人教版(新教材)高中數(shù)學(xué)必修1(第一冊(cè))學(xué)案：5 .2 .1三 角函數(shù)的概念

5.2三角函數(shù)的概念

5.2.1三角函數(shù)的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義2掌握任意角三角

函數(shù)（正弦、余弦、正切）在各象限的符號(hào).3.會(huì)利用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)求角的正弦、余弦、

正切.4.掌握公式并會(huì)應(yīng)用.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)一任意角的三角函數(shù)的定義

設(shè)a是一個(gè)任意角，a《R,它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P（x,y）,

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)士叫做a的正弦函數(shù)，記作sina,即sina=工；點(diǎn)P的橫坐標(biāo)工叫做a的余弦函

數(shù)，記作cosa,即cosa=&把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值刎做a的正切，記作tana,即

tana=：(x#0).

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，分別記為：

正弦函數(shù)＞=$[0￥,xCR；

余弦函數(shù)y=cosx,x￡R；

正切函尤rD+ht（kez）.

思考三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P在角a終邊上位置是否有關(guān)？

『答案』三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的大小與點(diǎn)P在終邊上的位置無(wú)關(guān)，只與

角a的終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).

知識(shí)點(diǎn)二正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)

1.圖不：

2.口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

知識(shí)點(diǎn)三公式一

sin(a+2%兀)=sina,

cos(a+2kji)=cosa,

tan(a+2E)=tana，

其中k￡Z.

終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相箜.

思考同一三角函數(shù)值相等時(shí)，角是否一定相等或相差周角的整數(shù)倍？

『答案』不一定，如sin30o=sinl50o=g.

■思考辨析判斷正誤

1.sina表示sin與a的乘積.(X)

2.設(shè)角a終邊上的點(diǎn)P(x,y),尸=|。尸|W0,則sina=1,且y越大，sina的值越大.(X)

3.終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.(V)

4.終邊落在y軸上的角的正切函數(shù)值為0.(X)

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

------------------------------------1----------

一、任意角三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

例1(1)己知角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(1,y)G，＜0),則tana=.

『答案』

『解析』因?yàn)辄c(diǎn)尼，)，)()，＜0)在單位圓上，則卷+)2=1,

44

所以y=一予所以tana=一5

(2)已知角a的終邊落在射線y=2x(x20)上，求sina,cosa的值.

解設(shè)射線y=2x(x20)上任一點(diǎn)P(x(),泗)，

則|OP|=r=、焉+網(wǎng),

*?*yo=2xo，：?r=y[5x(),

..32迅xo亞

..sina=r=5，cosa=：=5-

延伸探究

1.若將本例⑴中條件“a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為尸(|,))()，＜0)”改為“a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P(—3,-4)”，求角a的正弦、余弦和正切值.

解由已知可得|OP|=)(_3)2+(_4)2=5.

如圖所示，設(shè)角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)Po(x,y).

分別過(guò)點(diǎn)P,Po作X軸的垂線PM，PoMo,

則|MP|=4,|M)BI=-y,

QM=3,|OMo|=—x,

AOMPsAOMoPq,

于是，sina=y=；IMoPol~\MP\

\OP0\~\OP\

x_\OMo\—\OM\3

cosa=x=Y

,5;

\op0r\OP\

ysina

tana==~='

xcosa

2.若將本例⑵中條件“a的終邊落在射線)，=2x(x20)上”，換為“a的終邊落在直線y=2x

上”，其結(jié)論又如何呢？

解(1)若a的終邊在第一象限內(nèi),

設(shè)點(diǎn)P(a,2a)(“>0)是其終邊上任意一點(diǎn),

因?yàn)閞=|OP\a2+4a2=y[5a

北~.y2a2#xay[5

所以sina=；=j^=5，c°sa=；=而=5-

(2)若a的終邊在第三象限內(nèi),

設(shè)點(diǎn)P(a,2a)(〃<0)是其終邊上任意一點(diǎn),

因?yàn)椤?|OP|=N42+4“2=一小a（a<0）,

2小

所以sina=：xa亞

5，c°sa=：=-=-5-

反思感悟利用三角函數(shù)的定義求值的策略

(1)已知角a的終邊在直線上求a的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種:

①先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值.

②注意到角的終邊為直線，所以應(yīng)分兩種情況來(lái)處理，取射線上任一點(diǎn)坐標(biāo)(出b)(aW0),則

對(duì)應(yīng)角的正弦值sina=^==p,余弦值cosa=^j==p,正切值tana=^.

(2)當(dāng)角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)的形式給出時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

跟蹤訓(xùn)練1已知角a的終邊過(guò)點(diǎn)P(-3a,4n)(aW0),則2sin?+cosa=.

『答案』1或一1

『解析』因?yàn)閞=[(—3a)2+(4a)2=5|a|,

①若”>0,則r=5a,角a在第二象限.

,V4a4x—3a3

--=-

sma=r=75a=75,rcos5aa=75-=—7,

所以2sina+cosa=^—1.

②若a<0,則r=-5a,角a在第四象限，

,4a4-3a3

sin?=~~~—7,cosa=~——7.

—5aJ—5a5

所以2sina+cosa=-§+；=—1.

二、三角函數(shù)值符號(hào)的運(yùn)用

例2(1)己知點(diǎn)P(tana,cosa)在第四象限，則角a的終邊在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(2)下列各式：

①sin(—100°)；②cos(—220°)；③tan(-10)；?COSTT.

其中符號(hào)為負(fù)的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

『答案』(1)C(2)D

tana>0,

『解析』(1)因?yàn)辄c(diǎn)尸在第四象限，所以有八

cosa<0,

由此可判斷角a的終邊在第三象限.

(2)—100。在第三象限，故sin(—100°)<0；-220。在第二象限，故cos(—220。)<0；

—10G(—彳兀，一3兀)，在第二象限，故tan(—10)<0,cos7t=—1<0,

反思感悟判斷三角函數(shù)值正負(fù)的兩個(gè)步躲

⑴定象限：確定角a所在的象限.

(2)定符號(hào)：利用三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”來(lái)判斷.

跟蹤訓(xùn)練2己知點(diǎn)P(sina,cosa)在第三象限，則角a的終邊在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

『答案』C

三、公式一的應(yīng)用

例3計(jì)算下列各式的值：

(l)sin(-1395°)cos11100+cos(-1020°)sin750°；

,c、?，>1^,12TI，

(2)sinl—丁'I+cos-ytan47t.

解⑴原式

=sin(—4X360。+45°)cos(3X360°+30°)+cos(一3X360°+60°)sin(2X360°+30°)

=sin45°cos300+cos60°sin30°

―22■h2X2-4十4-4,

(2)原式=sin(—2兀+事)+cos(2兀+譽(yù))an(4兀+0)=sin^+cos譽(yù)X0=^.

反思感悟利用誘導(dǎo)公式一求解任意角的三角函數(shù)的步驟

將已知的任意角寫成歌宣+a的形式，其

中ae[（）,2E）,4ez

-------------:__________________________

根據(jù)誘導(dǎo)公式一，轉(zhuǎn)化為求用a的某個(gè)

三角函數(shù)值

若角為特殊角,可直接求出該角的三角

函數(shù)值

『答案』C

"解析』cos405°=cos（45°+360°）=cos450=多

（2）sin^|^+tan（-.

『答案』坐+1

。解析』sin^^+tan]—^"1^）=sin停+8?t）+tan信-47t）=sing+tan^=^+1.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

-------------------------------------------------------------------------Q----------------------

1.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一4,3）,則cosa等于（）

433

-B--

55-5D7

答案

2.sin（—315。）的值是（）

A.一坐B.-上羋D.g

『答案』C

『解析』sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin45°=勺.

3.若sin"cos(9>0,則6?在()

A.第一或第四象限B.第一或第