成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第頁基礎(chǔ)課52成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)回歸分析掌握2023年天津卷T2022年全國乙卷T2020年全國Ⅱ卷（理）T★★★數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理獨(dú)立性檢驗(yàn)理解2023年全國甲卷（理）T2023年全國甲卷（文）T2022年新高考Ⅰ卷T2022年全國甲卷（文）T★★☆數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理命題分析預(yù)測從近幾年高考的情況來看，對回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)的考查比較頻繁，一般以解答題的形式出現(xiàn)，預(yù)測2025年高考還會(huì)延續(xù)近幾年高考的命題特點(diǎn)，特別是以社會(huì)現(xiàn)實(shí)問題為背景并與概率相結(jié)合的統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例的綜合題是今后命題的重點(diǎn)與難點(diǎn).本基礎(chǔ)課易設(shè)置多選題，所以在復(fù)習(xí)備考中，要注意對多選題的訓(xùn)練，做到科學(xué)全面?zhèn)淇家?、變量的相關(guān)關(guān)系1.相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量①有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.2.相關(guān)關(guān)系的分類：②正相關(guān)和③負(fù)相關(guān).3.線性相關(guān)：一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在④一條直線附近，我們稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).二、樣本相關(guān)系數(shù)1.r=2.當(dāng)r>0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)⑤正相關(guān)；當(dāng)r<3.r≤1.當(dāng)r越接近1時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越⑦強(qiáng)；當(dāng)r越接近0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越⑧三、一元線性回歸模型1.我們將y=bx+a其中b=∑ni=2.殘差：觀測值減去⑩預(yù)測值，稱為殘差.四、2×1.關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×XY合計(jì)YYXabaXcdc合計(jì)abn2.計(jì)算隨機(jī)變量χ2=nad?bc2a+bcα0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【提醒】H01.求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)a，b，應(yīng)充分利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(x，y2.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算的y值，僅是一個(gè)預(yù)測值，不是真實(shí)發(fā)生的值.3.根據(jù)χ2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若χ題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對的打“√”,錯(cuò)的打“×”）（1）“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平呈正相關(guān).(√)（2）通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx（3）只有兩個(gè)變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回歸模型才有預(yù)測價(jià)值.(√)（4）若事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的值越大.(√2.（易錯(cuò)題）從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生,其身高x（單位：cm）與體重y（單位：kg）的數(shù)據(jù)如表所示：x165165157170175165155170y48575054m614359已知表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，記作m，由最小二乘法求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=0.8x?77.7，則當(dāng)選取的女大學(xué)生身高為175【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視經(jīng)驗(yàn)回歸直線過x,y，從而直接代入175求[解析]由表格中數(shù)據(jù)知x=165.25，點(diǎn)x,y在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，代入回歸方程得y=題組2走進(jìn)教材3.（雙空題）（人教A版選修③P103·練習(xí)T2改編）已知變量x和變量y的3對隨機(jī)觀測數(shù)據(jù)為2,2，3,?1，5,?7，兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù)r[解析]x=2+3+534.（人教A版選修③P138·T2改編）根據(jù)變量Y和變量x的成對樣本觀測數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型Y=bx+a+A.滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè)B.不滿足一元線性回歸模型的EeC.不滿足一元線性回歸模型的DeD.不滿足一元線性回歸模型的Ee=0[解析]由一元線性回歸模型{Y=bx+a+e,Ee=題組3走向高考5.[2023·全國甲卷節(jié)選]一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.經(jīng)計(jì)算，40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)為23.4，且兩樣本中小于23.4與不小于23.4的個(gè)數(shù)的列聯(lián)表如下：<≥合計(jì)對照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040問：能否有95%附：K2P0.1000.0500.010k2.7063.8416.635[解析]由公式代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得K2=40考點(diǎn)一成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性［自主練透］1.已知某校50名學(xué)生的身高和體重的散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說法正確的是(C).A.身高越高，體重越重 B.身高越高，體重越輕C.身高與體重成正相關(guān) D.身高與體重成負(fù)相關(guān)[解析]由圖可知，身高與體重成正相關(guān)，故C正確，D錯(cuò)誤.但身高與體重不成函數(shù)關(guān)系，故A,B錯(cuò)誤.故選C.2.[2023·天津卷]調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中樣本相關(guān)系數(shù)r=0.8245，則下列說法正確的是(A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)C.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的樣本相關(guān)系數(shù)一定是0.8245[解析]根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A錯(cuò)誤；散點(diǎn)的分布是從左下到右上，所以花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B錯(cuò)誤，C正確；由于r=0.8245是全部數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245，D錯(cuò)誤.故選3.（多選題）5G技術(shù)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，5G手機(jī)的銷量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了近5個(gè)月來月份月份編號x銷量y/2023年2月1372023年3月21042023年4月3a2023年5月41962023年6月5216若y與x線性相關(guān)，且求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=45x+A.aB.y與x正相關(guān)C.y與x的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)D.8月份該手機(jī)商城的5G[解析]由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得x=15于是37+104+a+由經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的x的系數(shù)為正可知，y與x正相關(guān)，且其樣本相關(guān)系數(shù)r>0，故B正確，C錯(cuò)誤；8月份時(shí)，x=7，y=判斷兩個(gè)變量相關(guān)性的三種方法畫散點(diǎn)圖點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<經(jīng)驗(yàn)回歸方程當(dāng)b>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)考點(diǎn)二回歸分析［多維探究］線性回歸分析典例1某高三實(shí)驗(yàn)班共有60名學(xué)生參加某次考試，從中隨機(jī)挑選出5名學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)成績x與物理成績y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：數(shù)學(xué)成績x/145130120105100物理成績y/110901027870數(shù)據(jù)表明y與x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.（1）求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）該班一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?10分，利用（1）中的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，估計(jì)該學(xué)生的物理成績.參考公式:y=bx[解析]（1）由題意，可知x=120，故b=a=y?（2）當(dāng)x=110時(shí)，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的三個(gè)步驟非線性回歸分析典例2[2024·深圳模擬]數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮3×3內(nèi)的數(shù)字均含1?9，不重復(fù).數(shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國數(shù)獨(dú)大賽初級組的比賽，賽前小明在某數(shù)獨(dú)x/1234567y/990990450320300240210（1）現(xiàn)用y=（2）請用第（1）題的結(jié)論預(yù)測，小明經(jīng)過100天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度y約為多少秒？參考數(shù)據(jù)(其中ti∑t∑18450.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1，u2,v2，?，[解析]（1）由題意，y=17×990+990+450則有b=則a=500?又因?yàn)閠=1x，所以y關(guān)于x（2）當(dāng)x=100時(shí)，所以經(jīng)過100天訓(xùn)練后，小明每天解題的平均速度約為140秒.有些非線性回歸分析問題并不給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）的圖象進(jìn)行比較，挑選一種跟散點(diǎn)圖擬合得最好的函數(shù)模型，用適當(dāng)?shù)淖兞窟M(jìn)行變換，把問題化為一元線性回歸分析問題，使之得到解決.其一般步驟為：1.[2024·安慶模擬]（多選題）某市物價(jià)部門對5家商場的某商品一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場的售價(jià)x（單位：元）和銷售量y（單位：件）之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：售價(jià)x/99.51010.511銷售量y/1110865根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸直線方程是y=?3.2x+A.a=40 C.當(dāng)x=8.5時(shí)，y的估計(jì)值為12.8 D.點(diǎn)[解析]由表中數(shù)據(jù)得x=15×9+9.5+10+10.5+11=10，y=15×11+10+8+2.[2024·珠海模擬]中國茶文化博大精深，已知茶水的口感與茶葉類型以及水溫有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以達(dá)到最佳口感.某學(xué)習(xí)研究小組通過測量，得到了下面表格中的數(shù)據(jù)（室溫是泡制時(shí)間x01234水溫y8579747165ln4.24.14.03.93.8（1）小組成員根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖分布情況，考慮到茶水溫度降到室溫（即20℃）就不能再降的事實(shí)，決定選擇函數(shù)模型y①令z=lny?20，求出②利用①的結(jié)論，求出y=kcx+（2）你認(rèn)為該品種綠茶用85℃參考數(shù)據(jù)：log0.90.6≈4.8,e?0.1≈0.9,e4.2[解析]（1）①設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為z=由題意，得x=0+∴∑∑5則b=a=則z關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為z=?②由y=kc兩邊取對數(shù)得lny利用①的結(jié)論得lnc=?0.1∴c=e（2）由（1）得y=令y=60，得∴該品種綠茶用85℃的水泡制4.8考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)［師生共研］典例3某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量分為一等品和二等品，該企業(yè)計(jì)劃對現(xiàn)有的生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取200件產(chǎn)品作為樣本，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：一等品二等品合計(jì)設(shè)備改造前12080200設(shè)備改造后15050200合計(jì)270130400附：χ2α0.0500.0100.001x3.8416.63510.828依據(jù)α=[解析]零假設(shè)為H0χ2∴H0不成立，依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟1.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2.根據(jù)公式χ23.比較χ2[2022·全國甲卷]甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營，為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；（2）能否有90