圓錐曲線的發(fā)展歷史教材

圓錐曲線新泰一中

2013.12.216/20/2024圓錐曲線的形成用一個平面截圓錐面所得的曲線形成圓錐曲線26/20/202422012/12/10梅內(nèi)克繆斯（Menaechmus）約公元前380-前320，古希臘時代圓錐曲線的第一個人2012/12/10他是古希臘數(shù)學家，為歐多克索斯（Eudoxus）的學生，又是柏拉圖學園中的成員。曾為Cyzicus的學校校長，擔任幾何學教師，著名于一時。他是系統(tǒng)地研究圓錐曲線的第一個人，建立最早圓錐取線的概念，并分為三類來研究它，所以后來的學者稱為梅內(nèi)克繆斯（Menaechmus）三曲線。2012/12/10梅內(nèi)克繆斯從西波克拉解決倍立方問題的研究中受到啟發(fā)。他取三種圓錐（即直角、銳角和鈍角的圓錐），用垂直于錐面一母線的平面截每種錐面，分別得到了拋物線、橢圓和雙曲線的一支。2012/12/10梅內(nèi)克繆斯曾當過當時亞歷山大大帝的老師，亞歷山大問梅內(nèi)克繆斯，是否可以專門為他把幾何搞得簡單一些。梅內(nèi)克謬斯則回答說："在大王的國家里有老百姓走的小路，也有國王您走的大道，然而在幾何里卻只有一條道路。"這個廣為流傳的故事出自古希臘晚期作家斯托比亞斯的著作之中。2012/12/10解析幾何的先驅(qū)2012/12/10

笛卡兒(René·Descartes)(1596-1650)

法國科學家、哲學家,

數(shù)學家，1596年3月13日，生于法國西部的希列塔尼半島上的圖朗城，3天后，母親去世，從小便失去母親的笛卡兒一直體弱多病。1649年10月，勒內(nèi).笛卡兒應瑞典女王克里斯蒂娜的邀請來到瑞典首都斯德哥爾摩，為這位19歲的姑娘講授哲學和數(shù)學，很遺憾由于笛卡兒對女王的生活習慣不適應，加上嚴寒冬天的威脅，這位偉大的數(shù)學家、物理學家和哲學家病倒了。1650年2月11日，這位科學巨人與世長辭了。

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笛卡兒他是以下列身份的結(jié)合來研究數(shù)學的，作為哲學家、作為自然界的探索者、作為一個關(guān)心科學用途的人．他的基本思想是要建立起一種普通的數(shù)學，使算術(shù)，代數(shù)和幾何統(tǒng)一起來．他曾說：“我決心放棄那些僅僅是抽象的幾何，這就是說，不再去考慮那些僅僅是用來練習思維的問題．我這樣做，是為了研究另一種幾何，即目的在于解釋自然現(xiàn)象的幾何．

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著作：《幾何學》．笛卡《幾何學》所闡述的思想，被彌爾稱作“精密科學進步中最偉大的一步”2012/12/10

笛卡兒的理論以兩個觀念為基礎：坐標觀念和利用坐標方法把帶有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線．2012/12/10

第三部分涉及高于二次方程的解法，指出了，方程可能有和它的次數(shù)一樣多的根，還提出了著名的笛卡兒符號法則．指出了多項式方程：f(x)=0的正根的最多數(shù)目等于系數(shù)變化的次數(shù)，而負根的最多數(shù)目等于兩個正號和兩個負號連續(xù)出現(xiàn)的次數(shù)．在他的《幾何學》中第一次出現(xiàn)變量與函數(shù)的思想．笛卡兒所謂的變量，是指具有變化長度而不變方向的線段，還指連續(xù)經(jīng)過坐標軸上所有點的數(shù)字變量，正是變量的這兩種形式使笛卡兒試圖創(chuàng)造一種幾何與代數(shù)互相滲透的科學．笛卡兒的功績是把數(shù)學中兩個研究對象“形”與“數(shù)”統(tǒng)一起來，并在數(shù)學中引入“變量”，完成了數(shù)學史上一項劃時代的變革2012/12/10

笛卡兒對韋達所采用的符號作了改進，他用字母表中開頭幾個字母a;b;c

等表示己知數(shù)，而用末尾幾個字母x;y;z等表示未知數(shù)，這種表示法一直沿用至今．他還考慮過高次拋物線(yn

=px;n>2)，并且給出了作擺線切線的相當精巧的方法．笛卡兒認為科學的本質(zhì)是數(shù)學．2012/12/10費馬是法國數(shù)學家，1601年8月出生于生活在富裕舒適的環(huán)境中．費馬小時候受教于他的叔叔皮埃爾，受到了良好的啟蒙教育，培養(yǎng)了他廣泛的興趣和愛好，對他的性格也產(chǎn)生了重要的影響．直到14歲時，費馬才入博蒙￠德￠洛馬涅公學，畢業(yè)后先后在奧爾良大學和圖盧茲大學學習法律在數(shù)學上，《數(shù)學論集》是費馬去世后由其長子將其筆記、批注及書信整理成書而出版的．我們現(xiàn)在早就認識到時間性對于科學的重要，即使在17世紀，這個問題也是突出的．費馬的數(shù)學研究成果不及時發(fā)表，得不到傳播和發(fā)展，并不完全是個人的名譽損失，而是影響了那個時代數(shù)學前進的步伐2012/12/10

費馬在研究阿波羅尼奧斯著作時發(fā)現(xiàn)，如果通過坐標系把代數(shù)用于幾何，軌跡的研究就易于進行，他定義了以下曲線：直線方程為：b=d=(a?x)=y；橢圓方程為：a2?x2=ky2；雙曲線方程為：xy

=k2;a2+x2=ky2；拋物線方程為：x2=ay;y2=ax．后來又寫了一篇短文《平面與立體軌跡引論》(1679年表)，提出了一個很重要的命題：兩個未知量決定一個方程式，對應著一條軌跡可以描繪一條直線或曲線．1643年他又在一封信中描述了三維解析幾何的思想．2012/12/101629年以前，費馬便著手重寫公元前三世紀古希臘幾何學家阿波羅尼奧斯（與歐幾里得、阿基米德齊名的古希臘數(shù)學家，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果）失傳的《平面軌跡》一書。他用代數(shù)方法對阿波羅尼奧斯關(guān)于軌跡的一些失傳的證明作了補充，對古希臘幾何學，尤其是阿波羅尼奧斯圓錐曲線論（蘇注：圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線。對于圓錐曲線，后文需用它說明一個問題，到那時，我再對它作出較詳細的解釋）進行了總結(jié)和整理，對曲線作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰寫了僅有八頁的論文《平面與立體軌跡引論》（蘇注：即研究“點”在平面和立體空間中運動劃出的“軌跡”，主要指直線和各種曲線。費爾馬又是用代數(shù)方法研究的，所以與笛卡爾的類似。笛卡爾坐標中實際也是將直線和曲線看成點的運動軌跡的，所以又叫“變數(shù)”?！包c的坐標”有規(guī)律地變化，就“跑”出了一條拋物線或雙曲線……）。

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費馬一生從未受過專門的數(shù)學教育，數(shù)學研究也不過是業(yè)余之愛好．然而，在17世紀的法國還找不到哪位數(shù)學家可以與之匹敵：他是解析幾何的發(fā)明者之一；對于微積分誕生的貢獻僅次于牛頓、萊布尼茨，概率論的主要創(chuàng)始人，以及獨承17世紀數(shù)論天地的人．此外，費馬對物理學也有重要貢獻．一代數(shù)學大才費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數(shù)學家．2012/12/10把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，就是數(shù)形結(jié)合的思想。數(shù)形結(jié)合思想就是要使抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來.

2012/12/10數(shù)形結(jié)合思想：數(shù)（式）形“幾何意義”觀察形的變化得出結(jié)論2012/12/10A從點P(m,3)向圓引切線，則切線長最小值為--------。(x+2)2(y+2)2+=126YXO3-2-2PPP2012/12/10直線l

過點M(-1,2)且與以P(-2,-3)、Q(4,0)為端點的線段相交，則l斜率的取值范圍是------------。2YXO4-2-3-1MPQππ2YXO[5,+∞)∪(-∞,]522012/12/10已知雙曲線的右焦點為F，

點A(9,2)不在雙曲線上，在這個曲線上求一點M，使最小，并求出這個最小值。9x2y216=1MA35MF+2YXO9-235-3-5A(9,2)FMdM2012/12/10YXO5-5-44已知x，y滿足條件，求y-3x的最值。x216+y225=1y-3x最大值為：13y-3x最小值為：-132012/12/10圓錐曲線的歷史兩千多年前，古希臘數(shù)學家最先開始研究圓錐曲線，并獲得了大量的成果。古希臘數(shù)學家阿波羅尼（Apollonius)(約公元前262-前190）采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。著有《圓錐曲線》一書，全書共八卷，含487個命題，古希臘幾何的登峰造極之作.用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經(jīng)取得了今天高中數(shù)學中關(guān)于圓錐曲線的全部性質(zhì)和結(jié)果。256/20/202425圓錐曲線的歷史在阿波羅尼的《圓錐曲線》問世后的13個世紀里，整個數(shù)學界對圓錐曲線的研究一直沒有什么新進展。11世紀，阿拉伯數(shù)學家曾利用圓錐曲線來解三次代數(shù)方程，12世紀起，圓錐曲線經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，但當時對圓錐曲線的研究仍然沒有突破。直到16世紀，有兩年事促使了人們對圓錐曲線作進一步研究。德國天文學家開普勒（Kepler,1571~1630）繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽運行的事實；意大利物理學家伽利略（Galileo,1564~1642）得出物體斜拋運動的軌道是拋物線。人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，而且是自然界物體運動的普遍形式。266/20/202426圓錐曲線與天文學天文從圓開始地心說的起源很早，最初由古希臘學者歐多克斯提出，經(jīng)亞里士多德完善以地球為中心，以太陽、月亮及其他星球的圓形軌跡為邊際的球體式宇宙體系這種模型經(jīng)常出現(xiàn)與實際觀察數(shù)據(jù)不符中國古代的蓋天說與渾天說都是地心說。276/20/202427圓錐曲線與天文學公元150年左右，天文學家托勒密（ClaudiusPtolemy）對這體系進行了修改，引進更多的圓，當一個圓在旋轉(zhuǎn)的同時，圓心也在繞另外一個圓周運動，這個數(shù)學模型延續(xù)了1000多年286/20/202428圓錐曲線與天文學16世紀，天文學家哥白尼提出了新的天體模型：日心說.以太陽為中心，通過這一改變，可以把復雜的圓周的總數(shù)從77個減少到31個，當仍然用圓作為天體運行的軌跡模型，其計算結(jié)果并不完全符合觀測到的事實.296/20/2024291600年，天才觀察家第谷邀請開普勒（Kepler）稱為他的助手兩人經(jīng)常爭吵，同時多次和解，共事18個月，第谷去世，開普勒接受了第谷一生所有的觀測數(shù)據(jù)開普勒憑借其過人的數(shù)學才能與堅忍不拔的毅力，經(jīng)過多年的艱苦探索后，提出了影響巨大的三個定律306/20/202430圓錐曲線與天文學開普勒三定律行星的軌道是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上.太陽與行星的連線在相等時間內(nèi)掃過相等的面積.行星在軌道上運行一周所需時間的平方與軌道主軸的立方成正比

316/20/202431圓錐曲線與天文學開普勒被譽為“天空的立法者”。通過對數(shù)據(jù)的整理而獲得的，是否有更一般的定理？1684年8月，哈雷訪問牛頓，哈雷問：如果太陽的引力與行星離太陽距離的平方成反比，行星運行的曲線會是什么樣的呢？牛頓馬上回答：會是一個橢圓兩年后，《自然哲學的數(shù)學原理》，其核心是牛頓三大運動定律及萬有引力定律326/20/2024圓錐曲線與天文學怎樣由萬有引力定律推到出開普勒第三定律？向心力，其中m是物體質(zhì)量，v是速度，r是圓周長

假設

336/20/2024圓錐曲線與天文學數(shù)學之用有時需要等待漫長的時間，圓錐曲線的歷史為此提供了一個極為典型的例證.346/20/20241579年蒙蒂（GuidobaldodelMonte,1545~1607）橢圓定義為：到兩個焦點距離之和為定長的動點的軌跡。從而改變了過去對圓錐曲線的定義。不過，這對圓錐曲線性質(zhì)的研究推進并不大，也沒有提出更多新的定理或新的證明方法。356/20/2024橢圓的光學性質(zhì)

從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上。366/20/2024雙曲線的光學性質(zhì)

從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上376/20/2024拋物線的光學性質(zhì)從拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的對稱軸。一束平行光垂直于拋物線的準線，向拋物線的開口射進來，經(jīng)拋物線反射后，反射光線匯聚在拋物線的焦點。386/20/2024格雷戈里反射望遠鏡格雷戈里(Gregory)（1638~1675），蘇格蘭數(shù)學家，1663年，在論文《光學的進展》中，提出了他設計的反射望遠鏡的方案兩個反射鏡和一個透鏡主鏡是一個中間帶小孔的拋物面鏡，附屬的第二個反射鏡是凹形橢圓面鏡396/20/2024牛頓反射望遠鏡1668年，牛頓發(fā)明了一個與格雷戈里不同的反射望遠鏡把第二個反射鏡換成了平面鏡，這面鏡的反光面正好和望遠鏡的主軸成45°制造工藝簡單，可達到很高精度現(xiàn)在仍在天文愛好者中流行406/20/2024卡塞格林反射望遠鏡1672年，卡塞格林發(fā)明了另一種天文望遠鏡，他的設計方案極為巧妙主鏡仍是拋物面，但第二個反射鏡換成了一個雙曲面的凸面鏡，這兩個反射鏡的焦點重合，這樣光線經(jīng)拋物面反射后匯聚到雙曲面的一個焦點，在匯聚前右由雙曲面反射到雙曲面的另一個焦點，在哪里聚焦成像。在成像處附近正是鏡筒底部的小窗口，在那里安置目鏡。416/20/2024天文望遠鏡解析幾何的誕生推動了天文望遠鏡設計的發(fā)展有了解析幾何，人們就不必再猜測某種曲面反射鏡的光學性質(zhì)，而是在這種反射鏡實際制造出來之前就可以用代數(shù)方法計算出其光學性質(zhì)。橢圓拋物面反射鏡、雙曲拋物面反射鏡與拋物面反射鏡結(jié)合426/20/2024杰尼西亞的耳朵西西里島上舒古拉帝國暴君杰尼西亞往往把囚徒關(guān)在一個山洞里，囚徒們多次密謀逃跑，但秘密的計劃總是被杰尼西亞所發(fā)現(xiàn)。起初，囚徒們以為獄友中有內(nèi)奸，他們互相指責、懷疑，但始終沒有發(fā)現(xiàn)任何一個囚徒在告密。

后來