=0+1+3+44=2，故選A．【點睛】本題考查線性回歸直線方程，線性回歸直線一定過點(x10、D【解析】

由題意可得兩圓相內(nèi)切，根據(jù)兩圓的標準方程求出圓心和半徑，可得，再利用“1”的代換，使用基本不等式求得的最小值．【詳解】解：由題意可得兩圓相內(nèi)切，兩圓的標準方程分別為，，圓心分別為，，半徑分別為2和1，故有，，，當且僅當時，等號成立，的最小值為1．故選：．【點睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)，圓的標準方程的特征，基本不等式的應用，得到是解題的關(guān)鍵和難點．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

把化成的型式即可?！驹斀狻坑深}意得所以對稱軸為，對，當時，對稱中心為，對。的增區(qū)間為，對向右平移得。錯【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)變換，意在考查學生對三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的掌握情況。12、4【解析】

模擬程序運行，觀察變量值的變化，尋找到規(guī)律周期性，確定輸出結(jié)果．【詳解】第1次循環(huán)：，；第2次循環(huán)：，；第3次循環(huán)：，；第4次循環(huán)：，；…；S關(guān)于i以4為周期，最后跳出循環(huán)時，此時.故答案為：4.【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)．解題關(guān)鍵是由程序確定變量變化的規(guī)律：周期性．13、【解析】試題分析：因為，所以．由正弦定理，知，所以＝＝．考點：1、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；2、正弦定理．14、【解析】

以為坐標原點建立平面直角坐標系，用坐標表示出的值，然后利用換元法求解出對應的最小值即可.【詳解】如圖所示，設，所以，根據(jù)條件可知：，所以，設，，，所以，所以，所以，所以當時，有最小值，最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查利用坐標法以及換元法求解最值，著重考查邏輯推理和運算求解的能力，屬于較難題(1)利用換元法求解最值時注意，換元后新元的取值范圍；(2)三角函數(shù)中的一組“萬能公式”：，.15、【解析】

正六棱柱是底面為正六邊形的直棱柱，利用計算可得結(jié)果.【詳解】因為正六棱柱底面邊長為10，所以其面積，所以體積.【點睛】本題考查正六棱柱的概念及其體積的計算，考查基本運算能力.16、【解析】

從開始，直接代入公式計算，可得的值.【詳解】解：由題意得：，，，，故答案為：.【點睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的性質(zhì)，相對簡單.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解析】

（1）先由，將不等式化為，直接求解，即可得出結(jié)果；（2）先由題意得到恒成立，根據(jù)含絕對值不等式的性質(zhì)定理，得到，從而可求出結(jié)果.【詳解】（1）當時，求不等式，即為，所以，即或，原不等式的解集為或.（2）不等式,即為，即關(guān)于的不等式恒成立.而，所以，解得或，解得或.所以的取值范圍是.【點睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問題，熟記不等式的解法，以及絕對值不等式的性質(zhì)定理即可，屬于常考題型.18、【解析】

由為的中點，則可得,為的中點,則可得,從中可以求出向量,得到答案.【詳解】由為的中點，則可得.又為的中點，所以【點睛】本題考查向量的基本定理和向量的加減法的法則，屬于中檔題.19、（1）見解析（2）6【解析】

（1）連接交于點，得出點為的中點，利用中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理可得出平面；（2）過作交于，由平面，得出平面，可而出，結(jié)合，可證明出平面，可得出，并計算出，利用平行線的性質(zhì)求出的長，再利用錐體的體積公式可計算出四棱錐的體積.【詳解】（1）連接交于，連接.四邊形為矩形，∴為中點.又為中點，∴.又平面，平面，∴平面；（2）過作交于.∵平面，∴平面.又平面，∴.∵，，，平面，∴平面.連接，則，又是矩形，易證，而，，得，由得，∴.又矩形的面積為8，∴.【點睛】本題考查直線與平面平行的證明，以及錐體體積的計算，直線與平面平行的證明，常用以下三種方法進行證明：（1）中位線平行；（2）平行四邊形對邊平行；（3）構(gòu)造面面平行來證明線面平行．一般遇到中點找中點，根據(jù)已知條件類型選擇合適的方法證明．20、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）連接EF，F(xiàn)G，GE，通過三角形的中位線可得，進而可得面EFG；（2）由題可得為異面直線EG與AC所成角，根據(jù)正四棱錐的特點得到為等腰直角三角形，進而可得結(jié)果.【詳解】解：（1）連接EF，F(xiàn)G，GE，如圖，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，，又面EFG，面EFG，面EFG；（2）由（1），則為異面直線EG與AC所成角，AC與BD是正四面體的對棱，，又，，又，為等腰直角三角形，，即異面直線EG與AC所成角的大小為.【點睛】本題考查線面平行的證明，以及異面直線所成的角，通過直線平行找到異面直線所