人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題07線段中的動(dòng)態(tài)模型(原卷版+解析)

專題07線段中的動(dòng)態(tài)模型線段中的動(dòng)態(tài)模型一直都是一大難點(diǎn)和?？键c(diǎn)，它經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)?？疾闃邮揭彩呛茇S富，和平時(shí)所學(xué)的內(nèi)容結(jié)合在一起考。本專題就線段中的動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握?！局R(shí)儲(chǔ)備】1、在與線段長度有關(guān)的問題中，常會(huì)涉及線段較多且關(guān)系較復(fù)雜的問題，而且題中的數(shù)據(jù)無法直接利用，常設(shè)未知數(shù)列方程。2、線段的動(dòng)態(tài)模型解題步驟：1）設(shè)入未知量t表示動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離；2）利用和差（倍分）關(guān)系表示所需的線段；3）根據(jù)題設(shè)條件建立方程求解；4）觀察運(yùn)動(dòng)位置可能的情況去計(jì)算其他結(jié)果。模型1、線段中點(diǎn)、和差倍分關(guān)系中的動(dòng)態(tài)模型例1．（2022·貴州銅仁·七年級(jí)期末）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．（1）求線段MN的長度．（2）根據(jù)第（1）題的計(jì)算過程和結(jié)果，設(shè)AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長度．（3）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出時(shí)間t．例2．（2022·陜西岐山縣·七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)，在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－5，7（單位長度為），是，間一點(diǎn)，，兩點(diǎn)分別從點(diǎn)，出發(fā)，以，的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．（1）______．（2）若點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)求出的長．（3）在（2）的條件下，是數(shù)軸上一點(diǎn)，且，求的長．例3．（2022·重慶七年級(jí)期中）如果一點(diǎn)在由兩條公共端點(diǎn)的線段組成的一條折線上且把這條折線分成長度相等的兩部分，這點(diǎn)叫做這條折線的“折中點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)D是折線A﹣C﹣B的“折中點(diǎn)”，請(qǐng)解答以下問題：（1）當(dāng)AC＞BC時(shí)，點(diǎn)D在線段上；當(dāng)AC＝BC時(shí)，點(diǎn)D與重合；當(dāng)AC＜BC時(shí)，點(diǎn)D在線段上；（2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，在線段CB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t（s）,求當(dāng)t為何值，三角形PCD的面積為10？（3）若E為線段AC中點(diǎn)，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的長度．模型2、線段上動(dòng)點(diǎn)問題中的存在性（探究性）模型例1．（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），且m，n滿足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，線段CD以2個(gè)單位長度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．①如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)，求線段MN的長；②P是直線AB上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，線段CD運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)以3個(gè)單位/秒的向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)C相遇1秒后與點(diǎn)E相遇．試探索整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)C－5DE是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．例2．（2022·廣西桂林·七年級(jí)期末）如圖，在直線AB上，線段，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度在直線AB上運(yùn)動(dòng)．M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)若點(diǎn)P在線段AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，；(2)若點(diǎn)P在射線AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB、PM、PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．模型3、閱讀理解型（新定義）模型例1．（2023·江蘇七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（理解新知）如圖①，點(diǎn)M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“奇妙點(diǎn)”，（1）線段的中點(diǎn)這條線段的“奇妙點(diǎn)”（填“是”或“不是”）（2）（初步應(yīng)用）如圖②，若，點(diǎn)N是線段CD的“奇妙點(diǎn)”，則；（3）（解決問題）如圖③，已知，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t，請(qǐng)求出為何值時(shí)，A、P、三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的“奇妙點(diǎn)”．例2．（2023秋·湖南岳陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)C在線段上，且時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段上的點(diǎn)值，記作．如點(diǎn)C是的中點(diǎn)時(shí)，則，記作；反過來，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點(diǎn)C在線段上，若，則_______；若，則_______；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，相向而行，運(yùn)動(dòng)速度均為，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．請(qǐng)用含有t的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運(yùn)用：(3)已知線段，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度分別為和，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后立即以原速返回，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．則當(dāng)t為何值時(shí)，等式成立．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022秋·四川巴中·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖：數(shù)軸上點(diǎn)、、表示的數(shù)分別是，，1，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．、為數(shù)軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)從點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長度，、同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．有下列結(jié)論：①若點(diǎn)表示的數(shù)是3，則；②若，則；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)；其中正確的有．（填序號(hào)）2．（2023秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀┮阎欣頂?shù)a，b滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，線段在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），．下列結(jié)論：①；②當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，；③當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若點(diǎn)P是線段BC延長線上的點(diǎn)，則；④在線段運(yùn)動(dòng)過程中，若M為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，則線段的長度不變．所有結(jié)論正確的序號(hào)是．3．（2022·廣東江門·七年級(jí)期末）如圖，已知長方形ABCD的長米，寬米，x，y滿足，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以每秒1米的速度沿著運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)以每秒2米的速度沿運(yùn)動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)______________，______________．(2)當(dāng)時(shí)，求的面積；(3)當(dāng)P，Q都在DC上，且PQ距離為1時(shí)，求t的值4．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是數(shù)軸原點(diǎn)，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，．(1)求點(diǎn)C所表示的數(shù)；(2)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度分別是每秒3個(gè)單位長度和每秒2個(gè)單位長度（當(dāng)P與Q相遇，運(yùn)動(dòng)停止），點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①請(qǐng)用含t的式子表示的長；②當(dāng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)字．（參考：在數(shù)軸上，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為b，則以A、B為端點(diǎn)線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為）

5．（2023·湖北武漢·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的有理數(shù)分別為a、b，，與互為相反數(shù)，線段在數(shù)軸上從A點(diǎn)左側(cè)沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），點(diǎn)M、N分別為、的中點(diǎn)．

(1)的長為；若，則的長為；(2)在（1）條件下，當(dāng)時(shí)，求N點(diǎn)所表示的有理數(shù)；(3)設(shè)，線段運(yùn)動(dòng)的速度為v，則在運(yùn)動(dòng)過程中，線段完全通過線段的時(shí)間為．（用含m、v的式子表示）6．（2023秋·廣東·七年級(jí)課堂例題）如圖，數(shù)軸的原點(diǎn)為，是數(shù)軸上的三點(diǎn)，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是2個(gè)單位長度/秒，點(diǎn)Q的速度是1個(gè)單位長度/秒．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)分別求點(diǎn)表示的數(shù)；(2)分別求點(diǎn)表示的數(shù)（用含t的式子表示）；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，？7．（2022秋·陜西西安·七年級(jí)?？计谥校┮阎獢?shù)軸上、兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為和4，為數(shù)軸上一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)為．(1)若為線段的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離和為10？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)若點(diǎn)，和點(diǎn)（在原點(diǎn)），同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別是1、2、1個(gè)長度單位/分，則第幾分鐘時(shí)，為的中點(diǎn)？并求出此時(shí)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)．8．（2023秋·廣東·七年級(jí)課堂例題）如圖，是線段上任意一點(diǎn)，兩點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．(1)若，①運(yùn)動(dòng)后，求的長；②當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明．(2)如果，試探索的長．

9．（2023秋·黑龍江大慶·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，P是線段上一點(diǎn)，，C、D兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（C在線段上，D在線段上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．

(1)當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)求出的長；(2)若C、D運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)求出的長；(3)在（2）的條件下，Q是直線上一點(diǎn)，且，求的長．10．（2022秋·云南昆明·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，數(shù)軸正半軸上有一點(diǎn)，已知，

(1)在原點(diǎn)的左側(cè)畫點(diǎn)，使（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立即返回向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．若時(shí)，求的值；(3)在以上的條件下，若點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后繼續(xù)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和方向保持不變．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和是15，求的值．11．（2023秋·吉林·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為16，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)，兩點(diǎn)間的距離等于________，線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為________；(2)用含的代數(shù)式表示：秒后，點(diǎn)表示的數(shù)為________，點(diǎn)表示的數(shù)為________；(3)求當(dāng)為何值時(shí)，？(4)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離為時(shí)，________．12．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，．

(1)．(2)動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度分別是2個(gè)單位秒和3個(gè)單位秒，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)為何值時(shí)，；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求出相應(yīng)值，并直接寫出線段的長．13．（2023秋·河南焦作·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)是6，且，(1)求線段的長；(2)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度在數(shù)軸上勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度在數(shù)軸上勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，若點(diǎn)能夠重合，求出這時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)都向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出經(jīng)過多少秒后，點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離為20個(gè)單位．14．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖所示，點(diǎn)表示數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，所表示的數(shù)是，點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，所表示的數(shù)是，并且關(guān)于的多項(xiàng)式是三次二項(xiàng)式．

(1)求線段的長；(2)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止，速度是個(gè)單位長度/秒，點(diǎn)A為線段的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，請(qǐng)用含有的式子表示線段的長；(3)在（2）的條件下，是否存在值，使線段的長度是？并說明理由．15．（2023·綿陽市·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，P是線段上一點(diǎn)，，C，D兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)出發(fā)沿射線向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A處即停止運(yùn)動(dòng)．

(1)若點(diǎn)C，D的速度分別是，．①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s，且點(diǎn)D仍在線段上時(shí)，_________cm；②若點(diǎn)C到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)的中點(diǎn)，則_________；(2)若動(dòng)點(diǎn)C，D的速度分別是，，點(diǎn)C，D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，求的長16．（2023春·廣東梅州·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，是線段上一點(diǎn)，，，兩點(diǎn)分別從，出發(fā)以，的速度同時(shí)沿直線向左運(yùn)動(dòng)（在線段上，在線段上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為.(1)若，運(yùn)動(dòng)時(shí)，且，請(qǐng)求出的長.(2)若，運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，的長度是否變化？若不變，請(qǐng)求出的長，若變化，請(qǐng)說明理由.(3)在（）的條件下，是直線上一點(diǎn)，且，求的長.17．（2023秋·遼寧撫順·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是線段上一點(diǎn)，，，兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)沿射線向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A處即停止運(yùn)動(dòng)．(1)若點(diǎn)，的速度分別是，．①若，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)了時(shí)，求的值；②若點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也剛好到達(dá)的中點(diǎn)，求；(2)若動(dòng)點(diǎn)，的速度分別是，，點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，求的長度．18．（2023春·吉林長春·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)在線段上，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)線段的長為______．(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)相遇時(shí)，求的值．(3)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長度時(shí)，求的值．(4)當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．19．（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上有A、兩點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)在點(diǎn)A的右側(cè)，和點(diǎn)A相距6個(gè)單位長度．(1)求出點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的有理數(shù)；(2)若點(diǎn)到點(diǎn)A、的距離之和是10個(gè)單位長度，求出點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的有理數(shù)；(3)在（2）的條件下，如果點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過幾秒后、兩點(diǎn)相距6個(gè)單位長度．20．（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知和是同類項(xiàng)，且a、b分別是點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)．(1)求線段的長度；(2)若點(diǎn)P、Q分別同時(shí)從點(diǎn)A、B出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P的速度為1個(gè)單位/秒，點(diǎn)Q的速度為6個(gè)單位/秒，求t秒后線段的長（用含t的代數(shù)式表示）．(3)在（2）的條件下，已知點(diǎn)M把線段分成的兩條線段的比為2：3，且，當(dāng)時(shí)，求線段的長．

專題07線段中的動(dòng)態(tài)模型線段中的動(dòng)態(tài)模型一直都是一大難點(diǎn)和?？键c(diǎn)，它經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)?？疾闃邮揭彩呛茇S富，和平時(shí)所學(xué)的內(nèi)容結(jié)合在一起考。本專題就線段中的動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握?！局R(shí)儲(chǔ)備】1、在與線段長度有關(guān)的問題中，常會(huì)涉及線段較多且關(guān)系較復(fù)雜的問題，而且題中的數(shù)據(jù)無法直接利用，常設(shè)未知數(shù)列方程。2、線段的動(dòng)態(tài)模型解題步驟：1）設(shè)入未知量t表示動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離；2）利用和差（倍分）關(guān)系表示所需的線段；3）根據(jù)題設(shè)條件建立方程求解；4）觀察運(yùn)動(dòng)位置可能的情況去計(jì)算其他結(jié)果。模型1、線段中點(diǎn)、和差倍分關(guān)系中的動(dòng)態(tài)模型例1．（2022·貴州銅仁·七年級(jí)期末）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．（1）求線段MN的長度．（2）根據(jù)第（1）題的計(jì)算過程和結(jié)果，設(shè)AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長度．（3）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出時(shí)間t．【答案】（1）MN=8厘米；（2）MN=a+b；（3）所求時(shí)間t為4或或．【分析】（1）（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義、線段的和差，可得答案；（3）當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，可分四種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜t≤5時(shí)，C是線段PQ的中點(diǎn)；②當(dāng)5＜t≤時(shí)，P為線段CQ的中點(diǎn)；③當(dāng)＜t≤6時(shí)，Q為線段PC的中點(diǎn)；④當(dāng)6＜t≤8時(shí)，C為線段PQ的中點(diǎn)．根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，可得方程，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）∵線段AC=10厘米，BC=6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，∴MN=MC+CN=8厘米；（2）∵AC=a，BC=b，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴MC=AC=a，CN=BC=b，∴MN=MC+CN=a+b；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上，即0＜t≤5時(shí)，C是線段PQ的中點(diǎn)，得10-2t=6-t，解得t=4；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，即5＜t≤時(shí)，P為線段CQ的中點(diǎn)，2t-10=16-3t，解得t=；③當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上，即＜t≤6時(shí)，Q為線段PC的中點(diǎn)，6-t=3t-16，解得t=；④當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，即6＜t≤8時(shí)，C為線段PQ的中點(diǎn)，2t-10=t-6，解得t=4（舍），綜上所述：所求時(shí)間t為4或或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離，利用線段中點(diǎn)的定義得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．例2．（2022·陜西岐山縣·七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)，在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－5，7（單位長度為），是，間一點(diǎn)，，兩點(diǎn)分別從點(diǎn)，出發(fā)，以，的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．（1）______．（2）若點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)求出的長．（3）在（2）的條件下，是數(shù)軸上一點(diǎn)，且，求的長．【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或【分析】（1）由兩點(diǎn)間的距離，即可求解；（2）由線段的和差關(guān)系可求解；（3）由題設(shè)畫出圖示，分兩種情況根據(jù)：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，從而求得PQ與AB的關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，可得．【詳解】解：（1）∵A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-5，7，∴線段AB的長度為：7-（-5）=12；故答案為：12（2）根據(jù)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)速度知．因?yàn)?，所以，即，所以．?）分兩種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以，所以；如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，，綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的運(yùn)用和絕對(duì)值的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的表示方法，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．例3．（2022·重慶七年級(jí)期中）如果一點(diǎn)在由兩條公共端點(diǎn)的線段組成的一條折線上且把這條折線分成長度相等的兩部分，這點(diǎn)叫做這條折線的“折中點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)D是折線A﹣C﹣B的“折中點(diǎn)”，請(qǐng)解答以下問題：（1）當(dāng)AC＞BC時(shí)，點(diǎn)D在線段上；當(dāng)AC＝BC時(shí)，點(diǎn)D與重合；當(dāng)AC＜BC時(shí)，點(diǎn)D在線段上；（2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，在線段CB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t（s）,求當(dāng)t為何值，三角形PCD的面積為10？（3）若E為線段AC中點(diǎn)，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的長度．【答案】（1）AC，C，BC；(2)s；（3）CB的長度是4

cm

或28cm.分析：（1）根據(jù)圖形及閱讀材料所給的信息直接填空即可；(2)如圖4，先表示PC=2t，由折中點(diǎn)的定義得AD=14，根據(jù)三角形的面積公式列式可求t的值；（3）分當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上與BC上兩種情況求解即可.【解析】(1)當(dāng)AC>BC時(shí)，如圖1，點(diǎn)D在線段AC上；當(dāng)AC=BC時(shí)，如圖2，點(diǎn)D與C重合；當(dāng)AC<BC時(shí)，如圖3，點(diǎn)D在線段BC上；因此，本題正確答案是：AC，C，BC.（2）如圖4，根據(jù)題意得：PC=2t，∵AC=18，BC=10cm，∴AC+BC=18+10=28cm，∵D點(diǎn)是折中點(diǎn)，∴AD=14cm，∴CD=18-14=4cm，∵∠ACB=90°，∴，即，解得，則當(dāng)t為秒時(shí)，三角形PCD的面積為10cm2；(3)分兩種情況：①點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，如圖5，∵E為線段AC中點(diǎn),EC=8cm,∴AC=2CE=16cm，∵CD=6cm，∴AD=AC-CD=16-6=10cm，∵D為折中點(diǎn)，∴AD=CD+BC，∴BC=AD-CD=10-6=4cm；②點(diǎn)D在線段BC上,如圖6,∵E為線段AC中點(diǎn)，EC=8cm，∴AC=2CE=16cm，∴AD=AC+CD=16+6=22cm，∴BD=AC+CD=22cm，∴BC=BD+CD=22+6=28cm.綜上所述，CB的長度是4cm或28cm.模型2、線段上動(dòng)點(diǎn)問題中的存在性（探究性）模型例1．（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），且m，n滿足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，線段CD以2個(gè)單位長度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．①如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)，求線段MN的長；②P是直線AB上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，線段CD運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)以3個(gè)單位/秒的向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)C相遇1秒后與點(diǎn)E相遇．試探索整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)C－5DE是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）m=12，n=4；（2）①M(fèi)N=8，②在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中，F(xiàn)C-5DE的值為定值，且定值為0．【分析】（1）由絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，即可求出m、n的值；（2）①由題意，則MN=CM+CD+DN，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，即可得到答案；②設(shè)PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情況進(jìn)行分析，求出每一種的值，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案為：12；4．（2）由題意，①∵AB=12，CD=4，∵M(jìn)是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)∴AM=CM=AC，DN=BN=BD∴MN=CM+CD+DN=AC+CD+BD=AC+CD+BD+CD=(AC+CD+BD)+CD=(AB+CD)=8；②如圖，設(shè)PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，依題意有：解得：a=2在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是線段BC的中點(diǎn)∴CE=BE=BC=2+t；Ⅰ．如圖1，F(xiàn)，C相遇，即t=2時(shí)F，C重合，D，E重合，則FC=0，DE=0∴FC-5DE=0；Ⅱ．如圖2，F(xiàn)，C相遇前，即t<2時(shí)FC=10-5t，DE=BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5DE=10-5t-5（2-t）=0；Ⅲ．如圖3，F(xiàn)，C相遇后，即t＞2時(shí)FC=5t-10，DE=BD-BE=2t–(2+t)=t-2∴FC-5DE=5t-10-5（t-2）=0；綜合上述：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中，F(xiàn)C5DE的值為定值，且定值為0．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的和差倍分的關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用，絕對(duì)值的非負(fù)性等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的中點(diǎn)定義進(jìn)行解題，注意運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．例2．（2022·廣西桂林·七年級(jí)期末）如圖，在直線AB上，線段，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度在直線AB上運(yùn)動(dòng)．M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)若點(diǎn)P在線段AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，；(2)若點(diǎn)P在射線AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB、PM、PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．【答案】(1)(2)8或24(3)，見解析【分析】（1）根據(jù)題中條件直接計(jì)算即可求解；（2）分點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)和線段的延長線上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行討論，從而求解；（3）先將和表示出來，再求出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．（1）解：∵M(jìn)為AP的中點(diǎn)，，∴，∵線段，N為BP的中點(diǎn)，∴．故答案是：2；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，時(shí)，如圖，∵，，∴，解得：．②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上，時(shí)，如圖，∵，，∴，解得：．綜上所述，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為8或24．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上時(shí)，，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和線段之間的關(guān)系，熟練掌握幾何的基礎(chǔ)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．模型3、閱讀理解型（新定義）模型例1．（2023·江蘇七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（理解新知）如圖①，點(diǎn)M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“奇妙點(diǎn)”，（1）線段的中點(diǎn)這條線段的“奇妙點(diǎn)”（填“是”或“不是”）（2）（初步應(yīng)用）如圖②，若，點(diǎn)N是線段CD的“奇妙點(diǎn)”，則；（3）（解決問題）如圖③，已知，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t，請(qǐng)求出為何值時(shí)，A、P、三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的“奇妙點(diǎn)”．【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）當(dāng)點(diǎn)P為AQ的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或4或；當(dāng)點(diǎn)Q為AP的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或6或．【分析】（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)平分線段長的性質(zhì)，以及題目中所給的“奇妙點(diǎn)”的定義，進(jìn)行判斷即可．（2）由“奇妙點(diǎn)”定義，此題分為三種情況，情況1：，即N為CD的中點(diǎn)；情況2：，即N為靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)；情況3：，即N為靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)，根據(jù)以上三種情況，分別求出CN的長度．（3）由題意可知，A不可能是“奇妙點(diǎn)”，故此題分兩大類情況，情況1：當(dāng)P、Q未相遇之前，P是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，根據(jù)第（2）題的思路，又可以分為3種情況，根據(jù)每種情況，利用線段長度關(guān)系列方程，分別求出對(duì)應(yīng)時(shí)間；情況2：當(dāng)P、Q相遇之后，Q是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，同樣根據(jù)第（2）題的思路，又分成3種情況討論，利用線段長度關(guān)系列方程，求出每種情況對(duì)應(yīng)的時(shí)間．【詳解】（1）由線段中點(diǎn)的性質(zhì)可知：被中點(diǎn)平分的兩條線段長度是線段總長的一半，根據(jù)“奇妙點(diǎn)”定義可知：線段的中點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”．故答案是：是；（2）是線段CD的“奇妙點(diǎn)”根據(jù)定義，此題共分為三種情況．當(dāng)，即N為CD的中點(diǎn)時(shí)，有CN=12cm．當(dāng)，即N為靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，有CN=8cm．當(dāng)，即N為靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，有CN=16cm．故答案為：8或12或16．（3）解：由題意可知，A點(diǎn)不可能是“奇妙點(diǎn)”，故P或Q點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”．t秒后，，．當(dāng)P點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，．由“奇妙點(diǎn)”定義可分三種情況．當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)Q點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，．當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)時(shí)，有解得綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P為AQ的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或4或；當(dāng)點(diǎn)Q為AP的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或6或．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義題，主要是考察了線段中點(diǎn)、線段長度、列方程等知識(shí)點(diǎn)，本題討論情況較多，從側(cè)面考察了數(shù)學(xué)中比較重要的分類討論思想，根據(jù)題意，能夠正確地進(jìn)行分類討論，把每一種情況列舉完全，是解決該題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·湖南岳陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)C在線段上，且時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段上的點(diǎn)值，記作．如點(diǎn)C是的中點(diǎn)時(shí)，則，記作；反過來，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點(diǎn)C在線段上，若，則_______；若，則_______；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，相向而行，運(yùn)動(dòng)速度均為，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．請(qǐng)用含有t的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運(yùn)用：(3)已知線段，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度分別為和，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后立即以原速返回，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．則當(dāng)t為何值時(shí)，等式成立．【答案】(1)，(2)；；(3)存在t為4或，使等式成立【分析】（1）根據(jù)材料閱讀，即可求解；（2）根據(jù)材料閱讀，可表示和，即可求解；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A之前時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A返回時(shí)，結(jié)合，列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，∵，∴，故答案為：，（2）解：∵，∴，∵∴，∴，∴；（3）解：當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A之前時(shí)，∵∴，∵∴，∴，∵，∴，

解得：；當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A返回時(shí)，此時(shí)，∴∵，∴，∵∴

∴

∴存在t的值為4或，使等式成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022秋·四川巴中·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖：數(shù)軸上點(diǎn)、、表示的數(shù)分別是，，1，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．、為數(shù)軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)從點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長度，、同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．有下列結(jié)論：①若點(diǎn)表示的數(shù)是3，則；②若，則；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)；其中正確的有．（填序號(hào)）【答案】①③/③①【分析】①根據(jù)線段的中點(diǎn)的定義以及點(diǎn)、可確定點(diǎn)、表示的數(shù)，進(jìn)而得到的長度；②由，分兩種情況討論：點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)以及點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，可得到點(diǎn)表示的數(shù)，由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)可得點(diǎn)表示的數(shù)，進(jìn)而得到的長度；③當(dāng)時(shí)，可得到、的長，從而確定點(diǎn)、，即可得到的長；④當(dāng)時(shí)，可得到、的長，從而確定點(diǎn)、，進(jìn)而判斷．【詳解】①若點(diǎn)表示的數(shù)是3，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，表示的數(shù)是1，∴，，即表示的數(shù)是2，∴，故①正確；②若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，則點(diǎn)表示的數(shù)是4，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，即表示的數(shù)是，∴，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，則點(diǎn)表示的數(shù)是，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，即表示的數(shù)是，∴，綜上，，故②不正確；③當(dāng)時(shí)，，，∵、表示的數(shù)分別是，1，∴、表示的數(shù)分別是，，∴，故③正確；④當(dāng)時(shí)，，，∴、表示的數(shù)分別是，，∵點(diǎn)在、的左側(cè)，不可能是線段的中點(diǎn)故④不正確；故答案為：①③【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸以及兩點(diǎn)間的距離、線段的中點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．2．（2023秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀┮阎欣頂?shù)a，b滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，線段在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），．下列結(jié)論：①；②當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，；③當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若點(diǎn)P是線段BC延長線上的點(diǎn)，則；④在線段運(yùn)動(dòng)過程中，若M為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，則線段的長度不變．所有結(jié)論正確的序號(hào)是．【答案】①③④【分析】①根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a和b的值，可判斷；②如圖1，根據(jù)數(shù)軸可直觀得出；③如圖2，分別計(jì)算，的值可判斷；④分四種情況，根據(jù)圖形分別計(jì)算的長即可可判斷．【詳解】解：①∵，∵，∴，∴；故①正確；②如圖1，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，；故②不正確；③如圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若點(diǎn)P是線段延長線上的點(diǎn)，∴，∴；故③正確；④∵M(jìn)為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，∴分四種情況：1）當(dāng)C在O的左側(cè)時(shí)，如圖3，；2）當(dāng)B，C在O的兩側(cè)時(shí)，如圖4，；3）當(dāng)B，C在線段上時(shí)，如圖5，；4）當(dāng)B和C都在A的右邊時(shí)，如圖6，；∴在線段運(yùn)動(dòng)過程中，若M為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，線段的長度不變．故④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，數(shù)軸和線段的中點(diǎn)，線段的和差，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東江門·七年級(jí)期末）如圖，已知長方形ABCD的長米，寬米，x，y滿足，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以每秒1米的速度沿著運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)以每秒2米的速度沿運(yùn)動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)______________，______________．(2)當(dāng)時(shí)，求的面積；(3)當(dāng)P，Q都在DC上，且PQ距離為1時(shí)，求t的值【答案】(1)5，4(2)平方米(3)【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值和乘方的非負(fù)性，即可求解；（2）根據(jù)題意得：當(dāng)t=4.5時(shí)，點(diǎn)P在CD上，DP=0.5米，點(diǎn)Q剛好到達(dá)點(diǎn)D處，可得米，再由，即可求解；（3）當(dāng)P，Q都在DC上，可得，然后分兩種情況討論：當(dāng)P左Q右時(shí)，當(dāng)Q左P右時(shí)，即可求解．（1）解∶∵，∴，∴x=5，y=4，故答案為：5，4；（2）解：當(dāng)t=4.5時(shí)，P走過的路程為4.5米，此時(shí)點(diǎn)P在CD上，DP=0.5米，Q走過的路程為9米，剛好到達(dá)點(diǎn)D處，∴米，∴平方米；（3）解：點(diǎn)P在DC上，，點(diǎn)Q在DC上，，∴，當(dāng)P左Q右時(shí)，，，∴，∴，解得：當(dāng)Q左P右時(shí)，，，∴，∴，解得，不符題意，舍去．綜上，滿足題意的．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題，涉及絕對(duì)值和平方式的非負(fù)性，三角形面積的求解，解題的關(guān)鍵是關(guān)鍵題意用時(shí)間t表示出線段長度，列式求出t的值．4．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是數(shù)軸原點(diǎn)，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，．(1)求點(diǎn)C所表示的數(shù)；(2)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度分別是每秒3個(gè)單位長度和每秒2個(gè)單位長度（當(dāng)P與Q相遇，運(yùn)動(dòng)停止），點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①請(qǐng)用含t的式子表示的長；②當(dāng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)字．（參考：在數(shù)軸上，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為b，則以A、B為端點(diǎn)線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為）

【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義結(jié)合線段之間的關(guān)系求出的長即可得到答案；（2）①先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的數(shù)，進(jìn)而求出運(yùn)動(dòng)t秒后點(diǎn)P和點(diǎn)Q表示的數(shù)，進(jìn)一步求出點(diǎn)M表示的數(shù)，最后根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式求出的長即可；②先表示出，結(jié)合（2）①所求以及已知條件建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，∴，∵，∴，又∵點(diǎn)C在原點(diǎn)O的左邊，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為；（2）解：①由（1）可知，，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的數(shù)分別為和2，∵動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度分別是每秒3個(gè)單位長度和每秒2個(gè)單位長度，∴運(yùn)動(dòng)t秒后點(diǎn)P和點(diǎn)Q表示的數(shù)分別為和，∵點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，∴運(yùn)動(dòng)t秒后點(diǎn)M表示的數(shù)為，∴；②由①得，∵，∴，∴或，解得或，∴的值為或∴點(diǎn)P表示的數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式，一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意并熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的有理數(shù)分別為a、b，，與互為相反數(shù)，線段在數(shù)軸上從A點(diǎn)左側(cè)沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），點(diǎn)M、N分別為、的中點(diǎn)．

(1)的長為；若，則的長為；(2)在（1）條件下，當(dāng)時(shí)，求N點(diǎn)所表示的有理數(shù)；(3)設(shè)，線段運(yùn)動(dòng)的速度為v，則在運(yùn)動(dòng)過程中，線段完全通過線段的時(shí)間為．（用含m、v的式子表示）【答案】(1)10，6(2)(3)【分析】（1）由題意可直接得到，兩點(diǎn)表示的有理數(shù)分別為和4，設(shè)，則，，由點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，可得出，，所以；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，可直接求得；（3）思路和過程同（1）中過程，可直接求出走的路程，根據(jù)速度可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．【詳解】（1）解：與互為相反數(shù)，，又，，，，，兩點(diǎn)表示的有理數(shù)分別為和4，；如題圖1，設(shè)，則，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，，，；（2）解：如題圖2，

當(dāng)時(shí)，，，，又點(diǎn)表示的有理數(shù)為，點(diǎn)表示的有理數(shù)為；（3）設(shè)，則，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，，，；在運(yùn)動(dòng)過程中，線段完全通過線段的時(shí)間為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，涉及線段的和差運(yùn)算，線段中點(diǎn)的定義等內(nèi)容，根據(jù)圖形得出線段之間的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（2023秋·廣東·七年級(jí)課堂例題）如圖，數(shù)軸的原點(diǎn)為，是數(shù)軸上的三點(diǎn)，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是2個(gè)單位長度/秒，點(diǎn)Q的速度是1個(gè)單位長度/秒．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)分別求點(diǎn)表示的數(shù)；(2)分別求點(diǎn)表示的數(shù)（用含t的式子表示）；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，？【答案】(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)C表示的數(shù)是3(2)點(diǎn)P表示的數(shù)是，點(diǎn)Q表示的數(shù)是(3)當(dāng)t的值為或8時(shí)，【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)、線段、的長及點(diǎn)A、C與點(diǎn)B的位置關(guān)系，可得出點(diǎn)A、C對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）根據(jù)點(diǎn)P、Q的出發(fā)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向、運(yùn)動(dòng)速度及運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可用含t的代數(shù)式表示出運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)點(diǎn)P、Q對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）根據(jù)，可得出關(guān)于t的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)B表示的數(shù)為1，，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是，∵點(diǎn)B表示的數(shù)為1，，且點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，∴點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是，∴點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是3；（2）解：∵動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是2個(gè)單位長度/秒，點(diǎn)Q的速度是1個(gè)單位長度/秒，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)是；（3）解：根據(jù)題意得，，即或，解得或，答：當(dāng)或時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)間的距離公式，理解題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系列方程．7．（2022秋·陜西西安·七年級(jí)?？计谥校┮阎獢?shù)軸上、兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為和4，為數(shù)軸上一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)為．(1)若為線段的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離和為10？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)若點(diǎn)，和點(diǎn)（在原點(diǎn)），同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別是1、2、1個(gè)長度單位/分，則第幾分鐘時(shí)，為的中點(diǎn)？并求出此時(shí)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)．【答案】(1)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為0或2(2)存在，或(3)第2分鐘時(shí)，為的中點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為【分析】（1）根據(jù)三等分點(diǎn)的定義可得或，列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左邊時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)；（3）設(shè)第t分鐘為的中點(diǎn)，則第t分鐘，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為，根據(jù)為的中點(diǎn)，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵、兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為和4，∴，∵為線段的三等分點(diǎn)，∴或，且點(diǎn)P在線段上，∵點(diǎn)P表示的為數(shù)x，∴，，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上：點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為0或2．（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左邊時(shí)：，，∴，解得：；②當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)：，，∴，不符合題意；③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)：，∴，解得：，綜上：存在，或．（3）解：設(shè)第t分鐘為的中點(diǎn)，第t分鐘，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，第t分鐘，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，第t分鐘，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，∵為的中點(diǎn)，∴，解得：，此時(shí)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)．綜上：第2分鐘時(shí)，為的中點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的求法．8．（2023秋·廣東·七年級(jí)課堂例題）如圖，是線段上任意一點(diǎn)，兩點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．

(1)若，①運(yùn)動(dòng)后，求的長；②當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明．(2)如果，試探索的長．【答案】(1)①；②見解析(2)的長為或．【分析】（1）①先求出與的長度，然后利用即可求出答案；②用t表示出的長度即可證得；（2）當(dāng)時(shí)，求出的長度，由于沒有說明D點(diǎn)在C點(diǎn)的左邊還是右邊，故需要分情況討論．【詳解】（1）解：①由題意可知，，因?yàn)?，所以，所以；②因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以；?）解：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時(shí)，如圖①所示：

因?yàn)?，所以，所以，所以；?dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)，如圖②所示：

因?yàn)椋?，所以，綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，涉及列代數(shù)式，分類討論的思想，屬于中等題型．9．（2023秋·黑龍江大慶·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，P是線段上一點(diǎn)，，C、D兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（C在線段上，D在線段上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．

(1)當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)求出的長；(2)若C、D運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)求出的長；(3)在（2）的條件下，Q是直線上一點(diǎn)，且，求的長．【答案】(1)(2)(3)的長為或【分析】（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間可得，因?yàn)椋傻?，即可求解；?）和第（1）問一樣的思路求解即可；（3）兩種情況分別進(jìn)行討論，點(diǎn)Q在線段上，可證，即可求解；點(diǎn)Q不在線段上，則點(diǎn)Q在線段的延長線上，和前一種情況一樣的思路．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)C從P出發(fā)以的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為∴.∵點(diǎn)D從B出發(fā)以的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，∴.故.∵，∴，即.故.∵，∴.（2）解：∵點(diǎn)C從P出發(fā)以的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，∴.∵點(diǎn)D從B出發(fā)以）的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，∴.故.∵，，∴，即.故.∵，∴.（3）解：本題需要對(duì)以下兩種情況分別進(jìn)行討論.

（i）點(diǎn)Q在線段上（如圖①）.∵，∴.∵，∴.∵，∴.故.∵，∴.（ii）點(diǎn)Q不在線段上，則點(diǎn)Q在線段的延長線上（如圖②）.∵，∴.∵，∴.∵，∴.故.∵，∴.綜上所述，的長為或；【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，理清線段之間的關(guān)系是關(guān)鍵，第（3）問有兩種情況需要考慮清楚．10．（2022秋·云南昆明·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，數(shù)軸正半軸上有一點(diǎn)，已知，

(1)在原點(diǎn)的左側(cè)畫點(diǎn)，使（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立即返回向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．若時(shí)，求的值；(3)在以上的條件下，若點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后繼續(xù)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和方向保持不變．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和是15，求的值．【答案】(1)見解析(2)或3(3)或或【分析】（1）根據(jù)作線段的尺規(guī)作圖方法即可得；（2）先求出點(diǎn)表示的有理數(shù)是，再求出點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需時(shí)間為2秒，然后分兩種情況：①和②，根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)建立方程，解方程即可得；（3）分三種情況：①，②和③，分別求出的長，分別建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所求；

（2）解：，，點(diǎn)表示的有理數(shù)是，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需時(shí)間為秒，①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的有理數(shù)為，，，，，解得，符合題設(shè)；②當(dāng)時(shí)，，，，，解得，符合題設(shè)，綜上，的值為或3；（3）解：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的有理數(shù)為，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和是15，，解得，符合題設(shè)；②當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和是15，，解得，符合題設(shè)；③當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和是15，，解得，符合題設(shè)，綜上，的值為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了作線段、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．（2023秋·吉林·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為16，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)，兩點(diǎn)間的距離等于________，線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為________；(2)用含的代數(shù)式表示：秒后，點(diǎn)表示的數(shù)為________，點(diǎn)表示的數(shù)為________；(3)求當(dāng)為何值時(shí)，？(4)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離為時(shí)，________．【答案】(1)20，6(2)，(3)或6(4)2【分析】（1）由數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式可求，兩點(diǎn)之間的距離，由中點(diǎn)公式可求線段的中點(diǎn)表示的數(shù)；（2）根據(jù)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（3）由，得到方程，求解即可得到答案；（4）由線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出，求解即可得到答案．【詳解】（1）解：點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為16，，兩點(diǎn)間的距離等于，線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為，故答案為：20，6；（2）解：點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，秒后，點(diǎn)表示的數(shù)為：，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，秒后，點(diǎn)表示的數(shù)為：，故答案為：，；（3）解：，，或6，或6時(shí)，；（4）解：點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)距離為8，，解得：或（負(fù)值舍去），，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，．

(1)．(2)動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度分別是2個(gè)單位秒和3個(gè)單位秒，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)為何值時(shí)，；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求出相應(yīng)值，并直接寫出線段的長．【答案】(1)20；(2)秒或秒；(3)10，40【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式，即可求出的值；（2）由題意可知，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，進(jìn)而得到，，再根據(jù)列絕對(duì)值方程，求解即可得到答案；（3）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，得到點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式，得到，再得出，然后根據(jù)，求出，從而得出點(diǎn)表示的數(shù)為，即可求出的長．【詳解】（1）解：點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，，，，故答案為：20；（2）解：動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度分別是2個(gè)單位秒和3個(gè)單位秒，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)為原點(diǎn)，，，，，解得：或20，當(dāng)為秒或秒時(shí)，；（3）解：點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為20，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為：，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)．，點(diǎn)表示的數(shù)為，，，，解得：，點(diǎn)表示的數(shù)為，．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的性質(zhì)，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，線段中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)問題，根據(jù)題意正確得出所需線段的長度是解題關(guān)鍵．13．（2023秋·河南焦作·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)是6，且，(1)求線段的長；(2)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度在數(shù)軸上勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度在數(shù)軸上勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，若點(diǎn)能夠重合，求出這時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)都向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出經(jīng)過多少秒后，點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離為20個(gè)單位．【答案】(1)18(2)6秒或18秒(3)2秒或38秒【分析】（1）先求出，，再根據(jù)即可得；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)均向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)相向運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別建立方程，解方程即可得；（3）設(shè)經(jīng)過秒后，點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離為20個(gè)單位，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)均向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)均向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)表示的數(shù)是6，，，，．（2）解：①當(dāng)點(diǎn)均向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，則，解得；②當(dāng)點(diǎn)相向運(yùn)動(dòng)時(shí)，則，解得，綜上，若點(diǎn)能夠重合，這時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6秒或18秒．（3）解：設(shè)經(jīng)過秒后，點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離為20個(gè)單位，①當(dāng)點(diǎn)均向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，則，解得；②當(dāng)點(diǎn)均向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，則，解得，綜上，經(jīng)過2秒或38秒后，點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離為20個(gè)單位．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)，正確建立方程是解題關(guān)鍵．14．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖所示，點(diǎn)表示數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，所表示的數(shù)是，點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，所表示的數(shù)是，并且關(guān)于的多項(xiàng)式是三次二項(xiàng)式．

(1)求線段的長；(2)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止，速度是個(gè)單位長度/秒，點(diǎn)A為線段的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，請(qǐng)用含有的式子表示線段的長；(3)在（2）的條件下，是否存在值，使線段的長度是？并說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，1或3【分析】（1）根據(jù)關(guān)于的多項(xiàng)式是三次二項(xiàng)式得到，，得到點(diǎn)所表示的數(shù)是，點(diǎn)所表示的數(shù)是4，即可得到線段的長；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，由中點(diǎn)的定義即可得到線段的長；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，由中點(diǎn)的定義即可得到線段的長；（3）分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段上兩種情況，列方程求解即可．【詳解】（1）∵關(guān)于的多項(xiàng)式是三次二項(xiàng)式，∴，，解得，，∴點(diǎn)所表示的數(shù)是，點(diǎn)所表示的數(shù)是4，∴；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，

∵點(diǎn)A為線段的中點(diǎn)，∴；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，

∵點(diǎn)A為線段的中點(diǎn)，∴；∴線段的長為或；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，解得，故存在值，當(dāng)或時(shí)，線段的長度是．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、線段的中點(diǎn)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．15．（2023·綿陽市·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，P是線段上一點(diǎn)，，C，D兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)出發(fā)沿射線向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A處即停止運(yùn)動(dòng)．

(1)若點(diǎn)C，D的速度分別是，．①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s，且點(diǎn)D仍在線段上時(shí)，_________cm；②若點(diǎn)C到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)的中點(diǎn)，則_________；(2)若動(dòng)點(diǎn)C，D的速度分別是，，點(diǎn)C，D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，求的長【答案】(1)①12；②(2)【分析】（1）①先分別求出，再根據(jù)即可得；②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，由此即可得；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，從而可得，再根據(jù)可得，從而可得，由此即可得．【詳解】（1）解：①依題意得：，，點(diǎn)仍在線段上，∴，故答案為：；②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，∵當(dāng)點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也剛好到達(dá)的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：．（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題、線段的和與差、線段的中點(diǎn)，熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·廣東梅州·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，是線段上一點(diǎn)，，，兩點(diǎn)分別從，出發(fā)以，的速度同時(shí)沿直線向左運(yùn)動(dòng)（在線段上，在線段上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為.(1)若，運(yùn)動(dòng)時(shí)，且，請(qǐng)求出的長.(2)若，運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，的長度是否變化？若不變，請(qǐng)求出的長，若變化，請(qǐng)說明理由.(3)在（）的條件下，是直線上一點(diǎn)，且，求的長.【答案】(1)；(2)的長度不變；(3)或【分析】（1）設(shè)為，則為，根據(jù)線段的和差得到關(guān)于x的方程，解方程即可得到答案；（2）設(shè)長為，則，由題意可得，得到關(guān)于x的方程，求出x的值，即可做出判斷；（3）分點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)和點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)兩種情況分別求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)為，則為，由題意可得，，，，，.（2）設(shè)長為