基本立體圖形、簡單幾何體的表面積和體積講義-2025屆高三數(shù)學一輪復習

第七單元立體幾何基礎課36基本立體圖形、簡單幾何體的表面積和體積考點考向課標要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)空間幾何體的結構了解2023年新高考Ⅰ卷T★☆☆直觀想象數(shù)學運算空間幾何體的表面積與體積掌握2023年新高考Ⅰ卷T2023年新高考Ⅱ卷T9、★★★直觀想象數(shù)學運算命題分析預測從近幾年高考的情況來看，以柱體、錐體和球體為背景求空間幾何體的表面積與體積是高考?？純热?，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于簡單題.預計2025年高考命題會出現(xiàn)數(shù)學文化題，因此在平時備考時既要訓練常規(guī)題型，又要注重數(shù)學應用一、空間幾何體的結構特征1.多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相①平行且②全等多邊形互相③平行且④相似側棱⑤平行且相等相交于⑥一點，但不一定相等延長線交于一點側面形狀⑦平行四邊形⑧三角形梯形2.旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，⑨垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面⑩矩形?等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_圖?矩形?扇形扇環(huán)二、特殊的棱柱與棱錐的結構特征棱柱側棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱；側棱?垂直于底面的棱柱叫作直棱柱；底面是?正多邊形的直棱柱叫作正棱柱棱錐底面是?正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫作正棱錐；特別地，各棱均相等的正三棱錐叫作?正四面體三、直觀圖的斜二測畫法的規(guī)則建系在原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，在直觀圖中x′軸，y′軸的夾角為?45°（或135°），z′規(guī)則在原圖形中平行于坐標軸的線段，在直觀圖中仍分別?平行于坐標軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度?不變；平行于y軸的線段在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼?一半.【注意】直觀圖與原圖形面積間的關系為S四、圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側=S圓錐側=S圓臺側=【提醒】幾何體的側面積是指（各個）側面面積之和，而表面積是側面積與所有底面面積之和.五、柱、錐、臺、球體的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體（棱柱和圓柱）SV=?錐體（棱錐和圓錐）SV=?臺體（棱臺和圓臺）SV球S=?V=?41.正方體與球的切、接常用結論：設正方體的棱長為a，球的半徑為R，（1）若球為正方體的外接球，則2R=（2）若球為正方體的內切球，則2R=（3）若球與正方體的各棱相切，則2R=2.若長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，其外接球的半徑為R，則2R=3.正四面體的外接球的半徑R=64a（a為該正四面體的棱長），內切球的半徑4.S原圖形題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對的打“√”，錯的打“×”）（1）有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(×)（2）有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(×)（3）菱形的直觀圖仍是菱形.(×)（4）兩個球的體積之比等于它們的半徑之比的平方.(×)2.（易錯題）若把長、寬分別為4，2的矩形卷成一個圓柱的側面，則這個圓柱的體積為8π或4【易錯點】容易忽略母線長的其中一種情況而致誤.[解析]設圓柱的底面半徑為r，母線長為l,高為?.如圖1所示，當2πr=4,l=2時，如圖2所示，當2πr=2,l=4時，r=1π題組2走進教材3.（人教A版必修②P119·T1改編）已知圓錐的表面積為3m2，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面直徑為[解析]設圓錐的底面半徑為rm，母線長為lm，則由題意得3=πr2+πrl.①又圓錐的側面展開圖為半圓，所以2πr=πl(wèi)4.（人教A版必修②P120·T5改編）設一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長是acm,則球的體積為(CA.3π4a3cm3 B.3[解析]因為正方體的棱長為acm，所以正方體的體對角線長為3acm，所以球的半徑R=3題組3走向高考5.[2023·新高考Ⅰ卷]在正四棱臺ABCD?A1B1C1D1[解析]如圖，過點A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為四棱臺ABCD?A1B1C1D1的高，因為考點一基本立體圖形［多維探究］結構特征典例1（1）給出下列四個命題：①有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱；②側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側面都是矩形的直四棱柱是長方體；④若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱．其中所有假命題的序號是(D).A.②③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④[解析]認識棱柱一般要從側棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故①③為假命題；對等腰三角形的腰是否為側棱未作說明，故②為假命題；平行六面體的兩個相對側面也可能與底面垂直且互相平行，故④為假命題.故選D.（2）給出下列結論：①以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；⑤用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是球.其中正確結論的序號是⑤．[解析]①中若這條邊是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐，①錯誤；②中若這條腰不是垂直于兩底的腰，則得到的不是圓臺，②錯誤；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，③錯誤；④中如果用不平行于圓錐底面的平面截圓錐，那么得到的不是圓錐和圓臺，④錯誤；只有球滿足任意截面都是圓面，⑤正確.空間幾何體結構特征的判定方法定義法緊扣定義，由已知構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本要素，再根據(jù)定義進行判定反例法通過反例對結構特征進行辨析，要說明一個結論是錯誤的，只需舉出一個反例直觀圖典例2（1）已知等邊三角形ABC的邊長為a，則△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(DA.34a2 B.38a2[解析]圖①、圖②分別是△ABC由斜二測畫法可知，A′B′=在圖②中作C′D′⊥A′B′于點D（2）[2024·遼寧聯(lián)考]已知矩形ABCD，采用斜二測畫法作出其直觀圖，若其直觀圖的面積為2，則矩形ABCD的周長的最小值為8.[解析]設矩形ABCD的長與寬分別為a,b，根據(jù)斜二測畫法可知，直觀圖的面積S′與原圖的面積S之間滿足S′S=24，即2ab=2斜二測畫法中的“3變”與“3不變”1.“三變”坐標軸的夾角改變,2.“三不變”平行性不改變,1.給出下列命題：①若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等.其中真命題的個數(shù)是(A).A.0 B.1 C.2 D.3[解析]①為假命題，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；②為假命題，當以斜邊所在直線為旋轉軸時，其余兩邊旋轉一周形成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；③為假命題，棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側棱延長線交于一點，但是側棱長不一定相等.故選A.2.[2024·河南模擬]在直角坐標系中，直角梯形OABC水平放置（如圖所示）.已知O為坐標原點，A22,0，B22,A.4 B.42 C.8 D.[解析]如圖，畫出直觀圖，過點A′作A′D因為O′C′=所以O′C′//A′B′故四邊形O′A′故選A.考點二表面積與體積［多維探究］表面積（側面積）典例3（1）若六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，側面為矩形，側棱長為4，則其側面積為(D).A.12 B.48 C.64 D.72[解析]因為六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，所以底面周長C=6×3=18，又側面是矩形，側棱長為4，所以棱柱的高（2）若圓錐高的平方等于其底面圓的半徑與母線的乘積，則稱此圓錐為“黃金圓錐”.現(xiàn)有一個“黃金圓錐”，則該“黃金圓錐”的側面積與表面積的比值是(A).A.5?12 B.3?52[解析]設該“黃金圓錐”的底面圓半徑為r，母線長為l，高為?，則?=lr.因為l2=?因為該圓錐的側面積S側=πl(wèi)r所以S表S側故選A.求空間幾何體的表面積的方法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉體的表面積可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清楚它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割（補形）成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積體積典例4（1）[2024·廣西聯(lián)考]已知圓錐SO的底面圓半徑OA=1，側面的平面展開圖的面積為3πA.22π3 B.23π3[解析]設圓錐的母線長為l，高為?，因為圓錐的側面展開圖面積S=π?OA?則?=l2?O（2）如圖所示，已知三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長均為1，且AA.312 B.34 C.612[解析]因為三棱錐B1?ABC1的體積等于三棱錐A?B1BC1（3）如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF//AB，A.23 B.33 C.43[解析]如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EG=HF=12，AG=GD∴S∴該多面體的體積V=故選A.求空間幾何體的體積的方法公式法規(guī)則的幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解割補法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補形為規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來求錐體的體積，特別是三棱錐的體積1.[2022·全國甲卷]甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為2π，側面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙.若SA.5 B.22 C.10 D.[解析]如圖，甲、乙兩個圓錐的側面展開圖剛好拼成一個圓，設圓的半徑（即圓錐母線長）為3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為?1則2πr1=4π，由勾股定理可得?1=5∴V甲V2.[2024·北海模擬]如圖，這個幾何體是由底面直徑為2，高為3的圓柱的上底面挖去半個球得到的，則該幾何體的表