廣東省興寧市沐彬中學(xué)新高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷及答案解析

廣東省興寧市沐彬中學(xué)新高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．2．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（）A． B．C． D．4．下列判斷錯(cuò)誤的是()A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則B．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的充分不必要條件C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則D．是的充分不必要條件5．隨著人民生活水平的提高，對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大，下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測(cè)情況，圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí)，一級(jí)空氣質(zhì)量最好，一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣，下面敘述不正確的是（）A．1月至8月空氣合格天數(shù)超過(guò)天的月份有個(gè)B．第二季度與第一季度相比，空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了C．8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月D．6月份的空氣質(zhì)量最差.6．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C． D．17．已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，給出四個(gè)命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④8．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問(wèn)折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問(wèn)折斷處離地面的高為（）尺.A． B． C． D．9．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，且，則（）A． B．C． D．10．偶函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，求（）A． B． C． D．11．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．《九章算術(shù)》“少?gòu)V”算法中有這樣一個(gè)數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡(jiǎn)，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之?dāng)?shù)，逐個(gè)照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：及時(shí)，如圖：記為每個(gè)序列中最后一列數(shù)之和，則為（）A．147 B．294 C．882 D．1764二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，是互相垂直的單位向量，若與λ的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是__．14．已知a，b均為正數(shù)，且，的最小值為_(kāi)_______.15．已知△ABC得三邊長(zhǎng)成公比為2的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_(kāi)____.16．某中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)班共有10人，分為甲、乙兩個(gè)小組，在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示，若甲組5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為81，乙組5名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為73，則x-y的值為_(kāi)_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，求證：線段的中垂線恒過(guò)定點(diǎn).18．（12分）已知在中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且．（1）求角A的值；（2）若，設(shè)角，周長(zhǎng)為y，求的最大值．19．（12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值；（Ⅲ）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值為，求證：.20．（12分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和為；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，求證：.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，拋物線在點(diǎn)處的切線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，證明：軸.22．（10分）如圖，四棱錐中，平面平面，若，四邊形是平行四邊形，且.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若點(diǎn)在線段上，且平面，，，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用已知條件畫(huà)出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積．【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．2、D【解析】

可求出集合，，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可．【詳解】解：，；．故選．【點(diǎn)睛】考查描述法、區(qū)間的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及并集的運(yùn)算．3、C【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得，，又由，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，，有，又由在上單調(diào)遞增，則有，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

根據(jù)正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí)，依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)加以分析判斷，進(jìn)而可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性，有，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，已知直線平面，直線平面，則當(dāng)時(shí)一定有，充分性成立，而當(dāng)時(shí)，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，，僅當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)，不成立，故充分性不成立；若，僅當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)，不成立，故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項(xiàng)不正確，符合題意.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí)，考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天，月份的空氣質(zhì)量最差．故本題答案選．6、C【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，分子分母同時(shí)乘以，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)，再求出，由此得到虛部.【詳解】，，所以的虛部為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①；根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③；根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.【詳解】對(duì)于①，若，，，，兩平面相交，但不一定垂直，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若，，則，故②正確；對(duì)于③，若，，，當(dāng)，則與不平行，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若，，，則，故④正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】如圖，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.9、C【解析】

畫(huà)出圖形，以為基底將向量進(jìn)行分解后可得結(jié)果．【詳解】畫(huà)出圖形，如下圖．選取為基底，則，∴．故選C．【點(diǎn)睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問(wèn)題（1）只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，基底可以有無(wú)窮多組，在解決具體問(wèn)題時(shí)，合理選擇基底會(huì)給解題帶來(lái)方便．（2）利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算．10、D【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由此可得出，代值計(jì)算即可.【詳解】由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，，，則，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由于當(dāng)時(shí)，，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和奇偶性求函數(shù)值，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.11、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以，由于，所以，故“”是“”的充分必要條件.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算，由此求得的值.【詳解】依題意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理，考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．【詳解】解：由題意，設(shè)（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題．14、【解析】

本題首先可以根據(jù)將化簡(jiǎn)為，然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)基本不等式求最值，基本不等式公式為，在使用基本不等式的時(shí)候要注意“”成立的情況，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.15、-【解析】試題分析：根據(jù)題意設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別設(shè)為為a,2a,2a，∵2a>2a>a,∴2a所對(duì)的角為最大角，設(shè)為θ，則根據(jù)余弦定理得考點(diǎn)：余弦定理及等比數(shù)列的定義.16、【解析】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的概念，求出x、y的值.【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得：甲班5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為，解得；又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73，則；.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計(jì)算中位數(shù)、平均數(shù)，考查數(shù)據(jù)分析能力，屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.【解析】

（Ⅰ）把點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率得到關(guān)于的方程，解方程即可；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和中垂線的定義求出線段的中垂線方程即可證明.【詳解】（Ⅰ）由已知橢圓過(guò)點(diǎn)得，，又，得，所以，即橢圓方程為.（Ⅱ）證明：由，得，由，得，由韋達(dá)定理可得，，設(shè)的中點(diǎn)為，得，即，，的中垂線方程為，即，故得中垂線恒過(guò)點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問(wèn)題；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力；正確求出橢圓方程和利用中垂線的定義正確表示出中垂線方程是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.18、（1）；（2）．【解析】

（1）利用正弦定理，結(jié)合題中條件，可以得到，之后應(yīng)用余弦定理即可求得；（2）利用正弦定理求得，求出三角形的周長(zhǎng)，利用三角函數(shù)的最值求解即可.【詳解】（1）由已知可得，結(jié)合正弦定理可得，∴，又，∴．（2）由，及正弦定理得，∴，，故，即，由，得，∴當(dāng)，即時(shí)，．【點(diǎn)睛】該題主要考查的是有關(guān)解三角形的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握正余弦定理，屬于簡(jiǎn)單題目.19、（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）由題，所以故，，代入點(diǎn)斜式可得曲線在處的切線方程；（Ⅱ）由題（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.則函數(shù)在上的最小值是（2）當(dāng)時(shí)，令，即，令，即（i）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（ii）當(dāng)，即時(shí)，由的單調(diào)性可得在上的最小值是（iii）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上的最小值是（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，令，則是單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)?，，所以在上存在，使得，即討論可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值是因?yàn)?，所以由此可證試題解析：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)，且，所以，所以所以，所以曲線在處的切線方程是，即（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)，所以（1）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上的最小值是（2）當(dāng)時(shí)，令，即，所以令，即，所以（i）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（ii）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（iii）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值是綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上的最小值是當(dāng)時(shí)，在上的最小值是當(dāng)時(shí)，在上的最小值是（Ⅲ）因?yàn)楹瘮?shù)，所以所以當(dāng)時(shí)，令，所以是單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)?，，所以在上存在，使得，即所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值是因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以所?0、（Ⅰ），（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.（Ⅱ），根據(jù)裂項(xiàng)求和法計(jì)算得到得到證明.【詳解】（Ⅰ）等差數(shù)列的公差為，由，得，，即，，解得，.∴，.（Ⅱ），∴，∴，即.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的基本量的計(jì)算，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.21、（1）1；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）設(shè)，，聯(lián)立直線和拋物線方程，得，寫(xiě)出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，即可求出；（2）由，得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出拋物線在點(diǎn)點(diǎn)處切線方程，進(jìn)而求出，即可證出軸.【詳解】解：（1）設(shè)，，將直線代入中整理得：，∴，，∴，解得：.（2）同（1）假設(shè)，，由，得，從而拋物線在點(diǎn)點(diǎn)處的切線方程為，即，令，得，由（1）知，從而，這表明軸.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及聯(lián)立方程組、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式以及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查轉(zhuǎn)化思想和