七年級數(shù)學下冊專題01平行線的四大模型(原卷版+解析)-7年級數(shù)學下冊壓軸題攻略(人教版)

專題01平行線的四大模型專題分析專題分析平行線的性質(zhì)和判定是證明角相等、研究角的關(guān)系的重要依據(jù)，是研究幾何圖形位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的基礎，是平面幾何的一個重要內(nèi)容和學習簡單的邏輯推理的素材。它不但為三角形的內(nèi)角和定理的證明提供了轉(zhuǎn)化的方法，而且也是今后學習三角形、四邊形知識的基礎.本節(jié)課重點學習平行線的基礎模型的應用遷移.模型分類模型分類模型分析模型分析模型一“鉛筆”模型點P在EF右側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“鉛筆”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=360°；結(jié)論2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，則AB∥CD.典例分析典例分析【典例1】（2023秋?南崗區(qū)校級期中）已知，射線FG分別交射線AB、DC于點F、G，點E為射線FG上一點．（1）如圖1，若∠A+∠D＝∠AED，求證：AB∥CD．（2）如圖2，若AB∥CD，求證：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如圖3，在（2）的條件下，DI交AI于點Ⅰ，交AE于點K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度數(shù)．【變式1-1】（2023?渝中區(qū)校級模擬）如圖，已知直線a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．130° D．140°【變式1-2】（2023?金安區(qū)一模）如圖，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．115° D．125°【變式1-3】（2022春?肇州縣期末）如圖，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，則∠BEC＝（）A．110° B．120° C．130° D．150°【變式1-4】（2023春?巴南區(qū)月考）已知直線MN∥PQ，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN和PO之間．（1）如圖1，求證：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點E在直線PQ上，且∠MCA＝∠DCE，求證：∠ECN＝∠CAB；（3）如圖3，BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，且AF∥CG．若∠CAB＝50°，直接寫出∠AFB的度數(shù)．【變式1-5】（2023春?遂寧期末）如圖，直線PQ∥MN，兩個三角形如圖①放置，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°，點E在直線PQ上，點B，C均在直線MN上，且CE平分∠ACN．（1）求∠DEQ的度數(shù)；（2）如圖②，若將△ABC繞B點以每秒3°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（A，C的對應點分別為F，G）．設旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當t＝10時，邊BG與CD有何位置關(guān)系？請說明理由．模型分析模型分析模型二“豬蹄”模型（M模型）點P在EF左側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“豬蹄”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.典例分析典例分析【典例2】（2023春?邵陽縣期末）如圖，直線AB∥CD，連接EF，直線AB，CD及線段EF把平面分成①②③④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分．當動點G落在某個部分時，連接GE，GF，構(gòu)成∠EGF，∠GEB，∠GFD三個角．（1）當動點G落在第③部分時，如圖一，試說明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的關(guān)系；（2）當動點G落在第②部分時，如圖二，思考（1）中三者關(guān)系是否仍然成立若不成立，說明理由．【變式2-1】（2023?盤錦）如圖，直線AB∥CD，將一個含60°角的直角三角尺EGF按圖中方式放置，點E在AB上，邊GF，EF分別交CD于點H，K，若∠BEF＝64°，則∠GHC等于（）A．44° B．34° C．24° D．14°【變式2-2】（2023?盤錦）如圖，直線AB∥CD，將一個含60°角的直角三角尺EGF按圖中方式放置，點E在AB上，邊GF，EF分別交CD于點H，K，若∠BEF＝64°，則∠GHC等于（）A．44° B．34° C．24° D．14°【變式2-3】（2023?海南模擬）如圖，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°【變式2-4】（2023春?覃塘區(qū)期末）如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結(jié)論：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-5】（2023春?贛縣區(qū)期末）【問題背景】：同學們，觀察小豬的豬蹄，你會發(fā)現(xiàn)一個熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數(shù)量關(guān)系．【問題探究】：（1）如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點，連接BE、DE，得到∠BED與∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【類比遷移】：（2）請你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的問題：如圖2，直線AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度數(shù)；【靈活應用】：（3）如圖3，直線AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，則∠D＝25度．【變式2-6】（2023春?邵陽期末）如圖1，直線AB∥CD，P是截線MN上的一點．（1）若∠MNB＝45°，∠MDP＝20°，求∠MPD；（2）如圖1，當點P在線段MN上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，問是否為定值，若是定值，請求出；若不是定值，請說明理由；（3）如圖2，若T是直線MN上且位于M點的上方的一點，如圖所示，當點P在射線MT上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，問的值是否和（2）問中的情況一樣呢？請你寫出探究過程，說明理由．【變式2-7】（2023春?防城港期末）閱讀下面材料：（1）小亮同學遇到這樣一個問題：已知：如圖甲，AB∥CD，E為直線AB，CD之間一點，連接BE、DE得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．下面是小亮寫出了該問題的證明，請你幫他把證明過程補充完整．證明：過點E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）請你參考小亮思考問題的方法，解決問題：如圖乙，直線a∥b，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BED的度數(shù)，（溫馨提示：過點E作EF∥AB）模型分析模型分析模型三“臭腳”模型點P在EF右側(cè)，在AB、CD外部“臭腳”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD.典例分析典例分析 【典例3】（2023春?中山區(qū)期末）如圖，∠ABE+∠BED＝∠CDE．（1）如圖1，求證AB∥CD；（2）如圖2，點P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于點F，探究∠BFP，∠BED的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（2）的條件下，如圖3，PQ交ED延長線于點Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD＝80°，求∠CDE的度數(shù)．【變式3-1】已知AB∥CD．（1）如圖1，求證：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；（2）如圖2，∠DCE的平分線CG的反向延長線交∠ABE的平分線BF于F．若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．模型分析模型分析模型四“骨折”模型點P在EF左側(cè)，在AB、CD外部·“骨折”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，則AB∥CD.典例分析典例分析【典例4】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）已知AB∥CD，點E在AB上，點F在DC上，點G為射線EF上一點．（1）【基礎問題】如圖1，試說明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成圖中的填空部分）證明：過點G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴∥CD∵MN∥AB，∴∠＝∠MGA．∵MN∥CD，∴∠D＝（）∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．（2）【類比探究】如圖2，當點G在線段EF延長線上時，請寫出∠AGD、∠A、∠D三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【應用拓展】如圖3，AH平分∠GAE，DH交AH于點H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接寫出∠DGA的度數(shù)為°．【變式4-1】（2022秋?肅州區(qū)校級期末）如圖（1），AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度數(shù)．小明想到了以下方法：解：如圖（1），過點P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵AB∥CD（已知）∴PM∥CD（平行于同一條直線的兩直線平行）∴∠2+∠PFD＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∵∠PFD＝130°（已知）∴∠2＝180°﹣130°＝50°∴∠EPF＝∠1+∠2＝40°+50°＝90°即∠EPF＝90°【探究】如圖（2），AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度數(shù)．【應用】如圖（3），在【探究】的條件下，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，求∠G的度數(shù)．【變式4-2】（2022春?朝陽縣期末）學習完平行線的性質(zhì)與判定之后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以幫我們解決許多問題．（1）小明遇到了下面的問題：如圖1，l1∥l2，點P在l1，l2內(nèi)部，探究∠A，∠APB，∠B的關(guān)系，小明過點P作l1的平行線，可得∠APB，∠A，∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APB＝．（2）如圖2，若AC∥BD，點P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請寫出證明過程．【變式4-3】（2020春?乳山市期中）【信息閱讀】材料信息：如圖①，AB∥DE，點C是直線AB，DE外任意一點，連接BC，DC．方法信息：如圖②，在“材料信息”的條件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度數(shù)．解：過點C作CF∥AB．∴∠BCF＝∠B＝55°．∵AB∥DE，∴CF∥DE．∴∠DCF＝∠D＝35°．∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．【問題解決】通過【信息閱讀】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之間有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論：；（2）如圖③，在“材料信息”的條件下，改變點C的位置，∠B，∠D，∠BCD之間的等量關(guān)系是否改變？若不改變，請寫出理由；若改變，請寫出新的等量關(guān)系及理由．1.（2023春?建昌縣期末）如圖，將一個含30°角的直角三角板的直角頂點C放在直尺的兩邊MN，PQ之間，則下列結(jié)論中：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠3＝90°；④若∠3＝60°，則AB⊥PQ，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023春?蕪湖期末）如圖所示是汽車燈的剖面圖，從位于O點燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線BA，CD都是水平線，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α3．（2022?恩施州）已知直線l1∥l2，將含30°角的直角三角板按如圖所示擺放．若∠1＝120°，則∠2＝（）A．120° B．130° C．140° D．150°4．（2022?博山區(qū)一模）如圖，直線a∥b，點M、N分別在直線a、b上，P為兩平行線間一點，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°5．（2021春?椒江區(qū)校級月考）如圖，已知AB∥CD，∠BAD和∠BCD的平分線交于點E，∠FBC＝n°，∠BAD＝m°，則∠AEC等于（）度．A．90﹣+m B．90﹣﹣ C．90﹣ D．90﹣+6．（2023春?赫山區(qū)期末）【問題情景】（1）如圖1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝115°，求∠APC的度數(shù)；【問題遷移】（2）如圖2，已知∠MON，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A，B兩點之間運動時，連接PD，PC，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【知識拓展】（3）在（2）的條件下，若將“點P在A，B兩點之間運動”改為“點P在A，B兩點外側(cè)運動（點P與點A，B，O三點不重合）”其他條件不變，請直接寫出∠CPD與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系．7．（2022春?良慶區(qū)校級期中）已知AM∥CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于B．（1）如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB＝∠CFD，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．8．（2021秋?平昌縣期末）如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點G，∠BCD＝90°．（1）試說明：∠BAG＝∠BGA；（2）如圖1，點F在AG的反向延長線上，連接CF交AD于點E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求證：CF平分∠BCD．（3）如圖2，線段AG上有點P，滿足∠ABP＝3∠PBG，過點C作CH∥AG．若在直線AG上取一點M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．9．（2023春?黑山縣期中）問題情境我們知道，“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”，所以在某些探究性問題中通過“構(gòu)造平行線”可以起到轉(zhuǎn)化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，長方形DEFG中，DE∥GF．問題初探（1）如圖（1），若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊GF上，BC與DE相交于點M，AB⊥DE于點N，求∠EMC的度數(shù)．分析：過點C作CH∥GF．則有CH∥DE，從而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，從而可以求得∠EMC的度數(shù)．由分析得，請你直接寫出：∠CAF的度數(shù)為，∠EMC的度數(shù)為．類比再探（2）若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與DE不垂直），請你猜想寫∠CAF與∠EMC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）請你總結(jié)（1），（2）解決問題的思路，在圖（3）中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．10．（2022春?龍亭區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥CD，E、F分別在AB、CD上，點G在AB、CD之間，連接GE、GF．（1）當∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，F(xiàn)P平分∠DFG時：①如圖1，若EG⊥FG，則∠P的度數(shù)為；②如圖2，在CD的下方有一點Q，EG平分∠BEQ，F(xiàn)D平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度數(shù)；（2）如圖3，在AB的上方有一點O，若FO平分∠GFC．線段GE的延長線平分∠OEA，則當∠EOF+∠EGF＝100°時，請直接寫出∠OEA與∠OFC的數(shù)量關(guān)系．11．（2023春?孝義市期末）綜合與探究數(shù)學活動課上，老師以“一個含45°的直角三角板和兩條平行線”為背景展開探究活動，如圖1，已知直線m∥n，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝∠ABC＝45°．（1）如圖1，若∠2＝65°，則∠1＝；（直接寫出答案）（2）“啟航”小組在圖1的基礎上繼續(xù)展開探究：如圖2，調(diào)整三角板的位置，當三角板ABC的直角頂點C在直線n上，直線m與AB，AC相交時，他們得出的結(jié)論是：∠1﹣∠2＝135°，你認為啟航小組的結(jié)論是否正確，請說明理由；（3）如圖3，受到“啟航”小組的啟發(fā)，“睿智”小組提出的問題是：在圖2的基礎上，繼續(xù)調(diào)整三角板的位置，當點C不在直線n上，直線m與AC，BC相交時，∠1與∠2有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你用平行線的知識說明理由．12．（2023春?安化縣期末）在課后學習中，小紅探究平行線中的線段與角的數(shù)量關(guān)系，如圖，直線AB∥CD，點N在直線CD上，點P在直線AB上，點M為平面上任意一點，連接MP，MN，PN．（1）如圖1，點M在直線CD上，PM平分∠APN，試說明∠PMN＝∠MPN；（2）如圖2，點M在直線AB，CD之間，∠PMN＝70°，∠MNC＝30°，求∠APM的度數(shù)；（3）如圖3，∠APM和∠MNC的平分線交于點Q，∠PQN與∠PMN有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．12．（2023春?甘井子區(qū)期末）如圖1，點M在射線BA，CD之間，0°＜∠ABM＜30°，連接BM，過點M作ME⊥BM交射線CD于點E，且∠MED﹣∠B＝90°．（1）求證：AB∥CD；（2）過點C作∠ECN＝∠B，交直線ME于點N，先按要求畫圖，再解決下列問題．①當CN在CD上方，滿足∠CNE＝5∠B時，在圖2中畫圖，求∠B的度數(shù)；②作∠BME的角平分線交射線CD于點K，交∠ECN的角平分線于點F，請直接寫出∠MKC與∠MFC之間的數(shù)量關(guān)系．專題01平行線的四大模型專題分析專題分析平行線的性質(zhì)和判定是證明角相等、研究角的關(guān)系的重要依據(jù)，是研究幾何圖形位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的基礎，是平面幾何的一個重要內(nèi)容和學習簡單的邏輯推理的素材。它不但為三角形的內(nèi)角和定理的證明提供了轉(zhuǎn)化的方法，而且也是今后學習三角形、四邊形知識的基礎.本節(jié)課重點學習平行線的基礎模型的應用遷移.模型分類模型分類模型分析模型分析模型一“鉛筆”模型點P在EF右側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“鉛筆”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=360°；結(jié)論2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，則AB∥CD.典例分析典例分析【典例1】（2023秋?南崗區(qū)校級期中）已知，射線FG分別交射線AB、DC于點F、G，點E為射線FG上一點．（1）如圖1，若∠A+∠D＝∠AED，求證：AB∥CD．（2）如圖2，若AB∥CD，求證：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如圖3，在（2）的條件下，DI交AI于點Ⅰ，交AE于點K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度數(shù)．【答案】（1）（2）證明見解析；（3）95°．【解答】（1）證明：如圖所示：過點E作EH∥AB，∴∠A＝∠AEF，∵∠A+∠D＝∠AED，∠AED＝∠AEF+∠DEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；（2）證明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠EHG，∵∠EHG＝∠D+∠AED，∴∠A＝∠D+∠AED，∴∠A﹣∠D＝∠AED；（3）解：設AE與CD交于點H，∠EAI＝x，則∠BAI＝，，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAB＝，∵∠I＝∠AED＝25°，∠EKI＝∠EAI+∠I＝∠EDI+∠AED，∴x+25°＝∠EDI+25°，∴∠EDI＝x，∵∠EDI＝∠CDE，∴∠CDI＝，∵∠CHE＝∠CDE+∠AED，∴，解得：x＝60°，∴∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I＝180°﹣60°﹣25°＝95°．【變式1-1】（2023?渝中區(qū)校級模擬）如圖，已知直線a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．130° D．140°【答案】B【解答】解：如圖，∵∠1+∠3+90°＝180°，∠1＝40°，∴∠3＝50°，∵a∥b，∴∠2＝∠3，∴∠2＝50°，故選：B．【變式1-2】（2023?金安區(qū)一模）如圖，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．115° D．125°【答案】A【解答】解：解法一：如圖，過點B作DE∥a，∴∠DBA＝∠1＝45°，∵a∥b，DE∥a，∴DE∥b，∴∠2+∠DBC＝180°，∴∠DBC＝180°﹣∠2＝180°﹣125°＝55°，∴∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝45°+55°＝100°．解法二：如圖，延長AB交b于點F，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝45°，∵∠2＝125°，∵∠2＝∠3+∠CBF，∴∠CBF＝∠2﹣∠3＝125°﹣45°＝80°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBF＝180°﹣80°＝100°．故選：A．【變式1-3】（2022春?肇州縣期末）如圖，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，則∠BEC＝（）A．110° B．120° C．130° D．150°【答案】C【解答】解：∵過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠1+∠B＝180°，∠2+∠C＝180°，∵∠C＝110°，∠B＝120°，∴∠1＝60°，∠2＝70°，∴∠BEC＝∠1+∠2＝130°．故選：C．【變式1-4】（2023春?巴南區(qū)月考）已知直線MN∥PQ，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN和PO之間．（1）如圖1，求證：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點E在直線PQ上，且∠MCA＝∠DCE，求證：∠ECN＝∠CAB；（3）如圖3，BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，且AF∥CG．若∠CAB＝50°，直接寫出∠AFB的度數(shù)．【答案】（1）見解答．（2）見解答．（3）115°．【解答】（1）證明：過點A作AH∥MN，如圖：∴AH∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠CAH，∠PBA＝∠BAH，∴∠CAB＝∠CAH+∠BAH＝∠MCA+∠PBA，∴：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA．（2）證明：∵∠MCA＝∠DCE．∴∠ACD＝∠MCE，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣∠MCE，＝∠ECN，∴∠ECN＝∠CAB．（3）解：∵AF∥CG．∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝50°，∴∠GCA+∠CAB+∠FAC＝180°，∴∠FAB＝130°﹣∠GCA，∵BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝50°，∴∠GCA﹣∠ABF＝65°，∵∠ABF+∠AFB+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠FAB＝180°﹣（130°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝50°+∠GCA﹣∠ABF＝50°+65°＝115°．∴∠AFB＝115°．【變式1-5】（2023春?遂寧期末）如圖，直線PQ∥MN，兩個三角形如圖①放置，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°，點E在直線PQ上，點B，C均在直線MN上，且CE平分∠ACN．（1）求∠DEQ的度數(shù)；（2）如圖②，若將△ABC繞B點以每秒3°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（A，C的對應點分別為F，G）．設旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當t＝10時，邊BG與CD有何位置關(guān)系？請說明理由．【答案】（1）60°；（2）BG∥CD，理由見解析．【解答】解：（1）∵∠ACB＝30°，∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，∵CE平分∠ACN，∴∠ECN＝75°，∵PQ∥MN，∴∠ECN+∠CEQ＝180°，∴∠CEQ＝105°，∵∠DEC＝45°，∴∠DEQ＝∠CEQ﹣∠DEC＝60°；（2）BG∥CD，理由如下：當t＝10時，BC轉(zhuǎn)動了3×10°＝30°，即∠CBG＝30°，由（1）可知∠ECN＝75°，∠DCE＝45°，∴∠DCN＝∠ECN﹣∠DCE＝30°，∴∠CBG＝∠DCN，∴BG∥CD．模型分析模型分析模型二“豬蹄”模型（M模型）點P在EF左側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“豬蹄”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.典例分析典例分析【典例2】（2023春?邵陽縣期末）如圖，直線AB∥CD，連接EF，直線AB，CD及線段EF把平面分成①②③④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分．當動點G落在某個部分時，連接GE，GF，構(gòu)成∠EGF，∠GEB，∠GFD三個角．（1）當動點G落在第③部分時，如圖一，試說明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的關(guān)系；（2）當動點G落在第②部分時，如圖二，思考（1）中三者關(guān)系是否仍然成立若不成立，說明理由．【答案】（1）∠EGF＝∠GEB+∠GFD，理由見解答；（2）（1）中三者關(guān)系不成立，理由見解答．【解答】解：（1）∠EGF＝∠GEB+∠GFD，理由：過點G作GM∥AB，∴∠GEB＝∠EGM，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠GFD＝∠FGM，∵∠EGF＝∠EGM+∠FGM，∴∠EGF＝∠GEB+∠GFD；（2）（1）中三者關(guān)系不成立，理由：過點G作GN∥AB，∴∠GEB+∠EGN＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GN，∴∠GFD+∠FGN＝180°，∴∠GEB+∠EGN+∠FGN+∠GFD＝360°，即∠GEB+∠EGF+∠GFD＝360°．【變式2-1】（2023?盤錦）如圖，直線AB∥CD，將一個含60°角的直角三角尺EGF按圖中方式放置，點E在AB上，邊GF，EF分別交CD于點H，K，若∠BEF＝64°，則∠GHC等于（）A．44° B．34° C．24° D．14°【答案】B【解答】解：因為AB∥CD，且∠BEF＝64°，所以∠DKF＝∠BEF＝64°．又三角形EFG為直角三角形，且∠G＝90°，∠GEF＝60°，所以∠F＝30°．所以∠KHF＝64°﹣30°＝34°．又∠GHC＝∠KHF，所以∠GHC＝34°．故選：B．【變式2-2】（2023?盤錦）如圖，直線AB∥CD，將一個含60°角的直角三角尺EGF按圖中方式放置，點E在AB上，邊GF，EF分別交CD于點H，K，若∠BEF＝64°，則∠GHC等于（）A．44° B．34° C．24° D．14°【答案】B【解答】解：因為AB∥CD，且∠BEF＝64°，所以∠DKF＝∠BEF＝64°．又三角形EFG為直角三角形，且∠G＝90°，∠GEF＝60°，所以∠F＝30°．所以∠KHF＝64°﹣30°＝34°．又∠GHC＝∠KHF，所以∠GHC＝34°．故選：B．【變式2-3】（2023?海南模擬）如圖，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】B【解答】解：過點C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF；∴∠B＝∠BCF，∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠D+∠B＝180°﹣130°+20°＝70°．故選：B．【變式2-4】（2023春?覃塘區(qū)期末）如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結(jié)論：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B∴∠HFN＝∠MNP＝45°，∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③錯誤；④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝【解答】解：①由題意得：∠G＝∠MPN＝90°，∴GE∥MP，故①正確；②由題意得∠EFG＝30°，∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正確；③過點F作FH∥AB，如圖，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFH＝180°，F(xiàn)H∥CD，75°，∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，故④錯誤．綜上所述，正確的有2個．故選：B．【變式2-5】（2023春?贛縣區(qū)期末）【問題背景】：同學們，觀察小豬的豬蹄，你會發(fā)現(xiàn)一個熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數(shù)量關(guān)系．【問題探究】：（1）如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點，連接BE、DE，得到∠BED與∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【類比遷移】：（2）請你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的問題：如圖2，直線AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度數(shù)；【靈活應用】：（3）如圖3，直線AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，則∠D＝25度．【答案】（1）∠BED＝∠B+∠D，理由見解答；（2）∠BEG+∠GFD的度數(shù)為83°；（3）25．【解答】解：（1）∠BED＝∠B+∠D，理由：過點E作EP∥AB，∴∠B＝∠BEP，∵AB∥CD，∴CD∥EP，∴∠D＝∠DEP，∵∠BED＝∠BEP+∠DEP，∴∠BED＝∠B+∠D；（2）過點G作GM∥AB，由（1）可得：∠BEG＝∠B+∠EGM，∵AB∥CD，∴GM∥CD，由（1）可得：∠GFD＝∠D+∠FGM，∵∠B＝23°，∠EGF＝35°，∠D＝25°，∴∠BEG+∠GFD＝∠B+EGM+∠D+∠FGM＝∠B+∠D+∠EGF＝23°+25°+35°＝83°，∴∠BEG+∠GFD的度數(shù)為83°；（3）如圖：∵∠B＝60°，∠F＝85°，∴∠BNF＝180°﹣∠B﹣∠F＝35°，∴∠ANE＝∠BNF＝35°，∵AB∥CD，∴由（1）可得：∠DEN＝∠ANE+∠D，∴∠D＝∠DEN﹣∠ANE＝60°﹣35°＝25°，故答案為：25．【變式2-6】（2023春?邵陽期末）如圖1，直線AB∥CD，P是截線MN上的一點．（1）若∠MNB＝45°，∠MDP＝20°，求∠MPD；（2）如圖1，當點P在線段MN上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，問是否為定值，若是定值，請求出；若不是定值，請說明理由；（3）如圖2，若T是直線MN上且位于M點的上方的一點，如圖所示，當點P在射線MT上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，問的值是否和（2）問中的情況一樣呢？請你寫出探究過程，說明理由．【答案】（1）∠MPD的度數(shù)25°；（2）是定值，＝；（3）是定值，＝．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠MNB＝45°，∴∠DMP＝180°﹣∠MNB＝135°，∵∠MDP＝20°，∴∠MPD＝180°﹣∠DMP﹣∠MDP＝25°，∴∠MPD的度數(shù)為25°；（2）是定值，理由：過點P作PG∥CD，∴∠CDP＝∠DPG，∵CD∥AB，∴PG∥AB，∴∠ABP＝∠BPG，∵∠DPB＝∠DPG+∠BPG，∴∠DPB＝∠CDP+∠ABP，同理可得：∠Q＝∠CDQ+∠ABQ，∵DQ平分∠CDP，BQ平分∠ABP，∴∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，∴∠Q＝∠CDQ+∠ABQ＝∠CDP+∠ABP＝（∠CDP+∠ABP）＝∠DPB，∴＝；（3）是定值，理由：過點P作PG∥CD，∴∠CDP＝∠DPG，∵CD∥AB，∴PG∥AB，∴∠ABP＝∠BPG，∵∠DPB＝∠BPG﹣∠DPG，∴∠DPB＝∠ABP﹣∠CDP，同理可得：∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ，∵DQ平分∠CDP，BQ平分∠ABP，∴∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，∴∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ＝∠ABP﹣∠CDP＝（∠ABP﹣∠CDP）＝∠DPB，∴＝．【變式2-7】（2023春?防城港期末）閱讀下面材料：（1）小亮同學遇到這樣一個問題：已知：如圖甲，AB∥CD，E為直線AB，CD之間一點，連接BE、DE得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．下面是小亮寫出了該問題的證明，請你幫他把證明過程補充完整．證明：過點E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）請你參考小亮思考問題的方法，解決問題：如圖乙，直線a∥b，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BED的度數(shù)，（溫馨提示：過點E作EF∥AB）【答案】（1）∠B，CD，∠D；（2）∠BED＝55°．【解答】（1）證明：過點E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D，故答案為：∠B，CD，∠D；（2）解：如圖乙，過點E作EF∥AB，∴∠BEF＝∠ABE，∵a∥b，即AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠DEF＝∠CDE，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠ABC，∠CDE＝∠ADC，又∵∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，∴∠ABE＝25°，∠CDE＝30°，∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝25°+30°＝55°．模型分析模型分析模型三“臭腳”模型點P在EF右側(cè)，在AB、CD外部“臭腳”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD.典例分析典例分析 【典例3】（2023春?中山區(qū)期末）如圖，∠ABE+∠BED＝∠CDE．（1）如圖1，求證AB∥CD；（2）如圖2，點P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于點F，探究∠BFP，∠BED的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（2）的條件下，如圖3，PQ交ED延長線于點Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD＝80°，求∠CDE的度數(shù)．【答案】（1）答案見解答過程；（2）∠BED＝2∠BFP，理由見解答過程；（3）120°．【解答】（1）證明：延長CD交BE于點H，∴∠CDE＝∠DHE+∠BED，∵∠ABE+∠BED＝∠CDE，∴∠DHE＝∠ABE，∴AB∥CD，（2）解：∠BFP，∠BED的數(shù)量關(guān)系是：∠BED＝2∠BFP，理由如下：設∠EBF＝α，∠CDP＝β，∵BF平分∠ABE，∠CDP＝∠EDP，∴∠EBF＝∠ABF＝α，∠CDP＝∠EDP＝β，∴∠PBE＝2∠EBF＝2α，由（1）可知：AB∥CD，∴∠DPB＝∠CDP＝β，∴∠APD＝180°﹣∠∠DPB＝180°﹣β，∵∠APD＝∠ABF+∠BFP，∴180°﹣β＝α+∠BFP，∴∠BFP＝180°﹣（α+β），由四邊形的內(nèi)角和等于360°得：∠BED+∠EDP+∠DPB+∠PBE＝360°，即：∠BED+β+β+2α＝360°，∴∠BED＝360°﹣2（α+β），∴∠BED＝2∠BFP．（3）解：設∠APQ＝θ，∴∠DPQ＝2∠APQ＝2θ，∴∠APD＝∠APQ+∠DPQ＝3θ，由（1）可知：AB∥CD，∴∠CDP+∠APD＝180°，∴∠CDP＝180°﹣∠APD＝180°﹣3θ，∵∠PQD＝80°，∴∠EDP＝∠PQD+∠DPQ＝80°+2θ，∵∠CDP＝∠EDP，∴180°﹣3θ＝80°+2θ，解得：θ＝20°，∴∠CDP＝180°﹣3θ＝120°，∠EDP＝80°+2θ＝120°，根據(jù)周角的定義得：∠CDE+∠CDP+∠EDP＝360°，∴∠CDE＝360°﹣（∠CDP+∠EDP）＝360°﹣（120°+120°）＝120°．【變式3-1】已知AB∥CD．（1）如圖1，求證：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；（2）如圖2，∠DCE的平分線CG的反向延長線交∠ABE的平分線BF于F．若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．【答案】（1）詳見解析；（2）103°．【解答】（1）證明：如圖，過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴DC∥EF，∴∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，∴∠C+∠B＝∠BEC＝180°，即：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；（2）解：∵FB∥CE，∴∠FBE＝∠BEC＝26°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠FBE＝52°，由（1）得：∠DCE＝180°﹣∠ABE+∠BEC＝180°﹣52°+26°＝154°，∵CG平分∠ECD，∴∠DCG＝77°，過點F作FN∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴FN∥CD，∴∠BFN＝∠ABF＝26°，∠NFC＝∠DCG＝77°，∴∠BFC＝∠BFN+∠NFC＝103°．模型分析模型分析模型四“骨折”模型點P在EF左側(cè)，在AB、CD外部·“骨折”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，則AB∥CD.典例分析典例分析【典例4】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）已知AB∥CD，點E在AB上，點F在DC上，點G為射線EF上一點．（1）【基礎問題】如圖1，試說明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成圖中的填空部分）證明：過點G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD∵MN∥AB，∴∠A＝∠MGA．∵MN∥CD，∴∠D＝DGM（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．（2）【類比探究】如圖2，當點G在線段EF延長線上時，請寫出∠AGD、∠A、∠D三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【應用拓展】如圖3，AH平分∠GAE，DH交AH于點H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接寫出∠DGA的度數(shù)為°．【答案】（1）MN；∠A；∠DGM；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；（2）∠AGD＝∠A﹣∠D．理由見解析；（3）42°．【解答】解：（1）過點G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），∵MN∥AB，∴∠A＝∠AGM（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵MN∥CD，∴∠D＝∠DGM（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．故答案為：MN；∠A；∠DGM；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．（2）如圖所示，過點G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD，∵MN∥AB，∴∠A＝∠AGM，∵MN∥CD，∴∠D＝∠DGM，∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D．（3）如圖所示，過點G作直線MN∥AB，過點H作直線PQ∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD，PQ∥CD∵MN∥AB，PQ∥AB，∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH＝∠AHP，∵MN∥CD，PQ∥CD，∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH＝∠DHP，∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，∴∠GDH＝44°，∠DHP＝22°，∴∠CDG＝66°，∠AHP＝54°，∴∠DGM＝66°，∠BAH＝54°，∵AH平分∠GAE，∴∠BAG＝2∠BAH＝108°，∴∠AGM＝108°，∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝42°．【變式4-1】（2022秋?肅州區(qū)校級期末）如圖（1），AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度數(shù)．小明想到了以下方法：解：如圖（1），過點P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵AB∥CD（已知）∴PM∥CD（平行于同一條直線的兩直線平行）∴∠2+∠PFD＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∵∠PFD＝130°（已知）∴∠2＝180°﹣130°＝50°∴∠EPF＝∠1+∠2＝40°+50°＝90°即∠EPF＝90°【探究】如圖（2），AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度數(shù)．【應用】如圖（3），在【探究】的條件下，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，求∠G的度數(shù)．【答案】[探究]70°；[應用]35°．【解答】[探究]如圖②，過點P作PM∥AB，∴∠MPE＝∠AEP＝50°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵AB∥CD（已知），∴PM∥CD（平行于同一條直線的兩直線平行），∴∠PFC＝∠MPF＝120°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性質(zhì)）．[應用]如圖③所示，∵EG是∠PEA的平分線，F(xiàn)G是∠PFC的平分線，∴∠AEG＝AEP＝25°，∠GFC＝PFC＝60°，過點G作GM∥AB，∴∠MGE＝∠AEG＝25°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵AB∥CD（已知），∴GM∥CD（平行于同一條直線的兩直線平行），∴∠GFC＝∠MGF＝60°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∴∠EGF＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°．【變式4-2】（2022春?朝陽縣期末）學習完平行線的性質(zhì)與判定之后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以幫我們解決許多問題．（1）小明遇到了下面的問題：如圖1，l1∥l2，點P在l1，l2內(nèi)部，探究∠A，∠APB，∠B的關(guān)系，小明過點P作l1的平行線，可得∠APB，∠A，∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APB＝∠A+∠B．（2）如圖2，若AC∥BD，點P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請寫出證明過程．【答案】（1）∠APB＝∠A+∠B；（2）發(fā)生變化，∠APB＝∠B﹣∠A，證明見解答過程．【解答】解：（1）∵記過點P作l1的平行線為PC，∵PC∥l1，∴∠A＝∠APC，∵l1∥l2，∴PC∥l2，∴∠B＝∠BPC，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝∠A+∠B，故答案為：∠APB＝∠A+∠B；（2）發(fā)生變化，如圖，過點PF∥AC，則∠APF＝∠A，∵AC∥BD，∴PF∥BD，∴∠B＝∠BPF，∴∠APB＝∠BPF﹣∠APF＝∠B﹣∠A．【變式4-3】（2020春?乳山市期中）【信息閱讀】材料信息：如圖①，AB∥DE，點C是直線AB，DE外任意一點，連接BC，DC．方法信息：如圖②，在“材料信息”的條件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度數(shù)．解：過點C作CF∥AB．∴∠BCF＝∠B＝55°．∵AB∥DE，∴CF∥DE．∴∠DCF＝∠D＝35°．∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．【問題解決】（1）通過【信息閱讀】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之間有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論：∠BCD＝∠B﹣∠D；（2）如圖③，在“材料信息”的條件下，改變點C的位置，∠B，∠D，∠BCD之間的等量關(guān)系是否改變？若不改變，請寫出理由；若改變，請寫出新的等量關(guān)系及理由．【答案】∠BCD＝∠B﹣∠D，∠BCD＝∠D﹣∠B【解答】解（1）過C作CF∥ED，∵AB∥ED，∴AB∥CF，∴∠B＝∠BCF，∠D＝∠DCF，∵∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF，∴∠BCD＝∠B﹣∠D，故答案為：∠BCD＝∠B﹣∠D．（2）過點C作CF∥AB，∴∠BCF＝∠B，∵AB∥DE，∴CF∥DE．∴∠DCF＝∠D，∵∠BCD＝∠DCF﹣BCF，∴∠BCD＝∠D﹣∠B．1.（2023春?建昌縣期末）如圖，將一個含30°角的直角三角板的直角頂點C放在直尺的兩邊MN，PQ之間，則下列結(jié)論中：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠3＝90°；④若∠3＝60°，則AB⊥PQ，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：設BC與PQ交于點F，AB與PQ交于點G，AB與MN交于點H，延長AC交PQ于點E，∵MN∥PQ，∴∠3＝∠AEG，∵∠1≠∠AEG，∴∠3≠∠1，故①不正確；根據(jù)對頂角相等可得：∠2＝∠3，故②正確；∵∠ACB是△CEF的一個外角，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AEB+∠1＝90°，∵∠AEB＝∠3，∴∠3+∠1＝90°，故③正確；∵∠A＝30°，∠3＝60°，∴∠AHM＝180°﹣∠A﹣∠3＝90°，∵MN∥PQ，∴∠AHM＝∠AGP＝90°，∴AB⊥PQ，故④正確；所以，上列結(jié)論中，其中正確結(jié)論的個數(shù)是3個，故選：C．2．（2023春?蕪湖期末）如圖所示是汽車燈的剖面圖，從位于O點燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線BA，CD都是水平線，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α【答案】C【解答】解：連接BC，∵AB∥CD，∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．故選：C．3．（2022?恩施州）已知直線l1∥l2，將含30°角的直角三角板按如圖所示擺放．若∠1＝120°，則∠2＝（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】D【解答】解：過含30°角的直角三角板的直角頂點B作BF∥l1，交AC于點F，∵∠C＝30°，∴∠A＝90°﹣∠C＝60°．∵∠1＝∠A+∠ADE，∴∠ADE＝60°．∵BF∥l1，∴∠ABF＝∠ADE＝60°，∴∠FBG＝90°﹣∠ABF＝30°．∵BF∥l1，l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠BGH+∠FBG＝180°，∴∠BGH＝180°﹣∠FBG＝150°，∴∠2＝∠BGH＝150°．故選：D．4．（2022?博山區(qū)一模）如圖，直線a∥b，點M、N分別在直線a、b上，P為兩平行線間一點，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°【答案】A【解答】解：如圖，過點P作PA∥a，則a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故選：A．5．（2021春?椒江區(qū)校級月考）如圖，已知AB∥CD，∠BAD和∠BCD的平分線交于點E，∠FBC＝n°，∠BAD＝m°，則∠AEC等于（）度．A．90﹣+m B．90﹣﹣ C．90﹣ D．90﹣+【答案】D【解答】解：如圖，過點E作EM∥AB，∵AB∥CD，EM∥AB，∴AB∥EM∥CD，∴∠BAE＝∠AEM，∠MEC＝∠ECD，∠FBC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠FBC＝180°﹣n°，∵∠BAD和∠BCD的平分線交于點E，∴∠BAE＝∠BAD＝m°，∠ECD＝∠BCD＝（180°﹣n°），∴∠AEC＝∠AEM+∠MEC＝∠BAE+∠ECD＝m°+（180°﹣n°）＝90°+m°﹣n°，故選：D．6．（2023春?赫山區(qū)期末）【問題情景】（1）如圖1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝115°，求∠APC的度數(shù)；【問題遷移】（2）如圖2，已知∠MON，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A，B兩點之間運動時，連接PD，PC，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【知識拓展】（3）在（2）的條件下，若將“點P在A，B兩點之間運動”改為“點P在A，B兩點外側(cè)運動（點P與點A，B，O三點不重合）”其他條件不變，請直接寫出∠CPD與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）∠APC的度數(shù)為110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由見解答；（3）當P在BA延長線時，∠CPD＝∠β﹣∠α；當P在AB延長線時，∠CPD＝∠α﹣∠β．【解答】解：（1）過點P作PE∥AB，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE＝180°﹣∠C＝65°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝45°+65°＝110°，∴∠APC的度數(shù)為110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由：過P作PE∥AD交CD于E，∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）分兩種情況：當P在BA延長線時，∠CPD＝∠β﹣∠α，理由：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當P在AB延長線時，∠CPD＝∠α﹣∠β，理由：如圖4，過P作PE∥AD交OD于E，∴∠ADP＝∠DPE＝∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠BCP＝∠CPE＝∠β，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β，綜上所述，∠CPD＝∠β﹣∠α或∠CPD＝∠α﹣∠β．7．（2022春?良慶區(qū)校級期中）已知AM∥CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于B．（1）如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系∠A+∠C＝90°；（2）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB＝∠CFD，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C＝90°；（2）見解答；（3）105°．【解答】解：（1）如圖1，AM與BC的交點記作點O，∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB＝90°，∴∠A+∠C＝90°，故答案為：∠A+∠C＝90°；（2）如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如圖3，過點B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）可得∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，設∠DBE＝α，∠ABF＝β，則∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，②由①②聯(lián)立方程組，解得α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．8．（2021秋?平昌縣期末）如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點G，∠BCD＝90°．（1）試說明：∠BAG＝∠BGA；（2）如圖1，點F在AG的反向延長線上，連接CF交AD于點E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求證：CF平分∠BCD．（3）如圖2，線段AG上有點P，滿足∠ABP＝3∠PBG，過點C作CH∥AG．若在直線AG上取一點M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．【答案】（1）證明過程見解答；（2）證明過程見解答；（3）5或．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠GAD＝∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG＝∠GAD∴∠BAG＝∠BGA；（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，∵∠BAG＝∠BGA，∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，∵∠BAG﹣∠F＝45°，∴∠BCF＝45°，∵∠BCD＝90°，∴CF平分∠BCD；（3）解：有兩種情況：①當M在BP的下方時，如圖5，設∠ABC＝4x，∵∠ABP＝3∠PBG，∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，∵AG∥CH，∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，∵∠BCD＝90°，∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM＝2x﹣x＝x，∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；②當M在BP的上方時，如圖6，同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM＝2x+x＝3x，∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．綜上，的值是5或．9．（2023春?黑山縣期中）問題情境我們知道，“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”，所以在某些探究性問題中通過“構(gòu)造平行線”可以起到轉(zhuǎn)化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，長方形DEFG中，DE∥GF．問題初探（1）如圖（1），若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊GF上，BC與DE相交于點M，AB⊥DE于點N，求∠EMC的度數(shù)．分析：過點C作CH∥GF．則有CH∥DE，從而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，從而可以求得∠EMC的度數(shù)．由分析得，請你直接寫出：∠CAF的度數(shù)為30°，∠EMC的度數(shù)為60°．類比再探（2）若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與DE不垂直），請你猜想寫∠CAF與∠EMC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）請你總結(jié)（1），（2）解決問題的思路，在圖（3）中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】（1）30°，60°；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由見解答；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由見解答．【解答】解：（1）由題可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；故答案為：30°，60°；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：證明：如圖，過C作CH∥GF，則∠CAF＝∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF，∴CH∥DE，∴∠EMC＝∠HCM，∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：證明：如圖，過B作BK∥GF，則∠BAG＝∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD＝∠KBM，∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．10．（2022春?龍亭區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥CD，E、F分別在AB、CD上，點G在AB、CD之間，連接GE、GF．（1）當∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，F(xiàn)P平分∠DFG時：①如圖1，若EG⊥FG，則∠P的度數(shù)為45°；②如圖2，在CD的下方有一點Q，EG平分∠BEQ，F(xiàn)D平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度數(shù)；（2）如圖3，在AB的上方有一點O，若FO平分∠GFC．線段GE的延長線平分∠OEA，則當∠EOF+∠EGF＝100°時，請直接寫出∠OEA與∠OFC的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①45°；②120°；（2）∠OEA+2∠PFC＝160°．【解答】解：（1）①如圖，分別過點G，P作GN∥AB，PM∥AB，∴∠BEG＝∠EGN，∵AB∥CD，∴∠NGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∵EP平分∠BEG，F(xiàn)P平分∠DFG；∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝GFD，∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，故答案為：45°；②如圖，過點Q作QR∥CD，∵∠BEG＝40°，∵EG恰好平分∠BEQ，F(xiàn)D恰好平分∠GFQ，∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，設∠GFD＝∠QFD＝α，∵QR∥CD，AB∥CD，∴∠EQ