小學(xué)奧數(shù)資料：多次相遇和追及問題題庫學(xué)生版

角t哪w

1.學(xué)會畫圖解行程題

2.能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問題

3,能夠利用比例解多人相遇和追及問題

地值4

板塊一'由簡單行程問題拓展出的多次相遇問題

所有行程問題都是圍繞“路程=速度x時間”這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復(fù)

雜，但只要抓住這個公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解.

【例1】（難度等級派）甲、乙兩名同學(xué)在周長為300米圓形跑道上從同一地點同時背向練習(xí)跑步，甲每

秒鐘跑3.5米，乙每秒鐘跑4米，問：他們第十次相遇時，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點？

【鞏固】（難度等級派）甲乙兩人在相距90米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是

每秒2米.如果他們同時分別從直路兩端出發(fā)，10分鐘內(nèi)共相遇幾次？

【鞏固】（難度等級X）甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點A背向同時出發(fā)，8分鐘后兩人第五次

相遇，已知每秒鐘甲比乙多走（）.1米，那么兩人第五次相遇的地點與點A沿跑道上的最短路程

是多少米？

二'運用倍比關(guān)系解多次相遇問題

【例2】（難度等級派※）上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他,

在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的

時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？

【例3】（難度等級派※）甲、乙兩車分別同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地95千米處相

遇.相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇.求A、B兩地

間的距離是多少千米？

【鞏固】（難度級別派※）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一

次相遇地點離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地3千

米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離.

【鞏固】（難度等級派※）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一

次相遇地點離A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地5千

米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離.

【鞏固】（難度等級派※）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一

次相遇地點離A地6千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地4千

米處第二次相遇，求兩人第5次相遇地點距B多遠(yuǎn).

【鞏固】（難度等級派※）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一

次相遇地點離A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地3千

米處第二次相遇，求第三次相遇時共走了多少千米.

【鞏固】（難度等級派※）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一

次相遇地點離A地3千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地2千

米處第二次相遇，求第2000次相遇地點與第2001次相遇地點之間的距離.

【鞏固】（難度等級派※）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一

次相遇地點離A地18千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地13

千米處第二次相遇，求AB兩地之間的距離.

【例4】（難度等級※※※）如圖，甲和乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反

的方向繞此圓形路線運動，當(dāng)乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又

第二次相遇.求此圓形場地的周長.

【鞏固】（難度等級※※派）如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發(fā)反向

行走，他們在C點第一次相遇，C離A點80米；在D點第二次相遇，D點離B點60米.求這

個圓的周長.

【鞏固】A、B是圓的直徑的兩端，甲在A點，乙在B點同時出發(fā)反向而行，兩人在C點第一次相遇,

在D點第二次相遇.已知C離A有75米，D離B有55米，求這個圓的周長是多少米？

三、多次相遇與全程的關(guān)系

1.兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個全程；

第2次相遇，共走3個全程;

第3次相遇，共走5個全程;

第N次相遇，共走2N-1個全程；

注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。

2.同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個全程;

第2次相遇，共走4個全程:

第3次相遇，共走6個全程;

第N次相遇，共走2N個全程;

3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵

多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個全程

多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差

【例5】小明和小紅兩人在長100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓(xùn)練，小明的速度為6米/秒，小紅

的速度為4米/秒.他們同時從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘.在這段時間內(nèi)，他們迎面相

遇了多少次？

【例6】A、3兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到8地，乙騎摩托車從8地出發(fā)，不停地往返于

A、B兩地之間，他們同時出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問:

當(dāng)甲到達(dá)8地時，乙追上甲幾次？

【例7】（難度等級派※※）甲、乙兩人分別從A、8兩地同時出發(fā)相向而行，乙的速度是甲的三7，二

3

人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到B地、乙到A地后立即返回.已知兩人第二次相遇的地點距第三次相

遇的地點是100千米，那么，4、8兩地相距千米.

【鞏固】（難度等級派※※）小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時出發(fā)，

相向而行，兩人第一次在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇（追上也算作相遇）,

則甲、乙兩地的距離為千米.

【鞏固】（難度級別派※※）A,B兩地相距540千米。甲、乙兩車往返行駛于A,B兩地之間，都是

到達(dá)一地之后立即返回，乙車較甲車快。設(shè)兩輛車同時從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在

途中P地。那么到兩車第三次相遇為止，乙車共走了多少千米？

【例8】（難度級別派※※）小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一

村后就馬上返回），他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們

兩人第四次相遇的地點離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？

四、解多次相遇問題的工具——柳卡

柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求

數(shù)交點個數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運動過程中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點”，以及“由

相遇的地點求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完一個全程時所用的時間是多少。

如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。

【例9］（難度級別※※※）每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐

約開往哈佛.輪船在途中均要航行七天七夜.試問：某條從哈佛開出的輪船在到達(dá)紐約前（途

中）能遇上幾艘從紐約開來的輪船？

【鞏固】（難度級別派※※）一條電車線路的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電

車從甲站發(fā)出開往乙站，全程要走15分鐘.有一個人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站.他

出發(fā)的時候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站.在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車.到達(dá)甲站時,

恰好又有一輛電車從甲站開出.問他從乙站到甲站用了多少分鐘？

【例10］（難度級別派※※）甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，

乙的速度是每秒（）.6米.如果他們同時分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇

幾次？

【例11］（難度等級派※※）（2009年迎春杯復(fù)賽高年級組）4、5兩地位于同一條河上，8地在A地下

游100千米處.甲船從A地、乙船從B地同時出發(fā)，相向而行，甲船到達(dá)B地、乙船到達(dá)A

地后，都立即按原來路線返航.水速為2米/秒，且兩船在靜水中的速度相同.如果兩船兩次相

遇的地點相距20千米，那么兩船在靜水中的速度是米/秒.

【例12］（難度等級派※※）A、B兩地相距1000米，甲從A地、乙從B地同時出發(fā)，在A、B兩

地間往返鍛煉.乙跑步每分鐘行150米，甲步行每分鐘行60米.在30分鐘內(nèi)，甲、乙兩人第

幾次相遇時距B地最近（從后面追上也算作相遇）？最近距離是多少？

【鞏固】（難度等級※※※，人、B兩地相距950米.甲、乙兩人同時由A地出發(fā)往返鍛煉半小時.甲

步行，每分鐘走40米；乙跑步，每分鐘行150米.則甲、乙二人第幾次迎面相遇時距B地

最近？

【鞏固】（2008年國際小學(xué)數(shù)學(xué)競賽）A、B兩地相距950m,甲、乙兩人同時從A地出發(fā)，往返A(chǔ)、B兩

地跑步90分鐘.甲跑步的速度是每分鐘40m；乙跑步的速度是每分鐘150m.在這段時間內(nèi)他

們面對面相遇了數(shù)次，請問在第幾次相遇時他們離B點的距離最近？

【鞏固】（難度等級※※※，人、B兩地相距2400米，甲從A地、乙從B地同時出發(fā)，在A、B兩

地間往返鍛煉.甲每分鐘跑300米，乙每分鐘跑240米，在30分鐘后停止運動.甲、乙兩

人第幾次相遇時距A地最近？最近距離是多少？

五、多次相遇問題——變道問題

【例13］（難度等級派※※※）（仁華入學(xué)試題）甲、乙兩車同時從同一點A出發(fā)，沿周長6千米的圓形

跑道以相反的方向行駛.甲車每小時行駛65千米，乙車每小時行駛55千米.一旦兩車迎面相

遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相

遇的地點距離A點有多少米？（每一次甲車追上乙車也看作一次相遇）

【例14］（難度等級派※※※）下圖是一個邊長90米的正方形，甲、乙兩人同時從A點出發(fā)，甲逆時

針每分行75米，乙順時針每分行45米.兩人第一次在CD邊（不包括C,D兩點）上相遇，

是出發(fā)以后的第幾次相遇？

【例15］（難度等級派※※※）如圖所示，甲、乙兩人從長為400米的圓形跑道的A點背向出發(fā)跑步。

跑道右半部分（粗線部分）道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速

度均為每秒8米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒4米。兩人一直跑下去，問：他們第99

次迎面相遇的地方距A點還有米。

【例16］（難度等級派※※※）如圖，學(xué)校操場的400米跑道中套著300米小跑道，大跑道與小跑道有200

米路程相重.甲以每秒6米的速度沿大跑道逆時針方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道順時針

方向跑，兩人同時從兩跑道的交點A處出發(fā)，當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時，甲共跑了多少米？

【例17］（難度等級派※※※※）下圖中有兩個圓只有一個公共點A,大圓直徑48厘米，小圓直徑30

厘米。兩只甲蟲同時從A點出發(fā)，按箭頭所指的方向以相