專題4.2指數(shù)函數(shù)

專題4.2專題4.2指數(shù)函數(shù)知識點一指數(shù)函數(shù)的概念知識點一指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，a是底數(shù)，指數(shù)函數(shù)的定義域為R.【特別提醒】形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)．知識點知識點二指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)y＝axa>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域為eq\a\vs4\al(R)；值域為(0，＋∞)函數(shù)圖象過定點(0,1)，即當(dāng)x＝eq\a\vs4\al(0)時，y＝eq\a\vs4\al(1)當(dāng)x>0時，恒有y>1；當(dāng)x>0時，恒有0<y<1；當(dāng)x<0時，恒有0<y<1當(dāng)x<0時，恒有y>1函數(shù)在定義域R上為增函數(shù)函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)知識點知識點三常用結(jié)論（1）指數(shù)函數(shù)圖象的畫法畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0,1)，.（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大．考點01指數(shù)函數(shù)的判斷與求值【典例1】（2023秋·吉林長春·高三長春市第二實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點對稱，當(dāng)時，，則的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】D【分析】由函數(shù)是上的偶函數(shù)與的圖象關(guān)于點對稱可得出函數(shù)的周期，根據(jù)時的表達(dá)式可求解出一個周期的函數(shù)值，從而解出本題.【詳解】解：因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以，因為的圖象關(guān)于點對稱，所以，即，所以，所以，所以函數(shù)是上周期為4的函數(shù)，當(dāng)時，，所以，，又，，所以，所以.故選：D.【典例2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計算可得.【詳解】因為，所以，則.故答案為：考點02根據(jù)指數(shù)函數(shù)求參數(shù)【典例3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B．且C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義列方程組求解即可.【詳解】因為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則，且，解得，故選：C【典例4】（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，求a＋b的值．【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則，，則得到的值.【詳解】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以．由是指數(shù)函數(shù)，得．所以．考點03求指數(shù)函數(shù)的解析式【典例5】（2023秋·湖南岳陽·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的圖象經(jīng)過，則（

）A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】根據(jù)題意，由求得函數(shù)解析式求解.【詳解】解：因為函數(shù)的圖象經(jīng)過，所以，解得，所以，則，故選：B【典例6】（2023春·河南商丘·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足：；當(dāng)時，.則滿足這兩個條件的一個函數(shù)為.【答案】（答案不唯一）【分析】，指數(shù)函數(shù)滿足，又當(dāng)時，，可得，寫出一個函數(shù)表達(dá)式即可.【詳解】由，知且滿足該條件；又當(dāng)時，，可得，故可以為.故答案為：考點04指數(shù)（型）函數(shù)圖象的辨識【典例7】（2022秋·陜西延安·高一校考期末）函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷，可排除選項B，D，再根據(jù)函數(shù)與軸交點個數(shù)，即可判斷.【詳解】解：函數(shù)的定義域為，所以，即函數(shù)為偶函數(shù)，故選項B，D不符合；又，解得，所以函數(shù)與軸只有一個交點，故A符合，C不符合.故選：A.【典例8】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】先分類討論化簡函數(shù)式，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性排除錯誤選項．【詳解】因為又，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，時，函數(shù)為增函數(shù)，排除B、D；時，函數(shù)為減函數(shù)，排除A．故選：C．【規(guī)律方法】識圖的三種常用方法（1）抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：=1\*GB3①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；=2\*GB3②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；=3\*GB3③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；=4\*GB3④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．=5\*GB3⑤從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.(2)抓住函數(shù)的特征，定量計算：從函數(shù)的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題．（3）根據(jù)實際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的方法：=1\*GB3①根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)圖象(定量分析)；=2\*GB3②根據(jù)自變量取不同值時函數(shù)值的變化、增減速度等判斷函數(shù)圖象(定性分析)．考點05指數(shù)函數(shù)圖象過定點問題【典例9】（2021·全國高一課時練習(xí)）如圖是指數(shù)函數(shù)①，②，③，④的圖像，則a，b，c，d與0和1的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通過取得到具體的大小關(guān)系．【詳解】當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時指數(shù)函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時是定義域內(nèi)的減函數(shù)，由圖可知，大于1，，大于0小于1．又由圖可知，即．，即．，，，與1的大小關(guān)系是．故選：．【典例10】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點，則點的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)得出指數(shù)型函數(shù)恒過定點.【詳解】令，得，則.所以函數(shù)（且）的圖象恒過定點.故答案為：.【規(guī)律方法】過定點的圖象(1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(0,1)，(1，a)，.特別注意，指數(shù)函數(shù)的圖象過定點（0，1）；(2)與的圖象關(guān)于y軸對稱；(3)當(dāng)a＞1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢，當(dāng)0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢；簡記：撇增捺減．考點06指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用【典例11】（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】因為，所以等價于，在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.【典例12】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是．【答案】【分析】分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論交點的情況即可.【詳解】當(dāng)a＞1時，通過平移變換和翻折變換可得如圖（1）所示的圖象，則由圖可知1＜2a＜2，即＜a＜1，與a＞1矛盾；當(dāng)0＜a＜1時，同樣通過平移變換和翻折變換可得如圖（2）所示的圖象，則由圖可知1＜2a＜2，即＜a＜1.綜上可知，＜a＜1.故答案為：.考點07指數(shù)（型）函數(shù)的定義域、值域【典例13】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知的值域為，則x的取值范圍可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，根據(jù)值域解不等式組可得t的范圍，然后解指數(shù)不等式可得.【詳解】令，則，由題知，，解得或，即或，解得或.故選：D【典例14】（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)．【答案】(1)定義域為；值域為(2)定義域為；值域為【分析】（1）根據(jù)二次根式和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）要使函數(shù)式有意義，則，即．因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以．故函數(shù)的定義域為，因為，所以，所以，所以，即函數(shù)的值域為；（2）定義域為，因為，所以，又，所以函數(shù)的值域為．【總結(jié)提升】形如y＝af(x)的函數(shù)的值域，可先求f(x)的值域再根據(jù)函數(shù)y＝at的單調(diào)性確定y＝af(x)的值域．考點08根據(jù)指數(shù)（型）函數(shù)的定義域、值域（最值）求參數(shù)【典例15】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于當(dāng)時，，所以當(dāng)時，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為函數(shù)的值域為，所以，得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D.【典例16】（2023·全國·高一專題練習(xí)）求函數(shù)，在上的值域.【答案】【分析】，令，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】，令，函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，∴，的對稱軸為，∴當(dāng)時，，即當(dāng)時，，即，∴在上的值域為.【總結(jié)提升】復(fù)合函數(shù)問題，往往利用換元法，即把指數(shù)式看做一個變量，將問題加以轉(zhuǎn)化.如【典例16】.考點09指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例17】【多選題】（2023秋·河南·高三滎陽市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的定義域為 B．的單調(diào)遞增區(qū)間為C．的最小值為3 D．的圖象關(guān)于對稱【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)定義域判斷A，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及二次函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最小值即可判斷B、C，根據(jù)函數(shù)的對稱性判斷D.【詳解】易知函數(shù)的定義域為，選項A正確；由與復(fù)合，而為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，選項B正確；由選項B可知，故選項C錯誤；因為，所以的圖象關(guān)于對稱.故選項D正確.故選：ABD.【典例18】（2022秋·浙江·高一校聯(lián)考期中）寫出定義域和值域都相同，但單調(diào)性不相同的兩個單調(diào)函數(shù)：；的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】和（答案不唯一）【分析】（1）本題屬于開放性問題，只需選擇符合要求的解析式即可，不妨取兩個單調(diào)性不同的指數(shù)函數(shù)；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則計算可得.【詳解】解：不妨取和，因為函數(shù)的定義域為，值域為，在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)的定義域為，值域為，在定義域上單調(diào)遞減，符合題意；對于函數(shù)，令，即，解得或，所以函數(shù)的的定義域為，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：和（答案不唯一）；【總結(jié)提升】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”.考點10根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求參數(shù)【典例19】（2023秋·貴州遵義·高三?？茧A段練習(xí)）已知為奇函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，結(jié)合恒等式知識求解．【詳解】由為奇函數(shù)，得.因為不恒為0，所以，即，所以，即.故選：D．【典例20】（2023秋·天津武清·高三天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的定義，列式求解.【詳解】∵滿足對任意，都有成立，∴在上是減函數(shù)，，解得，∴a的取值范圍是.故選：C．考點11指數(shù)（型）函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用【典例21】（安徽省部分學(xué)校20232024學(xué)年高二上學(xué)期階段性測試（一）數(shù)學(xué)試題）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，利用冪指數(shù)運算可比較大小，即得答案.【詳解】因為，且是R上的增函數(shù)，故，又，故．故選：D【典例22】（2022秋·廣東江門·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，且它的圖象過點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求，，；(3)畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象解不等式．【答案】(1)(2)，，(3)作圖見解析，．【分析】設(shè)函數(shù)，且，把點代入即可求得的值，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式．根據(jù)函數(shù)的解析式求得、、的值．畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，由不等式，可得，由此解得的范圍．【詳解】（1）設(shè)函數(shù)，且，把點代入可得，求得，所以函數(shù)的解析式為．（2）由（1）可知，所以，，．（3）畫出指數(shù)函數(shù)的圖象如下圖所示：所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；由不等式，可得，解得，故不等式的解集為．【總結(jié)提升】比較大小問題：底數(shù)相同，指數(shù)不同：借助指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較；底數(shù)不同，指數(shù)相同：利用底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)的圖象變化規(guī)律來判斷；底數(shù)不同，指數(shù)不同：常找到一個中間值，通過比較函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷．考點12指數(shù)（型）函數(shù)綜合問題【典例23】（2023秋·上海松江·高一?？计谀┰O(shè)，函數(shù).(1)若，求證：函數(shù)是奇函數(shù)；(2)若，請判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明.【答案】(1)證明見解析；(2)上的增函數(shù)，證明見解析.【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義可證得結(jié)論成立；（2）任取，且，作差，因式分解并判斷差值的符號，由此可證得函數(shù)為上的增函數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，由于，所以函數(shù)是奇函數(shù).（2）當(dāng)時，函數(shù)為上的增函數(shù).當(dāng)時，，任取，且，則，由，得，則，即，所以函數(shù)為上的增函數(shù).【典例24】（2023秋·黑龍江綏化·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（，且）是奇函數(shù)，且．(1)求，的值；(2)若對于，不等式成立，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)求，再代入，求；（2）利用指數(shù)冪的化簡，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.【詳解】（1）因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，得，所以，，得或（舍），綜上，，；（2）由（1）知，，則恒成立，，，所以，對恒成立，即恒成立，設(shè)，函數(shù)由外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)復(fù)合而成，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)單調(diào)遞增，最小值為，即，則.【總結(jié)提升】指數(shù)方程或不等式的解法(1)解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)①af(x)＝ag(x)?f(x)＝g(x)．②af(x)＞ag(x)，當(dāng)a＞1時，等價于f(x)＞g(x)；當(dāng)0＜a＜1時，等價于f(x)＜g(x)．(2)解指數(shù)方程或不等式的方法先利用冪的運算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解．1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．專題專題4.2指數(shù)函數(shù)知識點一指數(shù)函數(shù)的概念知識點一指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，a是底數(shù)，指數(shù)函數(shù)的定義域為R.【特別提醒】形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)．知識點知識點二指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)y＝axa>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域為eq\a\vs4\al(R)；值域為(0，＋∞)函數(shù)圖象過定點(0,1)，即當(dāng)x＝eq\a\vs4\al(0)時，y＝eq\a\vs4\al(1)當(dāng)x>0時，恒有y>1；當(dāng)x>0時，恒有0<y<1；當(dāng)x<0時，恒有0<y<1當(dāng)x<0時，恒有y>1函數(shù)在定義域R上為增函數(shù)函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)知識點知識點三常用結(jié)論（1）指數(shù)函數(shù)圖象的畫法畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0,1)，.（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大．考點01指數(shù)函數(shù)的判斷與求值【典例1】（2023秋·吉林長春·高三長春市第二實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點對稱，當(dāng)時，，則的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】D【分析】由函數(shù)是上的偶函數(shù)與的圖象關(guān)于點對稱可得出函數(shù)的周期，根據(jù)時的表達(dá)式可求解出一個周期的函數(shù)值，從而解出本題.【詳解】解：因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以，因為的圖象關(guān)于點對稱，所以，即，所以，所以，所以函數(shù)是上周期為4的函數(shù)，當(dāng)時，，所以，，又，，所以，所以.故選：D.【典例2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，則.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計算可得.【詳解】因為，所以，則.故答案為：考點02根據(jù)指數(shù)函數(shù)求參數(shù)【典例3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B．且C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義列方程組求解即可.【詳解】因為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則，且，解得，故選：C【典例4】（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，求a＋b的值．【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則，，則得到的值.【詳解】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以．由是指數(shù)函數(shù)，得．所以．考點03求指數(shù)函數(shù)的解析式【典例5】（2023秋·湖南岳陽·高三校考階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象經(jīng)過，則（

）A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】根據(jù)題意，由求得函數(shù)解析式求解.【詳解】解：因為函數(shù)的圖象經(jīng)過，所以，解得，所以，則，故選：B【典例6】（2023春·河南商丘·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足：；當(dāng)時，.則滿足這兩個條件的一個函數(shù)為.【答案】（答案不唯一）【分析】，指數(shù)函數(shù)滿足，又當(dāng)時，，可得，寫出一個函數(shù)表達(dá)式即可.【詳解】由，知且滿足該條件；又當(dāng)時，，可得，故可以為.故答案為：考點04指數(shù)（型）函數(shù)圖象的辨識【典例7】（2022秋·陜西延安·高一?？计谀┖瘮?shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷，可排除選項B，D，再根據(jù)函數(shù)與軸交點個數(shù)，即可判斷.【詳解】解：函數(shù)的定義域為，所以，即函數(shù)為偶函數(shù)，故選項B，D不符合；又，解得，所以函數(shù)與軸只有一個交點，故A符合，C不符合.故選：A.【典例8】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】先分類討論化簡函數(shù)式，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性排除錯誤選項．【詳解】因為又，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，時，函數(shù)為增函數(shù)，排除B、D；時，函數(shù)為減函數(shù)，排除A．故選：C．【規(guī)律方法】識圖的三種常用方法（1）抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：=1\*GB3①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；=2\*GB3②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；=3\*GB3③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；=4\*GB3④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．=5\*GB3⑤從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.(2)抓住函數(shù)的特征，定量計算：從函數(shù)的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題．（3）根據(jù)實際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的方法：=1\*GB3①根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)圖象(定量分析)；=2\*GB3②根據(jù)自變量取不同值時函數(shù)值的變化、增減速度等判斷函數(shù)圖象(定性分析)．考點05指數(shù)函數(shù)圖象過定點問題【典例9】（2021·全國高一課時練習(xí)）如圖是指數(shù)函數(shù)①，②，③，④的圖像，則a，b，c，d與0和1的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通過取得到具體的大小關(guān)系．【詳解】當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時指數(shù)函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時是定義域內(nèi)的減函數(shù)，由圖可知，大于1，，大于0小于1．又由圖可知，即．，即．，，，與1的大小關(guān)系是．故選：．【典例10】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點，則點的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)得出指數(shù)型函數(shù)恒過定點.【詳解】令，得，則.所以函數(shù)（且）的圖象恒過定點.故答案為：.【規(guī)律方法】過定點的圖象(1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(0,1)，(1，a)，.特別注意，指數(shù)函數(shù)的圖象過定點（0，1）；(2)與的圖象關(guān)于y軸對稱；(3)當(dāng)a＞1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢，當(dāng)0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢；簡記：撇增捺減．考點06指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用【典例11】（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】因為，所以等價于，在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.【典例12】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是．【答案】【分析】分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論交點的情況即可.【詳解】當(dāng)a＞1時，通過平移變換和翻折變換可得如圖（1）所示的圖象，則由圖可知1＜2a＜2，即＜a＜1，與a＞1矛盾；當(dāng)0＜a＜1時，同樣通過平移變換和翻折變換可得如圖（2）所示的圖象，則由圖可知1＜2a＜2，即＜a＜1.綜上可知，＜a＜1.故答案為：.考點07指數(shù)（型）函數(shù)的定義域、值域【典例13】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知的值域為，則x的取值范圍可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，根據(jù)值域解不等式組可得t的范圍，然后解指數(shù)不等式可得.【詳解】令，則，由題知，，解得或，即或，解得或.故選：D【典例14】（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)．【答案】(1)定義域為；值域為(2)定義域為；值域為【分析】（1）根據(jù)二次根式和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）要使函數(shù)式有意義，則，即．因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以．故函數(shù)的定義域為，因為，所以，所以，所以，即函數(shù)的值域為；（2）定義域為，因為，所以，又，所以函數(shù)的值域為．【總結(jié)提升】形如y＝af(x)的函數(shù)的值域，可先求f(x)的值域再根據(jù)函數(shù)y＝at的單調(diào)性確定y＝af(x)的值域．考點08根據(jù)指數(shù)（型）函數(shù)的定義域、值域（最值）求參數(shù)【典例15】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于當(dāng)時，，所以當(dāng)時，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為函數(shù)的值域為，所以，得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D.【典例16】（2023·全國·高一專題練習(xí)）求函數(shù)，在上的值域.【答案】【分析】，令，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】，令，函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，∴，的對稱軸為，∴當(dāng)時，，即當(dāng)時，，即，∴在上的值域為.【總結(jié)提升】復(fù)合函數(shù)問題，往往利用換元法，即把指數(shù)式看做一個變量，將問題加以轉(zhuǎn)化.如【典例16】.考點09指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例17】【多選題】（2023秋·河南·高三滎陽市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的定義域為 B．的單調(diào)遞增區(qū)間為C．的最小值為3 D．的圖象關(guān)于對稱【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)定義域判斷A，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及二次函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最小值即可判斷B、C，根據(jù)函數(shù)的對稱性判斷D.【詳解】易知函數(shù)的定義域為，選項A正確；由與復(fù)合，而為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，選項B正確；由選項B可知，故選項C錯誤；因為，所以的圖象關(guān)于對稱.故選項D正確.故選：ABD.【典例18】（2022秋·浙江·高一校聯(lián)考期中）寫出定義域和值域都相同，但單調(diào)性不相同的兩個單調(diào)函數(shù)：；的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】和（答案不唯一）【分析】（1）本題屬于開放性問題，只需選擇符合要求的解析式即可，不妨取兩個單調(diào)性不同的指數(shù)函數(shù)；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則計算可得.【詳解】解：不妨取和，因為函數(shù)的定義域為，值域為，在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)的定義域為，值域為，在定義域上單調(diào)遞減，符合題意；對于函數(shù)，令，即，解得或，所以函數(shù)的的定義域為，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：和（答案不唯一）；【總結(jié)提升】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”.考點10根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求參數(shù)【典例19】（2023秋·貴州遵義·高三?？茧A段練習(xí)）已知為奇函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，結(jié)合恒等式知識求解．【詳解】由為奇函數(shù)，得.因為不恒為0，所以，即，所以，即.故選：D．【典例20】（2023秋·天津武清·高三天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的定義，列式求解.【詳解】∵滿足對任意，都有成立，∴在上是減函數(shù)，，解得，∴a的取值范圍是.故選：C．考點11指數(shù)（型）函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用【典例21】（安徽省部分學(xué)校20232024學(xué)年高二上學(xué)期階段性測試（一）數(shù)學(xué)試題）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，利用冪指數(shù)運算可比較大小，即得答案.【詳解】因為，且是R上的增函數(shù)，故，又，故．故選：D【典例22】（2022秋·廣東江門·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，且它的圖象過點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求，，；(3)畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象解不等式．【答案】(1)(2)，，(3)作圖見解析，．【分析】設(shè)函數(shù)，且，把點代入即可求得的值，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式．根據(jù)函數(shù)的解析式求得、、的值．畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，由不等式，可得，由此解得的范圍．【詳解】（1）設(shè)函數(shù)，且，把點代入可得，求得，所以函數(shù)的解析式為．（2）由（1）可知，所以，，．（3）畫出指數(shù)函數(shù)的圖象如下圖所示：所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；由不等式，可得，解得，故不等式的解集為．【總結(jié)提升】比較大小問題：底數(shù)相同，指數(shù)不同：借助指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較；底數(shù)不同，指數(shù)相同：利用底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)的圖象變化規(guī)律來判斷；底數(shù)不同，指數(shù)不同：常找到一個中間值，通過比較函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷．考點12指數(shù)（型）函數(shù)綜合問題【典例23】（2023秋·上海松江·高一?？计谀┰O(shè)，函數(shù).(1)若，求證：函數(shù)是奇函數(shù)；(2)若，請判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明.【答案】(1)證明見解析；(2)上的增函數(shù)，證明見解析.【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義可證得結(jié)論成立；（2）任取，且，作差，因式分解并判斷差值的符號，由此可證得函數(shù)為上的增函數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，由于，所以函數(shù)是奇函數(shù).（2）當(dāng)時，函數(shù)為上的增函數(shù).當(dāng)時，，任取，且，則，由，得，則，即，所以函數(shù)為上的增函數(shù).【典例24】（2023秋·黑龍江綏化·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（，且）是奇函數(shù)，且．(1)求，的值；(2)若對于，不等式成立，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)求，再代入，求；（2）利用指數(shù)冪的化簡，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.【詳解】（1）因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，得，所以，，得或（舍），綜上，，；（2）由（1）知，，則恒成立，，，所以，對恒成立，即恒成立，設(shè)，函數(shù)由外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)復(fù)合而成，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)單調(diào)遞增，最小值為，即，則.【總結(jié)提升】指數(shù)方程或不等式的解法(1)解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)①af(x)＝ag(x)?f(x)＝g(x)．②af(x)＞ag(x)，當(dāng)a＞1時，等價于f(x)＞g(x)；當(dāng)0＜a＜1時，等價于f(x)＜g(x)．(2)解指數(shù)方程或不等式的方法先利用冪的運算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解．1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D3.（2008·安徽·高考真題）若函數(shù)f(x)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(x)－g(x)＝ex，則有（

）A．f（2）<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f（2）C．f（2）<g(0)<f(3) D．g(0)<f（2）<f(3)【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性得，進(jìn)而得，從而利用函數(shù)的單調(diào)性及正負(fù)可比較大小.【詳解】函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù),，由，得，，，解方程組得，易知在上單調(diào)遞增，所以，又所以.故選：D一、單選題1.（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)，且，則=（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)，結(jié)合指數(shù)冪的運算，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，因為，可得，解得，即，所以.故選：B.2．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性確定正確答案.【詳解】的定義域為，，所以是奇函數(shù)，由于，所以在上單調(diào)遞增.故選：A3．（2023春·江蘇鹽城·高一鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，解之即可得解.【詳解】因為函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：D.4.（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的圖象與軸有交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】函數(shù)的圖象與軸有交點轉(zhuǎn)化成函數(shù)有解，即函數(shù)的值域問題求解．【詳解】函數(shù)的圖象與軸有交點，有解，，，，則實數(shù)的取值范圍是.故選：A．5.（2024秋·新疆·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，若當(dāng)時，，則（

）A． B．0 C．1 D．e【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可以求出函數(shù)的周期，利用周期運用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】為奇函數(shù)，即，所以關(guān)于中心對稱，則，為偶函數(shù)，即，所以，故，即是周期為8的周期函數(shù)，所以，故選：C二、多選題6．（2023秋·山西晉中·高三介休一中?？茧A段練習(xí)）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象判斷，注意分類討論．【詳解】當(dāng)時，對應(yīng)的圖象可能為選項A；當(dāng)時，對應(yīng)的圖象可能為選項C.故選：AC.7．（2023秋·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，且，則下列式子可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象，然后根據(jù)圖象即可完成判斷.【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象以及平行于x軸的直線如下：則時，的關(guān)系有三種可能，分別是：，，.故選：BCD8．（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的定義域為 B．函數(shù)的值域為C．函數(shù)是奇函數(shù) D．函數(shù)在上為減函數(shù)【答案】ABC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合偶函數(shù)定義、單調(diào)性的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因為，所以，所以函數(shù)的定義域為，故A正確；B：，由，所以函數(shù)的值域為，故B正確；C：因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以C正確；D：因為函數(shù)是增函數(shù)，因為，所以函數(shù)是減函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，故是增函數(shù)，故D不正確，故選：ABC.三、填空題9．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)（其中）在閉區(qū)間上的最大值比最小值大，則實數(shù)．【答案】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可得解．【詳解】解：∵，∴指數(shù)函數(shù)（其中）在閉區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則，解得（舍去），故答案為：．10.（2023秋·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)，則的值域為．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)可得，即.綜上所述，的值域為.故答案為：.四、解答題11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)且，且的圖象過點.(1)求的解析式；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)由，求得，從而可得答案；（2）根據(jù)在R上單調(diào)遞增，可得，進(jìn)而可得答案.【詳解】（1）的圖象過點，，又（2）在R上單調(diào)遞增.12.（2022秋·山東淄博·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中且．(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性；(3)若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)為偶函數(shù)(3)【分析】（1）根據(jù)分式分母不為零求解出的范圍即為定義域；（2）先判斷定義域是關(guān)于原點對稱的，然后通過計算找到與的關(guān)系即可判斷奇偶性；（3）由為偶函數(shù)，則恒成立等價于當(dāng)時恒成立，由此求解出的取值范圍.【詳解】（1）解：由，解得，∴函數(shù)的定義域為；（2）解：為偶函數(shù)，的定義域為關(guān)于原點對稱，且，∴函數(shù)為偶函數(shù)；（3）解：因為為偶函數(shù)，則恒成立等價于當(dāng)時恒成立，即在上恒成立，∴在上恒成立，∴，故實數(shù)的取值范圍是.3.（2008·安徽·高考真題）若函數(shù)f(x)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(x)－g(x)＝ex，則有（

）A．f（2）<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f（2）C．f（2）<g(0)<f(3) D．g(0)<f（2）<f(3)【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性得，進(jìn)而得，從而利用函數(shù)的單調(diào)性及正負(fù)可比較大小.【詳解】函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù),，由，得，，，解方程組得，易知在上單調(diào)遞增，所以，又所以.故選：D一、單選題1.（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)，且，則=（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)，結(jié)合指數(shù)冪的運算，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，因為，可得，解得，即，所以.故選：B.2．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性確定正確答案.【詳解】的定義域為，，所以是奇函數(shù)，由于，所以在上單調(diào)遞增.故選：A3．（2023春·江蘇鹽城·高一鹽城市大豐區(qū)