屈曲分析和模態(tài)分析的本質(zhì)

屈曲分析和模態(tài)分析的本質(zhì)是相同的，屈曲是通過(guò)靜力平衡方程求特征值問(wèn)題，即屈曲荷載；模態(tài)分析是通過(guò)動(dòng)力平衡方程求特征值，即固有頻率。一、定義對(duì)于矩陣A，如果存在常數(shù)λ和n維非零向量X，使得：AX=λX，則稱(chēng)λ為矩陣A的特征值，X稱(chēng)為矩陣A相對(duì)于λ的特征向量。延伸：由：AX-λX=0得：(A-λE)X=0該方程有非零解的等價(jià)條件為：|A-λE|=0因此，求A的特征值，即求滿(mǎn)足這個(gè)行列式的λ值即可；而特征向量就是該線(xiàn)性方程組的非零解。二、理解矩陣A乘以X表示，對(duì)向量X進(jìn)行一次轉(zhuǎn)換（旋轉(zhuǎn)或拉伸）（是一種線(xiàn)性轉(zhuǎn)換），而該轉(zhuǎn)換的效果為常數(shù)λ乘以向量X（即只進(jìn)行拉伸）。

通常求特征值和特征向量即為求出該矩陣能使哪些向量（當(dāng)然是特征向量）只發(fā)生拉伸，使其發(fā)生拉伸的程度如何（特征值大小）。由此可知，向量X經(jīng)過(guò)矩陣A變換后，只是大小伸縮了λ倍?？偠灾禾卣飨蛄刻峁┝藦?fù)雜的矩陣乘法到簡(jiǎn)單的數(shù)乘之間的轉(zhuǎn)換。三、例題求解特征值和特征向量的步驟：

1、寫(xiě)出矩陣A的特征方程，2、求出特征值；3、對(duì)每個(gè)特征值λ，代入齊次方程組，求非零解。四、屈曲分析和模態(tài)分析的本質(zhì)單從數(shù)學(xué)上來(lái)講，兩者沒(méi)有區(qū)別，都是歸為求特征值問(wèn)題，對(duì)于屈曲問(wèn)題，特征值即為屈曲荷載，對(duì)應(yīng)的特征向量即為屈曲模態(tài)，對(duì)于振動(dòng)問(wèn)題，特征值即為振動(dòng)的圓頻率，特征向量即為振動(dòng)的振型也叫振動(dòng)模態(tài)。從力學(xué)上講的話(huà)，屈曲問(wèn)題是靜力問(wèn)題，而振動(dòng)是動(dòng)力問(wèn)題，屈曲是通過(guò)靜力平衡方程或者能量法轉(zhuǎn)為求特征值問(wèn)題，求的是結(jié)構(gòu)失去穩(wěn)定性時(shí)候的荷載和對(duì)應(yīng)的變形，另外值得注意的是采用小變形理論只能求得屈曲時(shí)的模態(tài)而得不到結(jié)構(gòu)的真實(shí)變形，只有用大變形理論才能求得荷載-位移的全過(guò)程。振動(dòng)問(wèn)題是通過(guò)動(dòng)力平衡平衡方程專(zhuān)為求特征值和特征向量。工程意義上講的話(huà)，屈曲問(wèn)題一般是用來(lái)求的結(jié)構(gòu)的屈曲荷載，然后在設(shè)計(jì)的時(shí)候避免結(jié)構(gòu)達(dá)到塑形之前發(fā)生屈曲，當(dāng)然有些利用屈曲后性能的問(wèn)題除外，而振動(dòng)的振型則是得到結(jié)構(gòu)的自振頻率以及振動(dòng)模態(tài)，然后避免結(jié)構(gòu)發(fā)