兩直線的位置關(guān)系講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)課43兩直線的位置關(guān)系考點考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)兩條直線平行與垂直掌握2023年北京卷T★★☆直觀想象數(shù)學(xué)運算兩條直線的交點與距離掌握2023年新高考Ⅰ卷T2020年全國Ⅱ卷T★★☆直觀想象數(shù)學(xué)運算命題分析預(yù)測從近幾年高考的情況來看，命題熱點是利用兩條直線平行、垂直的條件求參數(shù).預(yù)計2025年高考命題情況變化不大，在復(fù)習(xí)常規(guī)考法的同時，注意知識間的綜合訓(xùn)練一、兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程y=kA1x相交kA垂直k②A平行k1=A1B重合k1=A二、兩條直線的交點坐標(biāo)已知兩條直線l1：A1x+B【提醒】方程組有唯一解?相交,三、三種距離點點距點P1x1,P1P點線距點P0x0,d線線距兩條平行直線Ax+By+Cd確定方程含參數(shù)的直線所過定點的方法1.將直線方程寫成點斜式y(tǒng)?y02.將直線方程整理成參數(shù)方程，由方程中各項系數(shù)及常數(shù)項為0確定定點.3.先給參數(shù)取兩個不同的值，再解直線方程構(gòu)成的方程組，從而確定定點坐標(biāo).題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對的打“√”,錯的打“×”）（1）當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時,一定有k1（2）已知直線l1：A1x+B1y+C（3）如果兩條直線l1與l2垂直,那么它們的斜率之積一定等于?1（4）若兩直線的方程組成的方程組有唯一解,則兩直線相交.(√)2.（多選題）（易錯題）已知直線l1：x+ayA.l2始終過點23,13 B.若C.若l1⊥l2，則a=0或a【易錯點】A1[解析]直線l2：ax?2y+3y?1=0恒過點(23,13)，故A正確；當(dāng)a=1時，l1，l2重合，故題組2走進教材3.（人教A版選修①P80?T14改編）已知A?3,?4,B[解析]因為A?3,?4,B6,3到直線l：ax4.（人教A版選修①P79?T8改編）已知四邊形ABCD為正方形，頂點A1,1，邊BC所在的直線方程為x+[解析]由題意得kBC=?13，因為AB⊥BC，所以kAB=3，所以邊AB所在的直線方程為y?1=3x?1，整理得3x?y?2=0.又正方形ABCD的邊長d=1+3?141題組3走向高考5.[2020·山東卷]直線2x+3y?6=A.3x?2y?10=0 B.3x[解析]在2x+3y?6=0上任取兩點3,0,0,2，這兩點關(guān)于點?1,2的對稱點分別為?考點一兩直線的平行與垂直［自主練透］1.[2024·河北模擬]“λ=3”是“直線2λ?3xA.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件[解析]∵直線2λ?3x∴2λ∴λ=3或λ=?1，而“λ∴“λ=3”是“直線2λ?3x2.[2024·山東模擬]已知過點A?2,m和點Bm,4的直線為l1,直線2x+y?1=0為A.?10 B.?2 C.0[解析]∵l1//l2,∴4?m∵l2⊥l3∴m+n3.[2024·臨川模擬]（多選題）已知直線l：a2+aA.直線l恒過點0B.當(dāng)a=?1時，直線l與直線C.若直線l與直線x?yD.當(dāng)a=0時，直線[解析]對于A，當(dāng)x=0時，y=1，與a的取值無關(guān)，故直線l恒過點對于B，當(dāng)a=?1時，直線l的方程為x?y+1=對于C，若直線l與直線x?y=0平行，則a2+a對于D，當(dāng)a=0時，直線l的方程為x?y+1=兩直線位置關(guān)系的判斷方法已知兩直線的斜率存在兩直線平行?兩直線的斜率相等且坐標(biāo)軸上的截距不相等；兩直線垂直?兩直線的斜率之積為?已知兩直線的斜率不存在當(dāng)兩直線在x軸上的截距不相等時，兩直線平行，否則兩直線重合已知兩直線的一般方程設(shè)直線l1：A若l1//l若l1考點二直線的交點坐標(biāo)與距離公式［自主練透］1.若直線y=x+2k+1與直線A.?52,12 B.?2[解析]y=x+2k+1,2.[2024·重慶模擬]設(shè)直線l1：x+3y?7=0與直線lA.5 B.15 C.255[解析]聯(lián)立兩直線方程x+3y?7=0,x?y+3.[2024·江蘇統(tǒng)考]已知兩條平行直線3x?y+3=0和A.a=3,d=110 B.a=3,d=1010[解析]由兩直線平行得3×?1=?1?a變式設(shè)問（雙空題）若將題3中的條件“ax?y+4=0”改為“6x[解析]由題意得,36=?則6x?2y+所以d=1.求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.2.利用距離公式解題的注意點（1）點Px0,y0到直線x=a（2）在應(yīng)用兩平行線間的距離公式時要把兩直線方程中x,y的系數(shù)分別化為相等的系數(shù).考點三對稱問題［多維探究］點關(guān)于點對稱典例1若過點P0,1作直線l，使它被直線l1：2x+y?[解析]設(shè)l1與l的交點為Aa,8?2a，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B?a,2a?6在l2上，將B?a,2a?6點關(guān)于點的對稱若點Mx1,y1和點Nx,點關(guān)于線對稱典例2[2024·南寧診斷]如圖，一次函數(shù)y=x+4的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，已知C?2,0，E，F(xiàn)分別為直線y=x+A.E?52,32，C.E?52,32，[解析]如圖，作C?2,0關(guān)于y軸的對稱點G2,0，作C?2,0關(guān)于直線y=x所以FG=FC,此時△CEF即EC+因為C?2,0，直線所以ba+所以D?4,2，所以直線即y=?由y=x+4,令x=0，得y=23，所以F點關(guān)于直線的對稱若點P1x1,yA?x1+x22+B?y1+線關(guān)于點對稱典例3直線y=3x?4關(guān)于點[解析]在對稱直線上任取一點Ax,y,則Ax,y關(guān)于點P1,1對稱的點為A直線關(guān)于點的對稱1.在已知直線上取兩點，先利用點關(guān)于點對稱，求出對稱點的坐標(biāo)，再利用兩點式求直線方程.2.在已知直線上取一點求對稱點，利用關(guān)于一點對稱的兩條直線平行，求直線方程.3.在對稱直線上取一點x,線關(guān)于線對稱典例4（1）直線x?2y?1=A.2x?y+1=0 B.2x[解析]在直線x?2y?1=0上任取一點Pa則y1?bx1因為點Py1,x1在直線x?2y?1（2）已知直線l1：x?y+2=0，直線l：x[解析]由題意知l1//l2，設(shè)直線l2設(shè)點M關(guān)于直線l的對稱點為M'a解得a=3,b=?1，即M'3,?1，將M'3,?直線關(guān)于直線的對稱1.若直線與對稱軸平行，則在直線上取一點，求出該點關(guān)于軸的對稱點，然后用點斜式求解；2.若直線與對稱軸相交，則先求出交點，然后再取直線上一點，求該點關(guān)于軸的對稱點，最后由兩點式求解.（一題練透）已知直線l:2x?（1）點P關(guān)于直線l的對稱點P'[解析]設(shè)P'x解得x=?3313（2）直線m:3x?2y?[解析]在直線m上取一點M2則M2,0關(guān)于直線l的對稱點M設(shè)對稱點M'a解得M'設(shè)直線m與直線l的交點為N，聯(lián)立2x?3y+又直線m'經(jīng)點N4,3，所以由兩點式得到直線（3）（一題多解）直線l關(guān)于點P的對稱直線l'[解析]（法一）在直線l:2x?3y+則A，B關(guān)于P?1,?2的對稱點A'易得A'?3再由兩點式可得直線l'的方程為2x（法二）因為l//所以設(shè)直線l'的方程為2x又因為點P?1,?2到兩直線所以由點到直線的距離公式得，?2解得C=?9，所以直線l'考點四直線系方程［多維探究］平行直線系方程典例5過點A2,1且與直線3x[解析]設(shè)與直線3x?2y+5=0平行的直線方程為3x?垂直直線系方程典例6（同源變式）若將典例5中的“平行”改為“垂直”，其他條件不變，則滿足題意的直線方程為2x+[解析]設(shè)與直線3x?2y+5=0垂直的直線方程為2x+兩直線交點的直線系方程典例7（一題多解）已知兩條直線l1：x?3y?4=0與l[解析]（法一：利用點斜式方程）解直線l1與直線l2組成的方程組得到交點P?2,?2，因為直線l3的斜率k3（法二：利用垂直直線系方程）設(shè)所求直線l的方程為5x?2y+m=0，由法一可知P?2,?（法三：利用兩直線交點系直線方程）設(shè)所求直線l的方程為x?3y?4+λx+y+4=0幾種常見的直線系方程1.與直線Ax+By+2.與直線Ax+By+3.過直線l1：A1x+B（一題練透）已知直線l1：x+y?4（1）求過點P且與直線l3平行的直線l[解析]（法一:利用平行直線系方程）設(shè)所求直線l的方程為2x?y+m=0m≠?1，解直線l1與直線l2（法二：利用兩直線交點直線系方程）設(shè)所求直線l的方程為x+y?4+λx?y+2=0（2）求過點P且與直線l3垂直的直線l[解析]（法一:利用垂直直線系方程）設(shè)所求直線l的方程為x+2y+m=0，