2024山西省太原市五中高三下學期一模數(shù)學試題及答案

太原五中2023—2024學年度第二學期校一模且AE則（）高三數(shù)學A．16B．12C．8D．-4的母線,側面積為,若正四面體ABCD能在圓錐51111時間：2024.5一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求．內(nèi)任意轉動,則正四面體ABCD的最大棱長為（）111132A．1B．6C．D．3）,則R,集合Axx2x3,Byyx,則CRBA（）22naT1a（）8．設數(shù)列a的前項之積為T,滿足（nN*nnnnxxxxA．{-1＜＜2}B．{2＜＜3}C．{xxxx＜3}D．{-1＜＜0}404840474049A．B．C．D．i)1i240492．復數(shù)z的共軛復數(shù)為（）1i二、選擇題：本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求的,全部選對得部分分,有選錯的得0分．1i1i1iA．B．,條件p:C．D．f(x)Asin(xA)(0)的圖象與x軸的其中兩個231,條件q:sin3．設,則p是q的（）222交點為A、B,與y軸交于點C,D為線段BC的中點,OBOC,OAA．充分不要條件C．充要條件B．必要不充分條件221AD,則（）D．既不充分也不必要條件34．甲,乙兩名同學要從A、B、C、D四個科目中每人選取三科進行學習,則兩人選取的科目不完全相同的概率為（）f(x)x8對稱A．的圖象不關于直線f(x)3385834B．C．D．的最小正周期為A．B．C．D．f(x2)的圖像關于原點對稱x22y22a=1(、b均為正值)的漸近線的傾斜角為,該雙曲線與5．設雙曲線-ab在7單調(diào)遞減f(x)x2y2f(x)xRf(3x)f(1x)0,都有=（）=1的離心率之積為1,且有相同的焦距,則10．已知函數(shù)的定義域為R,且,橢圓+433173x0時，f(x),f(x)f(xf(，f(),當22則下列說法正確的是（）2243732A．B．C．D．72的圖象關于點0對稱f(x)A．函數(shù)6．在中,BCABCBA,設點D為的中點,上，2高三數(shù)學·校一模第1頁共頁)高三數(shù)學·校一模第2頁(共6頁)f2的學習時間的相關關系,針對本校49名考生進行了解,其中每周學習物理的B．時間不少于12小時的有21位學生,余下的人中,在物理考試中平均成績不足f(2023)f(2024)f(2025)2C．5120分的學生占總人數(shù)的,統(tǒng)計后得到以下表格：7f(x)ylnx的圖象有8個不同的公共點D．函數(shù)與函數(shù)大于等于120分120分82111．外接圓半徑為2的滿足A3cosBC4,則下列選項正確學時不少于12的是（）學時不足1242549A.BCB.AC.的面積是D.的周長是(Ⅰ)請完成上面的2×2列聯(lián)表,能否有97.5%的把握認為“物理成績與自主物理的學習時間有關”？三.填空題：本大題共3小題,每小題5分,共15分．(Ⅱ)若將頻率視為概率,從全校大于等于120分的學生中隨機抽取20人,求這些人中周自主學習時間不少于12小時的人數(shù)的期望和方差．12．化簡Cn1Cn2Cn332n1Cnn．cc22Cn(adbc)2(ab)(cd)(acbd)中,內(nèi)角,B,C所對的邊分別是a,,c,已知2,附：K=2b2aBK2≥k0)0.1002.7060.0503.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.001334那么A,設邊的中點為D,若a7,且的面積為,則k010.828的長是．x214．已知橢圓y2O為原點,過第一象限內(nèi)橢圓外一點P(x,y)作橢圓00216．(本小題滿分15分)如圖,在四棱錐P中,底面//CD,是直角梯形,,.記直線,,,k,k,k,k的斜率分別為,1234的兩條切線,切點分別為1,22.kk,則5x3y0kk的最小值是3若．12044(Ⅰ)點E在側棱//平面EAC,E在側棱上的位置;四、解答題：本大題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟．15．(本小題滿分13分)(Ⅱ)若平面平面ABCD,生不會的內(nèi)容.某一教育部門為調(diào)查在此模式下學生的物理成績與學習物理且22,求二面角AB的余弦值.高三數(shù)學·校一模第3頁共頁)高三數(shù)學·校一模第4頁(共6頁)17．(本小題滿分15分)fxa已知函數(shù)()xex1aR的圖象在x0處的切線過點()2.在，上的最小值;f(x)(Ⅰ)求f(x)在0(Ⅱ)判斷內(nèi)零點的個數(shù),并說明理由.318．(本小題滿分17分)2,0、B2,0,直線和直線相交于點P,且直線和直已知點1線的斜率之積為.2(Ⅰ)求點P的軌跡所對應的曲線F的方程；l:y1兩點,若Q2是否存在實數(shù)k,D,E(Ⅱ)直線與曲線F相交于4使得的面積為？若存在,請求出k的值；若不存在,請說明理由.319．(本小題滿分17分)1且aaa(a為“指數(shù)型數(shù)列”.n0an,mN,都有給定數(shù)列,若滿足,對于任意的nanmanaa,則稱數(shù)列ma1*nnn1n1nN,判斷數(shù)列a(Ⅰ)已知數(shù)列滿足n11是不是“指數(shù)型數(shù)列”？若是,請給出證明,若不是,請說明理由;ana2a3aNa,證明:數(shù)列中naa1*(Ⅱ)若數(shù)列n任意三項都不能構成等差數(shù)列.高三數(shù)學·校一模第5頁共頁)高三數(shù)學·校一模第6頁(共6頁)太原五中高三?？紨?shù)學題第卷（選擇題）8540分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1RAxx2-2x-3＜0}Byyx2}(CRBA（）A{x-1＜x＜2}B{x2＜x＜3}C{xx＜3}D{x-1＜x<0}【答案】x-1＜x＜3}，CRByy<0}，∴A∩(CRBx-1＜x＜0}i)1i22．復數(shù)Z1的共軛復數(shù)為（1iB．）A．iC．1i1iD．i)1i2(ii)【答案】CZ==-1-i，∴共軛復數(shù)為-1+i2313．設，條件p:，條件q:sin，則p是q的（）2．充分不要條件B．必要不充分條件C．充要條件．既不充分也不必要條件22312【答案】當cos2sin，26133而sin得或，cos或，26622p是q的充分不必要條件4BCD四個科目中每人選取三科進行學習，則兩人選取的科目不完全相同的概率為3385834A．B．C．【答案】D4×4=16種，科目完全相同434的方法共有4×1=4種，∴科目不完全相同方法共有12種，P1.x22y225-=1(ab均為正值)的漸近線的傾斜角為abx2y2橢圓+的離心率之積為1，且有相同的焦距，則sin=433732A．D．72Cc=1a2+b2=1cc22a2b2ba22ba22b離心率之積為1得=21433∴aaa2a3=3，又0，∴=226．在中，BC,ABCBA，設點D為的中點，上，2且AEBD則（）A．16B．12C．8D．-4【答案】0，B0,c6，D3設E，b，8b由題意可知AEBD，所以88AEBD0.即，b0所以.3.所以E.所以.故選33的最大棱長為（7.已知圓錐的母線能在圓錐內(nèi)任意轉動，則正四面體）32．1．．D．3【答案】B【詳解】如圖，在圓錐半徑為，中，設圓錐母線長為，底面圓因為側面積為，所以，即．因為，所以，所以．棱長為的正四面體則正方體的棱長為如圖所示，的正四面體的外接球半徑為．取軸截面則，設內(nèi)切圓的半徑為，，解得，即圓錐的內(nèi)切球半徑為．因為正四面體，即能在圓錐內(nèi)任意轉動，所以，所以正四面體的最大棱長為．8．設數(shù)列a的前項之積為T，滿足an1（nNn（）*nnn4048404940474049．．．D．【答案】B【詳解】因為aTnN)，nn13所以1T1，即aa1，所以1，111nnnnN*)T0，顯然n所以所以，n1112(nnN)*，nn1111所以數(shù)列{}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，nT11132(n2n1所以，n1121即n，所以．2n1121故選：B．3618分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得部分分，有選錯的得0分．9．如圖，函數(shù)的圖象與x軸的其中兩個交點為ABy軸交于點D為線段BC的中點，，，，則（．）的圖象不關于直線的最小正周期為對稱B．C．．的圖像關于原點對稱單調(diào)遞減在【答案】ACD【詳解】由題可，，，則，有，，，，把代入上式，得，由，解得負值舍去)，，，解得，，解得，，對，，故A正確；對B：的最小正周期為，故B錯誤；對C：確；，為奇函數(shù)，故C正對：當正確.時，，在單調(diào)遞減，為奇函數(shù)，故D故選：ACD.10．已知函數(shù)的定義域為，且，都有，當，，，時，，則下列說法正確的是（）．函數(shù)B．的圖象關于點與函數(shù)對稱C．．函數(shù)【答案】的圖象有8個不同的公共點【詳解】由由得函數(shù)關于關于對稱，A正確；得函數(shù)對稱，所以所以所以，，，即，，故函數(shù)的周期為，，由又知，時，，所以，，解得，所以所以時，，B正確；，C錯誤；畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象，如圖：，觀察圖象可得函數(shù)與函數(shù)的圖像有8個不同的公共點，D正確.故選：ABD.、外接圓半徑為2的滿足2sinA3cosBC則下列選項正確的是（）．BCB．A425C．．【答案】AC【詳解】即，,，，，，，，,,,故選第Ⅱ卷（非選擇題）三.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.化簡C1nC2nC3n32n1Cnn．33n【答案】23【詳解】Cn1Cn2Cn332n1CCnn1n22Cn223C3n2Cnnn2312nCn033n22cc22sinCsinB13.在,B,C所對的邊分別是a,b,c2b2a334A，設邊的中點為D，若a7，且的面積為，則AD的長是．【答案】6023sinCsinBc1）在中，由正弦定理得，，bcc22sinCsinBcc22c因為，所以，2b2a2b2ab化簡得，b2c2abc，2b2c2a212在中，由余弦定理得，cosA，π又因為0Aπ，所以A3123334由△ABC由abcA，得bc3，42b2c2bccosA，得7b2c23，所以b2c10．21又因為邊的中點為D，所以ADABAC，2所以()121211222b2c2bcA232x214.已知橢圓yO為原點，過第一象限內(nèi)橢圓外一點Px作橢圓的兩0022條切線，切點分別為A，B．記直線,OB,,PB的斜率分別為k,k,k,k，若12341kk，則5x3ykk1240034【答案】51【詳解】由于kk0，故,B不關于x軸對稱且,B的橫縱坐標不為0，124所以直線AB方程斜率一定存在，設直線AB的方程為yt，聯(lián)立x2y21得，212kx4ktxt20，2221k2t221k22設Ax,y,Bx,y，則xx,xx，1121212t1t2kxx1xt2故122122t22412k2k2t2k2t2，12k2212k211y22其中1,k2，1y214yyxx故，即，xx41212128k2t2t22所以，解得t22k1，212k212k1x21又橢圓在點Ax,y的切線方程為1y1，12x22同理可得，橢圓在點Bx,y的切線方程為y2y1，21x22x20由于點Px,y為1y1與y2y1的交點，01x202x20故yy1，yy1，20100所以直線AB為xy0y1，2因為直線AB的方程為yt，對照系數(shù)可得02y01k,t，y02210又t2k21，故41，整理得x20y01，2y02y00又Px,y在第一象限，0xy1故點Px,y的軌跡為雙曲線22位于第一象限的部分，00b211211k3k4，同理可得a211b222221，a222k2111則3k411k2k2又由于02y021，x00，y00，故xy，00設5030h，則h0，則兩式聯(lián)立得16y06hy0h250，22由Δ36h264h250得，h4，2檢驗，當h4時，503y04，又02y201，5434x0解得，滿足要求.故5030的最小值為4故5x3ykk5y00034577分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．本小題滿分13分)習時間的相關關系，針對本校49名考生進行了解，其中每周學習物理的時間不少于12小時的有21120分的5學生占總人數(shù)的，統(tǒng)計后得到以下表格：7大于等于120分120分學時不少于12學時不足1282149(Ⅰ)請完成上面的2×2列聯(lián)表，能否有97.5%的把握認為“物理成績與自主物理的學習時間有關”？Ⅱ)若將頻率視為概率，從全校大于等于120分的學生中隨機抽取20人，求這些人中周自主學習時間不少于12小時的人數(shù)的期望和方差．n(bc)2附：K=2(ab)(cd)(acbd)K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82815.解：Ⅰ)完成后的2×2列聯(lián)表如下大于等于120分120分21學時不少于12學時不足1213882028282149--------------------------------3分49821282129∵K2==≈5.444＞5.024--------------------------------5分∴能有97.5%--------------------6分(Ⅱ)由(Ⅰ)中的2×2列聯(lián)表知大于等于120分且周自主學習時間不少于12小時的頻率是，----------------------------------------------------------------------------7分設從全校大于等于120分的學生中隨機抽取20人，這些人中周自主學習時間不少于12小時的人數(shù)為隨機變量，依題意Y~B(20，，------------------------------------------------------------------10分∴E(Y)=20×=，D(Y)=20××(1-．---------------------------------------------------13分16．本小題滿分15分)如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90o，DA=DC=2AB=2．(Ⅰ)點E在側棱上，且PD∥平面EAC，確定E在側棱上的位置；(Ⅱ)若平面⊥平面ABCD，且2，求二面角A—PD—B的余弦值．16.解：Ⅰ)連接BD，設BD∩AC=F，連接EF，則平面PDB∩平面EAC=EF，∵PD∥平面EAC，∴∥EF，-------------------------------------------------3分∵底面ABCD是直角梯形，AB∥，且DC=2AB，∴DF=2BF，∴PE=2BE，∴E為側棱PB上靠近B處的三等分點；--------------------------------------6分Ⅱ)∵平面⊥平面ABCD2，∴PO⊥，∴PO⊥平面ABCD，為中點)∴如圖所示建立空間直角坐標系，則依題意有A(1，0，0)，B(1，1，0)，D(-1，0，0)，---------------8分PO=2=7，∴P(0，0，7，2∴DP，0，7，DA，0，0)，DB，1，0)，-------------------------------------------------------------------------9分x7z0n0設nx，y，z是平面APD的一個法向量，則111，1111n0011取y=1得n10)(指向二面角內(nèi))-----------------------------------------------11分11設nx，y，z)是平面BPD的一個法向量，2222n0x7z0122，取z2=7得n2-7，14，7指向二面角外)則n0012---------------------------------------------------------------------13分nn7∴cos＜n，n＞=12=，---------------------------------------------------14分12nn1327∴二面角A—BD—C的大小的余弦值為．----------------------------15分11317．本小題滿分15分)已知函數(shù)的圖象在處的切線過點.(1)求在上的最小值;(2)判斷在內(nèi)零點的個數(shù),并說明理由.17.解法一:(1),-------------------------------------2分，-----------------------------------3分又,所以切線方程為又切線過點得,,所以----------------------------------------------------------------4分所以,當時,,所以在上單調(diào)減------------------------------6分所以的最小值為在------------------------------------------------7分(2)判斷零點個數(shù),等價于判斷方程根的個數(shù),等價于判斷方程令根的個數(shù)-------------------------------------------------8分,令,則,得------------------------------------------------------------------------------------10分當當時,在單調(diào)遞增;時,在單調(diào)遞減----------------------------12分,或)所以所以時,方程有2根,在有2個零點---------------------------------------------------15分解法二:(1)-----------------------------------------2分所以切線方程為因此切點為,--------------------------------------------------------3分,得,所以,---------------------------------------------------------------4分所以,當時,,所以在上單調(diào)遞減----------------------------6分-------------------------------------------------7分,--------------------------------8分所以的最小值為(2)由(1)得令,則在上為減函數(shù),--------9分,所以在從而當所以上必有一個零點,使得------------------10分時,,當時,,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.又,所以在當上必有一個零點,使得--------------------------------------12分時,,即,此時單調(diào)遞增;當時,,即,此時單調(diào)遞減------------------------13分又因為所以在上有一個零點,在上有一個零點----------------14分綜上,在有且只有2個零點--------------------------------------------15分18．本小題滿分17分)已知點2,0、B2,0，且直線和直線相交于點P，且直線和1直線的斜率之積為.2Ⅰ求點P的軌跡所對應的曲線F的方程；(Ⅱ)直線l:y1與曲線F相交于D,E兩點，若Q2是否存在實數(shù)k，使得4的面積為?若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由。318.解：設點P的坐標為x,y，因為點A的坐標是0，所以直線的斜率ykx2-------------------------------------------------------------------------2分x2y同理，直線的斜率kx2---------------------------------------------4分x2yy1x2y2所以化簡得點P的軌跡方程F為1x2-------------6分x2x2242y1（2）設Dx,y,Ex,y聯(lián)立，化為：12k2x2420，1122x22y244k12k212k0，∴xx,xx.--------------------------