《圓周角（2）》名師教案

1/124.1.4圓周角（第二課時(shí)）（張丹丹）一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧和弦的關(guān)系.2.探索同弦所對圓周角的關(guān)系.3.記住圓周角定理的推論并能運(yùn)用其解決實(shí)際問題.4.知道圓內(nèi)接多邊形及多邊形的外接圓的概念，掌握圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì).（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)1.探索同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧的關(guān)系.2.知道圓內(nèi)接多邊形及多邊形的外接圓的概念，掌握圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì).（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)1.探索同弦所對圓周角的關(guān)系.2.圓的內(nèi)接四邊形中對角的關(guān)系.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)（1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧和弦也相等．（2）在同圓或等圓中，同弦所對的圓周角相等或互補(bǔ)．（3）圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．2.預(yù)習(xí)自測（1）如圖，A，B，C是⊙O上三點(diǎn)，∠ACB=25°，則∠BAO的度數(shù)是（）A．55° B．60° C．65° D．70°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連接OB，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2×25°=50°，由OA=OB，∴∠BAO=∠ABO，∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°．故選C．【思路點(diǎn)撥】連接OB，要求∠BAO的度數(shù)，只要在等腰三角形OAB中求得一個(gè)角的度數(shù)即可得到答案，利用同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得∠AOB=50°，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等和三角形內(nèi)角和定理即可求得．【答案】C．（2）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．75° B．60° C．45° D．30°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，又∵∠OBC=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°．故選D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)AB是⊙O的直徑可得出∠ACB=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度數(shù)．【答案】D．（3）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，O點(diǎn)在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD+∠OCD=度．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；平行四邊形的性質(zhì).【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連接OB∵四邊形OABC為平行四邊形∴AB=OC=OB=OA=BC∴△OAB和△OBC都為等邊三角形∴∠OAB=∠OCB=60°∵四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形∴∠DAB+∠DCB=180°∴∠OAD+∠OCD=180°﹣60°﹣60°=60°【思路點(diǎn)撥】由四邊形OABC為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對角相等，即可得∠B=∠AOC，由圓周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后由三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠OAD+∠OCD的度數(shù)．【答案】60°（4）如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，AC交于⊙O點(diǎn)E，∠BAC=45°．若AE=1，則BC=．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；等腰直角三角形.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵AB是圓的直徑，∴∠AEB=90°，又∵∠BAC=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，則AB=，BE=AE=1，則EC=AC﹣AE=AB﹣AE=﹣1，在直角△BCE中，BC=．故答案是：．【思路點(diǎn)撥】首先利用圓周角定理證明△ABE是等腰直角三角形，則求得AB、BE的長度，則EC即可求得，然后再在直角△BCE中，利用勾股定理即可求解．【答案】(二)課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）把頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。（2）在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

（3）半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。2.問題探究探究一：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧或弦的關(guān)系，同弦所對的圓周角的關(guān)系?！铩窕顒?dòng)①大膽猜想小心證明教師：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，那么，相等的圓周角所對的弧也相等嗎？如圖，⊙O1與⊙O2的半徑相等，所以它們是等圓，∠A=∠D，證明：BC=EF，弧BC和弧EF相等。圖1圖2證明：∵∠A=∠D，∴∠O1=∠O2∵⊙O1與⊙O2的半徑相等，∴O1B=O1C=O2E=O2F∴△O1BC≌△O2EF∴BC=EF∴弧BC和弧EF相等結(jié)論：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧和弦相等。●活動(dòng)②探索在同圓或等圓中，同弦所對圓周角的關(guān)系.教師：如圖，⊙O中弦BC所對的圓周角有哪些？它們有什么關(guān)系？學(xué)生：有∠A、∠E、∠D，其中∠A=∠E。教師：那它們和∠D有什么關(guān)系呢？先猜想，再證明。學(xué)生：猜想：它們是互補(bǔ)的關(guān)系。解：如圖，∠A與∠D不相等，它們互補(bǔ)。證明：∠A=∠BOC,∠D=（360°-∠BOC）∴∠A+∠D=∠BOC+（360°-∠BOC）=×360°=180°∴∠A與∠D互補(bǔ)。結(jié)論：在同圓或等圓中，同弦所對圓周角相等或互補(bǔ)。探究二：圓的內(nèi)接多邊形★▲●活動(dòng)①引入概念如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓．如圖中的四邊形ABCD叫做⊙O的內(nèi)接四邊形，而⊙O叫做四邊形ABCD的外接圓．●活動(dòng)②探索圓的內(nèi)接四邊形四個(gè)角之間的關(guān)系。教師：∠A和∠C是四邊形ABCD的一組對角，也是⊙O的圓周角，它們在⊙O中所對的分別是哪兩條?。窟@兩條弧有什么關(guān)系？從而∠A和∠C具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？∠B和∠D也具有這樣的關(guān)系嗎？學(xué)生：這兩條弧的度數(shù)之和為360°，從而∠A和∠C之和等于360°的一半，也就是180°，∠B和∠D之和也為180°.證明過程：結(jié)論：圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)。探究三：例題分析●活動(dòng)1基礎(chǔ)性例題例1．同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．故答案為：同弧或等?。舅悸伏c(diǎn)撥】利用圓周角定理判斷即可得到結(jié)果．【答案】同弧或等?。驹O(shè)計(jì)意圖】此題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．練習(xí)1：圓周角：（1）定理：一條弧所對的圓周角_________．（2）推論：①圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的_________．②同弧或等弧所對的圓周角_________；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的_________．③直徑所對的圓周角是_________；90°的圓周角所對的弦_________．④如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么__________________．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：圓周角：（1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半．（2）推論：①圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半．②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．③直徑所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑．④如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．故答案為：（1）等于它所對圓心角的一半．（2）①一半．②相等，弧相等．③90°，是直徑．④這個(gè)三角形是直角三角形．【思路點(diǎn)撥】利用圓周角的定理以及推論直接填空即可．【答案】（1）等于它所對圓心角的一半．（2）一半．②相等；弧相等．③90°；是直徑．④這個(gè)三角形是直角三角形．【設(shè)計(jì)意圖】此題考查圓周角的定理以及推論，掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．例2．如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上，四邊形ABCD的對角線把4個(gè)內(nèi)角分成8個(gè)角，在這8個(gè)角中，有幾對相等的角？請把它們分別表示出來：_____________________________．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：有4對．分別是：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8．故答案為：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8．【思路點(diǎn)撥】觀察圖形，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得答案．【答案】∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8．【設(shè)計(jì)意圖】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．練習(xí)2．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB，CD的延長線交于E，若AB=2DE，∠E=18°，∠C=，∠AOC=．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連接OD，∵AB=2DE，∴OD=DE，∴∠E=∠EOD，在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=36°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=36°，在△CEO中，∠AOC=∠E+∠OCD=18°+36°=54°．故答案為：36°；54°．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)AB=2DE得DE等于圓的半徑，在△EDO和△CEO中，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解．【答案】36°；54°．【設(shè)計(jì)意圖】本題主要考查了三角形的外角的性質(zhì)，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．●活動(dòng)2提升型例題例3.△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，若∠AOC=160°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：如圖，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度數(shù)是：80°或100°．故選D．【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)題意畫出圖形，由圓周角定理即可求得答案∠ABC的度數(shù)，又由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求得∠ABC的度數(shù)．【答案】D．【設(shè)計(jì)意圖】此題考查了圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意別漏解．練習(xí)3：如圖，將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，點(diǎn)P是優(yōu)弧上一點(diǎn)，則∠APB的度數(shù)為（）A．45° B．30° C．75° D．60°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；含30度角的直角三角形；翻折變換（折疊問題）.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：作半徑OC⊥AB于D，連結(jié)OA、OB，如圖，∵將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°，又OA=OB，∴∠OBA=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=∠AOB=60°．故選D．【思路點(diǎn)撥】作半徑OC⊥AB于D，連結(jié)OA、OB，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得OD=CD，則OD=OA，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠OAD=30°，接著根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠AOB=120°，然后根據(jù)圓周角定理計(jì)算∠APB的度數(shù)．【答案】D．【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和折疊的性質(zhì)．例4．在⊙O中，弦AB所對圓心角為40°，則弦AB所對的圓周角為_______．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵⊙O的弦AB所對的圓心角為40°，∴弦AB所對的圓周角的度數(shù)為：∠AOB=20°或180°﹣20°=160°．故答案為20°或160°．【思路點(diǎn)撥】由⊙O的弦AB所對的圓心角為40°，根據(jù)圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求得弦AB所對的圓周角的度數(shù)．【答案】20°或160°．【設(shè)計(jì)意圖】此題考查了圓周角定理．此題難度不大，注意弦所對的圓周角有一對且互補(bǔ)．練習(xí)4：在⊙O中，若弦AB長2cm，弦心距為cm，則此弦所對的圓周角等于______．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：如圖，連接OA，OB，則AB=2cm，OC=cm，∵OC⊥AB，∴AC=AB=（cm），∴OC=AC，∴∠AOC=45°，∴∠AOB=90°，∴∠ADB=∠AOB=45°，∴∠AEB=180°﹣∠ADB=135°．∴此弦所對的圓周角等于45°或135°．故答案為：45°或135°．【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由垂徑定理，求得AC的長，即可得△OAC是等腰直角三角形，則可求得∠AOB的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得答案．【答案】45°或135°．【設(shè)計(jì)意圖】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．●活動(dòng)3探究型例題例5．已知弦AB、CD相交于E，的度數(shù)為90°，的度數(shù)為30°，則∠AEC=．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連接BC，∵的度數(shù)為90°，的度數(shù)為30°，∴∠ABC=45°，∠BCD=15°，∴∠AEC=∠ABC+∠BCD=60°．故答案為60°．【思路點(diǎn)撥】首先連接BC，根據(jù)圓周角定理可得∠ABC=45°，∠BCD=15°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得．【答案】60°．【設(shè)計(jì)意圖】此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．練習(xí)5．等腰△ABC的頂角∠A=120°，腰AB=AC=10，△ABC的外接圓半徑等于．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連接OA交BC與點(diǎn)D，連接OC，∵AB=AC,∴弧AB=弧AC，∴OA⊥BC，又∵等腰△ABC的頂角∠A=120°∴∠BAO=∠CAO=60°，在△AOC中，又∵OA=OC∴△AOC為等邊三角形∴OA=AC=10即圓的半徑是10【思路點(diǎn)撥】連接OA交BC于點(diǎn)D，連接CO，利用等腰三角形的性質(zhì)和垂徑定理，得出△AOC為等邊三角形，進(jìn)而得到圓的半徑.【答案】10．【設(shè)計(jì)意圖】本題考查的是垂徑定理和圓周角定理，熟練掌握垂徑定理是解答此題的關(guān)鍵．3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理（1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧和弦也相等．（2）在同圓或等圓中，同弦所對的圓周角相等或互補(bǔ)．（3）圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．重難點(diǎn)歸納1.在同圓或等圓中，同弦所對的圓周角相等或互補(bǔ)．2.圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．三、課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．若所對圓心角度數(shù)是100°，所對的圓周角的度數(shù)為．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵所對圓心角度數(shù)是100°，∴所對的圓周角的度數(shù)為：×100°=50°．故答案為：50°．【思路點(diǎn)撥】由所對圓心角度數(shù)是100°，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得答案．【答案】50°．2.如圖，以⊙O的半徑OA為直徑作⊙O1，⊙O的弦AD交⊙O1于C，則：（1）OC與AD的位置關(guān)系是；（2）OC與BD的位置關(guān)系是；（3）若OC=2cm，則BD=cm．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；三角形中位線定理；垂徑定理.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：（1）∵以⊙O的半徑OA為直徑作⊙O1，⊙O的弦AD交⊙O1于C，∴∠ACO=∠ADB=90°，∴OC⊥AC，即OC⊥AD；∴OC與AD的位置關(guān)系是：垂直；（2）∵∠ACO=∠ADB=90°，∴OC∥BD；∴OC與BD的位置關(guān)系是：平行；（3）∵OA=OB，OC∥BD，∴AC=CD，∴BD=2OC=2×2=4（cm）．故答案為：（1）垂直，（2）平行，（3）4．【思路點(diǎn)撥】（1）由以⊙O的半徑OA為直徑作⊙O1，⊙O的弦AD交⊙O1于C，易證得∠ACO=∠ADB=90°，則可求得OC與AD的位置關(guān)系；（2）由（1）可求得OC與BD的位置關(guān)系；（3）易證得OC是△ABD的中位線，繼而可求得答案．【答案】（1）垂直，（2）平行，（3）4．3．如圖，⊙O的直徑AB=10，弦BC=5，∠B=°．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；含30度角的直角三角形．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，又∵直徑AB=10，弦BC=5，∴∠A=30°，∴∠B=90°﹣30°=60°．故答案為60°．【思路點(diǎn)撥】由AB為直徑，得∠ACB=90°，又AB=10，弦BC=5，得到∠A=30°，從而求出∠B．【答案】60°．4．如圖，已知CD是⊙O的直徑，∠EOD=75°，AE交⊙O于B，且AB=OC，則∠A的度數(shù)為．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連接OB．設(shè)∠A=x°，∵AB=OC，OB=OC，∴∠BOA=∠A=x°，∴∠EBO=∠A+∠BOA=2x°，又∵OB=OE，∴∠E=∠EBO=2x°，∵∠EOD=∠E+∠A=2x+x=3x°，即3x=75，解得：x=25．則∠A的度數(shù)是25°．故答案是：25°．【思路點(diǎn)撥】連接OB，在△AOB和△AOE中利用三角形的外角的性質(zhì)，外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可求解．【答案】25°．5．如圖，在⊙O中，∠BAC=∠DAC=45°，AB=3，AD=4，則CD=．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連接BD、BC，∵∠BAC=∠DAC=45°，∴∠BAD=90°，弧CD=弧BC，∴BD是⊙O的直徑，CD=BC，∴∠DCB=90°，△CDB是等腰直角三角形，在Rt△ABD中，AD=4，AB=3；由勾股定理知，BD==5；在Rt△BCD中，BC=CD，BD=5；∴CD=．【思路點(diǎn)撥】已知∠BAC=∠DAC=45°，可得出兩個(gè)條件：①∠DAB=90°；②弧CD=弧BC；連接BD、BC；由①知BD必為⊙O的直徑；由②知：△BCD必為等腰直角三角形．BD的長，可在Rt△ABD中用勾股定理求得，進(jìn)而可在Rt△BCD中求出CD的長．【答案】6．如圖，AB為⊙O的直徑，，∠A=35°，則∠BOD=．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連接OC．由圓周角定理，得：∠BOC=2∠A=70°，∵，∴∠BOD=∠BOC=70°．故答案為：70°．【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)圓周角定理求得∠BOC=2∠A=70°，然后找出等弧，可根據(jù)“同圓中等弧對等角”求解．【答案】70°．能力型師生共研7．人們常用“一字之差，失之千里”來形容因一點(diǎn)小小的差別，往往會(huì)給問題本身帶來很大的區(qū)別．在數(shù)學(xué)中，這樣的例子比比皆是．下面兩句話，請你先找出其中微小的區(qū)別，然后再填空．（1）在⊙O中，一條弧所對的圓心角是120°，該弧所對的圓周角是；（2）在⊙O中，一條弦所對的圓心角是120°，該弦所對的圓周角是．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：（1）×120°=60°；（2）圓周角的頂點(diǎn)在弦所對的優(yōu)弧上時(shí)，圓周角是：×120°=60°，圓周角的頂點(diǎn)在弦所對的劣弧上時(shí)，圓周角是180°﹣60°=120°．故答案是：60°；60°或120°．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圓周角定理即可求解；（2）分圓周角的頂點(diǎn)在弦所對的優(yōu)弧和弦所對的劣弧兩種情況進(jìn)行討論．【答案】60°；60°或120°．8．如圖，AB、AC是⊙O的弦，AD⊥BC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)F，AE是⊙O的直徑，試判斷弦BE與弦CF的大小關(guān)系，并說明理由．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：BE=CF，理由：∵AE為⊙O的直徑，AD⊥BC∴∠ABE=90°=∠ADC∵∠AEB=∠ACB（同弧所對的圓周角相等），∴∠BAE=∠CAF（等角的余角相等）∴，∴BE=CF．【思路點(diǎn)撥】要探討兩條弦的關(guān)系，根據(jù)等弧對等弦可以轉(zhuǎn)化為探討所對的弧的關(guān)系，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，可以再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為探討所對的圓周角的關(guān)系．根據(jù)已知條件，只需利用等角的余角相等就可證明．【答案】BE=CF．探究型多維突破9．如圖，AB是⊙0的直徑，C、D是半圓的三等分點(diǎn)，則∠C+∠E+∠D=．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵AB是⊙0的直徑，C、D是半圓的三等分點(diǎn)解：∵是一個(gè)半圓，∴∠C+∠D=×180°=90°，∵據(jù)C、D是半圓的三等分點(diǎn)，∴=×180°=60°，∴∠E==×60°=30°，∴∠C+∠D+∠E=90°+30°=120°．故答案為：120°．【思路點(diǎn)撥】由于是一個(gè)半圓，故∠C+∠D=×180°=90°，再根據(jù)C、D是半圓的三等分點(diǎn)可知=×180°=60°，故∠E==×60°=30°，故可求出答案．【答案】120°．10.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在對角線AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：∠1=∠2．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）證明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根據(jù)圓周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性質(zhì)得∠CEB=∠2+∠BAE，則∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．【答案】（1）78°；（2）略.自助餐1．如圖，AB為⊙O直徑，，則∠ABC=．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵AB為⊙O直徑，∴∠C=90°，∵，∴∠A=3∠B，∵∠A+∠B=90°，∴∠ABC=90°×=22.5°．故答案為：22.5°．【思路點(diǎn)撥】由AB為⊙O直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得∠C的度數(shù)，又由，根據(jù)圓周角定理與弧與圓心角的關(guān)系，即可求得∠A=3∠B，繼而求得答案．【答案】22.5°．2．如圖，AB為⊙O的直徑，BC為弦，且，則∠AOC=°，∠B=°，∠BOC=°．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵，∴∠BOC=4∠AOC，而∠BOC+∠AOC=180°，∴5∠AOC=180°，即∠AOC=36°，∴∠BOC=4×36°=144°，∴∠B=∠AOC=18°．故答案為：36°，18°，144°．【思路點(diǎn)撥】由，得∠BOC=4∠AOC，而∠BOC+∠AOC=180°，則可求出∠AOC，∠BOC，利用圓周角定理可得到∠B的度數(shù)．【答案】36°，18°，144°．3．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于E點(diǎn)，=100°，=60°，則∠AEB=度．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；三角形的外角性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵=100°，=60°，∴∠ADE=50°，∠DAC