小學(xué)奧數(shù)資料：多次相遇和追及問題題庫(kù)學(xué)生版

角t哪w

1.學(xué)會(huì)畫圖解行程題

2.能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問題

3,能夠利用比例解多人相遇和追及問題

地值4

板塊一'由簡(jiǎn)單行程問題拓展出的多次相遇問題

所有行程問題都是圍繞“路程=速度x時(shí)間”這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復(fù)

雜，但只要抓住這個(gè)公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解.

【例1】（難度等級(jí)派）甲、乙兩名同學(xué)在周長(zhǎng)為300米圓形跑道上從同一地點(diǎn)同時(shí)背向練習(xí)跑步，甲每

秒鐘跑3.5米，乙每秒鐘跑4米，問：他們第十次相遇時(shí)，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點(diǎn)？

【鞏固】（難度等級(jí)派）甲乙兩人在相距90米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是

每秒2米.如果他們同時(shí)分別從直路兩端出發(fā)，10分鐘內(nèi)共相遇幾次？

【鞏固】（難度等級(jí)X）甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點(diǎn)A背向同時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第五次

相遇，已知每秒鐘甲比乙多走（）.1米，那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A沿跑道上的最短路程

是多少米？

二'運(yùn)用倍比關(guān)系解多次相遇問題

【例2】（難度等級(jí)派※）上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他,

在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的

時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？

【例3】（難度等級(jí)派※）甲、乙兩車分別同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，第一次在離A地95千米處相

遇.相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇.求A、B兩地

間的距離是多少千米？

【鞏固】（難度級(jí)別派※）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一

次相遇地點(diǎn)離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千

米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.

【鞏固】（難度等級(jí)派※）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一

次相遇地點(diǎn)離A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地5千

米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.

【鞏固】（難度等級(jí)派※）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一

次相遇地點(diǎn)離A地6千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地4千

米處第二次相遇，求兩人第5次相遇地點(diǎn)距B多遠(yuǎn).

【鞏固】（難度等級(jí)派※）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一

次相遇地點(diǎn)離A地7千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千

米處第二次相遇，求第三次相遇時(shí)共走了多少千米.

【鞏固】（難度等級(jí)派※）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一

次相遇地點(diǎn)離A地3千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地2千

米處第二次相遇，求第2000次相遇地點(diǎn)與第2001次相遇地點(diǎn)之間的距離.

【鞏固】（難度等級(jí)派※）甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一

次相遇地點(diǎn)離A地18千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地13

千米處第二次相遇，求AB兩地之間的距離.

【例4】（難度等級(jí)※※※）如圖，甲和乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開始以勻速按相反

的方向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又

第二次相遇.求此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng).

【鞏固】（難度等級(jí)※※派）如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向

行走，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)60米.求這

個(gè)圓的周長(zhǎng).

【鞏固】A、B是圓的直徑的兩端，甲在A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，兩人在C點(diǎn)第一次相遇,

在D點(diǎn)第二次相遇.已知C離A有75米，D離B有55米，求這個(gè)圓的周長(zhǎng)是多少米？

三、多次相遇與全程的關(guān)系

1.兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個(gè)全程；

第2次相遇，共走3個(gè)全程;

第3次相遇，共走5個(gè)全程;

第N次相遇，共走2N-1個(gè)全程；

注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個(gè)全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。

2.同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個(gè)全程;

第2次相遇，共走4個(gè)全程:

第3次相遇，共走6個(gè)全程;

第N次相遇，共走2N個(gè)全程;

3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵

多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個(gè)全程

多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差

【例5】小明和小紅兩人在長(zhǎng)100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓(xùn)練，小明的速度為6米/秒，小紅

的速度為4米/秒.他們同時(shí)從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘.在這段時(shí)間內(nèi)，他們迎面相

遇了多少次？

【例6】A、3兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到8地，乙騎摩托車從8地出發(fā)，不停地往返于

A、B兩地之間，他們同時(shí)出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問:

當(dāng)甲到達(dá)8地時(shí)，乙追上甲幾次？

【例7】（難度等級(jí)派※※）甲、乙兩人分別從A、8兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，乙的速度是甲的三7，二

3

人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到B地、乙到A地后立即返回.已知兩人第二次相遇的地點(diǎn)距第三次相

遇的地點(diǎn)是100千米，那么，4、8兩地相距千米.

【鞏固】（難度等級(jí)派※※）小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時(shí)出發(fā)，

相向而行，兩人第一次在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇（追上也算作相遇）,

則甲、乙兩地的距離為千米.

【鞏固】（難度級(jí)別派※※）A,B兩地相距540千米。甲、乙兩車往返行駛于A,B兩地之間，都是

到達(dá)一地之后立即返回，乙車較甲車快。設(shè)兩輛車同時(shí)從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在

途中P地。那么到兩車第三次相遇為止，乙車共走了多少千米？

【例8】（難度級(jí)別派※※）小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一

村后就馬上返回），他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們

兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？

四、解多次相遇問題的工具——柳卡

柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時(shí)間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求

數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過程中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點(diǎn)”，以及“由

相遇的地點(diǎn)求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少。

如果不畫圖，單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來說不容易。

【例9］（難度級(jí)別※※※）每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐

約開往哈佛.輪船在途中均要航行七天七夜.試問：某條從哈佛開出的輪船在到達(dá)紐約前（途

中）能遇上幾艘從紐約開來的輪船？

【鞏固】（難度級(jí)別派※※）一條電車線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電

車從甲站發(fā)出開往乙站，全程要走15分鐘.有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站.他

出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站.在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車.到達(dá)甲站時(shí),

恰好又有一輛電車從甲站開出.問他從乙站到甲站用了多少分鐘？

【例10］（難度級(jí)別派※※）甲、乙兩人在一條長(zhǎng)為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，

乙的速度是每秒（）.6米.如果他們同時(shí)分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇

幾次？

【例11］（難度等級(jí)派※※）（2009年迎春杯復(fù)賽高年級(jí)組）4、5兩地位于同一條河上，8地在A地下

游100千米處.甲船從A地、乙船從B地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲船到達(dá)B地、乙船到達(dá)A

地后，都立即按原來路線返航.水速為2米/秒，且兩船在靜水中的速度相同.如果兩船兩次相

遇的地點(diǎn)相距20千米，那么兩船在靜水中的速度是米/秒.

【例12］（難度等級(jí)派※※）A、B兩地相距1000米，甲從A地、乙從B地同時(shí)出發(fā)，在A、B兩

地間往返鍛煉.乙跑步每分鐘行150米，甲步行每分鐘行60米.在30分鐘內(nèi)，甲、乙兩人第

幾次相遇時(shí)距B地最近（從后面追上也算作相遇）？最近距離是多少？

【鞏固】（難度等級(jí)※※※，人、B兩地相距950米.甲、乙兩人同時(shí)由A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí).甲

步行，每分鐘走40米；乙跑步，每分鐘行150米.則甲、乙二人第幾次迎面相遇時(shí)距B地

最近？

【鞏固】（2008年國(guó)際小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）A、B兩地相距950m,甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)，往返A(chǔ)、B兩

地跑步90分鐘.甲跑步的速度是每分鐘40m；乙跑步的速度是每分鐘150m.在這段時(shí)間內(nèi)他

們面對(duì)面相遇了數(shù)次，請(qǐng)問在第幾次相遇時(shí)他們離B點(diǎn)的距離最近？

【鞏固】（難度等級(jí)※※※，人、B兩地相距2400米，甲從A地、乙從B地同時(shí)出發(fā)，在A、B兩

地間往返鍛煉.甲每分鐘跑300米，乙每分鐘跑240米，在30分鐘后停止運(yùn)動(dòng).甲、乙兩

人第幾次相遇時(shí)距A地最近？最近距離是多少？

五、多次相遇問題——變道問題

【例13］（難度等級(jí)派※※※）（仁華入學(xué)試題）甲、乙兩車同時(shí)從同一點(diǎn)A出發(fā)，沿周長(zhǎng)6千米的圓形

跑道以相反的方向行駛.甲車每小時(shí)行駛65千米，乙車每小時(shí)行駛55千米.一旦兩車迎面相

遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相

遇的地點(diǎn)距離A點(diǎn)有多少米？（每一次甲車追上乙車也看作一次相遇）

【例14］（難度等級(jí)派※※※）下圖是一個(gè)邊長(zhǎng)90米的正方形，甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，甲逆時(shí)

針每分行75米，乙順時(shí)針每分行45米.兩人第一次在CD邊（不包括C,D兩點(diǎn)）上相遇，

是出發(fā)以后的第幾次相遇？

【例15］（難度等級(jí)派※※※）如圖所示，甲、乙兩人從長(zhǎng)為400米的圓形跑道的A點(diǎn)背向出發(fā)跑步。

跑道右半部分（粗線部分）道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速

度均為每秒8米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒4米。兩人一直跑下去，問：他們第99

次迎面相遇的地方距A點(diǎn)還有米。

【例16］（難度等級(jí)派※※※）如圖，學(xué)校操場(chǎng)的400米跑道中套著300米小跑道，大跑道與小跑道有200

米路程相重.甲以每秒6米的速度沿大跑道逆時(shí)針方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道順時(shí)針

方向跑，兩人同時(shí)從兩跑道的交點(diǎn)A處出發(fā)，當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時(shí)，甲共跑了多少米？

【例17］（難度等級(jí)派※※※※）下圖中有兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A,大圓直徑48厘米，小圓直徑30

厘米。兩只甲蟲同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，按箭頭所指的方向以相